高考数学(理)一轮规范练【63】离散型随机变量的均值与方差、正态分布(含答案)

课时限时检测(六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 2．已知X 的分布列为则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3.正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6【答案】 B4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 【答案】 B5．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 【答案】 C6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E (ξ)为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【答案】 0.88．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋1【答案】 239．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：【答案】 4 760三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.求p 0的值．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)【解】 由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2.11．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：8.75(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为416＝14，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率P ＝14ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764 P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫14234＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164所以ξ的分布列为E ξ＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝0.75另解由题可知ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14，所以E ξ＝3×14＝0.75.12．(13分)如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为XX的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.。

离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。

第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.均值一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 22i i n n .它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态.,(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 直接给出了E (X )的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X 的分布列为：则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度.而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D (X )越大，表明平均偏离程度越大，X 的取值越分散.反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布 (1)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.[熟记常用结论]若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、选填题1.已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73 B.4 C.－1D.1解析：选A ∵E (X )＝－12＋16＝－13，∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.2.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439D.599解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.3.设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜0)＝( ) A.12＋p B.1－p C.1－2pD.12－p 解析：选D 因为随机变量X 服从正态分布N (0,1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称， 所以P (X ＞0)＝P (X ＜0)＝12，P (X ＞1)＝P (X ＜－1)＝p ，所以P (－1＜X ＜0)＝P (X ＜0)－P (X ＜－1)＝12－p .4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案：9165.一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________.解析：X 的分布列为：∴E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.答案：52考点一 离散型随机变量的均值与方差[师生共研过关][典例精析]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).[解] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝⎛⎭⎫1－14－12×⎝⎛⎭⎫1－16－23＝14×16＝124， 故两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16×14＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.ξ的分布列为：E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003. [解题技法]求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E (ξ). (5)由方差的定义求D (ξ).[过关训练]1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.105解析：选B 设P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝q ，由题意得⎩⎨⎧0×15＋p ＋2q ＝1，15＋p ＋q ＝1，解得p ＝35，q ＝15，∴D (X )＝15(0－1)2＋35(1－1)2＋15(2－1)2＝25.2.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925. (2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740， P (X ＝3)＝1120. 所以X 的分布列为：E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.考点二 二项分布的均值与方差[师生共研过关][典例精析](2019·成都检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解] (1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0,1,2,3，易知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫233－k ，k ＝0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127. ∴随机变量X 的分布列为：数学期望E (X )＝3×13＝1，方差D (X )＝3×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝23. [解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).[过关训练]1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)解析：∵X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝4，D (X )＝np (1－p )＝43，解得n＝6，p ＝23，∴P (X ＝2)＝C 26×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－234＝20243. 答案：202432.(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1， 解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均值x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克). 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24.6克. (2)该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. ∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35⎝⎛⎭⎫或者E (X )＝3×15＝35考点三 均值与方差在决策中的应用[师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ [解] (1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2·(1－p )18， 所以f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17] ＝2C 220p (1－p )17(1－10p ).令f ′(p )＝0，得p ＝0.1. 当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )＞0； 当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )＜0. 所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于EX ＞400，故应该对余下的产品作检验.[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.[过关训练]某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为：∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200，D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为：∴E (X 2)＝500×35＋0×115＋(－300)×13＝200，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)＜D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 考点四 正态分布[师生共研过关][典例精析](1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )(2)(2019·太原模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( )A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人. [解析] (1)由正态曲线的性质及题图知，μ1＜μ2,0＜σ1＜σ2.