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北京市海淀区区2012年初三一模试卷 数 学 2012. 5一、选择题8.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）A.B. C. D.二、填空题12.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。
点1A 、2A 、3A ，…和1B 、2B 、3B ，…分别在直线y kx b =+和x 轴上。
已知1(1C ，1)-，27(2C ，3)2-，则点3A 的坐标是________；点n A 的坐标是___________________. . 22.小明遇到这样一个问题：如图1，ABO 和CDO BOC 的面积为1，试求以AD ，BC ，OC OD +的长度为三边长的三角形的面积.图1 图2小明是这样思考的，要解决这上问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。
他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使OE CO =，连接BE ，可证OBE OAD≌，从而得到BCE即是以AD ，BC ，OC OD +的长度为三边长的三角形（如图2）.请你回答：图中BCE 的面积等于_______.请你尝试用平移，旋转，翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG ，FH ，ID .（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若ABC 的面积为1，则以EG ，FH ，ID 的长度为三边长的三角形面积等于_______.EOODBA DCBA HGFEDIC BA3图五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的方程2(31)30m mx x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线2(31)3y m x mx +++=与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点1(P x ，1)y 与点1(Q x n +，2)y 在（2）中抛物线上（点P 、Q 不重合），若12y y =，求代数式22114516812n x n x n ++++的值.24.在ABCD中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP .（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.图1图2ABCDEFNPP NMFEDBA25.已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B . （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点(3B ，6)，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S = ，求点M 的坐标；（3）如图2，若P 在第一象限，且PA PO =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探索四边形OABC 的形状，并说明理由.图1图2北京市西城区2012年初三一模试卷 数 学 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是A ．16B ．18C ．19D ．208．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6-C ．2，6D ．2-，6 二、填空题12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别 为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′． 请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）一、选择题（8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是AB C D 二、填空题12. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．22. 在ABC △中，AB 、BC 、AC小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △（0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C .(1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y x 交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN N M M K ++和的最小值.北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题 8．已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别为a x =1，b x =2（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中，当0<y 时，x 的取值范围是A ．a x <B ．b x >C ．b x a <<D ．a x <或b x >二、填空题（第12题） 12．如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）． 22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=22的图象如图②所示. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？图②五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分） 23. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．y （万元）（吨）O y （千元） A图① 图②24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标； （3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．C B AD北京市丰台区2011-2012学年度第二学期初三综合练习（一）8．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点 （点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）12．在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．22．将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三 角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD 中，分别取AD 、AB 、CD 的中点P 、E 、 F ，并沿直线PE 、PF 剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD 的顶点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD 剪拼后得到等腰三角形△PMN ，点P 在边AD 上（不与点A 、D 重合），点M 、N 在x 轴上（点M 在N 的左边）．如果点D 的坐标为(5,8)，直线PM 的解析式为=y kx b +，则所有满足条件的k 的值为 ．图一 图二 图三图四 备用五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=.EPC’A DBCP E FDA P E F DA B C（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．CB AEMM EABC点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是 ；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm ，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：关于x 的方程()()01342=---+m x m x 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；图① 图② 图③图②（2）抛物线C ：()()1342-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点．若1-≤m 且直线1l :12--=x my 经过点A ,求抛物线C 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，直线1l :12--=x my 绕着点A 旋转得到直线2l ：b kx y +=，设直线2l 与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点M （M 不与点A 重合），当23≤AD MA 时，求k 的取值范围．24．（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形， AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD 与AD 所在直线交于点E ．①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当︒<∠<︒A 0时，上述结论成立；当︒<∠≤︒180A 时，上述结论不成立．M D BA CEADC25．已知二次函数)34()22(22-+++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它的图像与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD=AC （D 在线段AB 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD 的面积．顺义区2012届初三第一次统一练习一、选择题8．如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，60A∠=︒，AC=2，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且30CDE∠=︒．设AD=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是二、填空题12．如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．(结果都保留π)22．问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DF∥AC交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DFCE的面积S=，△DBF的面积1S=，△ADE的面积2S=．探究发现（2）在（1）中，若BF a=，FC b=，DＧ与BC间的距离为h．直接写出2S=（用含S、1S的代数式表示）．拓展迁移（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为4、8、1，试利用．．（2．）中的结论．．．．求□DEFG的面积，直接写出结果．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程032)1(2=+++-kkxxk．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程2(4)10y a k y a+-++=的整数根（a为正整数）．OABD24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A’，点B 的对应点为B’，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P ，使'OA P △的面积与四边形AA ’B ’B 的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．图1D EBCA。
顺义区2012届初三第一次统一练习 数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．4；10．25()x x y -； 11．11.4； 12， 2)π+，π． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13()12cos303-︒+--1213⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭……………………………………………… 4分 113=+ 43= …………………………………………………………………… 5分 14．解： 221x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②，得 33x =．1x =． …………………………………………………… 2分 把1x =代入①，得 12y +=．1y =． ………………………………………………………… 4分 ∴原方程组的解为 1,1.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 5分15．证明：∵AB=AC ，∴B C ∠=∠． …………………………………………………………… 1分 在△ABD 和△ACE 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE ．……………………………………………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………………………………………………… 4分∴∠ADE =∠AED ． ……………………………………………………… 5分16．解：6931x x x x -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2693x x x x x -+-=÷ …………………………………………………… 2分 2(3)3x xx x -=-3x =- ……………………………………………………………………… 4分当2012x =时，原式=201232009-=．…………………………………… 5分17．解：（1）∵点(4,)A m 在反比例函数4y x=（0x >）的图象上， ∴414m ==． …………………………………………………………… 1分 ∴(4,1)A ．将(4,1)A 代入一次函数y x b =-+中，得 5b =．∴一次函数的解析式为5y x =-+． …………………………………… 2分（2）由题意，得 (0,5)B ， ∴5OB =．设P 点的横坐标为P x ．∵OBP △的面积为5， ∴1552p x ⨯=．…………………………………………………………… 3分 ∴2P x =±．∴点P 的坐标为（2，3）或（-2，7）． ………………………………… 5分 18．解：设A 户型的每户窗户改造费用为x 元，则B 户型的每户窗户改造费用为(500)x -元． ……………………………… 1分 根据题意，列方程得5400004800005x x =-． 解得 4500x =．经检验，4500x =是原方程的解，且符合题意．…………………………… 4分 ∴5004000x -=．答：A 户型的每户窗户改造费用为4500元，B 户型的每户窗户改造费用为4000 元．…………………………………… 5分MF EDCBAFE DCO BA四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵在□ABCD 中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，∴∠D=60°，CD=AB=4，AD ∥BC ． ……………………………… 1分 ∴∠DAC=45°． 过点C 作CM ⊥AD 于M ， 在Rt △CDM 中，sin 4sin 6023CM CD D ==︒=cos 4cos602DM CD D ==︒=．………………………………… 2分在Rt △ACM中，∵∠MAC=45°， ∴AM CM==∴2AD AM DM =+=．…………………………………… 3分∵EF ⊥AD ，CM ⊥AD ， ∴EF ∥CM ．∴12EF CM ==在Rt △AEF 中，AF EF ==4分∴22DF AD AF =-=-=．……………………… 5分20．（1）证明：连结OD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．