离散数学在计算机中的应用(一)

离散数学在计算机科学中的应用

本学期我们开了一门新的课程——离散数学，这是一门艰深又充满挑战的课程，随着学习的深入，我逐步加深了对它的了解。

首先简单介绍一下离散数学的定义及其在各学科领域的重要作用。离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

由此可见，离散数学在计算机科学中具有广泛的应用，下面我将一一陈述。

1 离散数学在关系数据库中的应用

关系数据库中的数据管理系统向用户提供使用的数据库语言称为数据子语言，它是以关系代数或谓词逻辑中的方法表示。由于用这种数学的方法去表示，使得对这些语言的研究成为对关系代数或逻辑谓词的研究，优化语言的表示变成为对关系代数与谓词逻辑的化简问题。由于引入了数学表示方法，使得关系数据库具有比其它几种数据库较为优越的条件。正因为如此关系数据库迅速发展成为一种很有前途、很有希望的数据库。另外，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论，是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持，更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到二元关系理论。

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贾薇薇离散数学在计算机学科中的应用

陈敏，李泽军（湖南工学院计算机科学系，湖南衡阳421002）摘要：离散数学作为有利的数学工具，对计算机的发展与计算机科学的研究起着重大的作用。阐述了离散数学在计算机科学的几个不同领域中的应用，分析了离散数学与计算机专业其他学科间的关系，指出了离散数学在从事计算机及相关科学工作中的重要性。关键词：离散数学；数据结构；编译原理；人工智能中图分类号：O158,TP305文献标识码：A文章编号：1009-3044(2009)01-0251-02TheApplicationofDiscreteMathematicsinComputerScienceCHENMin,LIZe-jun(DepartmentofComputerScienceandTechnlology,HunanInsitituteofTechnology,Hengyang421002,China)Abstract:Beingahelpfulmathematicaltool,discretemathematicsplaysasignificantroleinthedevelopmentandresearchofcomputersci-ence.Thispaperintroducestheapplicationofdiscretemathematicsindifferentfieldsofcomputerscience,analyzestherelationshipbetweendiscretemathematicsandothersubjectsincomputerspecialtyandpointsouttheimportanceofdiscretemathematicsincomputerscienceandrelatedfields.Keywords:discretemathematics;datastructure;decodingprinciples;artificialintelligence1引言离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。它是以研究离散性的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化[1]。离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在数据结构、数据库系统、编译原理、人工智能、计算机体系结构、算法分析与设计、软件工程、多媒体技术、数字电路、计算机网络等专业课程以及信息管理、信号处理、模式识别、数据加密等相关课程中[2-4]。它所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的，为学习计算机科学的后续课程、从事科研或工程技术工作以及进一步提高科学技术水平奠定理论基础。离散数学提供的营养滋补了计算机科学的众多领域，学好了离散数学就等于掌握了一把开启计算机科学之门不可缺少的钥匙。2离散数学在数据结构中的应用计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、图论、树四个章节就反映了数据结构中四大结构的知识。如集合由元素组成，元素可理解为世上的客观事物。关系是集合的元素之间都存在某种关系。例如雇员与其工资之间的关系。图论是有许多现代应用的古老题目。伟大的瑞士数学家列昂哈德·欧拉在18世纪引进了图论的基本思想，他利用图解决了有名的哥尼斯堡七桥问题。还可以用边上带权值的图来解决诸如寻找交通网络里两城市之间最短通路的问题[5]。而树反映对象之间的关系，如组织机构图、家族图、二进制编码都是以树作为模型来讨论。3离散数学在数据库中的应用数据库技术被广泛应用于社会各个领域，关系数据库已经成为数据库的主流，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论，是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持，更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到二元关系理论[6]。4离散数学在编译原理中的应用编译程序是计算机的一个十分复杂的系统程序。一个典型的编译程序一般都含有八个部分：词法分析程序、语法分析程序、语义分析程序、中间代码生成程序、代码优化程序、目标代码生成程序、错误检查和处理程序、各种信息表格的管理程序[7]。离散数学里的计算模型章节里就讲了三种类型的计算模型：文法、有限状态机和图灵机。具体知识有语言和文法、带输出的有限状态机、不带输出的有限状态机、语言的识别、图灵机等。短语结构文法根据产生式类型来分类：0型文法、1型文法、2型文法、3型文法。以上这些