故对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )正确.(2)因为随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，所以P (X ≤2)＝0.158 7，所以P (2＜X ＜4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝0.682 6，故选A.(3)因为数学成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)， 所以其正态分布曲线关于直线x ＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×⎝⎛⎭⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人).[答案] (1)C (2)A (3)180[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.[过关训练]1.(2019·武汉模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( )A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析：选B ∵P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，∴μ＝2＋62＝4.又P (2≤ξ≤6)＝1－P (ξ＜2)－P (ξ＞6)＝0.7，∴P (2≤ξ＜4)＝P (2≤ξ≤6)2＝0.35，故选B. 2.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x )2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6).因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。

第九讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__.知识点二 均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __. (2)D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__. *(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.知识点三 两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝__p (1－p )__. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝__np (1－p )__. 知识点四 正态分布 (1)正态曲线：函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X ～N (μ，σ2)__.(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴__上方__，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x ＝μ__对称；③曲线在__x ＝μ__处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝__0.682_6__； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝__0.954_4__； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要结论计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( ABC )A ．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定B ．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小C ．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差D ．若X ～N (0,1)，则P (x <－12)<P (x ≥12)题组二 走进教材2．(P 68A 组T1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A ．73B ．4C ．－1D ．1 [解析]E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.3．(P 75B 组T2改编)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( B )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] 由题意知(a －5)＋(a ＋1)2＝4，∴a ＝6.题组三 考题再现4．(2019·南通模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( A )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7[解析] ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2<X <4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A ．5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.[解析] 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×0.98＝1.96.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 离散型随机变量的均值与方差的概念与性质——自主练透例1 (1)(2018·课标Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3(2)(2020·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B )A ．85B ．65C ．45D ．25(3)(2019·浙江卷，7)设0<a <1.随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，( A ．D (X )增大 B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大[解析] (1)由题知X ～B (10，p )，则D (X )＝10×p ×(1－p )＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P (X＝4)<P (X ＝6)，即C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4⇒(1－p )2<p 2⇒p >0.5， ∴p ＝0.6，故选B ．(2)由题意知，X ～B (5，3m ＋3)，∴E (X )＝5×3m ＋3＝3，解得m ＝2，∴X ～B (5，35)，∴D (X )＝5×35×(1－35)＝65.故选B ．(3)随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝[(0－a ＋13)2＋(a －a ＋13)2＋(1－a ＋13)2]×13＝29(a 2－a ＋1) ＝29(a －12)2＋16， 当a ∈(0，12)时，D (X )单调递减，当x ∈(12，1)时，D (X )单调递增，故选D ．名师点拨 ☞若X 是随机变量，则Y ＝f (X )一般仍是随机变量，在求Y 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求Y 的分布列带来的烦琐运算．〔变式训练1〕(2019·辽宁省丹东质量测试)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望E (X )＝__300__.[解析] 设没有发芽的种子数为Y ，则有X ＝2Y ，由题意可知Y 服从二项分布，即Y ～B (1 000,0.15)，E (Y )＝1 000×0.15＝150， E (X )＝2E (Y )＝300.考点二 求离散型随机变量的均值与方差——多维探究角度1 二项分布的均值、方差问题例2 (2019·沈阳模拟)某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X 的分布列和数学期望E (X )和方差D (X )．[解析] (1)依题意，培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5＝60，在[95,100)小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意职工人数为80人，所求概率估计为P ＝60＋20200＝25.(2)依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 03(35)3＝27125， P (X ＝1)＝C 13×25×(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2×35＝36125， P (X ＝3)＝C 33(25)3＝8125， 则随机变量X 的分布列为X123。

离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练[基础强化]一、选择题1．设随机变量X 的分布列如下：X 1234P161316p则p 为()A ．16B ．13C ．23D ．122．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)等于()A ．13B ．14C ．12D ．233．已知X 是离散型随机变量，P (X ＝1)＝14，P (X ＝a )＝34，E (X )＝74，则D (2X －1)＝()A ．25B ．34C ．35D ．564．设随机变量ξ的分布列为＝ak (k ＝1，2，3，4，5)，则P ξ等于()A ．35B ．45C ．25D ．155．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k，k ＝1，2，3，则m 的值是()A ．1736B ．2738C ．1719D ．27196．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X 的分布列为()7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝()A．19B．16C．13D．148．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束，则利润的均值为()A.706元B．690元C.754元D．720元9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X.若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围为()A.0，12B0，712C.12，1D712，1二、填空题10．已知离散型随机变量X的分布列如下：X01P9C2－C3－8C则常数C＝________．11．设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________．12．随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________．[能力提升]13．设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0，1)内增大时()A．