河北省衡水中学2020届全国第三次联考(文科数学)答案

2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|23,}B x x x =-≤<∈Z ，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】化简集合,A B ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为21|{|2}4A x y x x x ⎧⎫===≠±⎨⎬-⎩⎭， {|23,}{2,1,0,1,2}B x x x =-≤<∈=--Z ，所以{1,0,1}A B ⋂=-，所以A B 中元素的个数为3.故选:B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题.2．已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由1z i i ⋅=-，得1i1i iz -==--， 所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)--， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3．随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。

为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ） A ．83.5；83 B ．84；84.5C ．85；84D ．84.5；84.5【答案】B【解析】根据茎叶图，即可求出A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数. 【详解】解：A 小区“空巢老人”年龄的平均数为7878818584859091848+++++++=，B 小区“空巢老人”年龄的中位数为848584.52+=.故选：B 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题. 4．已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】D【解析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 且522π<<，所以a c b <<. 故选:D. 【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 5．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ） A ．518B ．13C ．718D ．49【答案】C【解析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=，巧板④的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .6．4sincos 3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）A ．34B．4C ．34-D ．14-【答案】A【解析】利用诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解. 【详解】4sincos sin cos 33636221514tan tan 44ππππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:A. 【点睛】本题考查特殊角三角函数求值，利用诱导公式化简是解题的关键，属于基础题. 7．已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．21cos 1xx -+ B ．2||1sin1x x ++ C ．2sin 1xx + D ．2sin 1x xx ⋅+ 【答案】D【解析】根据图像的性质，如对称性，可排除选项C ，再取特殊值，即可求解.由图可知，该函数的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 为偶函数， 所以选项C 不符合；又因为()0f π=，所以选项A ，B 不符合. 故选:D. 【点睛】本题考查由函数图像求解析式，观察图形找出特征是解题的关键，属于中档题. 8．已知向量()1,2a =，()2,1b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 【答案】A【解析】首先求出a b +的坐标，根据()a b c +⊥，则()0a b c +⋅=得到x ，y 的关系式，由||cos ,||b cb bc c ⋅〈〉=计算b 在c 上的投影. 【详解】解：由()1,2a =，()2,1b =-，得()1,3a b +=-， 所以()a b c +⊥，则()0a b c +⋅= 得30x y -+=，3x y ∴=所以b 在c 上的投影为22||cos ,2||b c x b b c c x ⋅-+〈〉====±+． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积及几何意义，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．-2 B ．-6C ．-8D ．-12【答案】D【解析】将初始值10S =，1n =代入循环体运算，直至满足条件，退出循环体，即可得出结论. 【详解】当10S =，1n =不满足条件；执行第一次循环：1028S =-=，2n =，不满足条件； 执行第二次循环：28(2)12S =+-=，3n =，不满足条件； 执行第三次循环：312(2)4S =+-=，4n =，不满足条件； 执行第四次循环：44(2)20S =+-=，5n =，满足条件；执行第五次循环：520(2)120S =+-=-≤，6n =，满足条件，退出循环，所以输出S 的值为-12. 故选:D. 【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.10．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】根据双曲线的图像特征，当过点F 的直线的斜率在(,)b ba a-之间，则直线与双曲线左、右支均相交，即可求出ba的范围，从而求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题. 11．在如图所示的平面四边形ABCD 中，4AB =，30CAB ∠=，AC CB ⊥，120ADC ∠=，则22DA DC +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B【解析】在ABC 中由三角函数求出AC ，在ADC 中由余弦定理得2212DA DC DA DC =++⋅，再由基本不等式可得222DA DC DA DC ≥+⋅即可求出22DA DC +的最小值.【详解】解：在ABC 中，因为30CAB ∠=︒，AC CB ⊥，所以cos AC BAC AB ∠=cos 42AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯=在ADC 中，因为120ADC =∠︒，所以由余弦定理得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠， 即2212DA DC DA DC =++⋅，又由不等式的性质可知222DA DC DA DC ≥+⋅，即得222DA DC DA DC +⋅≤，所以()22223122DA DC DA DC DA DC =++⋅≤+，从而228DA DC ≥+，当且仅当2DA DC ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用，属于中档题. 12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()f x 转化为关于1x的二次函数，配方求出()f x 的最小值，只需min ()0f x <，解关于θ的不等式，即可得出结论.【详解】2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可化为222112cos (12cos )()cos 1sin cos 2cos 4cos 112cos 4sin cos 1cos ,2cos 4cos f x x xθθθθθθθθθθθθθ++⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭+-⎛⎫=-+⎪⎝⎭0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.当01x <<时，11x >，所以当112cos 2cos x θθ+=时，min 4sin cos 1()4cos f x θθθ-=，由题意可知，min ()0f x <，所以4sin cos 10θθ-<，从而得到12sin 21sin 22θθ<⇒<， 所以026πθ<<或520612ππθπθ<<⇒<<或5122ππθ<<. 