充要条件习题-数学试题

高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.若集合{A x x =≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（ ）A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A ∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件2.若将集合P={1,2,3,4}，Q={0<x<5,x ∈R}，则下列论断正确的是（ ）A. x ∈P 是x ∈Q 的必要不充分条件B. x ∈P 是x ∈Q 的即不充分也不必要条件。

C. x ∈P 是x ∈Q 的充分必要条件D. x ∈P 是x ∈Q 的充分不必要条件3.下列命题中为真命题的是A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题p 的否定为：“2R,10x x x ∀∈--≤”4.在下列结论中，正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件；②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件；③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件；④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④5.若集合{A x x =≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（ ）A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A ∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件6.设命题2:>x p 是42>x 的充要条件；命题",:"22b a c b c a q >>则若，则（ ) A. ""p q ∨为真 B. ""q p ∧为真 C.p 真q 假 D. q p 、均为假7.“1λ<”是“数列2*2()n a n n n N λ=-∈为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.对于实数,''0''a b b a <<、是''11''ab >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.在ABC ∆中，“60A =o ”是“1cos 2A =”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件10.关于x 、y 的二元一次方程组1,323,mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.“11x<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件13.2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件14.“0x ≠”是“0x <”的 （ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件.15.“a 〉0”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件16.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件17.x 2-2x-3<0成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．-1<x<3B ．0<x<3C ．-2<x<3D ．-2<x<1 18.已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的19.“1-=x ”是“12=x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件20.“3πα=”是“21cos =α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件21.“2x >”是“24x >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 22.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=r r,则a b ⊥r r 的充要条件是（） A ．12x =- B ．1x =- C ．5x = D ．x =023.“非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是（ ）A ．,x M x P ∀∈∉B ．,x P x M ∀∈∈C ．11,x M x P ∃∈∈，又22,x M x P ∃∈∉D ．00,x M x P ∃∈∉ 24.已知a R ∈，则“2a >”是“112a <”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件25.已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件26.下面四个条件中，使a b >成立的充分不必要条件为（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22ab > D ．33a b > 27.一元二次方程2210(0),ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 28.已知条件1:≤x p ，条件11:<x q ，则p 是q ⌝成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 29.“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件30.集合A={x||x|≤4，x ∈R}，B={x|（x+5）（x-a ）≤0}，则“A ⊆B”是“a>4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 31.“22a b >”是22log log a b >”的32.“2230x x -->成立”是“3x >成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件33.“cos x ＝0”是 “sin x ＝1”的（▲ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件35.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件36.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件37.已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件38.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =是“627S S =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件39.“a ，b ＞0”是“ab ≤222b a +”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件40.在ABC ∆中，0AB AC ⋅>u u u r u u u r是ABC ∆为锐角三角形的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件41.已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件试卷答案1.B略2.D略3.D4.B5.B略6.A7.A略8.A9.C略10.D 略11.A 略12.B 略13.C 略14.B15.A 略16.A 略17.C 略18.A 略19.A 略20.A 略21.A 略22.D23.D24.A 略25.A 略26.A 略27.C 略28.B 由11x <得，0x <或1x >，所以q ⌝：01x ≤≤，所以p 是q ⌝成立的必要不充分条件，选B.29.C30.B31.B若22a b >，则有a b >。