D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大14．(多选)随机变量ξ的分布列为ξ012P a b2b2其中ab≠0，则下列说法正确的是()A.a＋b＝1B.E(ξ)＝3b2C.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值15．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．16．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．参考答案与解析1．B 由分布列的性质可知16＋13＋16＋p ＝1.∴p ＝13.2．D ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，由分布列的性质可知a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)＝1－13＝23.3．B 由题意知：1×14＋a ×34＝74，∴a ＝2.∴D (2X －1)＝4D (X )＝×14＋×34＝34.故选B.4．C 由题意知，分布列为ξ152535451P a 2a 3a 4a 5a由分布列的性质可得，a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.所以ξ＝＋＋＝115＋215＋315＝25，故选C.5．B 由题意得，＋49＋＝1，∴m ＝2738.6．A 由题可知P (X ＝0)＝C 23C 27＝321＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－17＝67.7．C 由分布列的性质可知，12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3，P (X ＝2)＝22a ＝13.8．A E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706.故选A.9．A 由题可知P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75，解得p >52或p <12.由p ∈(0，1)，得p .故选A.10.13解析：由9C 2－C ＋3－8C ＝1，得C ＝13或C ＝23，又当C ＝23时，9C 2－C ＝9×49－23>1，不合题意，当C ＝13时符合题意．∴C ＝13.11.512解析：由分布列的性质知13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14.P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝16＋14＝512.12．1解析：∵随机变量X 的取值为0，1，2，P (X ＝0)＝0.2，D (X )＝0.4，∴设P (X ＝1)＝a ，则P (X ＝2)＝0.8－a ，0≤a ≤0.8.则E (X )＝0×0.2＋a ＋2(0.8－a )＝1.6－a .又D (X )＝(a －1.6)2×0.2＋(a －0.6)2a ＋(a ＋0.4)2(0.8－a )＝0.4，整理得a 2－0.2a －0.24＝0，解得a ＝0.6或a ＝－0.4(舍)，∴E (X )＝1.6－0.6＝1.13．D 由题意可得，E (X )＝1(a ＋1)，所以D (X )＝（a ＋1）227＋（1－2a ）227＋（a －2）227＝6a 2－6a ＋627＝29＋34，所以当a 在(0，1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.14．ABD 根据分布列的性质得a ＋b 2＋b2＝1，即a ＋b ＝1，故A 正确；根据数学期望公式得E (ξ)＝0×a ＋1×b＋2×b 2＝3b2，故B 正确；根据方差公式得D (ξ)2×a 2×b 22×b 2＝－94b 2＋52b ＝－942＋2536，因为0<b <1，所以当b ＝59时，D (ξ)取得最大值2536，故C 不正确，D 正确．故选ABD.15．乙解析：E (X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E (Y )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.因为E (Y )<E (X )，所以乙技术好．16．(1000，20000)解析：假设公司应要求顾客交保险金为100元，其公司收益的随机变量ξ的分布列为ξ100100－a P 0.9950.005则E (ξ)＝0.995×100＋0.005×(100－a )>0，解得a <20000，故a 的取值范围为(1000，20000).。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练62离散型随机变量的均值和方差、正态分布（含解析）[A 级 基础强化训练]1．已知X 的分布列X －1 0 1 P121316则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C [由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．]2．(2018·山东临沂期末)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4． A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413D ．4 772【答案】C [由曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.341 3，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341 3×10 000＝3 413.]3．(2018· 全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4所以p ＝0.4或0.6．又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6.]4．(2019·福建厦门模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，假定甲厂的产品都符合相应的执行标准．已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，则a ．【答案】0．3 0.2 [因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.] 5．(2019·山东济南模拟)在某项测量中，测量结果ζ服从正态分布N (0，σ2)，若ζ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ζ在(0,1)内取值的概率为____________．【答案】0．4 [∵ζ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P (ζ＜－1)＝0.1，∴P (ζ＞1)＝0.1，∴ζ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4.]6．(2019·东北三校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是____________．【答案】45 [根据题意ξ＝0,1,2，而P (ξ＝0)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445，P (ξ＝2)＝C 24C 210＝645．所以E (ξ)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.]7．从某校的一次学科知识竞赛成绩(百分制)中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：(1)求这50名同学竞赛成绩的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)根据频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为抽取的50名同学竞赛成绩的平均数x －．①利用该正态分布，求P (Z >74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求X 的数学期望．【答案】解 (1)这50名同学竞赛成绩的平均数x －＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60．(2)①由(1)可知，Z ～N (60,142)，故P (Z >74)＝1－P 60－14<Z <60＋142＝0.158 7．②由①知，某位同学参加此次学科知识竞赛的成绩超过74分的概率为0.158 7，依题意可知，X ～B (20,0.158 7)，所以数学期望E (X )＝20×0.158 7＝3.174．8．(2019·山东青岛模拟)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4；蓝球3个，编号分别为2,4,6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】解 (1)设A ＝“取出的3个球中含有编号为2的球”， 则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57． (2)由题意得，ξ可能取的值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435所以E (ξ)＝0×135＋1×35＋2×35＋3×35＝7．[B 级 能力提升训练]9．为了确保“两会”期间的安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A ，B 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.对阵队员A 队队员胜A 队队员负A 1对B 1 23 13 A 2对B 22535(1)求A (2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【答案】解 (1)设“A 队最后所得总分为1”为事件A 0， ∴P (A 0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41105．(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P (ξ＝3)＝23×25×37＝12105＝435， P (ξ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝40105＝821，P (ξ＝1)＝41105， P (ξ＝0)＝13×35×47＝12105＝435， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×435＋1×105＋2×21＋3×35＝105． ∵ξ＋η＝3，∴E (η)＝－E (ξ)＋3＝158105．由于E (η)＞E (ξ)，故B 队的实力较强．10．(2019·广东湛江模拟)为了提高城市空气质量，有效地防治大气污染，企业纷纷向“低碳型”经济项目投资．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ζ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ζ的概率分布列及数学期望E (ζ)；(2)a 的取值在什么范围之内，才能保证这100万元投资“低碳型”经济项目的投资收益期望值不低于投资“传统型”经济项目的投资收益期望值？【答案】解 (1)根据题意知，随机变量ζ的可能取值为20,0，－10，则ζ的分布列为数学期望为E (ζ)＝20×35＋0×5＋(－10)×5＝10．(2)设η表示把100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为数学期望为E (η)＝30a －20b ＝50a －20，依题意，得50a －20≥10，解得35≤a ≤1.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，1． 11．(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3． P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7．②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67．所以事件A 发生的概率为67．。