故选:C. 【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题. 二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】求导，求出(1),(1)f f '，即可得出结论. 【详解】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)， 所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-， 令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 故答案为:-2 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．已知椭圆22:1(0)9x y C a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若||2||4MF ON ==，则C 的离心率为________.【答案】4【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出a 的值，即可求解. 【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，由椭圆定义得|||MF MF '+=即4MF '+=.∵O 为线段FF '的中点，N 为线段MF 的中点，由中位线的性质得2||4MF ON '==，代入（）式，解得16a =，故其离心率4e ==.故答案为:4. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆简单的几何性质，属于基础题.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为________. 【答案】6【解析】由424a =，696a =，且90a >，得0q >，求出公比q ，进而求出{}n a 通项公式和前n 项和n S ，然后解93n S >不等式，即可得结论 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，由424a =，696a =，得2644a q a ==，所以2q 或2q =-， 又因为90a >，所以2q，从而3411242243a a a =⇒⨯=⇒=，所以()()113211n n n a q S q -==⨯--.令()93329312325nnn S n >⇒⨯>⇒>⇒>-， 又因为*n ∈N ，所以min 6n =. 故答案为:6 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和n S 基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=与x 轴，y 轴的正方向分别交于点A ，B ，点P 为劣弧AB 上一动点，且OQ OA OP =+，当四边形OAQP 的面积最大时，OQ 的值为___________.【解析】设AOP θ∠=，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形，所以2sin OAQP AOPS S θ==，当sin 1θ=时取得最大值，即可求出Q 点的坐标，则OQ的值可求. 【详解】 解：如图所示：则1,0A ，()0,1B ，因为点P 在圆弧221(0,0)x y x y +=≥≥上运动，所以可设AOP θ∠=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则()cos ,sin P θθ，因为OQ OA OP =+，所以四边形OAQP 为平行四边形， 所以12211sin sin 2OAQP AOPS Sθθ==⨯⨯⨯⨯=，当sin 1θ=时，OAQP S 最大，此时点P 与点B 重合，点()1,1Q ，()1,1OQ ∴=||2OQ ∴=.【点睛】本题考查三角函数的定义，向量的加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题17．在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N.（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，()*12n Na n n +∈=，(2)3(23)nn +【解析】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用定义证明等差数列，以及裂相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++.参考数据：【答案】（1）有, （2）21【解析】（1）根据列联表求出2K，比较数据，即可得结论；（2）按比例分配抽取男性5人，女性2人，对抽取的7人，分别进行编号，列出从7人任意选取2人的所有情况，找出满足条件的基本事件的个数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】18.解：（1）22100(35361514)3005050514917.64710.82178 K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯>⨯，所以有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关. （2）关注度极高的被调查者中男性与女性的比例为5:2，所以抽取的7人中有男性5人，女性2人.记男性5人分别为a ，b ，e ，d ，e ；女性2人分别为A ，B ， 从7人中任意选取2人的所有情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，aA ，aB ， bc ，bd ，be ，bA ，bB ，cd ，ce ，cA ，cB ，de ，dA ，dB ，eA ，eB ，AB ， 共21种，其中这2人至少有一名女性的情况有11种，所以1121P =， 所以这2人中至少有一名女性的概率为1121. 【点睛】本题考查两变量间的相关性检验，以及求古典概型的概率，考查计算能力，属于中档题. 19．在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AA AB a ==. （1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析，（2 【解析】（1）AB BC ⊥ ，1AA ⊥ 底面ABC ，可证BC ⊥平面11A ABB ，即可求证； （2）取11B C 的中点F ，连接1A F ，可证1A F ⊥平面11BCC B ，求出三棱锥11A B BC V -，根据等体积法，1111B A BC A B BC V V --=，求出1A BC ∆的面积，即可求解. 【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1BC AA ⊥， 又BC AB ⊥，1ABAA A =，所以BC ⊥平面11A ABB ，又1AB ⊂平面11A ABB ，所以1BC AB ⊥.（2）设点1B 到平面1A BC 的距离为d ，所以1111B A BC A B BC V V --=， 由题可知，所有棱长均为2a ，所以在1A BC 中，2BC a =，11A B AC ==，所以12122A BCSa =⨯=. 取11B C 的中点F ，连接1A F ，由题易知111A F B C ⊥， 从而得到1A F ⊥平面11BCC B ，所以1A F 是点1A 到平面1B BC 的距离，所以1A F =，又1212222B BCSa a a =⨯⨯=， 所以由等体积法1111B A BC A B BC V V --=可知，1111133A DCB DCS d S A F ⨯⨯=⨯⨯，2227d a d ⨯=⇒=，所以点1B 到平面1A BC . 【点睛】本题考查空间垂直关系的转换和证明，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点(),M x y 1y =+.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为C '，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线C '交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线C '的切线12,l l ，证明12,l l 的交点必在曲线C 上. 【答案】（1）214y x =；（2）证明见解析. 【解析】（1）将方程两边平方化简即得解；（2）求出曲线在()00,P x y 处的切线方程，联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别求出曲线C '上在A ，B 两点处的切线1l ，2l 的方程，求出1l ，2l 的交点，即可得证.