逻辑代数的运算法则

幂的运算法则

1、同底数幂的乘法aaanmnm，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。在考试过程中通常需要用其逆运算aaannmm，即当在运算中出现指数相加时，我们往往将其拆分成同底数幂相乘的形式。

2、同底数幂的除法aaanmn-m，即同底数幂相除，底数不变，指数相减。在考试过程中通常需要用其逆运算aaannm-m，即当在运算中出现指数相减时，我们往往将其拆分成同底数幂相除的形式。

3、幂的乘方aamnm)(n，即当出现内、外指数（m是内指数，n是外指数）时，底数不变，指数相乘。在考试过程中通常需要用其逆运算)()(nmnaaammn，这时注意：具体用何种拆法要根据题目给出的是am还是am的形式。常在比较两个幂的大小等题目中出现。而在比较幂的大小类题目中，常用方法是转化为同底数幂或者同指数幂的形式。

如：（1）、化同指数比较。比较3275100与的大小，观察可以发现，底数2与3之间不存在乘方关系，因此，我们将其转化为同指数的幂进行比较，1622225254251004，273332525325753，因为27＞16，所以16272525＞，即2310075＞

（2）化同底数比较。比较934589与观察可以发现，底数9与3之间存在着乘方关系即392，因此，对于这样的题，我们将其转化为同底数幂进行比较，33399045224545，而90＞89，∴338990＞即398945＞。

规律小结：在幂的大小比较中，底数之间存在乘方关系时，化为同底数幂，比较指数大小；底数之间不存在乘方关系时，化为同指数幂，比较底数大小。

当转化为同底数幂比较时，若底数大于1，则指数越大，数就越大；若0＜底数＜1，则指数越大，数就越小。

当转化为同指数幂进行比较时，底数大的数大。

4、积的乘方baabmmm即，在乘方中当底数是乘积的形式时，其结果为这两个因式乘方的积。其逆运算为：abbammm即在计算幂的乘法时，如果两个幂的指数相同或者相近时，我们将其底数相乘后再乘方。

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逻辑代数及其运算法则

1.逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数，它是分析与设计逻辑电路的数学工具。它虽然和普

通代数一样也是用字母表示变量，但变量的取值只有“0”和“1”两种，分别称

为逻辑“0”和逻辑“1”。这里的“0”和“1”不再表示数量的大小，而是代表

两种相互对立的逻辑状态。逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系，这

是它与普通代数本质上的区别。

在逻辑代数中只有“与”运算（逻辑乘）、“或”运算（逻辑加）和“非”运算（求

反）三种基本运算。根据三种基本逻辑运算可以导出逻辑运算的一些法则。

2.逻辑代数运算法则

(1) 常量与变量的关系

自等律 AA0

AA1

0-1律 AA1 00A

互补律

1AA

0AA

重叠律 AAA

AAA

还原律

AA

(2) 逻辑代数的基本运算法则

交换律 ABBA

ABBA

结合律 )()(CBACBA

)()(CBACBA

分配律 CABACBA)(

)()()(CABACBA

证：

BCABCCBABCCBAABCACABAACABA

)1()()()(

反演律（摩根定律）

BABA

证：

A

B A

B

BA

BA

0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

BABA

2

证：

A

B

A

B

BA

BA

0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

(3) 简化逻辑函数常用公式

(1)ABAA

(2)ABAA)(

证：ABAABAABAABAA)1()(

(3)ABBAA)(

(4)BABAA

证：BAABABAA )(AABA

)(AABA

BA

(5)ABAAB (6)ABABA)()( 证：AAABBAABBBAABAABABA)()()(

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：aa)()(。

2）分配律：aa)(，baba)(。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba••。

2）)()()(babababa•••。

3）cbcacba•••)(。

（3）平面向量的基本定理。

21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。

（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba•，数量积ba•等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。

2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。

3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a•b＝1212()xxyy。

（6）两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。

（7）平面两点间的距离公式：

,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：

1）a||bb＝a12210xyxy。

2）ab （a0） a·b＝012120xxyy。

（9）线段的定比分公式：

设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则

一、加法

1、加法的意义：将两个或者两个以上的数、量合并成一个数、量的计算叫加法。（如：a+b=c）

2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a

3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 (a+b)+c=a+(b+c)

二、减法

1、减法的意义：

从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法。

2、减法结合律：

一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。a-b-c=a-（b+c）

3、减法的性质：

减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)

减去一个数再加上一个数，等于减去这两个数的差。a-b+c=a+(c-b)

三、乘法

1、乘法的意义：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

2、乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba

3、乘法结合律：

三个数相乘，可以先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

(ab)c=a(bc)

分配律

分配律是乘法运算的一种简便运算，可用于分数、小数中。

主要公式为(a+b)c=ac+bc。两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，积不变，这叫做乘法分配律。

分配律的反用：

35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700

四、除法

1、除法的意义：

已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。

2、除法的性质：

商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，（0除外），商不变。

连续除去两个数，等于除去这两个数的积。a÷b÷c=a÷（b×c）

五、分数

分数乘整数的计算法则

整数和分子相乘的积作分子，分母不变。

分数乘分数的计算法则

分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母。

分数除法的计算法则

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

分数乘法的意义

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。