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必修二5-7章知识点梳理（资料整理：卢老师）第五章第一节基因突变和基因重组1.基因突变（1）概念：DNA分子中发生的替换、增添和缺失而引起的基因结构的改变。
（2）诱变因素：①：如紫外线、X射线及其他辐射，损伤细胞内的DNA。
②：如亚硝酸、碱基类似物能改变核酸的碱基。
③：某些病毒的遗传物质能影响宿主细胞的DNA。
（3）发生的时期：，如有丝分裂间期、减数第一次分裂间期。
（4）实例：镰刀型细胞贫血症：①直接病因：血红蛋白多肽链上一个被替换。
②根本原因：血红蛋白基因（DNA）上发生改变，由A—T变为T—A。
（5）特点：①：在生物界中普遍存在。
②。
③低频性：突变频率很低。
④。
⑤多害少利性：多数有害，少数有利，也有中性。
（6）意义：基因突变是新基因产生的途径，是生物变异的，是生物进化的原始材料。
2.基因重组（1）概念：生物体进行的过程中，控制的基因的重新组合。
（时期原因减数第一次分裂随着非同源染色体的自由组合，自由组合减数第一次分裂（四分体）同源染色体上的随非姐妹染色单体的交换而发生交换（3）意义：基因重组能够产生多样化的基因组合的子代。
子代中就可能出现适应变化的环境的个体，从而在多变环境中繁衍下去。
第二节染色体变异1.染色体变异（1）染色体结构的变异：由的改变而引起的变异。
①种类：②结果：使排列在染色体上的基因的数目或排列顺序发生改变，从而导致性状的变异。
（2）染色体数目的变异：由的改变而引起的变异。
①类型：细胞内的增加或减少。
细胞内的染色体数目以的形式成倍的增加或减少。
②结果：使基因的数量增加或减少。
③举例：三倍体无子西瓜等。
2.与染色体数目变异有关的概念（1）染色体组：细胞中的一组染色体，它们在和上各不相同，携带着控制生物生长发育的全部遗传信息。
（2）二倍体：由发育而成，体细胞中含有染色体组，包括几乎全部动物和过半数的高等植物。
（3）多倍体：由发育而来，体细胞中含或染色体组的个体。
其中，体细胞中含有三个染色体组的叫做，含有四个染色体组的叫做。
第5章基因突变及其他变异一、本章总概念图：二、各节子概念图：5.1.1基因突变5.1.2 基因重组5.2 染色体变异5.3 人类遗传病三、基因突变、基因重组和染色体变异列表比较项目基因突变基因重组染色体变异适用范围生物种类所有生物（包括病毒）均可发生，具有普遍性自然状态下，只发生在真核生物的有性生殖过程中，细胞核遗传真核生物细胞增殖过程均可发生生殖无性生殖、有性生殖有性生殖无性生殖、有性生殖类型可分为自然突变和诱发突变，也可分为显性突变和隐性突变自由组合型、交叉互换型染色体结构的改变、染色体数目的变化发生时间有丝分裂间期和减数Ⅰ间期减数Ⅰ前期和减数Ⅰ后期细胞分裂期产生结果产生新的基因（产生了它的等位基因）、新的基因型、新的性状。
产生新的基因型，但不可以产生新的基因和新的性状。
不产生新的基因，但会引起基因数目或顺序变化。
镜检光镜下均无法检出，可根据是否有新性状或新性状组合确定光镜下可检出本质基因的分子结构发生改变，产生了新的基因，改变了基因的“质”，出现了新性状，但没有改变基因的“量”。
原有基因的重新组合，产生了新的基因型，使性状重新组合，但未改变基因的“质”和“量”。
染色体结构或数目发生改变，没有产生新的基因，基因的数量可发生改变条件外界条件剧变和内部因素的相互作用不同个体间的杂交，有性生殖过程中的减数分裂和受精作用存在染色体的真核生物特点普遍性、随机性、不定向性、低频率性、多害少利性原有基因的重新组合存在普遍性意义新基因产生的途径，生物变异的根本来源，也是生物进化的原材料是生物产生变异的来源之一，是生物进化的重要因素之一。
对生物的进化有一定的意义发生可能性可能性小，突变频率低非常普遍，产生的变异类型多可能性较小应用诱变育种杂交育种单倍体育种、多倍体育种生物多样性产生新的基因，丰富了基因文库产生配子种类多、组合方式多，受精卵多。
变异种类多实例果蝇的白眼、镰刀型细胞贫血症等豌豆杂交等无籽西瓜的培育等联系①三者均属于可遗传的变异，都为生物的进化提供了原材料；②基因突变产生新的基因，为进化提供了最初的原材料，是生物变异的根本来源；基因突变为基因重组提供大量可供自由组合的新基因，基因突变是基因重组的基础；③基因重组的变异频率高，为进化提供了广泛的选择材料，是形成生物多样性的重要原因之一；④基因重组和基因突变均产生新的基因型，可能产生新的表现型。
第六章人类与地理环境的协调发展第一节人地关系思想的演变三层完全解读1知识.能力聚焦1.人地关系的历史回顾人地关系思想的历史演变图解[图表解读]图6.1 朝拜太阳神此图是公元前9世纪的石碑，上面刻着美索不达米亚人的太阳神——萨玛斯正在接受礼拜。
此图反映了在采猎文明时期，人们不能解释自然现象及其对人类生产和生活的影响，而将其归结为某种超自然力量的作用——神。
图6.2弋射、收获此图反映的是东汉时期狩猎、生产的情景。
上半部是弋射图，两个猎手正在向疾飞的群鸟弯弓瞄射。
下半部是收获图，描写农夫们收割、采实、挑运的劳动场面，这反映了农业文明时期，人们已经过着定居的生活，并开始改造和利用自然环境。
[案例分析1]玛雅文明的消失中北美洲的玛雅文明，早在公元前2500年就开始有文字记载，其成就反映在玛雅人对宇宙的认识程度，以及城市、建筑的设计艺术和独特深奥的玛雅文字上。
玛雅文明为什么会神秘地消失了呢？据文字记载，玛雅文明的农业用地是一种被称作“砍伐和焚烧森林植被而形成的暂时农田”，即在旱季（每年12月一次年3月）用原始的石斧清除一片林地，并在雨季来临之前进行烧荒，然后种植玉米等作物。
开垦的土地在使用几年之后，因肥力下降和杂草难以清除而不得不废弃。
玛雅社会所处的热带雨林地区，土壤极易受侵蚀。
这就是说，森林一旦被砍伐，土壤就会随之流失。
当时的人们没有认识到热带雨林地区的土壤侵蚀非常严重，农业用地、建筑材料以及燃料的需求，都使森林的消失不可避免。
所以，据专家推测，生态环境的恶化是玛雅文明在十五六世纪消失的主要原因。
本则案例以具体事例说明了人类活动对环境的影响及对人类的反作用，具有很强的说服力。
可以使我们获得对人地关系的感性认识，并提醒我们在进行生产活动时要注意保护环境。
2.直面环境问题(1)图解人类与环境的关系（对立统一）说明：①人类活动对环境的影响包括两方面：一是遵循自然规律，合理利用资源，使环境得到保护和改善；二是不合理地利用资源，使环境质量下降、恶化。