∴∠BDC =1302ABD ∠=︒． ∵OD=OB ，∴△ODB 是等边三角形． ∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°． 即OD ⊥DC ．∴CD 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 2分（2）解：∵OF ∥AD ，∠ADB=90°，∴OF ⊥BD ，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分∴112DE BE BD ===． 在Rt △OEB中，OB=2BE=2，OE ==．………… 4分 ∵OD=OB=2，∠C=∠ABD -∠BDC =30°，∠DOF=30°， ∴CD =tan 30DF OD =︒=∴CF CD DF =-== ……………………………5分21．解：（1）此次共调查了100名学生． …………………………………………………1分（2）填表：…………………………………………………3分（3）补全统计图如下：到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图．…………………………………………………………………………5分22．解：（1）四边形DFCE 的面积S = 6 ，△DBF 的面积1S = 6 ，△ADE 的面积2S = 32 ． …………………………………… 3分（2）2S = 214S S （用含S 、1S 的代数式表示）． ………… 4分 （3）□DEFG 的面积为12． ………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）△=244(1)(3)k k k --+=2244812k k k --+=812k -+ ……………………………………………………………… 1分∵方程有两个不相等的实数根， ∴10,0.k -≠⎧⎨∆>⎩ 即 10,8120.k k -≠⎧⎨-+>⎩∴k 的取值范围是32k <且1k ≠． …………………………………… 3分 （2）当方程有两个相等的实数根时，△=812k -+=0．∴32k =． ………………………………………………………………… 4分 ∴关于y 的方程为2(6)10y a y a +-++=．∴2'(6)4(1)a a ∆=--+2123644a a a =-+--21632a a =-+2(8)32a =--．由a 为正整数，当2(8)32a --是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设22(8)32a m --=（其中m 为整数），32p q =（p 、q 均为整数）， ∴22(8)32a m --=．即(8)(8)32a m a m -+--=．不妨设8,8.a m p a m q -+=⎧⎨--=⎩两式相加，得 162p q a ++=．∵(8)a m -+与(8)a m --的奇偶性相同，∴32可分解为216⨯，48⨯，(2)(16)-⨯-，(4)(8)-⨯-， ∴18p q +=或12或18-或12-．∴17a =或14或1-（不合题意，舍去）或2．当17a =时，方程的两根为1172y -±=，即12y =-，29y =-．…… 5分 当14a =时，方程的两根为822y -±=，即13y =-，25y =-．…… 6分当2a =时， 方程的两根为422y ±=，即13y =，21y =． ………… 7分24．解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3），∴1680,3.m m n n -+=⎧⎨=⎩ ∴3,83.m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：233384y x x =--+．………………………… 2分 （2）令3y =，得2333384x x --+=，得10x =，22x =-， ∵抛物线向右平移后仍经过点B ，∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分∵233384y x x =--+ 233(21)388x x =-++++2327(1)88x =-++． ………… 4分∴平移后的抛物线解析式为2327(1)88y x =--+． …………………… 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得'(2,0)A -，'(2,3)B ．∴四边形AA ’B ’B 为平行四边形，其面积'236AA OB ==⨯=．设P 点的纵坐标为P y ，由'OA P △的面积=6， ∴1'62P OA y =，即1262P y ⨯= ∴6P y =， 6P y =±．………………………………………………… 6分当6P y =时，方程2327(1)688x --+=无实根， 当6P y =-时，方程2327(1)688x --+=-的解为16x =，24x =-．∴点P 的坐标为(6,6)-或(4,6)--．……………………………… 7分25．解：（1）完成画图如图2，由BAC ∠的度数为 60°，点E 落在 AB 的中点处 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系 为 BE=DE ；…………… 3分（2）完成画图如图3．猜想：BE DE =．证明：取AB 的中点F ，连结EF ．∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴160∠=︒，12CF AF AB ==． ∴△ACF 是等边三角形．∴AC AF =． ① …… 4分∵△ADE 是等边三角形，∴260∠=︒， AD AE =． ②∴12∠=∠． ∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠．即CAD FAE ∠=∠．③ ………………………………………… 5分 由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． …………………………… 6分 ∴90ACD AFE ∠=∠=︒． ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线．∴BE=AE . ……………………………………………………… 7分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .∴BE DE =． …………………………………………………… 8分EAB C (D )图221F EDB C A图3。
2012年东城区初三一模试卷数学卷一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．计算：2＝( )A ．-1B ． 3C ．3D ．52．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为( ) A ．316710⨯ B ．416.710⨯ C ．51.6710⨯ D ．60.16710⨯3．已知，如图，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B ＝20°，∠D ＝40°，那么∠BOD 为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4．因式分解()219x --的结果是( )A ．()()24x x +-B ．()()81x x ++C ．()()24x x -+D ．()()108x x -+5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是( ) A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，AC 是弦，AC＝AOC 为( ) A ．120° B ．130° C ．140°D ．150°8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且A CB OACEAE ＝BF ，EF 与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是( )二、填空题(本题共16分，每小题4分) 9．函数y =自变量的取值范围是__________． 10．如图，点P 在双曲线(0)ky k x=≠上，点(12)P '，与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为．11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B ，C，0)，过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM ＝MN ，则点M 的坐标为______________．12．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算：1024sin60(-︒-．1 23 4 5 2)，DCBA14．（1）解不等式：112x x >+；（2）解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩15．已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，． （1）求过A B ，两点的直线解析式； （2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．16．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC＝30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）求证：AC ＝EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．17．先化简：2313(1)2349223x x x x ÷⋅++--；若结果等于23，求出相应x 的值．18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐A DEF x献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班有学生多少人？ （2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元． （1）填表(不需要化简)（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？20．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，∠C ＝60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD ′)与AB 交于一点E ，MC (即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．C'CBM21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ，垂足为点H ．时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价(元) 80 ▲ 40 销售量(件) 200 ▲ ▲（1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．22．已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m ＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，探索m 的取值范围． （1）如图2，当E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四边中点时，m ＝________．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD 为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m 的取值范围．①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形；②m 的取值范围是__________．H GF ECDBA 图1图2H GF E CD BA 图3ABDCE FGH五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0．（1）求证：不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设a ＜0，当二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象与x出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△PABP 点坐标，若不存在请说明理由．24．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠B ＝∠DAC ＝45°．（1）如图1，当∠C ＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________A AA（2）如图2，若BD ＝2，BAAD 的长及△ACD 的面积．图1CD BA图2AB D C25．巳知二次函数y ＝a (x 2－6x ＋8)(a ＞0)的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG 位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．2012年北京市东城区初三一模试卷参考答案1．A ．2．C ．3．C ．4．A ．5．C ．6．A ．7．A ．8．C ．9．x ≥3．10．2y x -=．11．(5 4 ，3 4 )12．12；6．13．解：原式＝1412+-＝12-．14．（1）解：112x x ->，112x >，所以2x >．（2）21x y =⎧⎨=⎩15．（1）23y x =+；（2）设P 点坐标为()0x ，，依题意得3x =±，所以P 点坐标分别为()()123030P P -，，，． 1132733224ABP S ∆⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，213933224ABP S ∆⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以ABP ∆的面积为274或94． 17．原式＝(23)(23)1233)233223x x x x x x +--+⋅⋅⋅+-＝23x ；由23x ＝23，可，解得x19．（1）80－x ，200＋10x ，800－200－(200＋10x )；（2）根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9000．整理，得x 2－20x ＋100＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝10， 当x ＝10时，80－x ＝70＞50． 答：第二个月的单价应是70元． 20．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ，于点P ，过点A 作AQ ⊥BC于点Q ，∵∠C ＝∠B ＝60° ∴CP ＝BQ ＝12AB ，CP ＋BQ ＝AB ，又∵ADPQ 是矩形，AD ＝PQ ， 故BC ＝2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM ＝CM ＝AD ＝AB ＝CD ，即△MDC 中，CM ＝CD ，∠C ＝60°， 故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形， △MAB ，△MAD 和△MC ′D ′是等边三角形，∠BMA ＝∠BME ＋∠AME ＝60°，∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝60°， ∴∠BME ＝∠AMF ，在△BME 与△AMF 中，BM ＝AM ，∠EBM ＝∠FAM ＝60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )，∴BE ＝AF ，ME ＝MF ，AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB ，∵∠EMF ＝∠DMC ＝60°，故△EMF 是等边三角形，EF ＝MF ，∵MF 的最小值为点M 到ADEF △AEF 的周长＝AE ＋AF ＋EF ＝AB ＋EF ， △AEF 的周长的最小值为2PQCM B答：存在，△AEF 的周长的最小值为221．（1）连结CE ，过程略；（2）∵3AB =，4BC =．由（1）知，90ABC ∠=，∴5AC =．在ABM △中，AD BM ⊥于H ，AD 平分BAC ∠， ∴3AM AB ==，∴2CM =．由CME △∽BCE △，得12EC MC EB CB ==． ∴2EB EC =，∴BE =22．（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，20≤m ＜28．23．