小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算(选做)

两外角平分线问题类型一三角形两外角平分线问题1．如图所示在△ABC中分别延长△ABC的边AB AC到D E △CBD与△BCE的平分线相交于点P 爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：①若△A＝50° 则△P＝65°＝90°－502︒；②若△A＝90° 则△P＝45°＝90°－902︒；③若△A＝100° 则△P＝40°＝90°－1002︒.(1)根据上述规律若△A＝150° 则△P＝________；(2)请你用数学表达式写出△P与△A的关系；(3)请说明(2)中结论的正确性．【答案】（1）15°；（2）△P＝90°－12△A；（3）见解析.【解析】【详解】【试题分析】（1）按照规律求解即可；（2）根据题意中的规律写出等量关系；（3）根据外角的性质证明.【试题解析】(1) △P＝90°－1502︒=15°；(2)△P＝90°－△A；(3)因为△DBC是△ABC的一个外角所以△DBC＝△A＋△ACB.因为BP 是△DBC 的平分线所以△PBC ＝△A ＋△ACB.同理可得△PCB ＝△A ＋△ABC.因为△P ＋△PBC ＋△PCB ＝180°所以△P ＝180°－(△PBC ＋△PCB)＝180°－＝180°－＝90°－△A.【方法点睛】本题目是一道规律探究题 先猜想后证明 主要利用外角的性质 三角形的内角和来证明. 2．如图 BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线 若60P ∠=︒ 则A ∠的大小为（ ）A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据三角形内角和与△P 得出△PBC+△PCB 然后根据角平分线的性质得出△ABC 和△ACB 的外角和 进而得出△ABC+△ACB 即可得解.【详解】△60P ∠=︒△△PBC+△PCB=180°-△P=180°-60°=120°△BP 、CP 是ABC ∆的外角角平分线△△DBC+△ECB=2（△PBC+△PCB ）=240°△△ABC+△ACB=180°-△DBC+180°-△ECB=360°-240°=120°△△A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用熟练掌握即可解题.3．如图在△ABC中△ABC和△ACB的外角平分线交于点O设△A=m则△BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据三角形的内角和可得△ABC+△ACB根据角的和差可得△DBC+△BCE根据角平分线的定义可得△OBC+△OCB根据三角形的内角和可得答案．【详解】解：如图：由三角形内角和定理得△ABC+△ACB=180°-△A=180°-m由角的和差得△DBC+△BCE=360°-（△ABC+△ACB）=180°+m由△ABC和△ACB的外角平分线交于点O得△OBC+△OCB=12（△DBC+△BCE）=90°+12m由三角形的内角和得△O =180°-（△OBC +△OCB ）=90°-12m ．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理 利用三角形内角和定理 角的和差 角平分线的定义是解题关键． 4．如图 已知在ABC ∆中 B 、C ∠的外角平分线相交于点G 若ABC m ∠=︒ ACB n ∠=︒ 求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【解析】【分析】 运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：△B 、△C 的外角平分线相交于点G在BCG ∆中△BGC=180°-（12△EBC+12△BCF ）=180°-12（△EBC+△BCF ）=180°-12（180°-△ABC+180°-△ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）； =()12+m n 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．5．如图 点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点 延长BP 交AC 于G 请写出A ∠和CPG ∠【答案】1902CPG A ∠=︒+∠ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含A ∠的式子表示出CBP ∠和BCP ∠的和 再利用三角形外角的性质即可得到A ∠和CPG ∠的数量关系.【详解】解：△180ACB ABC A ∠+∠=︒-∠,△1802(180)180ECB FBC A A ∠+∠=︒⨯-︒-∠=︒+∠,△点P 是ABC ∆的外角BCE ∠和CBF ∠的角平分线交点△CBP ∠+BCP ∠＝11(180)9022A A ︒+∠=︒+∠ 又△CPG ∠＝CBP ∠+BCP ∠ △1902CPG A ∠=︒+∠. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.6．如图 已知射线OE ⊥射线OF B 、A 分别为OE 、OF 上一动点 ABE ∠、BAF ∠的平分线交于C 点.问B 、A 分别在OE 、OF 上运动的过程中 C ∠的度数是否改变？若不变 求出其值；若改变 说明理由.【答案】不变 45C ∠=︒.【解析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到△C=90°-12△O ． 【详解】解：△C 的度数不会改变．△△ABE 、△BAF 的平分线交于C △△CAB=12△FAB △CBA=12△EBA △△C=180°-（△CAB +△CBA ）=180°-12（△ABE+△BAF ） =180°-12（△O+△OAB+△BAF ） =180°-12（△O+180°） =90°-12△O=45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理 角平分线的定义 三角形外角的性质定理 熟练掌握相关的性质是解题的关键．类型二 多边形两外角平分线问题7．如图 已知点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点．若149A ∠=︒ 91B ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】60°【解析】【分析】根据四边形的内角和公式即可求出120BCD CDA ∠+∠=︒ 然后根据平角的定义即可求出240CDE DCF ∠+∠=︒ 再根据角平分线的定义即可求出120CDP DCP ∠+∠=︒ 最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．【详解】解：因为360A B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=︒ 149A ∠=︒ 91B ∠=︒所以120BCD CDA ∠+∠=︒．因为180CDE CDA ∠+∠=︒ 180BCD DCF ∠+∠=︒所以240CDE DCF ∠+∠=︒．因为点P 是四边形ABCD 的外角CDE ∠和外角DCF ∠的平分线的交点 所以12CDP CDE ∠=∠ 12DCP DCF ∠=∠． 所以120CDP DCP ∠+∠=︒所以()18060P CDP DCP ∠=︒-∠+∠=︒．【点睛】此题考查的是四边形的内角和公式、三角形的内角和定理和角平分线的定义 掌握四边形的内角和是360°、三角形的内角和是180°和角平分线的定义是解决此题的关键．8．如图 五边形ABCDE 中 BCD ∠、EDC ∠的外角分别是FCD ∠、GDC ∠ CP 、DP 分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P 若140A ∠=︒ 120B ∠=︒ 90E ∠=︒ 则P ∠=__________︒．