数学充要条件练习题高二数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)1.已知A和B是两个命题，假如A是B的充分但不必要条件，那么A是B的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：A B B A,B A等价于 A B.2.(2021浙江杭州二中模拟，4)2且b是a+b4且ab的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性明显，当a=5,b=1时，有a+b4,但2且b不成立.3.(2021北京西城区一模，5)设a、bR,则b是|b|的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件答案：B解析：ab并不能得到a|b|.如2-5,但2|-5|,且a|b| ab.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2-x,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x-1或x0}.∵A B，p是q的充分不必要条件.5.已知真命题：b是cd的充分不必要条件，和aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.?既不充分也不必要条件答案：A解析：b是cd的充分不必要条件等价于d a6.(2021全国大联考，2)不等式1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.?即不充分也不必要条件答案：A解析：当17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,b,cR)则关于x的不等式ax2+bx+cA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax2+bx+c二、填空题(每小题5分，共15分)8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是_______ _______.答案：0解析：其充要条件为09.已知p:|x+1|2和q: 0,则p是q的__________________.(填充分不必要必要不充分充要条件既不充分又不必要?条件)答案：充分不必要解析：∵p:x-3或x1,q:x-4或x1,p:-31, q:-41.p是q的充分不必要条件.10.给出下列各组p与q:(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:xM,且xP,q:xP(P,M ).其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：(2)(5)解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.三、解答题(1113题每小题10分，14题13分，共43分)11.设x、yR,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.证明：充分性：假如xy=0,那么①x=0,y②y=0,x③x=0,y=0.因此|x+y|=|x| +|y|.假如xy0,即x0或x0.当x0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;当x0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+ y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,xy0.解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy0.12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a2-b2=1即a2=b2+1时，a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(aR),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .当a6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- 0,即a6.方程有两负根的充要条件是：即26.方程至少有一负根的充要条件是：26或a=6或a6,即a2.14.(1)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的充分条件?假如存在，求出p的取值范畴;(2)是否存在实数p，使4x+p是x2-x-2的必要条件?假如存在，求出p 的取值范畴.解析：(1)当x2或x-1时，x2-x-20,由4x+p0得x- ,故- -1时,- -1 x2-x-2.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

1.4.2 充要条件基础练巩固新知夯实基础1.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在下列三个结论中，正确的有()⊆x2>4是x3<－8的必要不充分条件；⊆在⊆ABC中，AB2＋AC2＝BC2是⊆ABC为直角三角形的充要条件；⊆若a，b⊆R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.A.⊆⊆B.⊆⊆C.⊆⊆D.⊆⊆⊆3.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝16.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)7.在平面直角坐标系中,点(x+5,1-x)在第一象限的充要条件是.8.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.能力练综合应用核心素养9.设x ⊆R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.有下述说法:①a>b>0是a 2>b 2的充要条件;②a>b>0是的充要条件;③a>b>0是a 3>b 3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11.“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m >14B.0<m <1C.m >0D.m >112.设集合A ＝{x ⊆R |x －2>0}，B ＝{x ⊆R |x <0}，C ＝{x ⊆R |x (x －2)>0}，则“x ⊆A ⊆B ”是“x ⊆C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13.设计如图所示的四个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________.14.下列不等式：⊆x <1；⊆0<x <1；⊆－1<x <0；⊆－1<x <1.其中，可以为x 2<1的充分条件的所有序号为________．15.求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.16.设x ，y ⊆R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.【参考答案】1. A 解析：a ＝1时，N ⊆M ，但当a 取-1时，也满足N ⊆M 。

1.4.2 充要条件课后训练巩固提升1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2x-1)x=0⇔x=0或x=12,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2-x≥0,得x≤2;由|x+1|≤1,得-1≤x+1≤1,得-2≤x≤0.则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.3.一次函数y=-mn x+1n的图象同时经过第一、第三、第四象限的充要条件是( )A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0y=-mn x+1n经过第一、第三、第四象限,所以-mn>0,1n<0,所以m>0,n<0,此为充要条件.4.(多选题)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列结论正确的是( )A.r是q的充要条件B.p是q的充分不必要条件C.r是q的必要不充分条件D.r是s的充分不必要条件解析:依题意,p⇒r,r p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,故r⇒q,且q⇒r,故A正确,C不正确;由p⇒q,q p,知B正确;由r⇒s,且s⇒r,知D不正确.故选AB.5.在平面直角坐标系中, 是点(x+5,1-x)在第一象限的充要条件.,点(x+5,1-x)在第一象限⇔{x+5>0,1-x>0,解得-5<x<1.6.已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.,可得{x|2<x<3}⫋{x|x>a},故a≤2.7.设n∈N*,n= 是一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件.Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3;当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.或48.已知集合P={x|-2≤x≤10},非空集合S={}.(1)若“,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.由“x∈P”是“x∈S”的必要条件,知S⊆P.则{1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m≤3.故当0≤m≤3时,“≤3}.(2)若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,得{1-m =-2,1+m =10,方程组无解, 即不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.9.设x,y ∈R,求证:xy≥0是|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.:若xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,等式成立; 当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,等式成立;当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,等式成立; 总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.②必要性:若|x+y|=|x|+|y|,且x,y ∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+y 2+2|x||y|,则|xy|=xy,即xy≥0.综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.。