【新教材】高中数学必修第二册三部分知识点课本目录知识点目录章节思维导图新人教版高中数学必修（第二册）课本目录第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念6.2平面向量的运算6.3平面向量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用第七章复数7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3复数的三角表示第八章立体几何初步8.1基本立体图形8.2立体图形的直观图8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.5空间直线、平面的平行8.6空间直线、平面的垂直第九章统计9.1随机抽样9.2用样本估计总体9.3统计分析案例第十章概率10.1随机事件与概率10.2事件的相互独立性10.3频率与概率新人教版高中数学必修（第二册）知识点目录§6.1平面向量的概念 (5)§6.2平面向量的运算 (6)6.2.1向量的加法运算 (6)6.2.2向量的减法运算 (7)6.2.3向量的数乘运算 (8)6.2.4向量的数量积(一) (9)6.2.4向量的数量积(二) (10)§6.3平面向量基本定理及坐标表示 (11)6.3.1平面向量基本定理 (11)6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (11)6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 (11)6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (12)6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (12)§6.4平面向量的应用 (12)6.4.1平面几何中的向量方法 (12)6.4.2向量在物理中的应用举例 (12)6.4.3余弦定理、正弦定理 (13)第1课时余弦定理 (13)第2课时正弦定理(一) (13)第3课时正弦定理(二) (13)第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 (14)第5课时余弦定理、正弦定理的应用 (14)§7.1复数的概念 (15)7.1.1数系的扩充和复数的概念 (15)7.1.2复数的几何意义 (15)§7.2复数的四则运算 (16)7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 (16)7.2.2复数的乘、除运算 (17)§8.1基本立体图形 (18)第1课时棱柱、棱锥、棱台 (18)第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 (20)§8.2立体图形的直观图 (21)§8.3简单几何体的表面积与体积 (22)8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (22)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (22)§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (23)8.4.1平面 (23)8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 (25)§8.5空间直线、平面的平行 (26)8.5.1直线与直线平行 (26)8.5.2直线与平面平行 (26)8.5.3平面与平面平行 (27)§8.6空间直线、平面的垂直 (28)8.6.1直线与直线垂直 (28)8.6.2直线与平面垂直 (29)8.6.3平面与平面垂直 (31)§9.1随机抽样 (32)9.1.1简单随机抽样 (32)9.1.2分层随机抽样 (33)9.1.3获取数据的途径 (33)§9.2用样本估计总体 (34)9.2.1总体取值规律的估计 (34)9.2.2总体百分位数的估计 (35)9.2.3总体集中趋势的估计 (36)9.2.4总体离散程度的估计 (37)§10.1随机事件与概率 (38)10.1.1有限样本空间与随机事件 (38)10.1.2事件的关系和运算 (39)10.1.3古典概型 (40)10.1.4概率的基本性质 (40)§10.2事件的相互独立性 (40)§10.3频率与概率 (40)知识点一向量的概念及表示1．向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．2．向量的表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(2)向量的表示①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量AB →的大小称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.②字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案错误．理由是：①向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．知识点二向量的相关概念向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量；向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量．6.2.1向量的加法运算知识点一向量加法的定义及其运算法则1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内取任意一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC →(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．思考|a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案(1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.知识点二向量加法的运算律向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )知识点一相反向量1．