【答案】95【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：()2180-︒n 可得出△BCD 、△EDC 的和 从而得出相邻两外角和 然后根据角平分线及三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：多边形的内角和定理可得五边形ABCDE 的内角和为：()52180-︒=540°△△BCD+△EDC=540°-140°-120°-90°=190°△△FCD+△GDC=360°-190°=170°又△CP 和DP 分别是△BCD 、△EDC 的外角平分线 △()170851122PCD PDC FCD GDC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒根据三角形内角和定理可得：△CPD=180°-85°=95°．故答案为：95．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理、角平分线的性质、三角形内角和定理 熟悉相关性质是解题的关键． 9．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角 如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒由此可得1∠ 2∠与A ∠ D ∠的数量关系是______；（2）知识应用：如图② 已知四边形ABCD AE DE 分别是其外角NAD ∠和MDA ∠的平分线 若230B C ∠+∠=︒ 求E ∠的度数； （3）拓展提升：如图③ 四边形ABCD 中 90A C ∠=∠=︒ CDN ∠和CBM ∠是它的两个外角 且14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ 求P ∠的度数．【答案】（1）1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）65°；（3）45°【解析】【分析】（1）根据平角的定义即可解答；（2）根据（1）的结论求出MDA NAD ∠+∠ 再根据角平分线的定义求出ADE DAE ∠+∠ 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解；（3）由四边形内角和定理得180ABC ADC ∠+∠=︒ 可求得180MBC NDC ∠+∠=︒ 再由14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠可求得45PBC PDC ∠+∠=︒ 最后利用四边形内角和定理求出P ∠． 【详解】解：（1）如图① 1∠ 2∠是四边形ABCD 的两个外角△四边形ABCD 的内角和是360°△()34360A D ∠+∠+∠+∠=︒又△1324360∠+∠+∠+∠=︒△1∠+2∠=A ∠+D ∠故答案为：1∠+2∠=A ∠+D ∠；（2）△230B C ∠+∠=︒△=230MDA NAD ∠+∠︒△AE 、DE 分别是△NAD 、△MDA 的平分线△△ADE =11,22MDA DAE NAD ∠∠=∠ △11()23011522ADE DAE MDA NAD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △180()18011565E ADE DAE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒;（3）△90A C ∠=∠=︒△180ABC ADC ∠+∠=︒△180MBC NDC ∠+∠=︒ △14CDP CDN ∠=∠ 14CBP CBM ∠=∠ △()111804544CDP CBP CDN CBM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ △18045225ABP ADP MBC CBP NDC CDP ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒△360()3609022545P A ABP ADP ∠=︒-∠-∠+∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了四边形的两个外角和等于与它不相邻的两个内角的和的性质 四边形的内角和定理 角平分线的定义 熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．10．已知如图 四边形ABCD BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC 若△BAD ＝α △BCD ＝β （1）如图1 若α+β＝150° 求△MBC +△NDC 的度数；（2）如图1 若BE 与DF 相交于点G △BGD ＝45° 请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2 若α＝β 判断BE 、DF 的位置关系 并说明理由．【答案】（1）150°；（2）β﹣α＝90°；（3）平行 理由见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：（1）在四边形ABCD 中 △BAD +△ABC +△BCD +△ADC ＝360°△△ABC +△ADC ＝360°﹣（α+β）△△MBC +△ABC ＝180° △NDC +△ADC ＝180°△△MBC +△NDC ＝180°﹣△ABC +180°﹣△ADC ＝360°﹣（△ABC +△ADC ）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β △α+β＝150°△△MBC +△NDC ＝150°（2）β﹣α＝90°理由：如图1 连接BD由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBG＝12△MBC△CDG＝12△NDC△△CBG+△CDG＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）在△BCD中在△BCD中△BDC+△DBC＝180°﹣△BCD＝180°﹣β 在△BDG中△BGD＝45°△△GBD+△GDB+△BGD＝180°△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD＝180°△（△CBG+△CDG）+（△BDC+△CDB）+△BGD＝180°△12（α+β）+180°﹣β+45°＝180°△β﹣α＝90°（3）平行理由：如图2 延长BC交DF于H由（1）有△MBC+△NDC＝α+β△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC△△CBE＝12△MBC△CDH＝12△NDC△△CBE+△CDH＝12△MBC+12△NDC＝12（△MBC+△NDC）＝12（α+β）△△BCD＝△CDH+△DHB△△CDH＝△BCD﹣△DHB＝β﹣△DHB△△CBE+β﹣△DHB＝12（α+β）△α＝β△△CBE+β﹣△DHB＝12（β+β）＝β△△CBE＝△DHB△BE△DF．【点睛】此题是三角形综合题主要考查了平角的意义四边形的内角和三角形内角和三角形的外角的性质角平分线的意义用整体代换的思想是解本题的关键整体思想是初中阶段的一种重要思想要多加强训练．类型三综合解答11．如图点M是△ABC两个内角平分线的交点点N是△ABC两外角平分线的交点如果△CMB：△CNB＝3：2 那么△CAB＝_________．【答案】36°【解析】【详解】试题分析：由题意得：△NCM=△MBN=12×180°=90°△可得△CMB+△CNB=180°又△CMB：△CNB=3：2 △△CMB=108°△12（△ACB+△ABC）=180°-△CMB=72°△△CAB=180°-（△ACB+△ABC）=36°．考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．12．