【详解】（1|1|y =+， 两边平方并化简，得24x y =， 即214y x =， 所以点M 的轨迹C 的方程为214y x =. （2）由（1）及题意可知曲线C '：214y x =-，又由214y x =知12y x '=， 所以点()00,P x y 处的切线方程为()00012y y x x x -=-， 即20001122y x x x y =-+， 又因为点()00,P x y 在曲线C 上， 所以20014y x =， 所以切线方程为2001124y x x x =-， 联立2002112414y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 整理得220020x x x x +-=，>0∆，设2111,4A x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1202x x x +=-，2120x x x =-，（）又由214y x =-，得12y x '=-， 所以曲线C '上点2111,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线1l 的方程为()21111142y x x x x +=--， 即2111124y x x x =-+， 同理可知，曲线C '上点2221,4B x x ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线2l 的方程为2221124y x x x =-+， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，121224x x x x x y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩ 又由（）式得1202012244x x x x x x x y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩， 所以1l ，2l 的交点为20,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点在曲线C 上，故1l ，2l 的交点必在曲线C 上. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线综合问题，属于中档题. 21．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，极大值为1ln 22-，无极小值，（2）当2e m <-时，函数()f x 没有零点；当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点；当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【解析】（1）求导，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）求导，求出()f x 单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对m 分类讨论，即可求解.【详解】由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当2m =-时，2()ln 21f x x x =-+，所以1(12)(12)()4x x f x x xx-+'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 所以当12x =时，()f x 有极大值， 且极大值为21111ln 21ln 22222f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.（2）由2()ln 1f x x mx =++，得2112()2mx f x mx x x+'=+=. 当0m ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 单调递增，当10m x e--<<时，()()211()110m m f x f em m e----<=--++≤，又(1)10f m =+>，所以函数()f x 有且只有一个零点；当0m <时，令()0f x x '=⇒=，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以()f x 的极大值为2111ln 1ln 222f m m ⎛⎫=+⨯+=-+ ⎪⎝⎭， ①当111ln 0222m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即得11ln 1ln 2m e ⎛⎫-<-= ⎪⎝⎭时， 解得2e m <-，此时函数()f x 没有零点；②当111ln 0222m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2e m =-时，函数()f x 有1个零点； ③当111ln 0222m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即02e m -<<时，()2442110f e me me ---=-++=-+<.当1x >时，令()ln g x =x-x ， 则1()10g x x'=-<在(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)1g x g <=-，即ln 1x x <-， 所以221()ln 1f x x mx x mx mx x+m ⎛⎫=++<+= ⎪⎝⎭， 故当1x >且1x m>-时，()0f x <.当02e m -<<时，有21e m-<<-， 所以函数()f x 有2个零点.综上所述：当2em <-时，函数()f x 没有零点； 当0m ≥或2em =-时.函数()f x 有1个零点； 当02em -<<时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查导数在研究函数性质的应用，涉及到函数的单调区级、极值、和零点个数判断，以及零点存在性定理的灵活运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点(2,0)P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）6cos 8sin ρθθ=-，（2 【解析】（1）利用22sin cos 1θθ+=，消去参数，将曲线C 的参数方程化为普通方程，再运用 cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据条件求出直线l 具有几何意义的参数方程，代入曲线C 普通方程，利用韦达定理以及直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，（θ为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为222(3)(4)5x y +=-+， 即22680x x y y -++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，代入上式得6cos 8sin ρθθ=-.（2）直线l的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），将2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22680x x y y -++=，整理得280t +-=，设点M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，128t t =-，1832500∆=+=>， 因为1t ，2t 异号，所以1212121111||||8t t PM PN t t t t -+=+===.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的应用，属于中档题.23．已知函数()|4||2|f x x ax =+--. （1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥； （2）当12x ≥时，不等式2()4f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，（2）512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当2a =时，不等式()3f x x ≥，即为|224||3|x x x -+-≥， 当4x ≤-时，由4223x x x --+-≥，得3x ≤-，所以4x ≤-， 当41x -<<时，由4223x x x ++-≥，得20≥，所以41x -<<，当1x ≥时，由4223x x x +-+≥，得32x ≤，所以312x ≤≤， 故不等式()3f x x ≥的解集为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）当12x ≥时， 22()4|2|f x x ax x x ≥-⇔-≤+， 由2|2|ax x x -≤+，得2211x a x x x-+-≤≤++，当12x ≥时，由基本不等式得211x x++≥，当且仅当2x x=，即x = 因为函数21y x x =-+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以当12x =时，21y x x=-+-取最大值为52，故实数a 的取值范围是512⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.。

