第二十二课平行四边形及特殊平行四边形

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的共同性质是：对边平行且相等，对角线相等。

其中，矩形还有一个特殊性质是有一个角为直角，菱形还有一个特殊性质是四条边相等，正方形则同时满足矩形和菱形的特殊性质。

2.判定方法小结：1)判定平行四边形的方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分；⑤一组对边平行且相等。

2)判定矩形的方法：①有一个角是直角；②对角线相等；③有三个角是直角；④对角线相等且互相平分。

3)判定菱形的方法：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直；③四边都相等；④对角线互相垂直平分。

4)判定正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角；②对角线互相垂直且相等；③对角线互相垂直平分且相等。

3.基础达标训练：1）两条对角线的四边形是平行四边形；2）两条对角线的四边形是矩形；3）两条对角线的四边形是菱形；4）两条对角线的四边形是正方形；5）两条对角线的平行四边形是矩形；6）两条对角线的平行四边形是菱形；7）两条对角线的平行四边形是正方形；8）两条对角线的矩形是正方形；9）两条对角线的菱形是正方形。

1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作1个。

2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是8cm和12cm。

3.在平行四边形ABCD中，直线通过两对角线交点O，分别与BC和AD相交于点E和F。

已知BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长为多少？答案：C。

16解析：根据平行四边形的性质，AE=CD=5，BF=BC=7.由于OE=2，因此EF=BC-OE=5.所以ABEF是一个边长分别为5和7的矩形，周长为2（5+7）=16.4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为多少？答案：B。

6解析：由于CE∥BD，DE∥AC，因此三角形AOD和BOC相似，三角形COE和DOE相似。

平行四边形及特殊的平行四边形知识点归纳总结平行四边形，就像是数学世界里的一个灵动的精灵，总是充满着各种奇妙的特点和变化。

先来说说平行四边形的定义吧。

两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。

这就好比两个人，各自朝着不同的方向前进，但是步伐始终保持平行，是不是很有趣？平行四边形的性质那可不少。

它的对边相等，这就像双胞胎一样，长得一模一样，不分彼此。

对边平行就更不用说啦，一直朝着相同的方向延伸，不离不弃。

还有啊，它的对角相等，邻角互补。

这就好像是好朋友，有相同的兴趣爱好，也能互相补足。

平行四边形的判定方法也很重要哦。

两组对边分别平行的四边形，这是定义判定，就像一把最直接的钥匙打开大门。

两组对边分别相等的四边形，这不就像是找到了两个一模一样的拼图块，拼在一起就是完整的图形嘛。

一组对边平行且相等的四边形，这就好比一个人既有前进的方向，又有足够的实力，肯定能到达目的地。

对角线互相平分的四边形，就像两个人共同分享一个宝贝，公平分配，和谐共处。

说完平行四边形，咱们再来瞧瞧特殊的平行四边形。

菱形，那可是有棱有角的美。

菱形的四条边都相等，这不就像是四个一样高的小伙伴手拉手站成一圈。

菱形的对角线互相垂直且平分，各自都有自己的职责，又能互相配合。

矩形呢，方方正正，有规有矩。

矩形的四个角都是直角，就像是四个坚定的战士，昂首挺胸，威风凛凛。

矩形的对角线相等，仿佛是两条实力相当的巨龙，不分上下。

正方形就更厉害啦，它既是菱形又是矩形，集两家之长。

正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。

这就如同一个全能的超人，无所不能。

掌握这些知识点，就像是拥有了一把打开数学宝藏的钥匙。

当你在数学的海洋中遨游时，这些知识能让你如鱼得水，轻松应对各种难题。

难道你不想拥有这样的能力吗？还不赶紧把这些知识装进你的脑袋里，让它们成为你攻克数学难题的有力武器！总之，平行四边形及特殊的平行四边形的知识点就像是一个丰富多彩的宝藏库，等待着我们去探索、去挖掘、去运用。

几种特殊平行四边形的特征和识别菱形＝邻边相等的平行四边形。

特征＝对角线垂直且互相平分，四边相等，轴对称且中心对称及平行四边形所具性质。

识别＝（1）定义（2）平行四边形＋对角线互相垂直（3）四边相等矩形＝有一个角为直角的平行四边形。

特征＝四内角为为直角，对角线相等，轴对称且中心对称及平行四边形所具性质。

识别＝（1）定义（2）平行四边形＋对角线相等（3）三个角为直角的四边形（4）对角线互相平分且相等正方形＝既是矩形又是菱形特征＝具有矩形及菱形的一切性质识别＝（1）四边形（2）平行四边形（3）菱形（4）正方形方法有多种，原则：先判为矩形或菱形，再判定为正方形。