如图 在△ABC 中 △ABC △ACB 的平分线交于点O D 是△ACF 与△ABC 平分线的交点 E 是△ABC 的两外角平分线的交点 若△BOC =130° 则△D 的度数为 （ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的定义和平角定义可得△OCD ＝△ACO ＋△ACD ＝90° 根据外角的性质可得BOC OCD D ∠=∠+∠ 继而即可求解．【详解】解：△CO 平分ACB ∠ CD 平分ABC ∠的外角 △12ACO ACB ∠=∠ 12ACD ACF ∠=∠ △180ACB ACF ∠+∠=︒ △()1902OCD ACO ACD ACB ACF ∠=∠+∠=∠+∠=︒ △BOC OCD D ∠=∠+∠△1309040D BOC OCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选择C ．【点睛】本题考查角平分线的定义 平角定义 三角形的外角性质 解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得△OCD＝90° 根据外角的性质求得BOC OCD D∠=∠+∠．13．如图在△ABC中△A=60° BD、CD分别平分△ABC、△ACB M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上BE、CE分别平分△MBC、△BCN BF、CF分别平分△EBC、△ECQ 则△F=________．【答案】15°【解析】【分析】先由BD、CD分别平分△ABC、△ACB得到△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB 在△ABC中根据三角形内角和定理得△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=60° 则根据平角定理得到△MBC+△NCB=300°；再由BE、CE分别平分△MBC、△BCN得△5+△6=12△MBC △1=12△NCB 两式相加得到△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150° 在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出△E=30°；再由BF、CF分别平分△EBC、△ECQ得到△5=△6 △2=△3+△4 根据三角形外角性质得到△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E 利用等量代换得到△2=△5+△F 2△2=2△5+△E再进行等量代换可得到△F=12△E．【详解】解：△BD、CD分别平分△ABC、△ACB △A=60°△△DBC=12△ABC △DCB=12△ACB△△DBC+△DCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=12×（180°-60°）=60°△△MBC+△NCB=360°-60°=300°△BE、CE分别平分△MBC、△BCN△△5+△6=12△MBC △1=12△NCB△△5+△6+△1=12（△NCB+△NCB）=150°△△E=180°-（△5+△6+△1）=180°-150°=30°△BF 、CF 分别平分△EBC 、△ECQ△△5=△6 △2=△3+△4△△3+△4=△5+△F △2+△3+△4=△5+△6+△E即△2=△5+△F 2△2=2△5+△E△2△F=△E △△F=12△E=12×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．14．已知BM 、CN 分别是△1A BC 的两个外角的角平分线 2BA 、2CA 分别是1A BC ∠ 和1A CB ∠的角平分线 如图①；3BA 、3CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的三等分线（即3113A BC A BC ∠=∠ 3113A CB ACB ∠=∠） 如图②；依此画图 n BA 、n CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的n 等分线（即11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n ∠=∠） 且n 为整数． 2n ≥（1）若1A ∠=70︒ 求2A ∠的度数；（2）设1A α∠= 请用α和n 的代数式表示n A ∠的大小 并写出表示的过程；（3）当3n ≥时 请直接写出n MBA ∠+n NCA ∠与n A ∠的数量关系．【答案】（1）02125A ∠=；（2）001=180(180)n A nα∠-- 过程见解析； （3）02()(2)=180n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-∠【解析】【详解】（1）先根据三角形内角和定理求出11A BC A CB ∠+∠ 根据角平分线求出22A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理求出2A ∠即可；（2）先根据三角形内角和定理求出1A BC ∠+1A CB ∠ 根据n 等分线求出n n A BC A CB ∠+∠ 再根据三角形内角和定理得出180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠ 代入求出即可（3） 试题分析：试题解析：（1）1=70A ∠︒1118070110A BC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒ △2BA 、2CA 分别是1A BC ∠和1A CB ∠的角平分线 △221110552A BC A CB ∠+∠=⨯︒=︒ △218055125A ∠=︒-︒=︒.（2）在△1A BC 中 1A BC ∠+1180ACB α∠=︒-11n A BC A BC n ∠=∠ 11n A CB ACB n∠=∠ ()()1111180n n A BC A CB A BC ACB n n α∴∠+∠=∠+∠=︒- 180()n n n A A BC A CB ∠=︒-∠+∠()1180180n A nα∴∠=︒-︒- （3）()()22180.n n n MBA NCA n A n ∠+∠+-⋅∠=︒点睛：本题以三角形为载体主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是180 的性质熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

专题08 内外角平分线问题类型一一内一外求角1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．（1）求∠E的度数；（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行解答即可；（2）根据（1）中的推导过程进行推论即可．【详解】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,∴∠A =2∠E ，∵∠A =40°，∴∠E =20°.（2）∠A =2∠E .理由如下：∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACD =2∠DCE ，由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠DCE =∠E +∠CBE ，∴∠A +∠ABC =2（∠E +∠CBE ）,∴∠A =2∠E ，【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．2．