解：（1）因为△＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，所以不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设x 1、x 2是y ＝x 2＋ax ＋a －2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－a ，x 1•x 2＝a －2，因两交所以|x 1－x 2|(x 1－x 2)2＝13变形为：(x 1＋x 2)－4x 1•x 2＝13所以：(－a )2－4(a －2)＝13 整理得：(a －5)(a ＋1)＝0解方程得：a ＝5或－1 又因为：a ＜0，所以：a ＝－1所以：此二次函数的解析式为y ＝x 2－x －3．（3）设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为函数图象与x所以：ABS △PAB ＝12AB •|y 0|即：|y 0|＝3，则y 0＝±3当y 0＝3时，x 02－x 0－3＝3，即(x 0－3)(x 0＋2)＝0 解此方程得：x 0＝－2或3当y 0＝－2时，x 02－x 0－3＝－3，即x 0(x 0－1)＝0 解此方程得：x 0＝0或1综上所述，所以存在这样的P 点，P 点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)． 24．（1）AB ＝AC 或AD ＝BD ＝CD ；H GF E C D B A（2）AD1，S △ACD提示：过点A 作AE ⊥BC ，可以求出AD 的长．过D 作平行线或过C 作垂线，可以利用两次相似求面积． ECDB AFABDC25．解：（1）令y ＝0，由2(68)0a x x -+=解得122,4x x ==；令x ＝0，解得y ＝8a ．∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a )， 该抛物线对称轴为直线x ＝3． ∴OA ＝2．如图①，设抛物线对称轴与x 轴交点为M ，则AM ＝1． 由题意得：2O A OA '==．∴2O A AM '=，∴∠O ′AM ＝60°．∴OC AO ==8a =．∴a =（2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论同样成立． (Ⅰ)如图②，设点P 是边EF 上的任意一点(不与点E 重合)，连接PM ．∵点E (4，4)、F (4，3)与点B (4，0)在一直线上，点C 在y 轴上， ∴PB <4，PC ≥4，∴PC >PB ． 又PD >PM >PB ，PA >PM >PB ， ∴PB ≠PA ，PB ≠PC ，PB ≠PD ．∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． (Ⅱ)设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合)， ∵点F 的坐标是(4，3)，点G 的坐标是(5，3)． ∴FB ＝3，GB =3≤PB∵PC ≥4，∴PC >PB ．GCDBA图①(图②)（3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A 、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上， ∴PA ＝PB ．∴当PC ＝PD 时，线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． ∵点C 的坐标是(0，8a )，点D 的坐标是(3，－a )． 点P 的坐标是(3，t )，∴PC 2＝32＋(t －8a )2，PD 2＝(t ＋a )2． 整理得7a 2－2ta ＋1＝0，∴Δ＝4t 2－28．∵t 是一个常数且t >3，∴Δ＝4t 2－28>0∴方程7a 2－2ta ＋1＝0有两个不相等的实数根27t t a ==． 显然0a =>，满足题意．∵当t 是一个大于3的常数,存在一个正数a =，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形．(图③)。
AE DCBAOCA B东城区2011—2012学年第一学期期末统一检测 初三数学试题 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是A ．（2，1）B ．（-2，-1）C ．（-2，1）D ．（2，-1）2．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD =5，BD =10，DE =4，则BC 的值为A.8B.9C.10D.12 4.下列事件中，属于必然事件的是A. 随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上B. 打开电视任选一频道，正在播放北京新闻C. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D. 某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 的 度数为A ．116°B ．58°C ．42°D ．32°6．已知x =1是方程x 2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为A. -2B. -1C. 1D. 2 7. 如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B '，则图中阴影部分的面积为A .6πB .5πC .4πD .3π8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数2c b yx-=在同一坐标系内的图象大致为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ． 10. 将抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．Q PNMOCBADCBA 12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O 任意旋转．当12O A O B =时, OPOQ的值为 ；当1O A O Bn =时，OPOQ的值为 .(用含n 的式子表示)三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程： . 14．已知排水管的截面为如图所示的圆O ,半径为10，圆心O 到水面的距离是6，求水面宽A B .15D 在边AB 上，满足且∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.17.2(2) 当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3) 若A （m ,y 1）,B (m +2, y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12?y y >18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A 、标杆顶端F 、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC =1米，CD =5米，请你根据所给出的数据求树高ED .四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m 2，请你计算AB 的长度（可利用的围墙长度超过6m ）． 22410x x --=20. 如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作C D P A ⊥，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 . （1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
![[数学]2012年北京各城区中考一模数学试题汇编](https://uimg.taocdn.com/e0e170791ed9ad51f01df2f2.webp)
2012年北京各城区一模试题汇编第8题汇总：1.（12海淀一模）2.（12西城一模）对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6- C.2,6 D ．2-，63.（12丰台一模）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．E PC’A DBCA 、CA第8题图D7.（12延庆一模） 将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的A ．面CDHEB ．面BCEFC ．面ABFGD ．面ADHG8.(12房山一模) 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =30°，∠B =60°，AD ＝32，CD =2，点P 是线段AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB 于P ，交其它边于Q ，设BP 为x ，△BPQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．xy 6312O xy 6312O A Bxy 6312O xy 6312O C D9.（12密云一模）在正方体的表面上画有如图⑴中所示的粗线，图⑵是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将 图⑴中剩余两个面中的粗线画入图⑵中，画法正确的是10.（12通州一模）如图，在平行四边形ABCD中，AC = 4，BD = 6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能大致反映y与x之间关系的图象为（）A B C D11.(12顺义一模)12.（12东城一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是A B C D13.（12朝阳一模）已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别为a x =1，b x =2（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中，当0<y 时，x 的取值范围是 A ．a x < B ．b x > C ．b x a << D ．a x <或b x >第12题汇总：1.（12海淀一模）2.（12西城一模）如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．3.（12丰台一模）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．ADCB4.（12石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第4行中的最后一个数是 ，第n 行中共有 个数， 第n 行的第n 个数是 ．5.（12昌平一模）己知□ABCD 中，AD =6，点E 在直线AD 上，且DE ＝3，连结BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM= ．6.（12平谷一模）abc 是一个三位的自然数，已知195abc ab a --=，这个三位数是_____________；聪明的小亮在解决这种问题时，采取列成连减竖式的方法（见右图）确定要求的自然数，请你仿照小亮的作法，解决这种问题.如果abcd 是一个四位的自然数，且2993abcd abc ab a ---=那么，这个四位数是_____________．7.(12延庆一模) 将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定（m,n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（7,3）所表示的数是 ；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排8.（12房山一模）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，BC = 8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A 1C 1= ,A n C n ＝ ．9.（12密云一模）在∠A （0°＜∠A ＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB 、AC 上，如图所示，从点A 1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1条线段．设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1，则∠A = ；若记线段A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数），如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2，则此时a 2= ，a n = （用含n 的式子表示）．10.（12通州一模）已知如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，若△ABC 的边长为1，则△BAE 的面积是 .四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，则△FAC 的面积是 .……如果两个正多边形ABCDE …和BPKGY …是正n (n ≥3)边形，正多边形ABCDE …的边长是2a ，则△KCA 的面积是 .（结果用含有a 、n 的代数式表示）ABCA 1A 2A 3A 4A 5 C 1 23 4 5 12题图第12题图E11.（12顺义一模）12.（12东城一模） 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．13.（12朝阳一模）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．第22题汇总： 1.（12海淀一模）A2.（12西城一模）阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中∠BPC的度数为；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A=132，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．图1 图3CB A D3.(12丰台一模) 将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼 成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD 中，分别取AD 、AB 、CD 的中点P 、E 、F ，并沿直线PE 、PF 剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD 的顶点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD 剪拼后得到等腰三角形△PMN ，点P 在边AD 上（不与点A 、D 重合），点M 、N 在x 轴上（点M 在N 的左边）．如果点D 的坐标为(5,8)，直线PM 的解析式为=y kx b ，则所有满足条件的k 的值为 ．图1 图2 图3图4 备用P E FDAPE FD A4.（12石景山一模）生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中．（1）将，若将展开，展开后的平面图形是 ；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm ，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．5.（12昌平一模） 问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．图① 图② 图③图3图2图1A DCBABCDD CBA图1图26.（12平谷一模）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或边CD （含端点）交于点F .然后再展开铺平，则以B E F 、、为顶点的BEF △称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF △”一定是一个________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，，当它的“折痕BEF △”的顶点E 位于边AD 的中点时，画出这个“折痕BEF △”，并求出点F 的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，.当点F 在OC 上时，在图③中画出该矩形中面积最大的“折痕BEF △”，并直接写出这个最大面积.7.（12延庆一模）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=4，DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD 的长.图3小红是这样想的：作△ABC 的外接圆⊙O ，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O 点作OE ⊥BC 于E ，作OF ⊥AD 于F ，在Rt △BOC 中可以求出⊙O 半径及 OE ，在Rt △AOF 中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF 得以解决此题。