1.4.2 充要条件【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知a,b∈R，则“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在下列结论中，正确的有()①x2>4是x3<−8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③4.三角形全等是三角形面积相等的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.设非空集合A，B，则A∩B≠⌀是A⊆B的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.已知命题p：四边形的一组对边平行且相等，命题q：四边形是矩形，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.设集合A={x∈R|x−2>0}，B={x∈R|x<0}，C={x∈R|x(x−2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设A，B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补．记φ(a,b)=√a2+b2−a−b，则φ(a,b)=0是a与b互补的()A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件二．多选题11.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列结论正确的是()A. Δ=b2−4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B. Δ=b2−4ac=0是这个方程有实根的充分条件C. Δ=b2−4ac>0是这个方程有实根的必要条件D. Δ=b2−4ac<0是这个方程没有实根的充要条件12.下列各式中，是x2<1的充分条件的有()A.x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<0三．填空题13.不等式x2−3x+2<0成立的充要条件是________．14.已知x∈R，若“x2>1”是“x<k”的必要不充分条件，则实数k的最大值为________．15.设集合A={1,2}，B={a2}，则“a=1”是“B⊆A”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)16.已知甲、乙、丙、丁四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则丁是甲的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)17.已知m>0，p：(x+1)(x−5)≤0，q：1−m≤x≤1+m.若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．四．解答题18.指出下列各组命题中p是q的什么条件．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种，并说明理由．(1)设x，y是实数，p：x>y，q：|x|>|y|．(2)p：a∈N，q：a∈Z．(3)p：点D在△ABC的边BC的中线上，q：S△ABD=S△ACD．(4)p：小王的学习成绩优秀，q：小王是“三好学生”．19.指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除．(2)p：|x|>1，q：x2>1．(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．>2，q：x2−ax+5>0．20.已知p：x+1x−2(1)若￢p为真，求x的取值范围；(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、比较大小、不等式性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：本题采用特殊值法：当a=3，b=−1时，a+b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a=−3，b=−1时，ab>0，但a+b<0，故不是必要条件．所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题型，由题意，若a>|b|，可得a|a|> b|b|成立；当a=1，b=−2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不一定成立，即可求解；【解答】解：由题意，若a>|b|，则a>|b|≥0，则a>b，因为y=x|x|在R上单调递增，则a|a|>b|b|成立；当a=1，b=−2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不一定成立，所以a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件．故选A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断的相关知识，试题难度一般【解答】解：对于结论①，由x3<−8⇒x<−2⇒x2>4，但是x2>4⇒x>2或x<−2⇒x3>8或x3<−8，不一定有x3<−8，故①正确；对于结论②，当B=90∘或C=90∘时不能推出AB2+AC2=BC2，故②错；对于结论③，由a2+b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2+b2≠0，故③正确．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判断，由题意根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若三角形全等，则三角形的面积相等，即充分性成立；若两个三角形的面积相等，则三角形不一定全等，故必要性不成立，所以三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件．故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，由必要条件、充分条件与充要条件的判断定义可得答案【解答】解：由非空集合A，B且A⊆B得A∩B≠⌀，但A∩B≠⌀不一定可推出A⊆B，故A∩B≠⌀是A⊆B的必要不充分条件故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判定，由题意根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，但不一定是矩形，而矩形一定是平行四边形，所以p⇏q,q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选：B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件．【解答】解：A={x∈R|x−2>0}={x|x>2}，A∪B={x|x>2或x<0}，C={x∈R|x(x−2)>0}={x|x>2或x<0}，∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，即“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选：A．【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，集合的交集及集合的关系，属于基础题．