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到12Ð=Ð，34Ð=Ð，再根据三角形外角性质得1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，13D Ð=Ð+Ð，则2123A Ð=Ð+Ð，利用等式的性质得到12D A Ð=Ð，然后把A Ð的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵ABC Ð的平分线与ACE Ð的平分线交于点D ，∴12Ð=Ð，34Ð=Ð，∵ACE A ABCÐ=Ð+Ð，即1234A Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，∴2123AÐ=Ð+Ð，∵13DÐ=Ð+Ð，∴11301522D AÐ=Ð=´°=°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________．【答案】80°.【解析】【详解】试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，然后整理得到∠PCD=12∠A，再代入数据计算即可得解．在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD=12∠ACD，∠PBC=12∠ABC，∴∠P+∠PCB=12（∠A+∠ABC）=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠PCB，∴∠PCD=12∠A，∴∠BPC=40°，∴∠A=2×40°=80°，即∠BAC=80°．考点：三角形内角和定理．4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D 的度数为（）A．90°+12m°-12n°B．90°-12m°+12n°C．90°-12m°-12n°D．不能确定【答案】C【解析】【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=12m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=12∠ACE=()111809022-=-o o o on n在△BCD中，∠DBC=12m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=1902+o o n，∴∠D=1111180DBC BCD=180********æö-Ð-Ð--+=--ç÷èøo o o o o o o o m n m n 故选C.【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.5．如图，在ABC V 中，点D 在边BA 的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点M ，若∠BAC ＝80°，∠AB C ＝40°，则∠M 的大小为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】【分析】先由80,BAC Ð=° 结合角平分线求解,,MAC MAB ÐÐ 再利用角平分线与40,ABC Ð=°求解ABM Ð，利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠BAC=80°，∴100,DAC Ð=°AM Q 平分,DAC Ð150,2MAC DAC \Ð=Ð=° 130,BAM BAC MAC \Ð=Ð+Ð=°Q ∠ABC=40°，BM 平分ABC Ð，∴∠ABM=20°，∴∠M=1802013030,°-°-°=°故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和概念是解题的关键．6．如图，已知BD 为ABC V 中ABC Ð的平分线，CD 为ABC V 的外角ACE Ð的平分线，与BD 交于点D ．若∠ABD =20°，50ACD Ð=°，则A D Ð+Ð=（ ）A ．70°B ．90°C ．80°D ．100°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠DCE 、∠ACE 、∠DBC ，根据三角形外角性质求出∠A 、∠D ，即可求出答案．【详解】解：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于D ，∠ABD =20°，∠ACD =55°，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =20°，∠ACD =∠DCE =12∠ACE =50°，∴∠ABC =40°，∠ACE =100°，∴∠A =∠ACE -∠ABC =60°，∠D =∠DCE -∠DBC =50°-20°=30°，∴∠A +∠D =90°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．7．如图所示，在Rt ABC △中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB 的角平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB=（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【答案】B【解析】【分析】过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作ED BC ^，EH AB ^，EF AC ^，∴BE ，CE 是角平分线，∴ED EH =，ED EF =．∴EH EF =．∵EH AB ^，EF AC ^，∴AE 是BAF Ð的角平分线．∵60CAB Ð=°，∴30CBA Ð=°，60=°∠BAE ，∴75ABE Ð=°，由三角形内角和可得：45AEB Ð=°．故答案为：45．【点评】本题考查的知识点是角平分线性质，综合利用角平分线的性质是解此题的关键．8．如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2，⋯，∠A 3BC 与∠A 3CD 的平分线相交于点A 4，得∠A 4，则∠A 4的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知11118022A A Ð=Ð=´°，212118022A A Ð=Ð=´°，¼，依此类推可知4A Ð的度数【详解】解：ABC ÐQ 与ACD Ð的平分线交于点1A ，11118022A ACD ACB ABC \Ð=°-Ð-Ð-Ð，11180()(180)22ABC A A ABC ABC =°-Ð+Ð-°-Ð-Ð-Ð，11804022A =Ð=´°=°，同理可得，21211802022A A Ð=Ð=´°=°，¼4480521A \Ð=´°=°．故选：A ．【点睛】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．类型二 内外角分线进阶9．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB 的角平分线与∠ABC 的邻补角的平分线相交于点P ，且∠D +∠C ＝210°，则∠P ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】【分析】利用四边形内角和是360°可以求得150DAB ABC Ð+Ð=°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 PAB ABP Ð+Ð的度数，所以根据ABP D 的内角和定理求得P Ð的度数即可．【详解】解：210D C Ð+Ð=°Q ，360DAB ABC C D Ð+Ð+Ð+Ð=°，150DAB ABC \Ð+Ð=°．又DAB ÐQ 的角平分线与ABC Ð的外角平分线相交于点P ，111(180)90()165222PAB ABP DAB ABC ABC DAB ABC \Ð+Ð=Ð+Ð+°-Ð=°+Ð+Ð=°，180()15P PAB ABP \Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．10．