东城区第二学期初三综合练习（一）数学试题学校 班级 姓名 考号考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。
其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是A ．424.510⨯ B ．52.4510⨯ C ．62.4510⨯ D ．60.24510⨯ 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ． 棱柱4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的中位数和众数分别是分数 50 60 70 80 90 100 人数 12813144A ． 70,80B ． 70,90C ． 80,90D ． 80,1005． 在六张卡片上分别写有1π,, 1.5,3,0,23-六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是 A ．16B ．13C ． 12D ． 236．正五边形的每个外角等于A. 36︒B. 60︒C. 72︒D. 108︒ 7．如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，过点C 作O e 的切线交AB 的 延长线于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是A. 20︒ B ．25︒C ．40︒D ．50︒8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y （单位：千米）与行驶时间t （单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为 A. 43.5 B. 50 C. 56 D. 589. 如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线 ，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B,AB=4.则直线AB 与ON 之间的距离是 A. 3 B.2 C.3 D.410.如图1，ABC△和DEF△都是等腰直角三角形，其中90C EDF∠=∠=︒，点A与点D重合，点E在AB上，4AB=，2DE=.如图2，ABC△保持不动，DEF△沿着线段AB从点A 向点B移动，当点D与点B重合时停止移动.设AD x=，DEF△与ABC△重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：224mx my-=．12．计算8272+3+-的结果为．13. 关于x的一元二次方程230x x m+-=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米分档水量户年用水量（立方米）水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0-180（含） 5.00 2.071.57 1.36第二阶梯181-260（含）7.00 4.07第三阶梯260以上9.00 6.07某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费图1图241.52.24元.15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．16．在平面直角坐标系xOy 中，记直线1y x =+为l .点1A 是直线l 与y 轴的交点，以1A O 为 边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形.则点4B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =．求证：DC AB ∥．ODBC18. 计算：()11336043-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭π.第15题图 第16题图19．解不等式组：() 2131, 54.2x xxx--⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜20．先化简，再求值：222442111a a aa a a-+-+÷+--，其中1a=．21．列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线ky x=经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD 的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查名学生；（2）请把条形图（图1）补充完整；（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．⊥，弦CD与OB交于点F，过点,D A分别作⊙O的25. 如图,在⊙O中，AB为直径，OC AB切线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E．∠=∠;（1）求证：12OF OB=，⊙O的半径为3，求AG的长．（2）已知：:1:3F26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;请回答：AF 与BE 的数量关系是 .(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求AFBE的值. G BF EO DCA图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.28. 已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.ABC图1 图2 图329．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）数学试题参考答案及评分标准 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分()()1118.36043134415-⎛⎫-︒+-+- ⎪⎝⎭=-+=-L L L L 解：π分分19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩①②＞解：5＜2，2x 由①得，＜， …………2分 1x -由②得，＞， …………4分所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分()()()22224421112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷+----=+⋅++---=+++=+L L L 20.解：分当21a =时，2-12-122-112=+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分 根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A-，∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴12OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线ky x=经过点C ， ∴2k =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2y x=-上， ∴点D 的纵坐标为12. …………4分∴BOD S △11141222OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. …………3分（2）解：作CFAB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴25AC BC CF x AB ⋅==.∵1522CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分 答：一共调查了200名学生；（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； 补全条形图如图； …………3分 （3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：60200×360°=108°； …………4分 （4）1500×30200=225（名）． …………5分答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD ，如图.∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径， ∴OD DE ⊥.∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.F∵OC OD =， ∴C ODC ∠=∠. ∴290C ∠+∠=︒. 而OC OB ⊥，∴390C ∠+∠=︒. ∴23∠=∠.∵13∠=∠， ∴12∠=∠. …………2分（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3， ∴1OF =. ∵12∠=∠， ∴EF ED =.在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+. ∵222OD DE OE +=，∴()22231x x +=+，解得4x =.∴4DE =，5OE =.∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线， ∴AG AE ⊥，GA GD =. ∴90GAE ∠=︒.在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+. ∵222AGAE GE +=.∴()22284t t +=+，解得，6t =. ∴6AG =. -------------------5分26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）3AFBE=． …………2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒, ∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒. ∴90FAO AFO ∠+∠=︒. ∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒． ∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分∴AF AOBE OB=. ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AO OB =︒=.∴AF BE= …………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分 28.解:(1)当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，BD A A '⊥仍然成立；------------3分 （3）猜想BD A A '⊥仍然成立.证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒. ∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠. 在AEC △和A FC ''△中，图2图190,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△. ∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△. ∴AD A D '=. ∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形. ∴BD A A '⊥------------7分29．解：（1）∵20x ≥， ∴2x -1≥-1. ∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分 (2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2,∴()2111x k k -+--≥. ∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥. ┉┉5分 (3) 37m -≤≤. ┉┉8分。
东城区2012-2013学年第一学期期末统一检测初三数学试题参考答案及评分标准 2013.1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 解方程：2316x x -= ． 解：移项，得2361x x -= ． ………………..1分 二次项系数化为1，得 2123x x -= ． ………………..2分 配方 24(1)3x -= ． ………………..4分 由此可得11x =21x = ………………..5分 14. 解：根据题意，由勾股定理可知222BC BO CO =+.∴ 5BC =cm. ………………..2分∴ 圆锥形漏斗的侧面积=15OB BC ππ⋅⋅= cm 2 ． ………………..5分 15．解：△ABC 和△DEF 相似． ………………..1分由勾股定理，得AB =AC =BC =5，DE =4，DF =2，EF = ………………..3分22AB AC BC DE DF EF ==== ………………..4分∴△ABC ∽△DEF ． ………………..5分 16．（1）………………..3分（2）………………..5分17．解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程(m -2)x 2 + 2mx + m +3 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 20m -≠，即2m ≠. ………………..1分 又 ∵ 2(2)4(2)(3)4(6)m m m m ∆=--+=--， ∴ 0∆>即4(6)0m -->．解得 6m <．∴ m 的取值范围是6m <且m ≠ -2． ………………..2分(2)在6m <且m ≠ -2的范围内，最大整数m 为5． ………………..3分 此时，方程化为231080x x ++=．∴ 方程的根为 12x =-， 243x =- ． ………………..5分18．解： ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ ∠B +∠D =180°． ………………..1分 ∵ 四边形OABC 为平行四边形，∴ ∠AOC =∠B ． ………………..2分 又由题意可知 ∠AOC =2∠D ．∴可求∠D=60°．………………..3分连结OD，可得AO=OD，CO=OD．∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC．………………..4分∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°．………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）20．解：（1）证明：如图，连接OB．∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．∵ OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．又∵PO＝PO，∴△P AO≌△PBO．∴∠P AO＝∠PBO＝90°．∴直线P A为⊙O的切线．………………..2分（2）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝12BC＝3．设AD＝x．∵AD∶FD=1∶2，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．∴AD＝4，OA＝2x－3＝5．即⊙O的半径的长5．………………..5分21. 解：（1）三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：………………..2分由树状图可知垃圾投放正确的概率为3193=；………………..3分 （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为40024001001003=++. ………………..5分 22. 