河北衡水金卷2020年度高三第三次联合质量测评数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2.已知全集，集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，利用补集与交集运算即可得到结果.【详解】因为，所以或.所以.故选B.【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查不等式的解法，属于基础题.3.若命题p为：为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据的构成方法得，为.故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的长为，由以AC为直径的圆的面积不超过，可得x的范围，根据长度比即可得到结果.【详解】设的长为，因为以为直径的圆的面积不超过，所以，解得。

河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}2|),{(xy y x M ==，}|),{(2x y y x N ==，则B A I 中元素的个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．复数iiz +=12的虚部为( )A ．－iB ．iC ．1D ．－1 3．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则72015的最后两位数字为43 B ．观察x x 2)'(2=，344)'(x x =，x x sin )'(cos =，可得偶函数的导函数为奇函数C ．在平面上，若两个等边三角形的边长之比为1：2，则它们的面积之比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应4．如图，观察某一指标的统计图后，有如下判断，则其中不正确的判断是 ( ) A ．三地中五月指标最小的为上海 B ．一月至六月指标波动最大的为上海 C ．三地中指标最稳定的为北京 D ．一月至六月指标平均值最小的为广州5．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 4πx y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,0πx 的图象与直线m y =的三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，则=++3212x x x( )A ．43πB ．34π C ．35πD ．23π 6．设三个向量c b a ,,互不共线，则“0=++c b a ’’是“以|||,||,|c b a 为边长的三角形存在”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间，紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等，其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图为一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，则该壶的容量约为 ( ) A ．100 cm 3 B ．200 cm 3 C ． 300 cm 3 D ．400 cm 3 8．已知函数k x x f ++=1)(，若存在区间],[b a ，使得函数)(x f 在区间],[b a 上的值域为]1,1[++b a ，则实数k 的取值范围为( )A ．),1(+∞-B ．]0,1(-C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 D ．⎥⎦⎤⎝⎛-0,41 9．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20tan ln )(πααx x f 的导函数为)('x f ，若方程)()('x f x f =的根x 0小于1，则实数α的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,6ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,0π 10．已知抛物线的方程为)0(22>=P py x ，过点)1,0(-A 作直线与抛物线交于P ，Q 两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BP ，BQ ，设BQ ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点．若直线BQ 的斜率与BP 的斜率的乘积为－3，则=∠MBN ( )A ．2πB ．4πC ．32πD ．3π11．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且3π=∠AOB ．若C 是圆O 上的任意一点，则BC OA ⋅的最大值为 ( )A ．23-B ．41 C ．21 D ．1 12．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记)(M f N α=．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，记平面AB 1C 1D 为β，平面ABCD 为γ，P 是棱CC 1上一动点（与C ，C 1不重合），)]([1P f f Q βγ=，)]([2P f f Q γβ=，给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21； ②存在点P 使得β平面//1PQ ；③存在点P 使得21PQ PQ ⊥．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直角坐标平面内能完全覆盖区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-002,0y y x y x ，的最小圆的面积为_________．14．已知函数⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1)(x x x x f x 则满足121)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围是_______．15．已知数列}{n a 中，221n a n =，则数列})1{(n na -的前50项和为___________．16．若存在)1,0(0∈x ，使得003)3(0x e x ax+≥-，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题（共70分。

2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.6. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 518677. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 69. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D. 学。

科。