如图，在V ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠DOC ＝48°，则∠D ＝_____°．【答案】42【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝12∠ACE ，∵∠ACB +∠ACE ＝180°，∴∠OCD ＝∠ACO +∠ACD ＝12（∠ACB +∠ACE ）＝12×180°＝90°，∵∠DOC ＝48°，∴∠D ＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．【点睛】本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角．11．如图，等腰ABC V 中，顶角42A Ð=°，点E ，F 是内角ABC Ð与外角ACD Ð三等分线的交点，连接EF ，则BFC Ð=_________°．【答案】14【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC 和∠ACB ，再根据三角形外角的性质可求∠ACD ，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC 和∠BCF ，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC ．【详解】解：∵等腰△ABC 中，顶角∠A=42°，∴∠ABC=∠ACB=12×（180°-42°）=69°，∴∠ACD=111°，∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，∴∠FBC=13×69°=23°，∠FCA=23×111°=74°，∴∠BCF=143°，∴∠BFC=180°-23°-143°=14°．故答案为：14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．【答案】 48°， 24°， 96°×1 (2n【解析】【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝96°，∴∠A1＝48°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝2×2∠A2＝96°，∴∠A2＝24°，∴∠A＝2n n AÐ，∴1962nnAæöÐ=°´ç÷èø．故答案为48°，24°，96°×1 ()2n．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数【答案】∠P=25°．【解析】【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．【详解】解：延长ED，BC相交于点G．在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=12（∠DCB-∠CDG）=1 2∠G=12×50°=25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．类型三综合解答14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．【答案】不变，45°【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【详解】解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠4＝12∠ABY＝12（90°+∠OAB）＝45°+12∠OAB，即∠4＝45°+∠1，又∵∠4＝∠C+∠1，∴∠C＝45°．【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.（1）∠DBE 的度数;（2）若∠A=70,求∠D 的度数;（3）若∠A=a ,求∠E 的度数(用含a 的式子表示).【答案】（1）90DBE Ð=°；（2）35D Ð=°；（3）1902E a Ð=°-【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð 再根据平角的定义可得出结论；（2）根据角平分线的定义可得11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð 再根据三角形外角的性质可推出2A D Ð=Ð则可求出∠D 的度数；（3）由第（2）问的结论可知1122D A a Ð=Ð=，再加上第（1）问的结论90DBE Ð=°，则可表示出∠E 的度数.【详解】（1）∵BD 平分ABC Ð，BE 平分,FBC Ð∴11,,22DBC ABC EBC FBC Ð=ÐÐ=Ð∵180ABF Ð=°∴1()902DBE DBC EBC ABC FBC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°（2）∵CD 平分ACG Ð, BD 平分ABCÐ∴11,,22DCG ACG DBC ABC Ð=ÐÐ=Ð∵ACG A ABC Ð=Ð+Ð∴22DCG A DBCÐ=Ð+Ð∵DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴222DCG D DBCÐ=Ð+Ð∴2A DÐ=Ð∴11703522D A Ð=Ð=´°=°（3）由（2）知1122D A a Ð=Ð=∵90DBE Ð=°∴1902E a Ð=°-【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.16．已知，在四边形ABCD 中，∠F 为四边形ABCD 的∠ABC 的平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A ＝α，∠D ＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F ＝____（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F ，且∠F ＝___（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件___时，不存在∠F ．【答案】（1）12（α+β）﹣90°；（2）90°﹣12（α+β）；（3）α+β＝180°．【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．【详解】解：（1）如图：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝12∠DCE，∴∠F+∠FBC＝12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝12（∠A+∠D）+12∠ABC﹣90°，∴∠F＝12（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝12（α+β）﹣90°；（2）如图3，由（1）可知，∠BCD ＝360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ，∴∠DCE ＝180°﹣（360°﹣∠A ﹣∠D ﹣∠ABC ）＝∠A+∠D+∠ABC ﹣180°，∴∠FCE ＝∠F+∠FBC ，∵∠FBC ＝12（360°﹣∠ABC ），∠FCE ＝180°﹣12∠DCE ，∴∠F=∠FCE ﹣∠FBC=180°﹣12（∠A+∠D+∠ABC ﹣180°）﹣12（360°﹣∠ABC ），∴∠F=90°﹣12（∠A+∠D ）∴∠F ＝90°﹣12（α+β）；（3）当α+β＝180°时，∴∠F ＝90°﹣118002´°=，此时∠F 不存在．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．17．如图，90MON Ð=°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，BC 是ABN Ð的平分线，BC 的反方向延长线与BAO Ð的平分线交于点D ．①若60BAO Ð=°，则D Ð为多少度？