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布配套课时作业1．已知ξ的分布列则在下列式：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确． D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确． 2．(2019·广东佛山模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P ξ2＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B. 3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X ＝k 表示第(4－k )次命中目标， P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6，P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376. 4．(2019·大庆模拟)已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439 D.599答案 A解析 由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4D (ξ)＝4×89＝329. 5．(2019·福建厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400答案 B解析 将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1000，由题意可知ξ～B (1000,0.1)，所以E (ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X ＝2ξ，所以E (X )＝2E (ξ)＝200.故选B.6．2019年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( ) A ．80 B ．100 C ．120 D ．200答案 D解析 ∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，由对称性知成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为18×1600＝200.故选D. 7．(2019·潍坊统考)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3 B.83 C ．2 D.53答案 B解析 每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝89，因为甲3个轮次通过的次数X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，89，所以X 的数学期望为3×89＝83. 8．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a ∈N *)，现从中随机取出一球，再放入一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放入一个黑球；若取出的是黑球，则放入一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ.若E (ξ)＝3，则D (ξ)＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案 B解析 由题意得ξ的所有可能取值为2,4，且P (ξ＝2)＝33＋a ，P (ξ＝4)＝a 3＋a，∴E (ξ)＝2×33＋a ＋4×a 3＋a＝3，解得a ＝3， ∴P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝4)＝12，∴D (ξ)＝(2－3)2×12＋(4－3)2×12＝1.故选B. 9．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E (η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18答案 A解析 ∵η＝12ξ＋7，则E (η)＝12E (ξ)＋7，即E (η)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＋7＝34， ∴2m ＋3n ＝53，① 又14＋m ＋n ＋112＝1，∴m ＋n ＝23，② 由①②，可解得m ＝13. 10．(2019·广东茂名模拟)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%.)A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587答案 D解析 ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，∴P (0<X <2)＝68.26%，则P (1<X <2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.3413＝0.6587.∴向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是。

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布【考纲下载】1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，a r，取a i的概率为p i(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…，r)．(1)均值称EX＝a1p1＋a2p2＋…＋a r p r为随机变量X的均值或数学期望，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．(2)方差设X是一个离散型随机变量，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，称之为随机变量X的方差，记为DX.方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；(3)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.(4)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数．样本的均值、方差是一个变量．随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差．2．参数μ、σ在正态分布中的实际意义是什么？提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．1．(2014·惠州模拟)随机变量X的分布如表所示则EX＝________.解析：由分布列的性质可知：0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，所以a ＝0.2 EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7 答案：1.72．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值Eξ＝8.9A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析：选A 依题设知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋0.1＋0.3＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.2，y ＝0.4.3．设有一正态分布，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe －(x －10)28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：选B 由18πe －(x －10)28＝12πσe －(x －μ)22σ2，可知σ＝2，u ＝10.4．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则EY 解析：EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，EY ＝E(2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.答案：735．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝________.解析：因为P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4， 所以P(ξ>2)＝12×(1－2×0.4)＝0.1.答案：0.11．离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．2．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差； (2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值； (3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．[例1] (2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[自主解答] 法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎫2，25， 所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2×25＝45，从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝125.因为E(2X 1)>E(3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为 P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15， P(X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25， P(X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215， 所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E(X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X 1)>E(X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．(2012·天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A 2)＝C 24⎝⎛⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P(B)＝P(A 3)＋P(A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A 2)＝827，P(ξ＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝4081，P(ξ＝4)＝P(A 0)＋P(A 4)＝1781.所以ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望 Eξ＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.[例2] (1)两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为( )A ．abB ．a ＋bC ．1－abD ．1－a －b(2)一个盒子中装有大小相同的10个小球，其中2个红球，4个黑球，4个白球．