网...12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.19. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：（）的上、下两个焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值.21. 已知函数（，）.（1）如果曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆的极坐标方程为.（1）求直线被圆截得的弦长；（2）若的坐标为，直线与圆交于，两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知（为常数）.（1）若，求实数的取值范围；（2）若的值域为，且，求实数的取值范围.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅲ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得：所以为2. 已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】故在复平面内对应的点在第一象限3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】根据条件：，∴，∴，故选A.4. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故5. 已知实数，满足则的最小值为（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】作出可行域：所以当取B时目标函数取得最小值-4-1=-56. 若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A. 48920B. 49660C. 49800D. 51867【答案】C【解析】根据题意：表示不超过的最大整数，且所以该程序运行后输出的结果中是：39个0与40个1,40个2,40 个3，……，40个49，个50的和，所以输出的结果为学.科.网...7. 数列满足，（），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以8. 《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人9. 某几何体的正视图和侧视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形（如图（2）），其中，，则该几何体的侧面积及体积为（）A. 24，B. 32，C. 48，D. 64，【答案】C【解析】有三视图可知该几何体为一个四棱柱：因为它的的直观图时矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为，体积为10. 已知函数（）的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：，，，则11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且（），，双曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，由双曲线的定义可知：，，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中由勾股定理可得：得点睛：首先要熟悉双曲线的定义，求解离心率主要是建立等式关系，可根据几何关系一般是找勾股定理或代坐标或利用正余弦定理建立等式12. 已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出函数图像：又直线恒过（0，-0.5）当直线经过点A时恰好三个交点此时斜率k=0.5，当直线与lnx相切时为第二个临界位置，设切点为，故切线方程为：过（0，-0.5）得故选D点睛：本题解题关键是画出函数的草图，然后找到符合题意的临界值求解即可第Ⅱ卷（共90分）学.科.网...二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在锐角中，角，所对的边长分别为，，若，则_________．【答案】【解析】由正弦定理根据边化角可得：，所以14. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．【答案】【解析】以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直线和所成角的余弦值等于15. 若，都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题可知：，故==当且仅当x=y时取得等号16. 已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数图像可知：当时有三个交点，故实数的取值范围是点睛：本题关键是画出函数图形，结合图像可得符合题意的范围即从而得出结论三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角：得从而求出A（2）由，，成等比数列得，然后根据等差数列通项公式和性质可得求出d然后再用裂项相消求和即可试题解析：（1）由正弦定理可得，从而可得，即.又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形的内角，所以.（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，所以，且，解得，所以，所以，所以.点睛：解三角形问题要注意多结合正弦定理的边角互化原理变形求解即可，对于本题第二问可以得到通项的形式可得求和方法为裂项相消法学.科.网...18. 如图，将直角三角形绕直角边旋转构成圆锥，四边形是的内接矩形，为母线的中点，.（1）求证：平面；（2）当时，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（Ⅱ）借助题设条件运用等积法求解。

2020届河北省衡水密卷高三第三次联考文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设集合，则A. B.C. D.2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数的大致图像为A. B.C.D.4.若，则A.B.C.D.5.双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A.B.C. D. 26.若满足x，y约束条件1020220x yx yx y-+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为A．32B．1C．1-D．3-7.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为cm，它的体积是A3cm B．39cm2C3cm D．327cm29.平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为A. 16B. 20C. 21D. 2210.设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为A. B. C.D. 11.已知等差数列，，其前项和为，，则=A.B.C.D.12.若直线y x b =+与曲线3y =-b 的取值范围是A ．11⎡-+⎣,B ．1⎡-+⎣C ．1⎡⎤-⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知函数()31f x x ax =++的图象在点()()11f ,处的切线过点()11-,，则a =_______．14.将函数()sin 22f x x x =的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后看，所得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 ．15.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8K ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前项和，若2020a M =则2018S =__________．(用M 表示)16.已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，取得最大值，当点在时，取得最小值.则__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分） 在中，角，，所对的边分别是，，，且.（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求.18.（本大题满分12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附：19.（本大题满分12分）.如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，、、、分别是棱、、、的中点.（I）证明：四边形为矩形；（II）若平面平面，求点到平面的距离.20.（本大题满分12分）已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.21.（本大题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有三个极值点，，，求证：.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。