根据充分条件和必要条件的判断即可求解此题．【解答】解：A，B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，反之也成立，所以，“A∩B=A”是“A⊆B”充要条件．故选C．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了充分必要条件的判定，属于基础题．根据题目定义，从充分性与必要性两个方面进行判定即可．【解答】解：若φ(a,b)=√a2+b2−a−b=0，则√a2+b2=(a+b)，两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|−b=0，故b≥0，即a与b互补;若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0，若a=0，b≥0，此时√a2+b2−a−b=√b2−b=0，同理若b=0，a≥0，此时√a2+b2−a−b=√a2−a=0，即φ(a,b)=0，故φ(a,b)=0是a与b互补的充要条件．故选C．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、二次函数的零点与一元二次方程解的关系的相关知识，试题难度较易【解答】解：可利用Δ=b2−4ac的值判断方程根的情况，Δ=0方程有两相等实根；Δ>0方程有两不等实根；Δ<0方程无实根．A对，Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根；B对，Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根；C错，Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根，但ax2+bc+c=0有实根⇏Δ>0；D对，Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根．故选ABD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查的是充分条件的判断，属于基础题．可先解不等式x2<1，再结合充分条件进行判断．【解答】解：由x2<1得−1<x<1，由BCD都能推出x满足−1<x<1，故选BCD．13.【答案】1<x<2【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、一元二次不等式的解法的相关知识，试题难度较易【解答】解：x2−3x+2<0⇔1<x<2，故不等式x2−3x+2<0成立的充要条件是1<x<2．故答案为1<x<2．14.【答案】−1【解析】【分析】直接根据题意及必要不充分条件，知“x<k”可以推出“x2>1”，反之不成立，从而可得k的最大值．【解答】解：因x2>1得x<−1或x>1，又“x2>1”是“x<k”的必要不充分条件，知“x<k”可以推出“x2>1”，反之不成立．则k的最大值为−1．故答案为−1．15.【答案】充分不必要【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判定，以及集合包含关系的判定，属于基础题．直接根据题意及必要条件、充分条件的判断即可得出答案．【解答】解：根据题意集合A={1,2}，B={a2}，若a=1，则B={a2}={1}，则“B⊆A“，故充分性成立，当集合A={1,2}，B={a2}，若“B⊆A“，则可得a2=1或a2=2，故必要性不成立，故“a=1”是“B⊆A”的充分不必要条件．故答案填：充分不必要．16.【答案】必要不充分【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件以及充要条件的判定．根据充分必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：甲是乙的充分不必要条件，故甲⇒乙,乙⇏甲，丙是乙的充要条件，故丙⇒乙,乙⇒丙，丁是丙的必要不充分条件，故丁⇏丙,丙⇒丁，显然丁不能推出甲，而甲能推出乙，乙能推出丙，丙能推出丁，故甲能推出丁，即丁是甲的必要不充分条件．故答案填：必要不充分．17.【答案】[4,+∞)【解析】【分析】本题考查充分条件的判定、集合关系中的参数取值问题．化简p ，根据题意得出{1−m ≤−11+m ≥5，由此即可求出结果． 【解答】解：由(x +1)(x −5)≤0得−1≤x ≤5，∴p ：−1≤x ≤5，∵q ：1−m ≤x ≤1+m ，m >0，p 是q 的充分条件，∴满足[−1,5]⊆[1−m,1+m ]，∴{1−m ≤−11+m ≥5，解得m ≥4， ∴m 的取值范围为[4,+∞)．故答案为[4,+∞)．18.【答案】解：(1)当x >y 时，|x|>|y|不一定成立，当|x|>|y|时，x >y 也不一定成立，故p 是q 的既不充分又不必要条件；(2)当a ∈N 时，a ∈Z 一定成立，当a ∈Z 时，a ∈N 不一定成立，故p 是q 的充分不必要条件；(3)当点D 在△ABC 的边BC 的中线上时，S △ABD =S △ACD ，当S△ABD=S△ACD时，点D不一定在△ABC的边BC的中线上，故p是q的充分不必要条件；(4)当小王的学习成绩优秀时，小王不一定是三好学生，但小王是三好学生时，小王的学习成绩一定优秀，故p是q的必要不充分条件．【解析】本题主要考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，属于基础题．(1)根据p与q的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(2)根据a∈N与a∈Z的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(3)根据点D在△ABC的边BC的中线上与S△ABD=S△ACD的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论；(4)根据小王的学习成绩优秀与小王是三好学生的关系，结合充分条件、必要条件及充要条件的判断，可得结论．19.【答案】解：(1)因为p⇒q，但q不能⇒p，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为p⇒q，但q⇒p，所以p是q的充要条件．(3)因为p不能⇒q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．【解析】本题主要考查了充分条件，必要条件，充要条件的判断，属于基础题．欲判断p是q的什么条件，根据充分条件，必要条件，充要条件的方法，只须判断p与q，谁能推出谁的问题即可．20.【答案】解：(1)p：x+1x−2>2，化为：x−5x−2<0，即(x−2)(x−5)<0，解得：2<x<5，由￢p为真，可得：x≤2或x≥5，∴x的取值范围是(−∞,2]∪[5,+∞)．(2)￢q是￢p的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．故q：x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，故a<x+5x ，∵x+5x≥2√5，当且仅当x=√5时取等号．故a<2√5．>2，化为：(x−2)(x−5)<0，解得x范围，由￢p为真，可得x的取值范围．【解析】(1)p：x+1x−2(2)￢q是￢p的充分不必要条件，可得：q是p的必要不充分条件．于是q：x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，转化为a<x+5，利用基本不等式的性质即可得出．x本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