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图1 为两相开关建立模型的有穷自动机

3.4 离散数学与编译原理

编译程序是计算机学科中比较高深的专业课，是计算机的一个十分复杂的系统程序。一个典型的编译程序而论，一般都含有八个部分：词法分析程序，语法分析程序，语义分析程序，中间代码生成程序，代码优化程序，目标代码生成程序，错误检查和处理程序，各种信息表格的管理程序。

离散数学里的计算模型章节里就讲了三种类型的计算模型：文法、有限状态机和图灵机。具知识有语言和文法，带输出的有限状态机，不带输出的有限状态机，语言的识别，图灵机等。短语结构文法根据产生式类型来分类：0型文法，1 型文法，2型文法，3

型文法。以上这些在离散数学里讲述到的知识点在编译原理的词法分析及语法分析中都会用到。

由于自然语言都极为复杂，对一个自然语言，看起来不大可能说出它的所有语法规则，因此，将一个语言自动翻译成另一个语言的研究，引出形式语言的概念。与自然语言不同，形式语言是由一组意义明确的语法规则定义的，语法规则不仅对于语言学和自然语言的研究十分重要，而且对于程序设计语言的研究也很重要。

形式语言的句子是用语法来描述的。在程序设计语言的应用中，经常出现两类问题：（1）怎么能够确定一组单词是否组合成了形式语言的一个有效句子？（2）怎么才能产生形式语言的一个有效句子。在考虑这两类问题时，文法的使用十分有益。

离散数学里定义了短语结构文法。G=（V,T,S,P）由下列四部分组成：词汇表V，由V的所有终结符组成的V的子集合T,V的初始符S，和产生式集合P。集合V-T , 记为N，N中的元素称为非终结符。P中的每个产生式的左边必须至少包含一个非终结符。

编译原理中的词法分析运用了不确定的有穷自动机，确定的有穷自动机，从正规表达式到NFA。在语法分析中运用了上下文无关文法，非上下文无关文法，LL(1)文法，LR文法。这些表达式与文法都在离散数学中有相关的描述。因此，离散数学也是编译原理的前期基础课程。

是计算机科学理论基础中的重要组成部分

推动着计算机科学的进步

它使计算机科学的数据模型得以建立

1离散数学在计算机数据库中的应用

主要是通过笛卡尔积这一重要理论有效地帮助数据库的建立

使数据库能够更加完善

提升数据库的整体质量

2离散数学在人工智能中的应用

离散数学的逻辑推理使人工智能能够实现正常的运行传导

能够帮助人工智能实现逻辑的设计，帮助人工智能建立逻辑运转体系，促进人工智能实现智能化

3离散数学在计算机体系结构中的应用

应用了哈夫曼压缩概念进行问题的解决

4离散数学在计算机科学中应用的发展趋势

散数学的逻辑推理在计算机科学中的应用帮助着计算机的软件设计

能够在计算机科学内用于二进制数据的运算

帮助计算机数据库的建立和结构设计

一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”

那么理发师是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸（因为他'只'帮不自己刮脸的人刮脸）；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸（因为是'所有'不自己刮脸的人，包含了理发师本人），于是矛盾出现了。

我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A∉A；其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。

停机问题：若有一台机器能解决所有问题若有一个问题不能解决则证明这个问题不存在，给定一个输入看是否能够停机。

1若p则q

2若p则q

3若p则非q

4若p则q

5若p则q

6若非q则非p

7若非q则非p

8若p则q