规定：一次摸出3个球，如果这3个球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．①若某人摸一次球，求他获奖励的概率；②若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数，求P(ξ>1)及这10人所得钱数的均值．⎝⎛⎭⎫结果用分数表示，参考数据：⎝⎛⎭⎫141510≈12[自主解答] (1)设产生故障的电脑台数为X ，则X 可能值为0,1,2.则 P(X ＝0)＝(1－a)(1－b)＝1－a －b ＋ab ，P(X ＝1)＝(1－a)b ＋(1－b)a ＝a ＋b －2ab ， P(X ＝2)＝ab. 所以X 的分布列为则产生故障的电脑台数的均值为0×(1－a －b ＋ab)＋1×(a ＋b －2ab)＋2ab ＝a ＋b.(2)①若获得奖励，则摸出的3个球为同一色，因此获奖可能摸到的全是黑球或全是白球，获奖的概率为P ＝2C 34C 310＝115.②由题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，115.则 P(ξ>1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C 010⎝⎛⎭⎫1150·⎝⎛⎭⎫1－11510－C 110⎝⎛⎭⎫1151⎝⎛⎭⎫1－1159≈17. 设η为一个人所得钱数，则 Eη＝115×10－1415×2＝－65.所以E(10η)＝10E(η)＝10×⎝⎛⎭⎫－65＝－12. [答案] (1)B【方法规律】均值与方差的实际应用(1)DX 表示随机变量X 对EX 的平均偏离程度，DX 越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散；反之，DX 越小，X 的取值越集中在EX 附近，统计中常用D (X )来描述X 的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 12A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；(2)将x(0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值．解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为EY 1＝5×0.8＋10×0.2＝6，DY 1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； EY 2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，DY 2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100Y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 1002D(Y 1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 1002D(Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x)2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002) ＝161002(x －75)2＋3. 当x ＝75时，f(x)取到最小值为3.[例3] (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)正态分布N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．不确定 [自主解答] (1)因为ξ～N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8， 所以P(ξ≥4)＝1－(ξ<4)＝0.2， P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2. P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝12×[1－P(ξ≥4)－P(ξ≤0)]＝0.3. (2)设随机变量为ξ，则ξ～N(1,9)． 则u ＝1，σ＝3.m ＝P(2<ξ<3)＝12－P(ξ≥3)－P(1≤ξ≤2)．n ＝P(－1<ξ<0)＝12－P(ξ≤－1)－P(0≤ξ≤1)＝12－P(ξ≥3)－P(1≤ξ≤2)． 即m ＝n.[答案] (1)C (2)C 【互动探究】本例(1)中条件不变，若P(ξ>x)＝0.8，则x ＝________. 解析：∵ξ～N(2，σ2)，∴对称轴为x ＝2. 又∵()40.8P ξ<=，∴()00.8P ξ>=， 故x=0.【方法规律】关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法(1)熟记P(μ－σ<X ＜μ＋σ)，P(μ－2σ<X ＜μ＋2σ)，P(μ－3σ<X ＜μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上的概率相同． ②P(X<a)＝1－P(X ≥a)，P(X ≤μ－a)＝P(X ≥μ＋a)．提醒：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ＝μ，而不一定是x ＝0.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100，100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解：(1)由ξ～N(100,100)，知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. (2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.682 6， ∴P(ξ>110)＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683.———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个难点——对正态曲线的理解正态曲线指的是一个函数的图象，其函数解析式是φμ，σ(x)＝12πσ·e －(x －μ)22σ2.正态曲线的性质告诉我们：(1)该函数的值域为正实数集的子集；(2)该函数图象关于直线x ＝μ对称，且以x 轴为渐近线；(3)解析式中前面有一个系数12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)22σ2，其中σ这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性．3种方法——求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.答题模板(八)求离散型随机变量的均值与方差[典例] (2013·新课标全国卷Ⅰ)(12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求这批产品通过检验的概率――→需求确定该事件所包含的事件，然后求概率． 2．审条件，挖解题信息观察条件：第一次取出的4件有3件为优质，第二次取出的4件全为优质品或第一次取出的4件全为优质品，第二次任取一件为优质品――→设变量得出这批产品通过检验的事件A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)．3．建联系，找解题突破口P (A 1)＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－121＝14，P (B 1|A 1)＝P (B 1)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116，P (A 2)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116， P (B 2|A 2)＝P (B 2)＝12，P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)．第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求X 的分布列及数学期望――→需求P (X ＝400)，P (X ＝500)，P (X ＝800)的值． 2．审条件，挖解题信息观察条件：每件产品的检验费用为100元，这批产品作质量检验所需费用为X ――→需检验几件X ＝400，X ＝500，X ＝800.3．建联系，找解题突破口依题意，这批产品通过检验的事件及产品的优质品率为12，且各件产品是否为优质品相互独立，求得概率得分布列、数学期望．[准确规范答题](1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥， ⇨2分所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. ⇨6分(2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. ⇨9分所以X 的分布列为⇨10分EX ＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25. ⇨12分[答题模板速成]求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤：[全盘巩固]1．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的均值是( )A.809B.559C.509D.103解析：选C 由题意知，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59.故EX ＝10×59＝509. 2．设随机变量X 服从正态分布N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B ∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)， 可知c ＋1＋c －1＝2×2，∴c ＝2.3．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)＝( A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析：选A E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.4．(2013·安阳模拟)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝( )A.43B.73C.53D.23解析：选C 一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，E(ξ)＝5×13＝53. 5．若X 是离散型随机变量，P(X ＝x 1)＝23，P(X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又知E(X)＝43，D(X)＝29，则x 1＋x 2的值为 ( ) A.53 B.73 C ．3 D.113解析：选C 利用离散型随机变量的均值与方差的计算公式得：⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又x 1<x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.所以x 1＋x 2＝3.6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b|的取值，则ξ的数学期望Eξ为( )A.89B.35C.25D.13解析：选A 因为抛物线的对称轴在y 轴的左侧， 所以－b 2a <0，即b a>0.也就是a ，b 必须同号． ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.7．已知随机变量x ～N(2，s 2)，若P(x<a)＝0.32，则P(a ≤x<4－a)＝________.解析：由正态曲线的对称性可得：P(a ≤x<4－a)＝1－2P(x<a)＝0.36. 答案：0.368．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.