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化归转化思想

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化归转化思想

提要

化归转化是数学解题的⼀种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。初中数学⾥，运⽤化归转化的数学思想处理问题的例⼦⽐⽐皆是。例如，通过去分母把分式⽅程转化为整式⽅程求解，通过将把⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解，通过消元把三元⼀次⽅程组或⼆元⼀次⽅程组转化为⼀元⽅程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭⽰了解题的本质。

知识全解

⼀、化归转化思想的概念

在解答某⼀个难以⼊⼿或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，⽽将原题转化为另⼀个⽐较熟悉、⽐较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的⽬的，这就是解答数学题的化归转化思想。

化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。当我们遇到⼀个较难解决的问题时，不是直接解原题⽬，⽽是将题进⾏转化，转化为⼀个已经解决的或⽐较容易解决的数学题，从⽽使原题得到解决。

⼆、解题策略

应⽤转化思想要注意以下⼏点：①转化后的问题要⽐原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是⼰知数学的问题，这样才有利于应⽤已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解⽅程时要防⽌转化后出现增根或失根等。

在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建⽴起实质性的联系。只有这样才能合理，快速，准确地进⾏转化“巧妙”才能显得⾃然。

经典例题

类型1 ⾼次向低次的转化

类型2 多元转化为⼀元

例2 若x:y:z=1:2:3,且3x+4y-5z=16,则x-3y+2z的值是多少？

【解析】设x=k，则y=2k,z=3k，代⼊3x+4y-5z=16得3k+8k-15k=16,解得k=4。

从⽽x= -4，y=-8，z=-12

∴x-3y+2z= -4-3×(-8)+2×(-12)= -4

【点评】解决有关连⽐的问题时，常见的思路是设其中的⼀份为k,然后⽤k替换题⽬中的未知数，从⽽把多元问题转化为⼀元问题获得解答，

类型3特殊与⼀般的转化

例3 如图（1）所⽰，正⽅形OCDE的边长为1，阴影部分的⾯积记作S1；如图（2）最⼤圆半径r=1，阴影部分的⾯积记作S2，则S1___S2(⽤“>”,“<”或“=”填空)

【解析】把图(1)中的阴影部分沿对⾓线OD对折，则两个阴影拼在⼀起组成矩形ACDF,因为正⽅形OCDE的边长为1，所以正⽅形的对⾓线长√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在⼀起组成1/4圆，故S2=π/4。所有S1

【点评】本题通过将图形（或部分）进⾏旋转或翻折，使图形特殊或图形的位置特殊，进⽽简捷求解．

类型4 分散转化为集中

例4 如图所⽰，在反⽐例函数，y=2/x(x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1、2、3、4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的⾯积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=____【解析】由题意及图象可知，3个阴影长⽅形的长都为1，设P1(1，y1)，P2(2,y2),P3（3，y3），P4(4，y4),代⼊y=2/x(x>0)可求得y1=2,y2=1，y3=2/3,y4=1/2，所以S1+S2+S3=1×(y1-y4)=1×(2-1/2)=3/2

【点评】本题考查了反⽐例函数的图象和性质，把分散的带阴影的⼏何图形集中起来，问题便迎刃⽽解了。

真题演练

例1 利⽤化归转化思想求⽴体图形表⾯两点间的最短距离问题

如左图所⽰，圆柱形容器⾼18cm．底⾯周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有⼀滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____cm

【点评】本题考查圆柱的侧⾯展开图，轴对称以及勾股定理的应⽤。关键是在长⽅形上找出蚂蚁⾏⾛的路径，通过“化曲⾯为平⾯”，据“两点之间线段最短”得出最短路径，然后构造出直⾓三⾓形，利⽤勾股定理进⾏解决。

例2 利⽤化归转化思想求圆中阴影部分⾯积问题

如图所⽰，菱形ABCD的边长为2，∠A=60度，以点B为圆⼼的圆与AD,DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E,F，则图中阴影部分的⾯积为（）A．√3+π/2 B．√3+π C．√3-π/2 D.2√3+π/2

【点评】求圆中阴影部分的⾯积⼀般都通过转化，将不规则的阴影部分转化为规则图形的⾯积和（或差）．

例3利⽤化归转化思想解决动态问题

如图1所⽰，形如量⾓器的半圆O的半径OE=3cm，形如三⾓板的△ABC中∠ABC=90度，AB=BC=6cm，△ABC以2cm/s的速度从左向右匀速运动（点B运动到E点时，运动停⽌），在运动过程中，点A、B始终在直线DE上，设运动时间为t (s)，当t=0时，△ABC在半圆O的左侧，BD=1cm。

【解析】(1)由题意可得：BO=4cm,t =4/2=2 (s)(2)如图2所⽰，设AC切半圆O于点H，连接OH,则OH⊥AC

∵∠A=45度，∴AO=√2OH=3√2(cm)

∴AD=AO-DO=3√2 -3 (cm)

(3)如图3所⽰，连接EF.