充要条件练习题周末到了，小明坐在书桌前准备复习数学知识。

他在学习充要条件（也叫充要性）这一概念时，遇到了一些练习题。

下面是小明在练习中遇到的几个问题，请你看看能否帮助他解答。

问题一：已知命题p：“如果一个数是偶数，则它能被2整除。

”命题q：“如果一个数不能被2整除，则它是奇数。

”请判断以下命题的真假并给出理由：a) 命题p与命题q是互为充要条件的。

b) 若命题p为真，则命题q为真。

c) 若命题q为假，则命题p为假。

问题二：已知命题p：“如果一只动物是鸟类，则它拥有翅膀。

”命题q：“如果一只动物没有翅膀，则它不是鸟类。

”请判断以下命题的真假并给出理由：a) 命题p与命题q是互为充要条件的。

b) 若命题p为假，则命题q为假。

c) 若命题q为假，则命题p为真。

问题三：已知命题p：“一个人高中毕业，则他符合大学录取条件。

”命题q：“一个人不符合大学录取条件，则他没有高中毕业。

”请判断以下命题的真假并给出理由：a) 命题p与命题q是互为充要条件的。

b) 若命题p为真，则命题q为真。

c) 若命题q为真，则命题p为真。

问题四：已知命题p：“如果一个人是中国公民，则他具有中国护照。

”命题q：“如果一个人不具有中国护照，则他不是中国公民。

”请判断以下命题的真假并给出理由：a) 命题p与命题q是互为充要条件的。

b) 若命题p为假，则命题q为真。

c) 若命题q为真，则命题p为真。

解答：问题一：命题p：“如果一个数是偶数，则它能被2整除。

”命题q：“如果一个数不能被2整除，则它是奇数。

”a) 命题p与命题q是互为充要条件的。

两个命题的主语和谓语分别相反，且根据偶数和奇数的定义，可以得到两者之间的互为充要条件的关系。

b) 若命题p为真，则命题q为真。

根据偶数的定义，偶数一定可以被2整除，因此命题p为真。

命题q即为奇数的定义，因此当一个数是偶数时，它就不能被2整除，故命题q为真。

c) 若命题q为假，则命题p为假。

根据奇数的定义，奇数一定不能被2整除，因此当一个数能被2整除时，它就不是奇数，即命题q为假。

高考数学单元复习训练4 充要条件（教师版）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分但不必要条件，那么⌝A 是⌝B 的（ ）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“A ⇒B ”⇔“⌝B ⇒⌝A ”,“B A ”等价于“⌝A ⌝B ”.2.(2010浙江杭州二中模拟，4)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.3.(2010北京西城区一模，5)设a 、b ∈R ,则“a>b ”是“a>|b|”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件 答案：B解析：a>b 并不能得到a>|b|.如2>-5,但2<|-5|,且a>|b|⇒a>b.故选B.4.已知条件p:|x|=x,条件q:x 2≥-x,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：p:A={0,1},q:B={x|x ≤-1或x ≥0}.∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.5.已知真命题：“a ≥b 是c>d 的充分不必要条件”，和“a<b ⇔e ≤f ”那么“c ≤d ”是“e ≤f ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：“a ≥b 是c>d 的充分不必要条件”等价于“c ≤d ⇒a<b 且a<b c ≤d ”,即c ≤d ⇒e ≤f 但e ≤f c ≤d,故选A.6.(2010全国大联考，2)不等式1<x<2π成立是不等式（x-1）tanx>0成立的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：A解析：当1<x<2π时，x-1>0,tanx>0,即tan （x-1）tanx>0,但当x=45π时，（x-1）tanx=(45π-1)×1>0,而45π∉(1,2π),故选A. 7.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a>0,b,c ∈R )则“关于x 的不等式ax 2+bx+c<x 有实数解”是“此抛物线顶点在直线y=x 下方”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B解析：ax 2+bx+c<x 有实数解⇔(b-1)2-4ac>0,顶点（-a b ac a b 44,22-）在直线y=x 下方⇔-ab ac a b 4422->⇔(b-1)2>4ac+1,故选B. 