初中奥数-专题一(实数)

专题一 实数

第一讲 数的整除（一）

一、内容提要：

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.

一些数的整除特征

除 数 能被整除的数的特征

2或5 末位数能被2或5整除

4或25 末两位数能被4或25整除

8或125 末三位数能被8或125整除

3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)

11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除

(如143,1859,1287,908270等)

7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)

能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）

又如7007

700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）

能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100－1＝99（能11整除）

又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

二、例题

例1已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被9整除。

求x,y

例2己知五位数x1234能被12整除，求X

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数

三、练习

1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296

2 若四位数a987能被3整除，那么 a=_______________

3 若五位数3412X能被11整除，那么 X＝__________-

4 当 m=_________时，535m能被25整除

5 当 n=__________时，n9610能被7整除

6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________

8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：

6________,8__________,9_________,11__________

9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？

11 己知五位数A1234能被15整除，试求A的值。

12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）

第二讲 数的整除（二）

一、内容提要

在第一讲部分的我们介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.

几个常用的定理，公式，法则：

⑴ n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.

例如：a为整数时，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， ……

⑵ 若a　b 且ac, 则 a(bc).

⑶ 若a, b互质，且ac, bc ， 则abc .

反过来也成立：a, b互质， abc， 则ac, bc.

例如：8和15互质，8｜a, 15|a， 则120｜a.

反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a, 15|a.

⑷由乘法公式（n为正整数）推得：

由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 得 (a－b)|(an－bn).

(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).

(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n . (a+b)|(a2n－b2n).

概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.

齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.

例如（a+b）| (a6－b6), (a－b)| (a8－b8)；

(a+b)|(a5+b5)， (a－b)|(a5－b5).

二、例题

例1. 已知:整数n>2. 求证：n5－5n3+4n能被120整除..

例2. 已知：n为正整数. 求证：n3+23n2+21n是3的倍数.

例3. 求证：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.

例4 设n是正整数， 求证：7｜（32n+1+2n+2）.

例5. 已知8719xy能被33整除，求x, y的值.

例6.设N＝782x，且17｜N, 求 x..

三、练习

1. 要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5 n－1）, 则整数n应取＿＿＿.

2. 求证：

① 4!|（n4+2n3－n2－2n）； ② 24｜n(n2－1)(3n+2)；

③ 6｜（n3+11n）； ④ 30｜（n 5－n）.

3. 求证： ① 100｜9910－1）； ② 57｜（23333＋72222）；

③ 995｜（996996－994994）； ④ 1992｜（997997＋995995）.

4. 设n是正整数，求证 3 n+3n+2+62n能被33整除.

5. 求证：六位数abcabc能被7，11，13，整除.

6. 已知：五位数983xy能被77整除，求x, y的值.

7. 已知：a, b, c都是正整数，且6｜（a+b+c）.

求证：6｜（a3+b3+c3）.

第三讲 数的整除（三）

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．

1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．

关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．

性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．

性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．

性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．

性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．

性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．

性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．

性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．

性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．

2．证明整除的基本方法 证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．

例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．

例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．

q＞1．求pq的值．

例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．

例5 设n是奇数，求证：

60｜6n-3n-2n-1．

例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．

例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．

例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．

例10 设p，q均为自然数，且

求证：29｜p．

练习题

1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．

2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．

3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：

7｜(9x＋5y)．

4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．

5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．

6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．

7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．

第四讲 倍数 约数

一、内容提要

1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。

3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7在有余数的除法中，

被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作：