请说明理由．②猜想：D Ð的度数是否随A 、B 的移动发生变化？请说明理由．（2）如图2，若13ABC ABN Ð=Ð，13BAD BAO Ð=Ð，则D Ð的大小为 度（直接写出结果）；（3）若将“90MON Ð=°”改为“MON a Ð=（0180a °<<°）”，且1ABC ABN n Ð=Ð，1BAD BAO n Ð=Ð，其余条件不变，则D Ð的大小为 度（用含a 、n 的代数式直接表示出米）．【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D 的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3）a n【解析】【分析】（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=12∠ABN=75°、∠BAD=12∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D 度数；②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD 可得答案；（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=n a +β，由∠D=∠ABC-∠BAD 得出答案．【详解】解：（1）①45°∵∠BAO=60°，∠MON=90°，∴∠ABN=150°，∵BC 平分∠ABN 、AD 平分∠BAO ，∴∠CBA=12∠ABN=75°，∠BAD=12∠BAO=30°∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，②∠D 的度数不变．理由是：设∠BAD=α，∵AD 平分∠BAO ，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，∵BC 平分∠ABN ，∴∠ABC=45°+α，∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；（2）设∠BAD=α，∵∠BAD=13∠BAO，∴∠BAO=3α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，∵∠ABC=13∠ABN，∴∠ABC=30°+α，∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；（3）设∠BAD=β，∵∠BAD=1n∠BAO，∴∠BAO=nβ，∵∠AOB=α°，∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，∵∠ABC=1n∠ABN，∴∠ABC=an+β，∴∠D=∠ABC-∠BAD=an+β-β=an.【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．。

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021年中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的角平分线、中线和高（一）一．选择题1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（）A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线2．如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC3．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC 中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD4．下列说法正确的是（）A．在一个三角形中至少有一个直角B．三角形的中线是射线C．三角形的高是线段D．一个三角形的三条高的交点一定在三角形的外部5．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高7．下列叙述中错误的一项是（）A．三角形的中线、角平分线、高都是线段B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D．三角形的三条角平分线都在三角形内部8．下列说法不正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的三条角平分线交于一点D．三角形的三条中线交于一点9．下列各图中，线段CD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．10．如图，∠CBD＝∠AEC＝90°，△ABC中，AB边上的高是线段（）A．BD B．CE C．BE D．CA二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝．12．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为cm．13．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是．14．如图，∠CBD＝∠E＝∠F＝90°，则线段是△ABC中BC边上的高．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 交于H，则∠CHD＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段是△ABC中AC边上的高．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．18．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．20．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？22．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线，故选：B．2．解：∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．3．解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．故选：B．4．解：A、一个三角形的三个内角中最多有一个直角，错误；B、三角形的中线是线段，错误；C、三角形的高是线段，正确；D、锐角三角形的高总在三角形的内部，而直角三角形和钝角三角形则不一定，错误；故选：C．5．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选：B．6．解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．7．解：A、三角形的角平分线、中线、高都是线段，故此选项正确；B、锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的一条高在三角形的内部，两条就是直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部．故此选项正确；C、根据B中的分析，知只有一条高在三角形内部的三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形．故此选项错误；D、根据角平分线的定义，知三角形的三条角平分线都在三角形的内部．故此选项正确．故选：C．8．解：A、三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，错误；B、直角三角形有三条高，正确；C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；D、三角形的三条中线交于一点，正确；故选：A．9．解：线段CD是△ABC的高的是．故选：B．10．