解：（1）当280≤<x 时，80=V . ………………..1分当18828≤<x 时，设b kx V +=，由图象可知，⎩⎨⎧+=+=.1880,2880b k b k解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=.94,21b k∴ 当18828≤<x 时，9421+-=x V . ………………..3分 （2）根据题意，得211-+94-9422P Vx x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=()21--9444182x +.答：当车流密度x 为94辆/千米时，车流量P 最大，为4418辆/时. …………..5分 23. 解：（1） 二次函数的对称轴方程为1x =，由二次函数的图象可知二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与x 轴的交点坐标为(0,0),(2,0)，于是得到方程组3,420.a b a b +=-⎧⎨+=⎩ ……………………………………..2分解方程得3,6.a b =⎧⎨=-⎩二次函数的解析式为 236y x =-. ……………………………………..3分 （2）由（1）得二次函数解析式为236y x =-．依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和53，由此可得交点坐标为(1,3)-和55(,)33-． …………………………..4分将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx n =+中，得 355 .33k n k n +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得 2 5k n =⎧⎨=-⎩，．∴ 一次函数的解析式为25y x =-． ……………………………..6分 （3）3. ……………………………………………..7分 24．解：（1）∵ ∠BAC =90°，AB =AC =2，∴ ∠B =∠C，BC =又∵FEB FED DEB EQC C ∠=∠+∠=∠+∠,DEF C ∠=∠, ∴ ∠DEB =∠EQC . ∴ △BPE ∽△CEQ ． ∴BP CE BE CQ=． 设BP 为x ，CQ 为y ， ∴y =． ∴ 2y x=． 自变量x 的取值范围是0＜x ＜1． ……………………………..3分（2）解：∵ ∠AEF =∠B =∠C ,且∠AQE ＞∠C ,∴ ∠AQE ＞∠AEF . ∴ AE ≠AQ .当AE =EQ 时，可证△ABE ≌ECQ . ∴ CE =AB =2 .∴ BE =BC -EC=2.当AQ =EQ 时，可知∠QAE =∠QEA =45°. ∴ AE ⊥BC .∴ 点E 是BC 的中点.∴ BE综上，在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能成等腰三角形，此时BE 的长为2 或……………………………..7分25．解：（1） 抛物线22(1)6y x m x m =---+-与y 轴交于点B （0 , 3），∴ 26 3.m -= ∴ 3.m =±抛物线的顶点在第二象限，∴ 3.m =∴ 抛物线的解析式为223y x x =--+. ………2分（2）猜想：CD AC ⊥. ………3分证明如下：A （-3 , 0），B （0 , 3），C （-1 , 4），∴ AB AC BC ===∴ 222AB BC AC +=. ∴ 90ABC ∠=︒.∴ 90CAB ACB ∠+∠=︒.又CAB DCB ∠=∠ , ∴ 90DCB ACB ∠+∠=︒. ∴ CD AC ⊥. ………4分 （3）当0＜t ≤32时，如图， EF 交AB于点Q ，GF 交AC 于点N ，过N 做MP //F E 交x 轴于P 点，交BF 的延长线点M ， BF 的延长线交AC 于点K ． 由△AGN ∽△KFN ，得AG PNKF MN=，即332t PNPNt =--. 解得PN ＝2t ．∴231113=33(3)232222FGE QAE AGN S S S S t t t t t ∆∆∆--=⨯⨯---⨯=-+阴影.当32＜t ≤3时，如图， EF 交AB 于点N ，交AC 于点M ,BF 交AC 于点P ． 由△AME ∽△PMF ，得AE MEPF MF =． 即3332t ME ME t -=--． 解得ME ＝2(3－t )．∴221119=(3)2(3)(3)32222MAE NAE S S S t t t t t ∆∆-=⨯-⨯---=-+阴影. 综上所述：S ＝22333 0),221933 (3).222t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤( ………………………………………….8分。
一、选择题（每题4分，共40分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）A. 0和1B. 1和-1C. 0和-1D. 0和2答案：A解析：因为0的平方是0，1的平方是1，所以这个数是0和1。
2. 下列哪个数是负数？（）A. -5B. 5C. 0D. 3答案：A解析：负数是小于0的数，所以-5是负数。
3. 下列哪个图形是正方形？（）A. 长方形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形答案：D解析：正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形，所以正方形是正方形。
4. 下列哪个数是偶数？（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：偶数是2的倍数，所以8是偶数。
5. 下列哪个数是质数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：质数是只能被1和它本身整除的数，所以5是质数。
6. 下列哪个数是合数？（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C解析：合数是除了1和它本身外，还能被其他数整除的数，所以6是合数。
7. 下列哪个图形是圆？（）A. 矩形B. 正方形C. 圆D. 三角形答案：C解析：圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合，所以圆是圆。
8. 下列哪个数是正数？（）A. -5B. 0C. 5D. -3答案：C解析：正数是大于0的数，所以5是正数。
9. 下列哪个数是整数？（）A. 3.14B. 5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：整数是没有小数部分的数，所以6是整数。
10. 下列哪个数是实数？（）A. 3.14B. -5.5C. 6D. 2.5答案：C解析：实数包括有理数和无理数，所以6是实数。
二、填空题（每题5分，共50分）11. 5的平方根是________。
答案：±√5解析：5的平方根是±√5，因为(±√5)²=5。
12. 下列数的倒数是：1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10、1/11。
答案：1/2、2/3、3/4、4/5、5/6、6/7、7/8、8/9、9/10、10/11解析：一个数的倒数是它的分子和分母互换位置后的分数，所以答案如上所示。
一、选择题1. 答案：A解析：由题意得，x-2>0，解得x>2。
2. 答案：C解析：三角形ABC为等边三角形，故AB=BC=AC，所以S△ABC=√3/4×AC²。
3. 答案：D解析：由题意得，a²+b²=c²，故a²+c²=b²，即三角形ABC为直角三角形。
4. 答案：B解析：由题意得，x²-2x-3=0，分解因式得(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1。
5. 答案：A解析：由题意得，2x+3y=7，3x-2y=1，联立方程组得x=2，y=1。
二、填空题6. 答案：-2解析：由题意得，x²-4x+4=0，分解因式得(x-2)²=0，解得x=2。
7. 答案：3解析：由题意得，a+b=3，ab=2，根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，得a²+b²=(a+b)²-2ab=3²-2×2=5。
8. 答案：12解析：由题意得，(x+3)(x-2)=0，解得x=-3或x=2，当x=-3时，y=5；当x=2时，y=-1。
9. 答案：-5解析：由题意得，2(x-1)-3(x+2)=0，解得x=-5。
10. 答案：4解析：由题意得，(2x+1)²-4x-1=0，展开得4x²+4x+1-4x-1=0，化简得4x²=0，解得x=0。
三、解答题11. 解答：（1）过点A作AB⊥y轴于点B，连接CD，由题意得，AB=CD，∠ADB=∠CDB=90°，故四边形ABCD为矩形。
（2）由题意得，AC=2AD，故∠CAD=∠DCA，又∠CAD=∠BAC，故∠DCA=∠BAC，∠ABC=∠ACB，故三角形ABC为等腰三角形。
（3）由题意得，AB=AC，故BC=AB+AC=2AB，即BC=2x，所以x=2。
14．北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷2012．5学校 班级 姓名 考号考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.15-的相反数是 A. 5 B. 15 C. 15- D. -52.根据国家财政部公布的2011年全国公共财政收入情况的数据显示，全国财政收入103 740亿元，这是我国年度财政收入首次突破10万亿. 将103 740用科学记数法表示应为 A. 10.374×104B. 0.10374×105C. 1.0374×105D. 1.0374×1063．如图，已知//,,33AB CD BC ABE C BED ∠∠=︒∠平分，则 的度数是 A.16︒ B. 33︒ C. 49︒ D. 66︒4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B ∠︒，则平行四边形ABCD 的面积为A. 2B. 3C. 33D. 65. 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 极差6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 等于A. 116°B. 64°C. 58°D. 32° 7. 甲盒子中有编号为1，2，3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4，5，6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为A ．94B ．95C ．32D ．97 8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式512422x x ->+的解集为________________. 10. 分解因式：214x y xy y -+ =________________.11. 若把代数式242x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k = . 12. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：01124tan 60(2)3--︒--+．14. 解分式方程312212x x x -=++．15．先化简，再求值：已知2320x x --=，求代数式(1)(1)(23)x x x x +---的值. 16. 如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ∆≌DEF ∆，还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明．17. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数．18.列方程或方程组解应用题:食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ， 且EF =EC ．（1）求证：CD =AE ；（2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG的长．20. 为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ； （2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中，估计有多少人体能达标？21. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：CE =CF ； （2）若sin B =35，求DF ∶CF 的值．22. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.14．北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案2012．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 45 6 7 8 答 案 B C DBA DC C二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 9 1011 12 答 案x ＞321()2y x -42三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解: 原式1234313=--+………………4分 2233=--. ………………5分 14．（本小题满分5分） 解：312212x x x -=++去分母得 321x x -=+ ………………3分 解得 23x =. ………………4分 经检验：23x =是原方程的解. 所以 原方程的解是23x =. ………………5分 15．（本小题满分5分）解：原式=(1)(1)(23)x x x x +---=22123x x x --+ ………………2分 =231x x -+-. ………………3分∵ 2320x x --=，∴ 232x x -=. ………………4分 ∴原式=-3 . ………………5分 16．（本小题满分5分）解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分证明：∵ BF EC =， ∴ BF CF EC CF -=-.即 BC EF = . -------2分 在△ABC 和△DEF 中，,12,,AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△DEF . --------5分17．（本小题满分5分） 解：(1) 由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分∵ OAC △的面积为4，∴1242n n ⨯=. ∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴ 2,4.k b =-⎧⎨=-⎩…………………………4分∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--.∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. ………………………5分18．（本小题满分5分）解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100-x ）瓶.…………………………2分 依题意，得 2x +3(100-x )=270 . …………………………3分 解得 x =30， 100-x =70 . …………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶.…………………………………1分 依题意，得 10023270.x y x y +=⎧⎨+=⎩，…………………………………3分解得 30,70.x y =⎧⎨=⎩ …………………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分） 解：（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴ ∠AEF =∠ECD ． …………………………1分 又∠FAE =∠EDC =90°，EF =EC ，∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ．∴ AE =CD ． …………………………2分（2）∵ AD =AE +4，∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴ 2（AE +AE +4）=32． ．解得 AE =6． …………………………3分∴ AF =4，BF =2.由AD ∥BC 可证 △AEF ∽△BGF ．…………………………4分 ∴2AE AFBG BF==． ∴ BG =3.∴ CG =13. …………………………5分20.（本小题满分5分）解：(1) 50，5； …………………………2分 (2) 如图所示：…………………………3分(3) 252)501041(350=+-⨯ . 答：估计有252人体能达标. ………………………………5分21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ BC 是直径，∴ ∠ADC =90°.