15.2 分式的运算第1课时分式的乘除【知识与技能】掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.【过程与方法】在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.【情感态度】在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则，能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.一、情境导入，初步认识观察下列算式：由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；分数的除法法则是 .思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则，可激发学生的学习兴趣，增强求知欲.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：···a d a db c b c.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：···a d a c a cb c b d b d÷== .【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论，让学生在合作交流中感受新知；教师不必直接给出结论.在教学时，教师可进一步地展示下面的一些问题，帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时，上述三个问题教师可延时展示给学生，让学生逐一思考，获得结论.教师巡视，对有困难的学生适时给予指导，同时分别选派2～3名学生上黑板演示，师生共同评析.在问题1中，着重于除式是整式情形，这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算；问题中侧重于运算结果应予以约分化简，必须是最简分式时才算运算结束；问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形，此时应注重于分解因式，以便于约分化简，整个过程都应是学生自主探究，合作交流来完成的.三、典例精析，掌握新知【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究，抽学生回答，教师适时点拨，师生共同寻求解题方法，完成解题过程.在完成之后，教师可引导学生做P138练习第2、3题，在这个过程中，仍可让学生举手回答，教师予以点评.四、运用新知，深化理解1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？【教学说明】这两个题可由学生自主探究，获得结论，教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动，课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？谈谈你的看法，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课，主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说，其方法有两种：一种是先约分再乘；另一种是先乘再约分.一般应这样处理：如果分子分母全是单项式，就用先乘后约分的方法；如果分子分母含有可分解因式的多项式，就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式，你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法，就是约分后把每个约好的式子写在原来的上（分子）下（分母）方，不约的照抄，最后就看写着结果再相乘，既不容易漏乘，也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上，教师应努力结合现实的问题情境，引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的，为了避免单纯的机械计算，将计算学习与解决问题有机结合，创设学生喜欢的实际情境，引导学生根据实际问题的数量关系，列出算式.勾股定理的应用——蚂蚁怎么走最快学情分析：在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理及其逆定理的内容并能运用它们解决一些数学问题。

平行四边形及特殊平行四边形的判定方法总结1.平行四边形的判定方法：(1)边平行法：若四边形的对边都平行，即其中一对对边的斜率相等，则该四边形是平行四边形。

(2)同位角相等法：若四边形的两组对顶角相等，则该四边形是平行四边形。

(3)对角线平行法：若四边形的对角线互相平行，则该四边形是平行四边形。

(4)同位线相交法：若四边形的一对对边分别在第三对边的同位点上相交，则该四边形是平行四边形。

2.矩形的判定方法：(1)边相等法：若四边形的对边长度相等，则该四边形是矩形。

(2)同位角为直角法：若四边形的一对对顶角为直角，即为90度，则该四边形是矩形。

(3)对角线相等法：若四边形的对角线长度相等，则该四边形是矩形。

3.正方形的判定方法：正方形是矩形的一种特殊情况，所以可以使用矩形的判定方法来判定正方形。

此外，还有以下方法来判定正方形：(1)边相等且同位角为直角法：若四边形的对边长度相等且一对对顶角为直角，即为90度，则该四边形是正方形。

(2)对角线相等法：若四边形的对角线长度相等，则该四边形是正方形。

4.菱形的判定方法：(1)边相等法：若四边形的对边长度相等，则该四边形是菱形。

(2)对角线垂直相等法：若四边形的对角线相互垂直且长度相等，则该四边形是菱形。

(3)对角线角平分法：若四边形的一对对角线的夹角为90度，并且相互平分，则该四边形是菱形。

总结起来，判定平行四边形的方法包括边平行法、同位角相等法、对角线平行法和同位线相交法。

对于特殊平行四边形如矩形、正方形和菱形，可以通过判定边相等、同位角为直角、对角线相等等属性得出结论。

这些判定方法可以帮助我们快速准确地判断出平行四边形及其特殊情况。

正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）判定矩形的常用方法（3种）
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）判定菱形的常用方法（3种）
①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
③说明四边形ABCD的四条边相等．
（3）判定正方形的常用方法。

第1课平行四边形及特殊的平行四边形知识点1 平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.性质：①对边平行且相等；②对角相等，邻角互补；③对角线互相平分；3.判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例1.如图1.1所示，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，图中有多少个平行四边形？解析：认真观察图形，根据平行四边形的定义确定不要漏掉较大的□ABCD。

图1.1例2.如图1.2所示，在□ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，则□ABCD的周长为 cm。

解析：利用平行四边形对边相等的性质进行计算。

A 图1.2 B例3.如图1.3所示，在□ABCD中，∠A＋∠C＝160°，求∠A，∠B，∠C，∠D 的度数。

解析：利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质进行计算。

图1.3例4.如图1.4所示，□ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线交AB于点E，交CD于点F，可得OE＝OF，为什么？解析：要得到OE＝OF，可先证△OEB≌△OFD。

图1.4知识点2 两条平行线之间的距离平行四边形的面积＝底×高＝ah （a 是平行四边形的任一条边长，h 是边长为a 的边与其对边的距离）。

4.同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。

5.平行四边形的两条对角线把它分割为四个面积相等的三角形。

例5.如图1.5所示，E 是□ABCD 的一边AD 上任意一点，若△EBC 的面积为1S ，□ABCD 的面积为S ，则下列S 与1S 的大小关系中正确的是（ ）A 1S ＝21S B. 1S ＜21S C. 1S ＞21S D.无法确定 图1.5 解析：过点E 向BC 作垂线，然后利用三角形面积公式求出1S ，利用平行四边形面积公式求出S ，最后进行比较。