解：∵∠AEC＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是线段CE．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵AD为中线，∴BD＝CD，则C△ABD ﹣C△ACD＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝8﹣5＝3，故答案为：3．12．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．13．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，故答案为9．14．解：∵AE⊥BC于E，∴△ABC中BC边上的高是AE．故答案为：AE．15．解：延长CH交AB于点H，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．16．解：∵BE⊥AC，∴△ABC中AC边上的高是BE．故答案为：BE三．解答题（共7小题）17．解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF．图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，＝BC•AD∴S△ABC＝×16cm×7cm＝56cm2．答：△ABC的面积是56cm2．18．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；＝BC•AD＝4×4＝8．（3）S△ABC∴△ABE的面积＝S＝4，△ABC故答案为：4．19．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．20．解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即，解得：，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．21．解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED ＝S△ABC＝×60＝15；∵BD＝5，∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，即点E到BC边的距离为6．22．解：（1）∵，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝8cm．∵AD是BC边上的中线，∴．（2）不能，理由如下：∵，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15＜AB＝18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．23．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

解三角形专题------角平分线与三角形4心秒杀秘籍一：张角定理在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，连接AD ，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则一定有ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+，（证明：等积法） 【例1】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC=120°，BD△BC 交AC 于点D ，且BD=1，则2a +c 的最小值为 .【例2】在在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知点D 在BC 边上，AD△AC ，sin△BAC=322，AB=23，AD=3，则CD 的长为【例3】（2015年全国课标卷II ）在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分△BAC ，△ABD 的面积是△ACD 面积的2倍.（1）求CBsin sin 的值；（2）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.秒杀秘籍二：角平分线张角定理，当βα=时， ①)(21cos c AD b AD +=α（角平分线张角定理） ②ααtan sin )(212AD c b AD S ABC ≥+=∆（角平分线面积） 证明：αααααααtan sin 2sin 2sin sin )(21sin )11(212sin 21∆∆==≥+=+⋅==S AD S AD bc AD c b AD AD c b bc bc S 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b cosC=a ,点M 在线段AB 上，且△ACM=△BCM ，若b=6CM=6，则cos△BCM=（ ）46.47.43.410.D C B A 【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，△ABC 的平分线交AC 于点D ，BD=1，则a +c 的最小值为 .【例6】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，32π=∠ABC ，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 的面积的最小值为（ ）36.35.34.33.D C B A秒杀秘籍3：角平分线之斯库顿定理如图，AD 是△ABC 的角平分线，则DC BD AC AB AD ⋅-⋅=2.就其位置关系而言：中方=上积-下积 求证：AC AB DC BD AD ⋅=⋅+2,,~ACAEAD AB ADC ABE =∴∆∆ 即,)(,AC AB DE AD AD AC AB AE AD ⋅=+⋅∴⋅=⋅证毕注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题.【例7】在△ABC 中，AB=5，AC=7，BC=6，△A 的平分线AD 交BC 于点D ，则AD= . 【例8】在△ABC 中，△C=2△B ，AC=3，BC=5，求AB 之长. 秒杀秘籍4：角平分线之倍角定理)(2);(2);(2222b c c a C A a b b c B C c a a b A B +=⇔=+=⇔=+=⇔=，这样的三角形称为“倍角三角形”【例9】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（ ）2524.257.257.257.D C B A ±-【例10】设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=1，A=2C ，则△ABC 周长的取值范围为（ ）]33,22.()33,22.()33,0.()22,0.(++++++D C B A【例11】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若bc b a +=22且)2,3(ππ∈A ，则ba的取值范围是 .【12】如图，四边形ABCD 中，CE 平分△ACD ，AE=CE=32，DE=3，若△ABC=△ACD ，则四边形ABCD 周长的最大值为（ ）3315.318.3312.24.++D C B A例1、设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为_______例2、若点O 在ABC ∆的内部，且053=++OB OC OA ，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是________. 例3、若点O 在ABC ∆的内部，且02 =++OC m OB OA ，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________. 