∴∠1+∠3=90°. ………………1分∵ CA 是圆的切线， ∴ ∠ACB =90°.∴∠2+∠4=90°. ………………2分∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2. ∴ ∠3=∠4. ∵ ∠3=∠5， ∴ ∠4=∠5.∴ CE =CF . ………………3分（2）过点E 作EG ⊥AB 于点G . ………………4分 ∴ EG =EC ，CD ∥EG .∴ EG = CF .∴DF ADEG AG =. 又易证 AG =AC . ∴DF ADFC AC=. 又可证 ∠ACD =∠B . ∴DF ∶CF 的值为35. ………………5分 22．（本小题满分5分） 解：（1）ABC △的面积为72； …………………… 1分（2）ABC △的面积为252a ；…………………………3分（3）图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++ =2(21)m +∵ 2(21)m +≥0，∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. ………………3分 由题意得 312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分 解得173m <<. ………………5分 （3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<. ……………7分24. （本小题满分7分）解：（1）EF =2． ……………1分（2）EF =BF ． ……………2分证明： ∵ ∠BAP=∠BAE -∠EAP=60°-∠EAP ，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP ，∴ ∠BAP=∠EAQ ．在△ABP 和△AEQ 中，AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ，∴ △ABP ≌△AEQ ．∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．∴ ∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．又∵ ∠EBF =90°-60°=30°，∴EF =BF ． ……………4分(3) 在图1中，过点F 作FD ⊥BE 于点D ．∵ △ABE 是等边三角形,∴ BE=AB=32．由（2）得 =∠EBF 30°，在Rt△BDF 中，3BD = ．∴ BF=2cos30BG =︒． ∴ EF =2 ．∵ △ABP ≌△AEQ , ∴ QE=BP=x ．∴ QF =QE ＋EF 2x =+．∴ 以QF 为边的等边三角形的面积y=2233(2)3344x x x +=++ ．…7分25．（本小题满分8分）解:(1) ∵ 点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴ 30,29330.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得 3,33.2b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ∴ 二次函数解析式为2333322y x x =--. ……………2分（2）可求点C 的坐标为（1，23-）∴ 点D 的坐标为（1，23）.可求 直线AD 的解析式为 33y x =+ .由题意可求 直线BK 的解析式为333y x =-.∵ 直线l 的解析式为3333y x =+,∴ 可求出点K 的坐标为(5,23).易求 4AB BK KD DA ==== .∴ 四边形ABKD 是菱形.∵ 菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，3 ） . ……………5分(3) ∵ 点D 、B 关于直线AK 对称,∴ DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点.过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q ,∴ KP ⊥AD .∵ AK 是∠DAB 的角平分线,∴ 23KF KQ PQ ===.∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵ BK ∥AD ,∴ 90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8. ……………8分。
北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）13．（本小题满分5分）解: 原式113=+………………4分23=- . ………………5分14．（本小题满分5分） 解：312212x x x -=++去分母得 321x x -=+ ………………3分解得 23x =. ………………4分经检验：23x =是原方程的解.所以 原方程的解是23x =. ………………5分15．（本小题满分5分）解：原式=(1)(1)(23)x x x x +---=22123x x x --+ ………………2分 =231x x -+-. ………………3分∵ 2320x x --=，∴ 232x x -=. ………………4分 ∴原式=-3 . ………………5分 16．（本小题满分5分）解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分证明：∵ B F E C =， ∴ B F C F E C C F -=-.即 B C E F = . -------2分 在△ABC 和△DEF 中， ,12,,AC D F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△DEF . --------5分17．（本小题满分5分） 解：(1) 由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分∵ O A C △的面积为4， ∴1242n n ⨯= .∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴ 2,4.k b =-⎧⎨=-⎩…………………………4分∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--.∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. ………………………5分 18．（本小题满分5分）解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100-x ）瓶.…………………………2分 依题意，得 2x +3(100-x )=270 . …………………………3分 解得 x =30， 100-x =70 . …………………………4分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶.…………………………………1分 依题意，得 10023270.x y x y +=⎧⎨+=⎩， …………………………………3分解得 30,70.x y =⎧⎨=⎩ …………………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）解：（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴ ∠AEF =∠ECD ． …………………………1分 又∠F AE =∠EDC =90°，EF =EC ，∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ．∴ AE =CD ． …………………………2分（2）∵ AD =AE +4，∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ，∴ 2（AE +AE +4）=32． ． 解得 AE =6． …………………………3分∴ AF =4，BF =2.由AD ∥BC 可证 △AEF ∽△BGF ．…………………………4分 ∴2A E A F B GB F==．∴ BG =3.∴ CG =13. …………………………5分20.（本小题满分5分）解：(1) 50，5； …………………………2分 (2) 如图所示：…………………………3分(3) 252)501041(350=+-⨯ .答：估计有252人体能达标. ………………………………5分21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ BC 是直径，∴ ∠ADC =90°.∴∠1+∠3=90°. ………………1分∵ CA 是圆的切线， ∴ ∠ACB =90°.∴∠2+∠4=90°. ………………2分∵ AE 平分∠BAC ， ∴ ∠1=∠2.∴ ∠3=∠4. ∵ ∠3=∠5， ∴ ∠4=∠5.∴ CE =CF . ………………3分（2）过点E 作EG ⊥AB 于点G . ………………4分 ∴ EG =EC ，CD ∥EG .∴ EG = CF .∴D F A DE GA G=.又易证 AG =AC . ∴D F A D F CA C=.又可证 ∠ACD =∠B . ∴D F ∶C F 的值为35. ………………5分22．（本小题满分5分） 解：（1）A B C △的面积为72； …………………… 1分（2）A B C △的面积为252a ；…………………………3分（3）图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++=2(21)m +∵ 2(21)m +≥0，∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. ………………3分 由题意得 312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分 解得 173m <<. ………………5分（3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<. ……………7分24. （本小题满分7分）解：（1）EF =2． ……………1分（2）EF =BF ． ……………2分证明： ∵ ∠BAP=∠BAE -∠EAP=60°-∠EAP ，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP ，∴ ∠BAP=∠EAQ ． 在△ABP 和△AEQ 中，AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ， ∴ △ABP ≌△AEQ ．∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．∴ ∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．又∵ ∠EBF =90°-60°=30°，∴EF =BF ． ……………4分(3) 在图1中，过点F 作FD ⊥BE 于点D ． ∵ △ABE 是等边三角形, ∴ BE=AB=32．由（2）得 =∠EBF 30°，在Rt △BDF 中，BD =．∴ BF=2cos 30B G =︒．∴ EF =2 ．∵ △ABP ≌△AEQ ,∴ QE=BP=x ．∴ QF =QE ＋EF 2x =+．∴ 以QF 为边的等边三角形的面积y=222)44x x +=++．…7分25．（本小题满分8分）解:(1) ∵ 点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴0,230.2b c b c -+=⎪+=⎩解得2b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴二次函数解析式为222y x =--.……………2分 （2）可求点C 的坐标为（1，-∴ 点D 的坐标为（1，. 可求 直线AD 的解析式为y =+由题意可求 直线BK的解析式为y =-.∵ 直线l的解析式为y =+∴ 可求出点K 的坐标为(5,易求 4AB BK K D D A ==== . ∴ 四边形ABKD 是菱形.∵ 菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2） . ……………5分(3) ∵ 点D 、B 关于直线AK 对称, ∴ D N M N +的最小值是M B .过K 作KF ⊥x 轴于F 点.过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴ KP ⊥AD .∵ AK 是∠DAB 的角平分线,∴K F K Q PQ === ∴M B M K +的最小值是B P .即BP 的长是D N N M M K ++的最小值.∵ BK ∥AD ,∴ 90B K P ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴D N N M M K ++的最小值为8. ……………8分。
2012-2013学年度北京市东城区第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：原式=231- ………………4分2． ………………5分 14．（本小题满分5分）解：2936x x +≥+， ………………1分2369x x -≥-， ………………2分 3x -≥-， ………………3分 3x ≤． ………………4分∴ 不等式的正整数解为1，2，3．………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵ AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴ ∠CAD =∠BAD ． ………………1分又∵ ∠EAB =∠BAD ，∴ ∠CAD =∠EAB ． ………………2分在△ACF 和△ABE 中，,,,AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACF ≌△ABE ． ………………4分∴ BE =CF ． ………………5分16．（本小题满分5分）解：原式=221)63m m m -+++2(=24263m m m -+++2=225m m ++2． ………………3分 ∵ m 是方程210x x +-=的根， ∴ 210m m +-=． ∴ 21m m +=．∴ 原式=2)5m m ++2(=7．………………………5分17．（本小题满分5分） 解：（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分． 1分 根据题意得：21002100203x x=+． 2分得：70x =．3分经检验70x =是原方程的解． 4分答：小红步行的平均速度是70米/分．（2）根据题意得:21002100404570370+=<⨯∴小红能在联欢会开始前赶到． ……………………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）∵平行四边形ABCD ，A （-2，0），B （2，0），D （0，3）， ∴可得点C 的坐标为（4,3）．∴反比例函数的解析式为12yx =．…………………………………3分（2）将点B的横坐标2代入反比例函数12yx=中，可得y=6．∴将平行四边形ABCD向上平移6个单位，能使点B落在双曲线上．………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（本小题满分5分）解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；…………………………1分（2）持赞成态度的学生家长有200﹣50﹣120=30人，故统计图为：………………………3分（3）持赞成态度的家长有：80000×15%=12000人．………………………………5分20．（本小题满分5分）解：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC．∴∠CED =∠ADE．又∵点G是DF的中点，∴AG=DG．∴∠DAG =∠ADE．∴∠CED =∠DAG．…………………………2分（2）∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE．∴ AE =AG ． ∵ AG =4， ∴ AE =4．在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴ sin 4AB AEB AE ∠==…………………………5分 21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：连结OC ．∵ OE ⊥AC ， ∴ AE =CE ． ∴ F A =FC ． ∴ ∠F AC =∠FCA ． ∵ OA =OC ， ∴ ∠OAC =∠OCA ．∴ ∠OAC +∠F AC =∠OCA +∠FCA ． 即∠F AO =∠FCO ．∵ F A 与⊙O 相切，且AB 是⊙O 的直径，∴ F A ⊥AB ．∴ ∠FCO =∠F AO =90°．∴ PC 是⊙O 的切线．………………………………………………… 2分 （2）∵∠PCO =90°，即∠ACO +∠ACP =90°．又∵∠BCO +∠ACO =90°， ∴ ∠ACP =∠BCO ．∵ BO =CO ，∴∠BCO=∠B．∴∠ACP=∠B．∵∠P公共角，∴△PCA∽△PBC．∴PC PA AC PB PC BC==．∵AP∶PC=1∶2，∴1=2 ACBC．∵∠AEO=∠ACB=90°，∴OF∥BC．∴AOF ABC∠=∠．∴1 tan tan2AOF ABC∠=∠=．∴1 tan2AFAOFAO∠==．∵AB=4，∴AO=2 ．∴AF=1 ．∴CF=1 ．………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）拼接成的四边形所图虚线所示；………………2分（2）8+8+…………………………5分（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为2）=8+E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于8+．）五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：（1）证明：Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++． ∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根． …………2分 （2）解关于x 的一元二次方程x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋1＝0，得 x = ………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数． 设22(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=．∵a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩． ………………5分将m =-1代入x =122,0x x =-=符合题意． ………………6分∴ 当m =-1 时 ，原方程的根是整数． ……………7分 24．（本小题满分7分）解：（1）猜想的结论：MN =AM +CN ． ……………1分 （2）猜想的结论：MN =CN -AM ． ……………3分 证明：在 NC 截取 CF = AM ，连接BF 。