定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2．性质(1)零向量的相反向量仍是零向量．(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.知识点二向量的减法1．定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．减法法则：已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．思考若a ，b 是不共线向量，则|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？答案如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，即分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．知识点一向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)当λ>0时，与a的方向相同；当λ<0时，与a的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识点二向量数乘的运算律1．设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识点三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.思考向量共线定理中为什么规定a≠0?答案若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.知识点一两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向．2．垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点二向量数量积的定义已知两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a |·|b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0?答案在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中a 有可能垂直于b .知识点三投影向量1．如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下的变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1——→，我们称上述变换为向量a 向向量b 的投影，A 1B 1——→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．2．如图，在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→与e ，a ，θ之间的关系为OM 1→＝|a |cos θe .知识点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b ||b|，a与b同向，|a||b|，a与b反向.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.6.2.4向量的数量积(二)知识点一平面向量数量积的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a§6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知识点二平面向量的坐标表示1．基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底．2．坐标：对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．3．坐标表示：a ＝(x ，y )．4．特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．思考点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？答案区别表示形式不同向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点A (x ，y )中间没有等号意义不同点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y )联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示知识点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．知识点二平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cosθ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.§6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab思考在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？答案a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理．知识点二解三角形一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．第2课时正弦定理(一)知识点正弦定理条件在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c结论a sin A ＝b sin B ＝csin C文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等第3课时正弦定理(二)知识点三角形中边与角之间的关系1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化(1)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(2)2R sin A ＝a ，2R sin B ＝b ，2R sin C ＝c ，(其中R 为△ABC 外接圆的半径)2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a 2>b 2＋c 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，△ABC 为钝角三角形；(2)若a 2＝b 2＋c 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝0，△ABC 为直角三角形；(3)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca >0，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，△ABC 为锐角三角形．第4课时余弦定理、正弦定理应用举例知识点一基线的概念与选择原则1．定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．知识点二测量中的有关角的概念1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？答案东南方向．第5课时余弦定理、正弦定理的应用知识点三角形的面积公式1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积公式为(1)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ；(2)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 表示a ，b ，c 边上的高)．2．△ABC 中的常用结论(1)A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(2)大边对大角，即a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．§7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念知识点一复数的有关概念1．复数(1)定义：我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．知识点二复数的分类1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)b＝0，b≠0当a＝0时为纯虚数2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.7.1.2复数的几何意义知识点一复平面思考实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．知识点二复数的几何意义1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.知识点三复数的模1．定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值．2．记法：复数z ＝a ＋b i 的模记作|z |或|a ＋b i|.3．公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.知识点四共轭复数1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．表示：复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z ＝a －b i.§7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义知识点一复数加法与减法的运算法则1．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则(1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有(1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二复数加、减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1——→与复数z 1－z 2对应．思考类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？答案|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．7.2.2复数的乘、除运算知识点一复数乘法的运算法则和运算律1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3思考|z |2＝z 2，正确吗？答案不正确．例如，|i|2＝1，而i 2＝－1.知识点二复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)是任意两个复数，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a ＋b i 型，则分子、分母同乘a －b i ；若分母为a －b i 型，则分子、分母同乘a ＋b i ，即分子分母同乘以分母的共轭复数．§8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台知识点一空间几何体、多面体、旋转体的定义1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体、旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的结构特征棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′相关概念：底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三棱锥的结构特征棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S —ABCD相关概念：底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥知识点四棱台的结构特征棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD —A ′B ′C ′D ′相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________．