解析：令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1. 又E(ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b)＝2. 答案：29．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为校运动会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：法一：由题意知随机变量ξ服从参数为N ＝7，M ＝2，n ＝2的超几何分布，ξ的可能取值为0,1,2，因此P(ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P(ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝1021，P(ξ＝2)＝C 22C 27＝121，故ξ的分布列为从而E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.法二：随机变量ξ服从参数为N ＝7，M ＝2，n ＝2的超几何分布，直接代入超几何分布均值的计算公式可得E(ξ)＝nM N ＝2×27＝47. 答案：4710．(2014·济南模拟)某旅游推介活动晚会进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖规则是：抽奖盒中装有10个大小相同的小球，分别印有“多彩十艺节”和“美丽泉城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球，若抽到两个球都印有“多彩十艺节”标志即可获奖．(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几个“多彩十艺节”球？主诗人笑说：我只知道从盒中同时抽两球不都是“美丽泉城行”标志的概率是23，求抽奖者获奖的概率；(2)在(1)的条件下，现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ，Dξ．解：(1)设印有“美丽泉城行”标志的球有n 个，不都是“美丽泉城行”标志为事件A ，则都是“美丽泉城行”标志的概率是P(A )＝C 2nC 210，由对立事件的概率：P(A)＝1－P(A )＝1－C 2n C 210＝23，C 2nC 210＝13，得n ＝6，故“多彩十艺节”标志卡共有4张．∴抽奖者获奖的概率为P ＝C 24C 210＝215.(2)ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，215，ξ的分布列为p(ξ＝k)＝C k 4⎝⎛⎭⎫215k ·⎝⎛⎭⎫13154－k(k ＝0,1,2,3,4)或 ∴Eξ＝4×215＝815，Dξ＝4×215×⎝⎭⎫1－215＝104225. 11．2014年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1和P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队， 故甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16；①若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， 故乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115，②解②得P 1＝23，代入①得P 2＝14.故甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)由题意知ξ可能的取值为0,3,6， ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为 P(ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－14＝14； ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P(ξ＝3)＝23×⎝⎛⎫1－14＋⎝⎛⎫1－23×14＝712； ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P(ξ＝6)＝23×14＝16.故ξ的分布列为从而E(ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.12．(2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c.解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E(η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D(η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.[冲击名校](2013·安徽高考)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P(X ＝m)取得最大值的整数m.解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P(A)＝P(B)＝C k －1n －1C k n ＝kn，故P(A )＝P(B )＝1－kn，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－kn 2＝2kn －k 2n 2. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P(X ＝m)＝P(X ＝n)＝1.当k<n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师所发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师所发信息的学生人数均为m －k.由乘法计数原理知：事件{X ＝m}所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k k C m －kn －k .此时 P(X ＝m)＝C k n C 2k －m k C m －k n －k (C k n )2＝C m －k k C m －k n －k C k n . 当k ≤m<t 时， P(X ＝m)≤P(X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－k kC m ＋1－k n －k ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m)(2k －m) ⇔m ≤2k －(k ＋1)2n ＋2.假如k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时， k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t.故P(X ＝m)在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和m ＝2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2处取得最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P(X ＝m)在m ＝2k －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)2n ＋2处取得最大值．(注：[x]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t.因为1≤k<n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0.而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0，故2k －(k ＋1)2n ＋2<n ，显然2k －(k ＋1)2n ＋2<2k.因此k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t.[高频滚动]1．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝40100＝25，P(B)＝70100＝710，故P(AB)＝P(A)·P(B)＝25×710＝725.答案：7252．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25； ②P(B|A 1)＝511； ③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 1，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：P(B)＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922，故①⑤错误； P(B|A 1)＝C 15C 111＝511，故②正确；由P(A 1)＝12，P(B)＝922，P(A 1B)＝522，知P(A 1B)≠P(A 1)P(B)，故事件B 与事件A 1不是相互独立事件，故③不正确；由互斥事件的定义知，④正确．答案：②④。

时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E(X)＝( A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案：A2．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6 解析：∵E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝E(8－ξ)＝8－E(ξ)＝8－6＝2，D(η)＝D(8－ξ)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝2.4.答案：B3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则E(ξ)＝( )A.14B.12 C.34D ．1解析：∵P(ξ＝1)＝34，P(ξ＝0)＝14，∴E(ξ)＝0×14＋1×34＝34.答案：C4．(2014·浙江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5解析：ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C 36C 36C 36＝120，P(ξ＝1)＝C 16C 25C 23C 36C 36＝920，P(ξ＝3)＝C 36C 36C 36＝120，P(ξ＝2)＝920，故Eξ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.答案：B5．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，∴Eξ＝1 000×0.1＝100，故X 的期望为2·Eξ＝200. 答案：B6．(2014·莆田二模)正态总体N(0，49)中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是( )A ．0.46B ．0.997C ．0.03D ．0.0026解析：由题意μ＝0，σ＝23，∴P(－2<X<2)＝P(0－3×23<X<0＋3×23)＝0.9974.∴P(X<－2)＋P(X>2) ＝1－P(－2≤X≤2) ＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ＜1，0≤p＜1，∴p ∈[0，12]，∴E(X)＝p ＋1≤32，D(X)＝－p 2－p ＋1≤1.答案：3218．设三个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)、N(μ2，σ22)(σ2＞0)、N(μ3，σ23)(σ3＞0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．解析：μ反映的是正态分布的平均水平，直线x ＝μ是正态曲线的对称轴，由图可知μ2＜μ1＜μ3；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散，由图可知σ1＜σ3＜σ2.答案：μ2＜μ1＜μ3 σ1＜σ3＜σ29．