2020年河北省衡水中学高考数学第三次联考数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x−2<0}，N={x|−1<x<1}，则()A. M是N的真子集B. N是M的真子集C. M=ND. M∩N=⌀2.复数z=2+i1−2i的虚部为()A. −53B. −53i C. 1 D. i3.如图是2010—2019年这10年我国普通高校毕业生人数统计图(单位：万人)，则下列说法错误的是A. 2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多B. 这10年中，普通高校毕业生人数的极差超过200万C. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多D. 这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2016年普通高校毕业生人数增长最少4.圆x2+y2+4x−2y−1=0上存在两点关于直线对称，则1a +4b的最小值为()A. 8B. 9C. 16D. 185.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0,x−y≤0,x−2y+2≥0,则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 26.在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3⋅a n−2=64，且前n项和为S n=62，则n=()A. 6B. 5C. 4D. 37.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是()A. g(x)=sin(2x+π3) B. g(x)=sin(2x+π6)C. g(x)=sin(2x−π3) D. g(x)=sin(2x−π6)8.已知函数f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，则f(−π3)=()A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π69. 如图，已知在△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点．若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( ) A. −13B. −12C. −14D. 1210. 一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为( )A. C 43⋅C 44B. C 83−C 43C. 2C 41⋅C 42+C 43 D. C 83−C 43+1 11. 如图，两个椭圆x 225+y 29=1，y 225+x 29=1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到F 1(−4,0)、F 2(4,0)、E 1(0,−4)、E 2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y =x 、y =−x 均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36． 上述判断中正确命题的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，CC 1=2√2，P ，E 分别为AC 1，CC 1的中点，则三棱锥P −BDE 的体积为( )A. 2√23B. √2C. 2√2D. √23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(x 2−1x +2)5的展开式中x 3项的系数为______ ．14. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10=40，则a 3⋅a 8的最大值为______． 15. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．16.已知函数f(x)=e|x−1|+|x−1|，若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S△ABC=√3accosB，2．点D在BC上，CD=2,且cos∠ADB=−17(Ⅰ)求B的值；(Ⅱ)若c=8，求b的值．18.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=3AF．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若BE与平面ABCD所成角为60°，求二面角F−BE−D的正弦值．19.某学院为了调查本校学生2018年9月“阅读相伴”(“阅读相伴”是指一天中课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，⋯，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数;(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望EY．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，直线l经过F2与椭圆交于P，Q两点，当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，|PQ|=3．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l不垂直于x轴，若T(t,0)满足|TP|=|TQ|，求t的取值范围．21. 已知函数f(x)=2(a −1)x +b ．(1)讨论函数g(x)=e x −f(x)在区间[0,1]上的单调性．(2)已知函数ℎ(x)=e x −xf(x2)−1，若ℎ(1)=0，且函数ℎ(x)在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x +3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)当a ≥0时，关于x 的不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合间关系的判断，属于基础题目．求出集合M，得出关系即可．【解答】解：M={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，∴N是M的真子集．故选B．2.答案：C解析：【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解得到a+bi即可．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的基本概念，是基础题．【解答】解：复数z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+5i−25=i．复数z的虚部为：1．故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查条形图的性质等基础知识，是基础题.由统计图可得A、B、C正确，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．【解答】解：从图表中看出2010年以来，普通高校毕业生的人数逐年增多，故A正确;这10年中，普通高校毕业生人数的极差为834−631=203>200万，故B正确;这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2017年普通高校毕业生人数增长最多，故C正确;这10年中从2011年起，每一年与上一年相比，2019年普通高校毕业生人数增长最少，故D错误．故选D ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 由圆的对称性可得，直线ax −2by +2=0必过圆心(−2,1)，所以a +b =1， 再用乘“1”法，结合基本不等式，即可求出1a +4b 的最小值． 【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax −2by +2=0必过圆心(−2,1)， 所以a +b =1．所以1a +4b =(1a +4b )(a +b)=5+ba +4a b≥5+4=9，当且仅当ba =4a b，即2a =b 时取等号，故选B ．5.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52． 故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：B解析： 【分析】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质．根据等比数列的性质得a 1a n =a 3⋅a n−2=64，结合数列递增可解得a 1=2，a n =32，再由S n =62求出公比q ，可得n 值．【解答】解：设等比数列公比为q，可得a1a n=a3⋅a n−2=64，又a1+a n=34，解得a1=2，a n=32，或a1=32，a n=2，∵等比数列{a n}递增，∴a1=2，a n=32，∵S n=62，∴a1−a n q1−q =2−32q1−q=62，解得q=2，∴32=2×2n−1=2n，解得n=5故选：B7.