答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线．知识点三圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．§8.2立体图形的直观图知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴．(2)画底面：平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．§8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝2πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l )圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l )圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝π(r ′l ＋rl )表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )。
庖丁巧解牛知识·巧学一、平抛运动1．平抛运动的分解通过上节的实验探究，我们得到了这样的结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，水平方向的分运动是匀速直线运动.这个结论还可从理论上得到论证：物体以一定初速度v 水平抛出后，只受到重力的作用，方向竖直向下，根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与所受合外力的方向一致，大小为a ＝mg/m ＝g ，方向竖直向下.由于物体是被水平抛出的，在竖直方向的初速度为零，所以，平抛运动的竖直分运动就是自由落体运动.而水平方向上物体不受任何外力作用，加速度为零，所以水平方向的分运动是匀速直线运动，速度大小就等于物体抛出时的速度v.方法点拨 运动学公式只适用于直线运动，故在研究曲线运动问题时，首先，应根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的几个方向上的直线运动问题，最终运用运动合成的方法求出曲线运动的规律（等效法）.这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，是处理曲线运动问题的一种重要的思想方法.2．平抛物体的位置随时间变化的规律图6-4-1如图6-4-1所示，以物体水平抛出时的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时.因平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平坐标随时间变化的规律是x ＝vt ； ① 因平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动，故平抛物体的竖直坐标随时间变化的规律是y ＝21gt 2. ② 物体的位置可用它的坐标x 、y 来描述.所以，以上①②两式确定了平抛物体在任意时刻t 的位置.方法点拨 在坐标系中物体的位置是用它的x 、y 坐标来描述的，因此只要确定了物体在各时刻的坐标，也就确定了物体在各时刻的位置.3.平抛物体的运动轨迹方程从以上两式①②中消去t ，可得y ＝222x vg ， 式中g 、v 都是与x 、y 无关的常量，所以22v g 也是常量.这正是初中数学中的抛物线方程y ＝ax 2.实际上，二次函数的图象叫做抛物线，就是来源于此.y ＝222x v g 是平抛运动物体在任意时刻的位置坐标x 和y 所满足的方程，我们称之为平抛运动的轨迹方程.由此方程可知，平抛物体的运动轨迹是一条顶点在原点、开口向下的抛物线.4．平抛物体的速度随时间变化的规律由平抛运动的特点不难得到：初速度为v 的平抛运动，经过时间t 后，其水平分速度v x＝v ，竖直分速度v y ＝gt.根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v ＝22222t g v v v y x +=+，设这个时刻物体的速度与竖直方向的夹角为θ，则有tanθ＝vgt v v x y=. 如图6-4-2所示.图6-4-2方法点拨 在研究曲线运动规律的过程中，先分解，后合成；分解是为了最终的合成.将曲线运动转换为两个简单的直线运动，最终用直线运动的规律来反映处理曲线运动规律及问题，是等效转化思想在中学物理中的重要体现.一般来说，如果质点受恒力作用具有恒定加速度，且初速度与恒力垂直，质点的运动就与平抛运动类似（类平抛运动），均可按研究平抛运动方法研究其运动规律.5．对平抛运动的进一步讨论（1）飞行时间由于平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，有h=21gt 2，故t=gh 2， 即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 无关.（2）水平射程由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x=vt=v gh 2，即水平射程与初速度v 和下落高度h 有关，与其他因素无关.（3）落地速度根据平抛运动的两个分运动，可得落地速度的大小v t =gh v v v y x 2222+=+，以θ表示落地速度与x 轴正方向间的夹角，有tanθ=v gt v gh v v x y==2， 即落地速度也只与初速度v 和下落高度h 有关.（4）速度改变量图6-4-3水平方向分速度保持v x =v ，竖直方向加速度恒为g ，速度v y =gt.从抛出点起，每隔Δt 时间的速度的矢量关系如图6-4-3所示.这一矢量关系有两个特点：任意时刻的速度，水平分量均等于初速度v ；任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δv y =gΔt.要点剖析 因为平抛运动中任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量相等且方向不变，因此加速度为定值.