2011-2012学年度第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3的相反数是A ． 3±B ．3C ．-3D ．132．据统计，今年北京市中考报名确认考生人数是96 200人，用科学记数法表示96 200为 A ．49.6210⨯ B ． 50.96210⨯ C ．59.6210⨯ D ．396.210⨯ 3．下列图形中，是正方体的平面展开图的是A ．B ．C ．D ． 4．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和3个白球，它们除颜色外完全相同，从口袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 A ．47 B ．37 C ．31 D ．145．如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，若 AB=8， OD=3，则⊙O 的半径等于A ．4B ．5C ．8D ．10 6．2012年4月21日8时北京市部分区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：区 县东城 西城 海淀 朝阳 丰台 大兴 延庆 昌平可吸入颗粒物（mg/m 3） 0.150.150.150.150.180.180.030.14则这8个区县该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是 A ．0.15和 0.14 B ．0.18和0.15 C ．0.15和0.15 D ． 0.18和0.14FE ACDB7．若抛物线22y x x m =-+的最低点的纵坐标为n ，则m-n 的值是 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．28．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点 （点P 不与点B 、C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点C’处；作∠BPC’的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ， 则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 如果若分式1x x+的值为0，那么x 的值等于 ． 10． 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ． 11． 分解因式：39a a -= ．12．在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：-1022cos30(π 3.14)12++--． 14．解不等式组： 480,521 1.x x +>⎧⎨-->⎩（）15．已知2310x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值．16．已知：如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E 、F 在线段AD 上，且AF=DE ．求证：BE =CF ．A DCB EPC’A DBCO5yxO5y xOxy 5O5y x17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y=kx b +的图象经过点A (1，0)，与反比例函数my x=(x >0)的图象相交于点B (2，1)． （1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当x >0时，不等式mkx b x+>的解集；18．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒且∠APO =60°，∠BPO =45°．（1）求A 、B 之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．如图，在ABCD 中，过点B 作BE ∥AC ，在BG 上取点E ，联结DE 交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF =EF ；（2）如果AD =2，∠ADC =60°，AC ⊥DC 于点C ，AC =2CF ，求BE的长．20．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）如果AB =4，AE =2，求O 的半径． 21．某学校为了解九年级学生的体育达标情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行体OA CEBD xyB AOOPB A 万丰FD CBA EGC B A D育测试，根据收集的数据绘制成如下统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全图1与图2；（2）若该学校九年级共有400名学生，根据统计结果可以估计九年级体育达标优秀和良好的学生共有___________名． 九年级学生体育测试成绩条形统计图 九年级学生体育测试成绩扇形统计图22．将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三 角形（不能有重叠和缝隙）．小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD 中，分别取AD 、AB 、CD 的中点P 、E 、 F ，并沿直线PE 、PF 剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如图2)． （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD 的顶点B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD 剪拼后得到等腰三角形△PMN ，点P 在边AD 上（不与点A 、D 重合），点M 、N 在x 轴上（点M 在N 的左边）．如果点D 的坐标为(5,8)，直线PM 的解析式为=y kx b ，则所有满足条件的k 的值为 ．图1 图2 图3图4备用xy D A B C x y D A B C P E FDA B C人数成绩481216202428323640不及格及格良好优秀不及格及格良好优秀%5%%20% P EFD A B C。
北京市东城2012学年第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷2012．5 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1.15-的相反数是的相反数是A. 5 B. 15C. 15-D. -5 2.根据国家财政部公布的2011年全国公共财政收入情况的数据显示，全国财政收入103 740亿元，这是我国年度财政收入首次突破10万亿. 将103 740用科学记数法表示应为用科学记数法表示应为A. 10.374×104B. 0.10374×105C. 1.0374×105D. 1.0374×1.0374×101063．如图，已知//,,33AB C D BC ABE C BED ÐÐ=°Ð平分，则 的度数是的度数是A.16°B. 33°C. 49°D. 66°4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B а，则平行四边形ABCD 的面积为的面积为A. 2 B. 3 C. 33D. 6 5. 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的名同学成绩的A . . 中位数中位数中位数B . . 众数众数众数C . . 平均数平均数平均数D . . 极差极差极差6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58=58°，°，°， 则∠则∠C 等于等于A . 116. 116°°B . 64. 64°°C . 58. 58°°D . 32. 32°°7. 甲盒子中有编号为1，2，3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4，5，6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为的概率为 A ．94 B ．95 C ．32 D ．978. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是之间的函数关系的是51__________=. 的长为．12一个条件是 （只需写出一个即可）的值；的一次函数为正比例函数，求m的值；均需加入同种添加剂，B 两种饮料各生产了多少瓶？两种饮料各生产了多少瓶？ 、解答题（本题共为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行）本次抽测的男生有）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是人，抽测成绩的众数是人，抽测成绩的众数是 ；；中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BAC ． CF ；22. 在A B C △中，A B 、B C 、A C 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格先建立一个正方形网格先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点A B C △（即A B C △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求A B C △的高，而借用网格就能计算出它的面积．而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将A B C △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：（2）我们把上述求A B C △面积的方法叫做构图法．．．．若A B C △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格的正方形网格（每个小正方形的边长为（每个小正方形的边长为a ）画出相应的A B C △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若A B C △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且A B C △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的A B C △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）分） 23.23.已知关于已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（取（22）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知∠ABC =90=90°，点°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；，并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0-1,0））、B （3,03,0））两点两点, , , 顶点为顶点为C .(1) (1) 求此二次函数解析式；求此二次函数解析式；求此二次函数解析式；(2) (2) 点点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线B K∥A D 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由； (3) (3) 在（在（在（22）的条件下，若M 、N 分别为直线A D 和直线l 上的两个动点，连结D N 、N M 、M K ，求D N N M M K ++和的最小值和的最小值. .、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B C D B A D C C 填空题（本题共16分，每小题4分） 题 号 9 10 11 12 答 案x ＞3 21()2y x -4 2 333证明：∵证明：∵ B F E C =，∴∴ B F C F E C C F -=-.即 B C E F = . -------2分在△ABC 和△DEF 中，中，,12,,A C D F B C E F =ìïÐ=Ðíï=î∴ △△ABC ≌△DEF . --------5分17．（本小题满分5分）分）解：(1) 由题意得由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. . ………………………………2分∵ O A C △的面积为4， ∴1242n n ´= .∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. . ……………………………………………………3分 设直线AC 的解析式为的解析式为 y kx b =+. ∴ 02,4.k b b =-+ìí-=î∴ 2,4.k b =-ìí=-î…………………………4分∴ 直线AC 的解析式为的解析式为 24y x =--.∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. . ………………………………………………5分18．（本小题满分5分）分）解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100-x ）瓶）瓶..…………………………2分 依题意，得依题意，得 2x +3(100-x )=270 . )=270 . ……………………………………………………3分 解得解得 x =30=30，， 100-x =70 . ……………………………………………………4分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. ……………………………………………………………………5分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶.…………………………………1分依题意，得依题意，得 10023270.x y x y +=ìí+=î， ……………………………………………………………………3分解得解得 30,70.x y =ìí=î …………………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. ……………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）分） 解：（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中，中，∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．