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意，将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象，故选C．8.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的奇偶性及计算，先通过函数为奇函数f(x)=−f(−x)，求出a的值，再求出答案即可，属于简单题．【解答】解：∵f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)，即axsinx+xcosx=−a(−x)sin(−x)+xcos(−x)，解得a=0，∴f(x)=xcosx，f(−π3)=−π6．故选A．9.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量的线性运算性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题目． 结合图形，利用平面向量的线性运算性质，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出m 、n 的值即可． 【解答】解：△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，E 为线段AD 的中点， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =13，n =−56； ∴m +n =−12． 故选：B ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查排列组合的运用，本题运用排除法分析较为简单，注意共圆的4个点依然确定一个圆，容易误选B .根据题意，用排除法分析，先在8个点中任选3个点，再排除其中由于4点共圆重复的情况，即可得答案． 【解答】解：根据题意，先在8个点中任选3个点，有C 83种取法， 其中有4个点共圆，即其中重复的圆有C 43种情况， 则这8个点最多确定的圆的个数为C 83−C 43+1．故选D ．11.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．【解答】解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．12.答案：A解析：【分析】由题意画出图形，证得PE⊥面PBD，由三角形中位线知识求得PE、PO的长，然后利用等积法求得三棱锥P−BDE的体积．本题考查棱锥体积的求法和线面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力和思维能力，考查了等积法求三棱锥的体积，是中档题．【解答】解：如图连接AC、BD交于O，连接PO，P，O分别为AC1，AC的中点，则PO//CC1，∵CC1⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，则PO⊥AC，又AC⊥BD，PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵P，E分别为AC1，CC1的中点，∴PE//AC，则PE⊥平面PBD．∵AB=2，CC1=2√2，∴BD=2√2，PO=12CC1=√2，则S△PBD=12×2√2×√2=2，PE=12AC=12×2√2=√2，∴V P−BDE=V E−PBD=13×2×√2=2√23．故选：A．13.答案：−120解析：解：二项式(x2−1x +2)5=[(x2−1x)+2]5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(x2−1x)5−r⋅2r．对于(x2−1x )5−r，它的通项公式为T r′+1=(−1)r′⋅C5−rr′⋅x10−2r−3r′，其中，r′≤5−r，0≤r≤5，r、r′都是自然数．令10−2r−3r′=3，可得{r=2 r′=1．∴展开式中x3项的系数为C52⋅22⋅(−1)⋅C31=−120，故答案为：−120．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r、r′的值，即可求得x3项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：16解析：解：∵正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，∴{a3>0a8>0a3+a8=40×210=8，∴a3a8≤(a3+a82)2=16．∴当且仅当a3=a8时，a3⋅a8的最大值为64．故答案为：16．利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3⋅a8的最大值．本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．15.答案：6解析： 【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值． 【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)， 准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)， B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2， 则|AF|=|AB|=√12+p 2， 所以p|AF|=sin π3，即√12+p 2=√32， 解得p =6． 故答案为6．16.答案：(1,+∞)解析： 【分析】由题意得f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，且函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点，画出图象得出k 的取值范围． 【解答】解：f(x)={e x−1+x −1,x ≥1e 1−x +1−x,x <1，由题意方程f(x)=k 有两个不同实根， 则函数y =f(x)与y =k 的图象有两个不同交点， 所以k >1，故实数k的取值范围是(1,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得12acsinB=√32cacosB，∴tanB=√3，∵0<B<π，∴B=π3．(Ⅱ)∵cos∠ADB=−17，∠ADB∈(0,π)，∴sin∠ADB=√1−cos2∠ADB=4√37，∴在△ABD中，由正弦定理可得：AD=ABsin∠ABDsin∠ADB =8×√324√37=7，在△ADC中，由余弦定理得b2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos∠ADC，∵cos∠ADC=−cos∠ADB=17，∴b=√72+22−2×7×2×17=7．解析：本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理和余弦定理的应用．注重了对学生基础知识的考查，属于基础题．(Ⅰ)利用面积公式和已知等式求得tan B的值，进而求得B．(Ⅱ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由正弦定理可得AD的值，在△ADC中，由余弦定理可求b的值．18.答案：证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为BD∩DE=D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE．解：(2)据题设知，DA，DC，DE两两互相垂直，以DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D−xyz如图所示，因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE =60°，所以EDDB =√3， 又AD =3，DE =3AF ，可知DE =3√6，AF =√6，则A(3,0，0)，F(3,0，√6)，E(0,0，3√6)，B(3,3，0)，C(0,3，0)， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√6)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0，−2√6)， 设平面BEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0， 令z =√6，则m ⃗⃗⃗ =(4,2，√6)， 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDE 的法向量，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−3,0)， 所以，所以．