二、填空题（每小题5分，共15分）8.方程3x 2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.答案：0<k<325 解析：其充要条件为⎪⎩⎪⎨⎧>>-=∆.03,012102k k ⇔0<k<325. 9.已知p:|x+1|>2和q:4312-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的__________________.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）答案：充分不必要解析：∵p:x<-3或x>1,q:x<-4或x>1,∴⌝p:-3≤x ≤1, ⌝q:-4≤x ≤1.∴⌝p 是⌝q 的充分不必要条件.10.给出下列各组p 与q:(1)p:x 2+x-2=0,q:x=-2;(2)p:x=5,q:x>-3;(3)p:内错角相等，q ：两条直线互相平行；（4）p ：两个角相等，q:两个角是对顶角;(5)p:x ∈M,且x ∈P,q:x ∈M ∪P(P,M ≠∅).其中p 是q 的充分不必要条件的组的序号是_____________________.答案：（2）（5）解析：（1）（4）中p 是q 的必要不充分条件;（3）中p 是q 的充要条件；（2）（5）满足题意.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设x 、y ∈R ,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y ≠0;②y=0,x ≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|. 如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy ≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y ∈R ,得（x+y ）2=(|x|+|y|)2,即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2,|xy|=xy,∴xy ≥0.解法二：|x+y|=|x|+|y|⇔(x+y)2=(|x|+|y|)2⇔x 2+y 2+2xy=x 2+y 2+2|xy|⇔xy=|xy|⇔xy≥0.12.已知a,b 是实数，求证：a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.证明：该条件是必要条件.当a 2-b 2=1即a 2=b 2+1时，a 4-b 4=(b 2+1)2-b 4=2b 2+1.∴a 4-b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2-b 2=1又a 4-b 4=1+2b 2,故a 4=(b 2+1)2.∴a 2=b 2+1，即a 2-b 2=1故该条件是必要条件.13.已知关于x 的方程：（a-6）x 2-(a+2)x-1=0.(a ∈R ),求方程至少有一负根的充要条件.解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=-81. 当a ≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x 1x 2=-61-a <0,即a>6. 方程有两负根的充要条件是： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=•<-+=+≥-++=∆,061,062,0)6(4)2(21212a x x a a x x a a 即2≤a<6.∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a ≥2.14.(1)是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围.解析：(1)当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0得x<-4p ,故-4p ≤-1时, “x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件.（2）不存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件.。

可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。