所以平抛运动的性质是：匀变速曲线运动.（5）速度与位移两方向间的关系做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ.图6-4-4如图6-4-4所示，由平抛运动规律x=vt y=21gt 2 可得平抛物体的位移s=22222241t g t v y x +=+ 此刻，位移与水平方向的夹角为φ，tanφ＝vgt vt gt x y 2212== 末速度方向与水平方向的夹角为θ，tanθ＝vgt v v x y=， 所以，tanθ＝2tanφ.(6)平抛物体速度反向延长线的特点平抛运动的偏角与水平位移和竖直位移之间的关系:图6-4-5如图6-4-5所示，平抛运动的偏角θ即为平抛运动的速度与水平方向的夹角，所以有:tanθ=2/21212x y vt gt v gt v v x y ===. tanθ=y/（x/2）常称为平抛运动的偏角公式，在一些问答题中可直接应用该结论分析解答.深化升华 平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，像上述结论在物理学中常常称为二级结论，物理学中的二级结论在解题的过程中可以直接应用.二、斜抛运动1．斜抛运动的分解如果物体抛出时的速度v 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是零，在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g.但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是v x ＝vcosθ和v y ＝vsinθ.因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为vcosθ的匀速直线运动和竖直方向初速度为vsinθ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动.2．斜抛物体的位置随时间变化的规律图6-4-6如图6-4-6，物体以初速度v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时.物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向做匀速直线运动，速度v x ＝vcosθ，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为x ＝v x t ＝vtcosθ；物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度a ＝g ，方向竖直向下.注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于v y ＝vsinθ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为y ＝v y t －221at ＝vtsinθ－221gt . 3．斜抛运动的轨迹方程如图6-4-6所示，斜上抛物体初速度为v ，与水平方向夹角为θ，则x=vcosθ·t ①y=vsinθ·t －221gt ② 由①得t=θcos v x ，代入②可得：y=xtanθ－222cos 2x v g θ ③ 根据数学知识我们知道，函数方程y ＝－ax 2＋bx ＋c 代表一条开口向下的抛物线.因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线.4．斜抛物体的速度随时间变化的规律图6-4-7如图6-4-7所示，我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为vcosθ和竖直方向初速度为vsi nθ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t 后，物体水平方向的速度t x v ＝vcosθ，竖直方向的速度t y v ＝vsinθ－gt.根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小 v=22222)sin (cos gt v v v v t t x x -+=+θθ，速度的方向可用图6-4-7中的θ表示， tanθ＝θθcos sin v gt v v v t tx y -=. 5．对斜抛运动的进一步讨论（1）射程：由斜抛物体的轨迹方程y=xtanθ－222cos 2x v g θ可以看出： 令y=0时，x=0是抛出点位置；x=gv θθcos sin 22是物体从抛出点到落地点的水平距离，即为射程.深化升华 由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射程有最大值x m ＝gv 22. （2）射高：斜抛运动的两个分速度是：v x =vcosθ；v y =vsinθ－gt.由v y =vsinθ－gt 可以看出：当v y =0时，t=g v θsin ，此时物体上抛至最高点：y=gv 2sin 22θ即为斜抛物体的射高（在斜抛运动中，物体能达到的最大高度）（3）飞行时间：物体上抛至最高点所用时间t=gv θsin ，则据斜抛轨迹的对称性可知,整个飞行时间T=2t=gv θsin 2. 问题·探究问题 理想弹道曲线与实际弹道曲线有什么区别？探究:我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时，都没有考虑空气阻力的影响，即讨论的是理想抛体运动.实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200 m/s 时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400—600 m/s 时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比.由于空气阻力的影响，物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形，升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲.如图6-4-8中的实线所示.图6-4-8上面对于抛体运动的讨论中我们没有考虑空气的阻力.