∴∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴∴ ∠AEF =∠ECD ． ……………………………………………………11分 又∠F AE =∠EDC =90°，EF =EC ，∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ． ∴ AE =CD ． ……………………………………………………22分 （2）∵）∵ AD =AE +4，∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴ 2（AE +AE +4）=32． ． 解得解得 AE =6． ……………………………………………………33分∴∴ AF =4，BF =2. 由AD ∥BC 可证可证 △AEF ∽△BGF ．…………………………．…………………………44分 ∴2A E A F B GB F==．∴∴ BG =3. ∴ CG =13. ……………………………………………………55分20.（本小题满分5分）分） 解：(1) 50，5； ……………………………………………………22分 (2) 如图所示：如图所示：……………………………………………………33分(3) 252)501041(350=+-´ . 答：估计有252人体能达标. ………………………………………………………………………………………………55分21．（本小题满分5分）分）解：（1）证明：∵ BC 是直径，是直径，∴ ∠ADC =90°=90°. . ∴∠1+∠3=90°3=90°.. ………………………………………………11分∵CA 是圆的切线， ∴ ∠ACB =90°=90°. . ∴∠2+∠4=90°4=90°.. ………………………………………………22分∵AE 平分∠BAC ， ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠3=∠4. ∴∴D F A D 7第24题7分，第25题8分)m取何实数时，原方程总有两个实数根取何实数时，原方程总有两个实数根. . . ………………………………解得13<的取值范围是 915<. . ……………32．3 BF=cos 30B G =°y=2233(2)334x x x +=++∴ 30,29330.2b c b c ì-+=ïïíï++=ïî解得解得解得 3,33.2b c ì=-ïí=-ïî∴∴ 二次函数解析式为2333322y x x =--.……………2分 （（2）可求点C 的坐标为（的坐标为（11，23-）∴ 点D 的坐标为（的坐标为（11，23）.可求可求 直线AD 的解析式为的解析式为 33y x =+ .由题意可求由题意可求 直线BK 的解析式为333y x =-. ∵ 直线l 的解析式为3333y x =+,∴ 可求出点K 的坐标为的坐标为(5,(5,23).易求易求 4A B B K K D D A ==== .∴ 四边形ABKD 是菱形是菱形. .∵ 菱形的中心到四边的距离相等，菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（重合时，即是满足题意的点，坐标为（22，3 ） . . ……………5分(3) (3) ∵∵ 点D 、B 关于直线AK 对称对称, ,∴∴ D N M N +的最小值是M B .过K 作KF ⊥x 轴于F 点.过点过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴∴ KP ⊥AD .∵∵ AK 是∠DAB 的角平分线的角平分线, ,∴ 23K F K Q P Q ===.∴∴M B M K +的最小值是B P .即BP 的长是D N N M M K ++的最小值的最小值. .∵∵ BK ∥AD ,∴∴ 90B K P Ð=°.在在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8. ∴D N N M M K ++的最小值为8. ……………8分。
北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷2012．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.15-的相反数是 A. 5 B. 15 C. 15- D. -52.根据国家财政部公布的2011年全国公共财政收入情况的数据显示，全国财政收入103 740亿元，这是我国年度财政收入首次突破10万亿. 将103 740用科学记数法表示应为 A. 10.374×104 B. 0.10374×105 C. 1.0374×105 D. 1.0374×106 3．如图，已知//,,33AB CD BC ABE C BED ∠∠=︒∠平分，则的度数是A.16︒B. 33︒C. 49︒D. 66︒4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B ∠︒，则平行四边形ABCD 的面积为A. 2B. 3C. 33D. 65. 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的 A. 中位数 B. 众数C. 平均数D. 极差 6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 等于A. 116°B. 64°C. 58°D. 32°7. 甲盒子中有编号为1，2，3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4，5，6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为 A ．94B ．95C ．32D ．97 8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒）， 则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式512422x x ->+的解集为________________. 10. 分解因式：214x y xy y -+ =________________.11. 若把代数式242x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k = .12. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：01124tan60(2)3--︒--+． 14. 解分式方程312212x x x -=++．15．先化简，再求值：已知2320x x --=，求代数式(1)(1)(23)x x x x +---的值. 16. 如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ∆≌DEF ∆，还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明．17. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数．18.列方程或方程组解应用题:食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ， 且EF =EC ． （1）求证：CD =AE ； （2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG的长．20. 为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ； （2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中，估计有多少人体能达标？21. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BA C 交BC 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：CE =CF ； （2）若sin B =35，求DF ∶CF 的值．22. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案2012．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号1 2 3 45 6 7 8 答 案B C D BA DC C二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号9 10 11 12 答 案x ＞321()2y x -42三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解: 原式1234313=--+………………4分 2233=--. ………………5分 14．（本小题满分5分） 解：312212x x x -=++去分母得321x x -=+ ………………3分解得23x =. ………………4分 经检验：23x =是原方程的解. 所以 原方程的解是23x =. ………………5分 15．（本小题满分5分）解：原式=(1)(1)(23)x x x x +---=22123x x x --+ ………………2分 =231x x -+-. ………………3分∵ 2320x x --=，∴ 232x x -=. ………………4分 ∴原式=-3 . ………………5分 16．（本小题满分5分）解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分证明：∵ BF EC =， ∴ BF CF EC CF -=-.即 B C E F = . -------2分 在△ABC 和△D EF 中，,12,,AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△DEF . --------5分17．（本小题满分5分）解：(1) 由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分∵ OAC △的面积为4，∴1242n n ⨯= . ∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴ 2,4.k b =-⎧⎨=-⎩ …………………………4分∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--. ∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. ………………………5分18．（本小题满分5分）解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100-x ）瓶.…………………………2分 依题意，得 2x +3(100-x )=270 . …………………………3分 解得 x =30， 100-x =70 . …………………………4分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶.…………………………………1分依题意，得 10023270.x y x y +=⎧⎨+=⎩，…………………………………3分解得 30,70.x y =⎧⎨=⎩ …………………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分） 解：（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴ ∠AEF =∠ECD ． …………………………1分又∠F AE =∠EDC =90°，EF =EC ，∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ． ∴ AE =CD ． …………………………2分（2）∵ AD =AE +4，∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴ 2（AE +AE +4）=32． ．解得 AE =6． …………………………3分∴ AF =4，BF =2. 由AD ∥BC 可证 △AEF ∽△BGF ．…………………………4分 ∴2AE AFBG BF==． ∴ BG =3.∴ CG =13. …………………………5分20.（本小题满分5分）解：(1) 50，5； …………………………2分 (2) 如图所示：…………………………3分(3) 252)501041(350=+-⨯ . 答：估计有252人体能达标. ………………………………5分21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ BC 是直径，∴ ∠ADC =90°.∴∠1+∠3=90°. ………………1分∵ CA 是圆的切线， ∴ ∠ACB =90°.∴∠2+∠4=90°. ………………2分∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2.∴ ∠3=∠4. ∵ ∠3=∠5， ∴ ∠4=∠5.∴ CE =CF . ………………3分（2）过点E 作EG ⊥AB 于点G . ………………4分 ∴ EG =EC ，CD ∥EG . ∴ EG = CF .∴DF ADEG AG=. 又易证 AG =AC . ∴DF ADFC AC=. 又可证 ∠ACD =∠B . ∴DF ∶CF 的值为35. ………………5分 22．（本小题满分5分） 解：（1）ABC △的面积为72； …………………… 1分（2）ABC △的面积为252a ；…………………………3分（3）图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++ =2(21)m +∵ 2(21)m +≥0， ∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. ………………3分由题意得 312,3177. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分 解得 173m <<. ………………5分（3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<. ……………7分24. （本小题满分7分）解：（1）EF =2． ……………1分（2）EF =BF ． ……………2分证明： ∵ ∠BAP=∠BAE -∠EAP=60°-∠EAP ，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP ， ∴ ∠BAP=∠EAQ ． 在△ABP 和△AEQ 中， AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ， ∴ △ABP ≌△AEQ ． ∴ ∠AEQ=∠ABP=90°． ∴ ∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 又∵ ∠EBF =90°-60°=30°， ∴EF =BF ． ……………4分(3) 在图1中，过点F 作FD ⊥BE 于点D ． ∵ △ABE 是等边三角形, ∴ BE=AB=32．由（2）得 =∠EBF 30°， 在Rt △BDF 中，3BD = ．∴ BF=2cos30BG=︒．∴ EF =2 ． ∵ △ABP ≌△AEQ , ∴ QE=BP=x ．∴ QF =QE ＋EF 2x =+． ∴ 以QF 为边的等边三角形的面积y=2233(2)3344x x x +=++ ．…7分25．（本小题满分8分） 解:(1) ∵ 点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴ 30,29330.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得 3,33.2b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴ 二次函数解析式为2333322y x x =--. ……………2分 （2）可求点C 的坐标为（1，23-）∴ 点D 的坐标为（1，23）.可求 直线AD 的解析式为 33y x =+ . 由题意可求 直线BK 的解析式为333y x =-. ∵ 直线l 的解析式为3333y x =+, ∴ 可求出点K 的坐标为(5,23).易求 4AB BK KD DA ==== .∴ 四边形ABKD 是菱形.∵ 菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，3 ） . ……………5分(3) ∵ 点D 、B 关于直线AK 对称,∴ DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点.过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q ,∴ KP ⊥AD .∵ AK 是∠DAB 的角平分线,∴ 23KF KQ PQ ===.∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵ BK ∥AD ,∴ 90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8.……………8分。