(2014·岳阳二模)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.解析：∵X ～B(3，14)，∴DX ＝3×14×34＝916.答案：91610．(2014·山东模拟)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝P(A B ＋A B ＋AB)C ＝(12×12＋12×12＋12×12)×12＝38. 答案：38三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次考试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.解：(1)记“该学生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ， 则P(A )＝C 14×13×(23)3×23＋(23)4＝112243，∴P(A)＝1－P(A )＝1－112243＝131243.(2)ξ的可能取值为2,3,4,5. P(ξ＝2)＝(13)2＝19，P(ξ＝3)＝C 12×23×(13)2＝427，P(ξ＝4)＝C 13(23)2(13)2＋(23)4＝2881，由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．当ξ＝5时，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过，于是 P(ξ＝5)＝C 14(23)313＝3281.∴ξ的分布列为：Eξ＝2×19＋3×427＋4×81＋5×81＝81.12．某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：(1)从A ，B ，C(2)在B 小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ，求X 的分布列和E(X)．解：(1)3人中恰好有2人是低碳族的概率为 P ＝12×45×13＋12×15×23＋12×45×23＝715. (2)在B 小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×15＝4户，P(X ＝k)＝C k 4C 3－k16C 320(k ＝0,1,2,3)，故X 的分布列为E(X)＝0×2857＋1×819＋2×95＋3×285＝0.6.13．为迎接2014“马”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A 有四个选项，问题B 有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金m 元，正确回答问题B 可获奖金n 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．解：随机猜对问题A 的概率P 1＝14，随机猜对问题B 的概率P 2＝15，回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： (1)先回答问题A ，再回答问题B. 参与者获奖金额ξ可取0，m ，m ＋n ， 则P(ξ＝0)＝1－P 1＝34，P(ξ＝m)＝P 1(1－P 2)＝14×45＝15，P(ξ＝m ＋n)＝P 1P 2＝14×15＝120.Eξ＝0×34＋m×15＋(m ＋n)×120＝m 4＋n20.(2)先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η可取0，n ，m ＋n ，则P(η＝0)＝1－P 2＝45，P(η＝n)＝P 2(1－P 1)＝15×34＝320，P(η＝m ＋n)＝P 2P 1＝15×14＝120.Eη＝0×45＋n×320＋(m ＋n)×120＝m 20＋n5.Eξ－Eη＝(m 4＋n 20)－(m 20＋n 5)＝4m －3n20.于是，当m n ＞34时，Eξ＞Eη，先回答问题A ，再回答问题B ，获奖金的期望值较大； 当m n ＝34时，Eξ＝Eη， 两种顺序获奖金的期望值相等； 当m n ＜34时，Eξ＜Eη， 先回答问题B ，再回答问题A ，获奖金的期望值较大．。

第九讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__.知识点二 均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __. (2)D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__. *(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.知识点三 两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝__p (1－p )__. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝__np (1－p )__. 知识点四 正态分布(1)正态曲线：函数f (x )＝12πσe－(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X ～N (μ，σ2)__.(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴__上方__，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x ＝μ__对称；③曲线在__x ＝μ__处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝__0.682_6__； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝__0.954_4__； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要结论计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( ABC )A ．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定B ．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小C ．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差D ．若X ～N (0,1)，则P (x <－12)<P (x ≥12)题组二 走进教材2．(P 68A 组T1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A ．73B ．4C ．－1D ．1 [解析]E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.3．(P 75B 组T2改编)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( B )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] 由题意知(a －5)＋(a ＋1)2＝4，∴a ＝6.题组三 考题再现4．(2019·南通模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( A )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7[解析] ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2<X <4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A ．5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.[解析] 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×0.98＝1.96.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 离散型随机变量的均值与方差的概念与性质——自主练透例1 (1)(2018·课标Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3(2)(2020·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B )A ．85B ．65C ．45D ．25(3)(2019·浙江卷，7)设0<a <1.随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P131313则当a 在(0,1)内增大时，(A ．D (X )增大B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大[解析] (1)由题知X ～B (10，p )，则D (X )＝10×p ×(1－p )＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P (X ＝4)<P (X ＝6)，即C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4⇒(1－p )2<p 2⇒p >0.5，∴p ＝0.6，故选B ．(2)由题意知，X ～B (5，3m ＋3)，∴E (X )＝5×3m ＋3＝3，解得m ＝2，∴X ～B (5，35)，∴D (X )＝5×35×(1－35)＝65.故选B ．(3)随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝[(0－a ＋13)2＋(a －a ＋13)2＋(1－a ＋13)2]×13＝29(a 2－a ＋1) ＝29(a －12)2＋16， 当a ∈(0，12)时，D (X )单调递减，当x ∈(12，1)时，D (X )单调递增，故选D ．名师点拨 ☞若X 是随机变量，则Y ＝f (X )一般仍是随机变量，在求Y 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求Y 的分布列带来的烦琐运算．〔变式训练1〕(2019·辽宁省丹东质量测试)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望E (X )＝__300__.[解析] 设没有发芽的种子数为Y ，则有X ＝2Y ， 由题意可知Y 服从二项分布，即Y ～B (1 000,0.15)，E (Y )＝1 000×0.15＝150， E (X )＝2E (Y )＝300.考点二 求离散型随机变量的均值与方差——多维探究角度1 二项分布的均值、方差问题例2 (2019·沈阳模拟)某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X 的分布列和数学期望E (X )和方差D (X )．[解析] (1)依题意，培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5＝60，在[95,100)小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意职工人数为80人，所求概率估计为P ＝60＋20200＝25.(2)依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 03(35)3＝27125， P (X ＝1)＝C 13×25×(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2×35＝36125， P (X ＝3)＝C 33(25)3＝8125， 则随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125∵X ～B (3，25)，∴E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×35＝1825.角度2 非二项分布的均值、方差问题例3 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)． [解析] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1－14－12)＝14，(1－16－23)＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14.P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003. 