实际上，抛体运动总要受到空气阻力的影响.在初速度比较小时，空气阻力可以不计，但是在初速度很大时（例如射出的炮弹），空气阻力的影响是很明显的.图6-4-9中的虚线是在理想的没有空气的空间中炮弹飞行的轨迹；实线是以相同的初速度和抛射角射出的炮弹在空气中飞行的轨迹，这种曲线叫做弹道曲线.可以看出，弹道曲线跟抛物线实际上有很大差别.用 20°角射出的初速度是600 m/s 的炮弹，假如没有空气阻力，射程可以达到 24 km ，由于空气阻力的影响，实际射程只有7 km ，射高也减小了.典题·热题例1在20 m 高的楼顶以20 m/s 的水平速度抛出一个小球，求它落地时速度的大小和方向以及落地点与抛出点之间的水平距离.（g 取10 m/s 2）解析：因为平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，所以落地时的速度是水平分速度和竖直分速度的合速度.设小球在空气中运动的时间为t ，下落高度为h ，则h=21gt 2，t=g h 2=10202⨯ s=2 s 落地时竖直分速度v y =gt=10×2 m/s=20 m/s水平分速度v x =v 0=20 m/s落地时的合速度v=22y x v v +=222020+ m/s=202 m/s设v 与水平方向的夹角为α，则tanα=x yv v =2020=1，α=45° 落地点与抛出点之间的水平距离x=v 0t=20×2 m=40 m.方法归纳 只要已知高度h 应先考虑求飞行时间.判断运动的形式后，用相应的原公式求解.处理矢量的正交分解问题，用勾股定理、三角形边角关系求解是首选方法.例2在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆高速行驶的汽车从山顶上落入山谷.为了拍摄重为15 000 N 的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车来代替实际汽车.设模型汽车与实际汽车的大小比例为1∶25，那么山崖也必须用1∶25的比例模型来代替真实的山崖.设电影每秒钟放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果，在实际拍摄的过程中，电影摄影机每秒拍摄的胶片数应为实景拍摄的胶片数的几倍？模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的几倍？解析：汽车坠落山崖的运动是平抛运动.由于电影每秒钟放映的胶片张数是一定的，为了使模型汽车的坠落效果逼真，实际拍摄的胶片张数与实景拍摄时胶片张数应该是相同的，因此由题意确定模型汽车飞行时间与实际汽车飞行时间的关系即可求解.由h ＝21gt 2，可得h ∝t 2，又h 模＝251h 实，所以有t 模＝51t 实，故实际拍摄时每秒钟拍摄的胶片张数应是实景拍摄时胶片张数的5倍. 因为模型汽车飞行时间是实际汽车飞行时间的51，而模型汽车在水平方向飞行的距离为实际汽车在水平方向飞行距离的251，则由x ＝v 0t 可得v 0模＝51v 0实. 即模型汽车在山崖上坠落前的行驶速度应是真实汽车的实际行驶速度的51. 例3水平匀速飞行的飞机每隔1 s 放下一包货物，从投放第一包货物起经4 s ，空中共有几包货物？它们在空中的分布位置有何特点？依次相距多远？（空气阻力不计，取g=10 m/s 2）图6-4-9解析：货物离开飞机后，以飞机的速度做平抛运动，在水平方向都做匀速直线运动，尽管货物是先后离开飞机的，但它们对地面的水平位移始终相同，即它们在空中的位置必定在飞机正下方同一竖直线上，最先抛出的位置最低，如图6-4-9所示.由于在竖直方向货物做自由落体运动，设最先离开飞机的货物落下的高度为h 1，那么在此后空中还应有4包货物，它们下落的高度依次为h 2、h 3、h 4，则它们之间的距离Δh 1、Δh 2、Δh 3、Δh 4应满足：Δh 4∶Δh 3∶Δh 2∶Δh 1=1∶3∶5∶7.因为Δh 4=21gt 2=21×10×12 m=5 m 所以Δh 3=15 m ，Δh 2=25 m ，Δh 1=35 m.空中共有5包货物，它们在空中的位置必定在飞机正下方同一竖直线上，依次相距5 m ，15 m ， 25 m ， 35 m.拓展延伸 在本例中，两相邻货物的距离如何变化？落地后相邻货物的距离有什么特点？ 分析：货物在竖直方向上做匀加速直线运动，相邻货物的距离Δy=21g （t+Δt ）2－21gt 2=gtΔt+21gΔt 2，则时间t 越长，Δy 越大，相邻货物的距离越大；在水平方向上做匀速直线运动，Δx=v 0（t+Δt ）－v 0t=v 0Δt ，则初速度v 0一定，时间间隔Δt 相等，落地后相邻货物的距离相等.例4观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形.一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v 0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由.解析：用抛体运动的知识，求出任一发光质点经过一段时间后的位置坐标间的关系. 设某一发光质点的抛出速度为v 0，与水平方向夹角为θ，将v 0沿水平方向（x 轴）和竖直方向（y 轴，向上为正方向）正交分解.由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为x ＝v 0cosθ·ty ＝v 0sinθ·t －21gt 2 联立以上两式，消去θ即得x 2＋(y ＋21gt 2) 2＝(v 0t) 2图6-4-10这是一个以C （0，－21gt 2）为圆心、以v 0t 为半径的圆的方程式.可见，只要初速度v 0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图6-4-10所示.方法归纳 本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v 0大小相同、方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，“礼花”就不会形成球面形状了）.很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落.例5 (2006北京理综)如图6-4-11是简化后的跳台滑雪的雪道示意图.整个雪道由倾斜的助滑雪道AB 和着陆雪道DE ，以及水平的起跳平台CD 组成，AB 与CD 圆滑连接.