例4、（2016清华大学自主招生）若点O 在ABC ∆的内部，2:3:4::=∆∆∆AOC BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=，则实数λ=_____，μ=_____.例5、已知ABC Δ的外接圆的圆心为O ，且60∠=A ，若)∈β,α(βαR AC AB AO +=，则βα+的最大值是 能力提升1、已知ABC ∆中，I 为内心，,4,3,2===AB BC AC 且AC y AB x AI +=,则，则y x +的值为______ .2、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC PA ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是_______.3、在ABC ∆中，H BC AC AB ,2,3,4===为ABC ∆的垂心，AC y AB x AH +=，则xy=______. 4、已知G 是ABC ∆的重心，点N M ,分别在边AC AB ,上，满足AN y AM x AG +=,1=+y x ，若,43AB AM =则ABC ∆和AMN ∆的面积之比是____________.5、正三角形ABC 内一点M ，满足CB n CA m CM +=，45=∠MCA ，则nm=______________. 6、已知ABC ∆的外接圆O 的半径为1，且BC BA BO μλ+=，若60=∠ABC ，则μλ+的最大值是________. 7、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3π=∠A ，且OC y OB x OA +=，则y x -2的取值范围是_______________.三角形的四“心”，四“线”① 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.② P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．③ 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．④ 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。

专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=核心技巧4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯二、典型例题例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D .（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长.第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论解答过程：根据余弦定理，，即，解得利用第(1)问结论由（1）知∴，得，；在与中，根据余弦定理得，且解得，即的长为．例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD .第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式解答过程：由（1）知，由角平分线面积公式∴，∴．代入数据计算例题3．在ABC 中，3,AB =4,BC =线段BD 是B ∠的角平分线，且 6.ABDS =求BCD S △.思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系解答过程：平分由，代入代入例题4．在ABC中，D是BC的中点，1AB=，2AC=，32 AD=．（1）ABC的面积为________．（2）若AE为BAC∠的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为________．第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式解答过程：由可得即，从而.代入，计算例题5．在△ABC 中， AM 是BAC ∠的角平分线， 且交BC 于M . 已知23,2,3AM BM MC ===， 则AC = __________；思路点拨：在中，是的角平分线， 且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系解答过程：由是的角平分线，又，得，设，则因为，则，利用余弦定理代入得：，整理得，解得或（舍）.所以.利用角互补关系（不适合面积公式）三、题型归类练1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知ABC 中，AD 为角平分线，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =（ ）A ．127B ．157C ．7D ．72．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则4b c +的最小值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．183．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin a A c C b c B =+-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3AD c b ==，则a 的值为（ ）A ．72BC ．3D4．在ABC 中，CD 是ACB ∠的角平分线且4,||AB AD AD ==若||3CD =，则CDA ∠=__________，ABC的面积为__________．5．在ABC 中，60A ∠=，∠A 的角平分线与BC 边相交于D ．AD =BC =AB 边的长度为___．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，AD ＝2，且AD 平分∠BAC ，求△ABC 的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR 中，点M 在边QR 上，且PM 为∠QPR 的内角平分线，有PQ QMPR MR=．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=． (1)求C ；(2)若a ，b 为方程210200x x -+=的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求CD ．8．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BD 为∠ABC 的角平分线．(1)求证：::AD AB CD CB =；(2)若2BD =且26c a ==，求△ABC 的面积．9．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++. (1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD 是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC 的面积为(1)求A 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若4c =，求BD 的长．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a =1b =，c =M 是BC 上的点． （1）若AM 是BAC ∠的角平分线，求BMCM的值； （2）若AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在AC 边上，BD 为ABC ∠的角平分线．32ABC ABD S S =△△．(1)求sin sin CA∠∠； (2)若BD b =，求cos ABC ∠的大小．。