全国高中数学联赛预赛试题与答案5份

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华东师范大学出版社

2011年全国高中数学联赛山东省预赛

2011年全国高中数学联赛山东省预赛由山东省数学会普及工作委员会及山东省数学竞赛委员会主办，由山东省数学竞赛委员会组织及负责命题.

试题以《全日制普通高中(新)课程标准》的内容和要求为依据，在方法和能力的要求上有所提高，试题包括10道选择题、4道填空题、5道解答题，全卷满分150分.

预赛时间：2011年9月10日（星期六）9:30---11:30

预赛地点：全省各市组织进行.

此项预赛人数为14.5万人，获奖面为参赛人数的5%，按1：2：4的比例，设一、二、三等3个奖项，并根据成绩从中选拔2000名优胜者参加2011年全国高中数学联赛山东赛区决赛.

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试 题

一、选择题（每小题6分，共60分）

1．已知集合

{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}MxxxxxNxxxxx． RR

MN（ ） .

(A) (2,3) (B) (3,4) (C) (4,5) (D) (5,6)

2．已知(33)nzi, 若z为实数，则最小的正整数n的值为（ ） .

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

3．已知p：,,,abcd成等比数列，q:adbc， 则p是q的（ ） .

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

4．函数20.3()log(2)fxxx的单调递增区间是（ ） .

(A) (,2) (B) (,1) (C) (-2,1) (D) (1,)

5．已知,xy均为正实数，则22xyxyxy的最大值为（ ） .

2019全国数学联赛山东省预赛试题（答案）

一、填空题（每小题8分，共80分）

1、已知}1)2(log|{23xxxA，),(],(baB其中ba，如果BAR，那么ba的最小值是

答案：1

2、设函数baxxxf2)(，对于任意的Rba,，总存在]4,0[t，使得mtf|)(|成立，则实数m的最大值是

答案：2

3、已知虚数数z满足zzw1为实数且21w，zzu11，那么||2uw的最小值是

答案：1

4、空间有4个点A、B、C、D，满足CDBCAB,若36CDABCDABC，那么直线AC与直线BD成的角的大小是

答案:90或36

5、数列}{na中，21a，192a，nnnaaa||12*)(Nn，那么2019a

答案：17

6、设函数xxxfcos)( ])2,0[(x，那么)(xf的最大值是

答案：162

7、实数)0(kk，在平面直角坐标系内已知抛物线2kxy与圆222)()rbyax（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线bkxy上，那么实数b的最小值是

答案：2

8、ABC中，16AB，55BC，9CA，在ABC外部、到点B或C距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是

答案：495554

9、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是

答案：9245

10、整数n使得多项式23)(3nnxxxf可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为

答案：192

二、解答题（共70分）

11、（本题15分）已知：正方形ABCD边长为1，点M是边AD的中点，以M为圆心以AD为直径作圆，点E在线段AB上，且直线CE与圆相切.

2015年湖南省高中数学竞赛（A卷）

（2015-06-27）

一、选择题（每个5分，共6题）

1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为

A. 1169 B. 367 C. 36 D.677

2.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是

A. 323R B. 636R C. 113R D.525R

3.已知数列{an}和{bn}对任意*nN，都有nnab，当n时，数列{an}和{bn}的极限分别是A和B，则

A. AB B. AB C. AB D. A和B的大小关系不确定

4.对所有满足15nm的m,n,极坐标方程11cosnmC表示的不同双曲线条数为

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

5.使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是

A. 63 B. 3 C. 63 D. 6

6.设22{|,,}MxyxyZ，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素的数为

A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3

二、填空题（每个8分，共6题）

7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：

8.对任一实数序列123(,,,...)A，定义△A为序列213243(,,,...)，它的第n项是1nn，假定序列△（△A）的所有项都是1，且19920，则1的值为：

9.满足使11[]223nIi为纯虚数的最小正整数n=

10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 11.记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777iaaaaTMaTi，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2015年数是：

2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

2013年9月7日 9:30——11:30

一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分）

（1）函数4coscos2()yxxxR的值域是 ．

（2）已知复数z满足1z，则21zz的最大值为 ．

（3）如图，在ABC中，点O为BC的中点，过点O的直线分别交

直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABmAM，ACnAN，

则mn的值为 ．

（4）如果关于x的不等式1xaxx的解集是R，则a的取值范围是 ．

（5）已知正数,,abc满足4ababc，则abc的最小值为 ．

（6）对任意实数x，恒有2log(sincos)2axx成立，则a的取值范围是 ．

（7）已知{,,,,}ABCabcde，{,,}ABabc，cABC，则符合上述条件的{,,}ABC共有 组．

（8）已知函数()fx定义在R上，对任意的xR，21(1006)()()2fxfxfx，且3(1005)4f，则(2013)f= ．

（9）用五种不同颜色给三棱台ABCDEF六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 种．

（10）假设实数,bc满足221bc，且()sincosfxaxbxcx的图象上存在两条切线互相垂直，则a的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共4题，共70分）

（11）(本小题共15分)如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，已知1AD,2AB,1AAc，若对角线1BD上存在一点P使得11PBPC，求c的取值范围．

NABCOMPABCD1A1B1C1D（12）（本小题共15分)已知椭圆22143xy的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,FF，求该平行四边形面积的最大值．