因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的正弦值为2√3913．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，涉及线面角的概念，考查计算能力，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属中档题．(1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE ； (2)建立空间直角坐标系D −xyz ，分别求出平面BEF 的法向量和平面BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值，再求正弦值．19.答案：解：(1)由图可知“阅读相伴”天数超过20的频率为(0.04+0.01)×5=0.25，所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40×0.25=10．(2)随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，因为Y 服从超几何分布H(2,10，40)， 所以P(Y =0)=C 302C 402=2952，P(Y =1)=C 101C 301C 402=513，P(Y =2)=C 102C 402=352．所以Y 的分布列为：所以Y的数学期望为EY=0×2952+1×513+2×352=12(或EY=10×240=12).解析：(1)根据频率分布直方图计算出频率，然后利用求出的频率进行求解即可；(2)发现随机变量的取值可能是0，1，2，然后满足超几何分布，接着求解出对应的概率，列出分布列从而利用期望公式求解即可．20.答案：解：(1)直线l经过F2与椭圆交于P，Q两点，当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，可得直线l垂直于x轴，可令x=c，可得y=±√1−c2a2=±b2a，可得|PQ|=2b2a=3，又e=ca =√1−b2a2=12，解得a=2，b=√3，可得椭圆的方程为x24+y23=1；(2)设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程3x2+4y2−12=0，可得(4+3m2)y2+6my−9= 0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，△=36m2+36(4+3m2)>0恒成立，y1+y2=−6m4+3m2，即有PQ的中点的纵坐标为−3m4+3m2，将中点纵坐标代入x=my+1中，则PQ的中点H(44+3m2,−3m4+3m2)，由|TP|=|TQ|，可得TH⊥PQ，即有3m4+3m2t−44+3m2=−m，可得t=14+3m2∈(0,14).解析：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线垂直的条件，以及化简运算能力，属于中档题．(1)由题意可得当PF1与y轴的交点是线段PF1的中点时，可得直线l垂直于x轴，求得|PQ|，结合离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，可得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得PQ的中点坐标，由|TP|=|TQ|，可得TH⊥PQ，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合不等式的性质可得t的范围．21.答案：解：(1)由题得g(x)=e x−2(a−1)x−b，所以g′(x)=e x−2(a−1)．当a ⩽32时，g′(x )≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增； 当a ⩾e2+1时，g′(x )≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减； 当32<a <e 2+1时，令g′(x )=0，得x =ln(2a −2)∈(0,1)，所以函数g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增． 综上所述，当a ⩽32时，函数g(x)在[0,1]上单调递增；当32<a <e 2+1时，函数g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增； 当a ⩾e 2+1时，函数g(x)在[0,1]上单调递减． (2)ℎ(x)=e x −xf(x2)−1=e x −(a −1)x 2−bx −1，ℎ′(x )=e x −2(a −1)x −b =g(x)，设x 0为ℎ(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由ℎ(0)=ℎ(x 0)=0， 可知ℎ(x)在区间(0,x 0)上不单调，则g(x)在区间(0,x 0)内存在零点x 1，同理，g(x)在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ⩽32时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意； 当a ⩾e2+1时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意． 当32<a <e 2+1时，g(x)在[0,ln(2a −2)]上单调递减，在(ln(2a −2),1]上单调递增．因此 x 1∈[0,ln(2a −2))，x 2∈(ln(2a −2),1]，必有g(0)=1−b >0，g(1)=e −2a +2−b >0， 由ℎ(1)=0，得a +b =e ，g(12)=√e +1−e <0.又g(0)=a −e +1>0，g(1)=2−a >0，解得e −1<a <2．所以a 的取值范围是(e −1,2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由题得g(x)=e x −2(a −1)x −b ，所以g′(x )=e x −2(a −1).对a 分类讨论即可得出单调性． (2)ℎ(x)=e x −xf(x2)−1=ex −(a −1)x2−bx −1，ℎ′(x )=e x −2(a −1)x −b =g(x)，由(1)知，当a ≤32时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意．当a ≥e2+1时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点，不合题意，所以32<a <e2+1，再利用单调性即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)． 直线l 2的普通方程为y =x+2k，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4， 即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4． 由{x =ρcosθy =ρsinθ得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4；化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4． (Ⅱ)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4， 得ρ2(34+4⋅14)=4， ∴ρ2=167，得ρA =√7由已知得：ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρ=4代入方程l 3得sin(π6+φ)=√22，又0<φ<π2， ∴π6<π6+φ<2π3，∴π6+φ=π4， 解得：φ=π12．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用．23.答案：解：(Ⅰ)当x <−3时，不等式f(x)≤2可化为−x +4≤2，无解；当−3≤x ≤12时，不等式f(x)≤2可化为−3x −2≤2，解得−43≤x ≤12； 当x >12时，不等f(x)≤2可化为x −4≤2，解得12<x ≤6； 综上，不等式f(x)≤2的解集为[−43,6]； (Ⅱ)由(Ⅰ)易得f(x)min =f(12)=−72． 当a =0时，f(x)≥−4显然成立，当a >0时，不等式f(x)≥−ax 2+ax −4恒成立⇔不等式−ax 2+ax −4≤−72，恒成立． ⇒ax 2−ax +12≥0恒成立．∴Δ=a 2−2a ≤0，(a >0)． ∴0<a ≤2．综上，实数a 的取值范围为[0,2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．(Ⅰ)对x分类去掉绝对值，分别解一次不等式，再求并集即可；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质，求得f(x)的最小值，即可得到a的范围．。