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD

∵DE为直径，

∴∠ODF+∠DEF=90度，∠DEC=∠DEF+∠CEF=90度

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG

⼜∵∠ FCG=∠ECF,

∴△CFG∽△CEF，∴CF/CG=CE/CF

【点评】解决动态问题的⼀般思路是“动静转化---动中取静，以静制动”。

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化归与转化的思想方法

化归与转化的思想方法

1 化归与转化的思想方法

随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重

培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。化归作为重要的数学思想方法，

在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心

及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。

一、历史背景

化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通

过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了

这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”

对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，

但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又

应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”

但是更让人出乎意料的答案出现了。数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。”

一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。

二、化归与转化的含义

在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。例如，笛卡尔曾经

提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数

问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。由于求解方程的问题被认为是已经能解决的

（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。显然

他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟

可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。事实上，笛卡尔创立解

析几何学，正是这种重要成果的生动体现。

化归法的一般模式，其形式如下图[4]

：

化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或

者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和

导数应用中的化归与转化思想

导数应用中的化归与转化思想

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导数应用中的化归与转化思想

作者：李文生

来源：《新课程·中学》2015年第06期

在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是数学知识和方法产生的根本源泉，对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效地应用数学知识，探寻解题方向.

数学对象的内部或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，针对面临的数学问题，实施或转化问题的条件，或转化问题的结论或转化问题的内在结构，或转化问题的外部表现形式等行动策略去解决有关的数学问题，能促进问题的解决，可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.

在应用导数解决问题的过程中，对于一时难以解决的问题，可运用转化与化归思想经过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题化归为一类已经能解决或者比较容易解决的问题.而导数综合问题的主要类型有：

（1）不等式的恒成立问题；（2）证明不等式问题；（3）方程的求解问题.

通常，应用化归与转化思想解决导数的综合问题时有一个基本的解题思路，即：将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.

为了完成上述转化，要把握两个关键：（1）针对问题的需要，合理地构造函数，找到问题转化的突破口；（2）通过“再构造、再求导”，实现问题的深度转化.

下面通过具体例题，对上述两个关键进行一些探究.

点评：一次函数、二次函数、指对数函数、幂函数、简单的分式根式函数、绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化、明确化.

转化与化归思想

转化与化归思想

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转化与化归思想

作者：黄桂林

来源：《数学金刊·高考版》2014年第04期

大家都熟悉曹冲称象的故事，把大象的重量转化为石头的重量以称出大象的重量.两千多年前，幼小的曹冲就有这样惊人的智慧，怎不叫人称赞.这个故事启发我们在现实生活中遇事要多动脑筋，经常锻炼自己的思维能力，使人变得越来越聪明.同时它也体现了数学中的一种重要的数学思想方法——转化与化归.

解题常用的转化策略有：正与反的转化、空间与平面的转化、命题之间的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、函数与方程的转化等.因此，有关转化与化归的数学命题在高考试题中占有重要位置.

在数学中，存在着许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程.

浅谈化归与转化的数学思想

浅谈化归与转化的数学思想

1 浅谈化归与转化的数学思想

众所周知，在复杂的数学问题，都是由以下简单的命题复合而成或通过适当的演化而成的，如果我们学会了将复杂的数学问题化解为简单的基本问题，我们就能解决任何困难的、复杂的以及能够化解为初等数学题的“杂题”，因此我们总的解题策略是化归，即设法将我们待解决的或未解决的问题，通过某种转化，归结到一类已经解决或容易解决的问题中去，最终将问题给予圆满解答的一种手段和方法叫化归法。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。而数学科的考试，是按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力。所以，历年高考均十分重视考查数学思想方法，把对数学思想方法的考查融合在对“三基”的检测和能力的考核之中。

化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关数学问题，是提高思维能力的有效保证，那么，我们应该如何在平时解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步提高解题能力呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。