名师点拨 ☞(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；②求ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求E (ξ)；⑤由方差的定义求D (ξ)．(2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．〔变式训练2〕(1)(角度2)(2019·包头模拟)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．①若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；②若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列及数学期望E (ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．(2)(角度1)(2020·甘肃天水一中模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．①求顾客抽奖1次能获奖的概率；②若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)①记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ，用对立事件A 来算，有P (A )＝1－P (A )＝1－0.24＝0.998 4.②ξ可能的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 217C 220＝6895，P (ξ＝1)＝C 13C 117C 220＝51190，P (ξ＝2)＝C 23C 220＝3190，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×6895＋1×51190＋2×3190＝310.记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率P ＝1－P (B )＝1－6895＝2795.所以商家拒收这批产品的概率为2795.(2)①记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]·P (A 2)＝25×(1－12)＋(1－25)×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.②顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B (3，15)．于是P (X ＝0)＝C 03(45)3＝64125， P (X ＝1)＝C 13(15)1(45)2＝48125， P (X ＝2)＝C 23(15)2(45)1＝12125， P (X ＝3)＝C 33(15)3＝1125. 故X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.考点三 均值与方差在决策中的应用——师生共研例 4 (2019·广东揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量K (单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X ∈[0,120]，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计．(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4 000元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？[解析] (1)在区间[30,60)的频率为156364＝37，频率组距＝37×30＝170. 设在区间[0,30)上，频率组距＝a ，则(a ＋170＋1105＋1210)×30＝1，解得a ＝1210.补充完整的频率分布直方图如图所示．(2)记水电站日利润为Y 元．由(1)知，无法运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行两台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17.①若安装一台发电机，则Y 的所有可能取值为－500，4 000，其分布列为Y －500 4 000 P1767E (Y )＝－500×17＋4 000×67＝23 5007.②若安装两台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 000，3 500，8 000，其分布列为Y －1 000 3 500 8 000 P173737E (Y )＝－1 000×17＋3 500×37＋8 000×37＝33 5007.③若安装三台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 500，3 000，7 500,12 000，其分布列为Y －1 500 3 000 7 500 12 000 P17372717E (Y )＝－1 500×17＋3 000×37＋7 500×27＋12 000×17＝34 5007.因为34 5007>33 5007>23 5007.所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机． 名师点拨 ☞利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释． 〔变式训练3〕(2020·广东化州模拟)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解析] (1)设顾客所获的奖励额为X (单位：元)．①依题意，P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60 0001 000＝60(元)，所以先寻找数学期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1(单位：元)，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316所以X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X 1的方差为D (X 1)＝ (20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003(元)．对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2(单位：元)，则 同理可求得E (X 2)＝60(元)，D (X 2)＝4003(元)，由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2的奖励额的方差比方案1的小，顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2.考点四 正态分布——自主练透例5 (1)(2019·四川遂宁一诊)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ<2)＝P (ξ>6)＝0.15，则P (2≤ξ<4)＝( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 (2)(2020·山东新高考质量测评联盟联考)在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X ～N (86，σ2)，若已知P (80<X ≤86)＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为( D )A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.14[解析] (1)由P (ξ<2)＝P (ξ>6)知，μ＝4，∴P (2≤ξ<4)＝0.5－P (ξ<2)＝0.5－0.15＝0.35.故选B ． (2)由题意P (86<x ≤92)＝P (80<x ≤86)＝0.36， ∴P (X >92)＝0.5－0.36＝0.14，故选D ．[引申]本例(2)中若有1 000名学生参加测试，则测试成绩在80分以上的人数为__860__. [解析] 1 000×P (X >80)＝1 000×[1－(0.5－0.36)]＝860. 〔变式训练4〕(1)(2020·山东潍坊期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<4)＝0.9，则P (－2<ξ<1)＝( C )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6(2)(2019·云南昆明质检)某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布N (84，σ2)，且P (78<X ≤84)＝0.3，该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为( B )A ．60B ．80C ．100D ．120[解析] (1)由P (ξ<4)＝0.9，得P (ξ≥4)＝0.1.又正态曲线关于x ＝1对称． 则P (ξ≤－2)＝P (ξ≥4)＝0.1，所以P (－2<ξ<1)＝1－P (ξ≤－2)－P (ξ≥4)2＝0.4.故选C ．(2)由题意知P (X ≥90)＝P (x ≤78) ＝0.5－P (78<x ≤84)＝0.5－0.3＝0.2. ∵0.2×400＝80，∴选B ． 名师点拨 ☞关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等；②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 正态分布的实际应用问题例6 (2020·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (175.6<Z <224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z ∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z ∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元，若该公司卖出100件这种产品，记Y 表示这些产品的利润，求E (Y )．附：150≈12.2，若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)≈0.95. [解析] (1)由题意得x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200s 2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150.即样本平均数为200，样本方差为150. (2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝150≈12.2， ∴Z ～N (200,12.22)，∴P (175.6<Z <224.4) ＝P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)≈0.95 ②设X 表示100件产品的正品数， 题意得X ～B (100,0.95)，∴E (X )＝95， ∴E (Y )＝16E (X )－48×5－100×10＝280. 名师点拨 ☞解决正态分布问题的三个关键点若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则 (1)对称轴x ＝μ； (2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率〔变式训练4〕(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑16i ＝1x i＝9.97，s ＝116∑16i ＝1(x i －x )2＝116∑16i ＝1(x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。