图6-4-11运动员从助滑雪道AB 上由静止开始，在重力作用下，滑到D 点水平飞出，不计飞行中的空气阻力，经2 s 在水平方向飞行了60 m ，落在着陆雪道DE 上，已知从B 点到D 点运动员的速度大小不变.（g 取10 m/s 2）.求（1）运动员在AB 段下滑到B 点的速度大小；（2）若不计阻力，运动员在AB 段下滑过程中下降的高度；解析：运动员从助滑雪道AB 上由静止开始做匀加速下滑，而后在起跳平台CD 上匀速运动，至D 点水平抛出做平抛运动.由抛出时间与水平位移可以求得D 点水平抛出的速度，由机械能守恒可求得运动员在AB 段下滑过程中下降的高度.（1）运动员从D 点飞出时的速度 v=ts x =30 m/s依题意，下滑到助滑雪道末端B 点的速度大小是30 m/s.（2）在下滑过程中机械能守恒，有 mgh=21mv 2 下降的高度h=gv 22=45 m. 方法归纳 本题属于程序式综合应用题，理解物体的整个运动情景，将复杂的运动过程分阶段进行处理，寻找不同阶段遵循的物理规律，以及不同阶段相互衔接的物理量是解题的关键.。
庖丁巧解牛知识·巧学一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力.2.方向：向心力的方向时刻指向圆心.做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力而产生的.要点剖析 向心力是变力.虽然向心力的大小不变，但其方向时刻改变.因此，匀速圆周运动是在变力作用下的曲线运动.3.公式根据牛顿第二定律F 合=ma ，把向心加速度的公式代入可得：F n =ma n =rv m 2=m rω2 =r Tm 224 =m4π2f 2r=mvω. 4.向心力的作用效果向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直.所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小.深化升华 这和直线运动中的作用效果不同：在直线运动中，合外力的作用效果是改变速度的大小和方向.5.向心力的来源向心力是从力的作用效果命名的.凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力.当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力.误区警示 重力、弹力、摩擦力是从力的性质角度来命名的，而向心力是按作用效果来命名的.因此，对物体受力分析时，不要想当然地认为物体还要受到一个向心力的作用. 几个特例：（1）“向心力”可能是重力（万有引力）提供，如图6-7-1（a ）所示.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它受的向心力是卫星的万有引力.（2）“向心力”可能是弹力，如图6-7-1（b ）所示.物体在光滑平面上，在绳的拉力作用下做匀速圆周运动，拉力（弹性力）提供向心力.图6-7-1（3）“向心力”可能是摩擦力，如图6-7-1（c ）所示.物体随转盘做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力.（4）“向心力”可能是重力、弹力的合力，沿半径方向的分力，如图6-7-1（d ）所示.摆球做变速圆周运动，摆线的拉力与重力在摆线方向的分力共同提供向心力.方法点拨如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的合外力;如果物体做非匀速圆周运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力.6．应用向心力公式解题的一般步骤（1）确定研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来；（2）确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和轨道半径；（3）确定研究对象在有关位置所处的状态，分析运动物体的受力情况，判断哪些力提供向心力，千万别臆想出一个向心力来，这是解题的关键；（4）然后沿半径指向圆心的方向和与之垂直的方向建立坐标系，将物体受到的力正交分解到坐标轴方向，再根据牛顿第二定律列方程求解.深化升华由于向心力和向心加速度同时随时间变化，因而应用牛顿第二定律时要特别注意瞬时性，v和ω的值应是对应时刻或对应位置的瞬时值，当然，有些问题还需配合其他辅助方法，需要具体问题具体分析.二、变速圆周运动和一般曲线运动1.变速圆周运动中的向心力图6-7-2（1）做变速圆周运动的物体，其速度大小发生变化，则向心加速度和向心力都会相应地发生变化.图6-7-2表示做圆周运动的沙袋正在加速的情况.O是沙袋运动轨迹的圆心，F是绳对沙袋的拉力.根据F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力Fτ和指向圆心方向的分力F n.Fτ产生圆周切线方向的加速度，简称为切向加速度.切向加速度是与物体的速度方向一致的，它改变了物体速度的大小.F n产生指向圆心的加速度，这就是向心加速度，它始终与速度方向垂直，其表现就是改变了速度的方向.仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是变速圆周运动.深化升华只有在匀速圆周运动中，合外力才是向心力，合外力的方向才指向圆心（这是做匀速圆周运动的条件）.当物体做变速圆周运动（或一般的曲线运动）时，物体所受的合外力不再指向圆心，其在沿切线方向的分力产生切向加速度aτ在沿法线方向的分力（即为向心力）产生的法向加速度（即向心加速度）a n.（2）向心力和向心加速度的瞬时性在向心力和向心加速度的公式中，F、a、v、ω分别指做匀速圆周运动物体某一时刻或通过某位置时的向心力的大小、向心加速度大小及线速度和角速度大小.公式中r则为圆半径.深化升华物体做变速圆周运动时，向心力和向心加速度的大小也是变化的，以上有关向心力和向心加速度的公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但它们对变速圆周运动仍然适用.应用时要注意F、a、ω、v必须是同一时刻的瞬时值.2.处理一般曲线运动的方法图6-7-3运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动.如图6-7-3所示，质量为m 的质点的运动轨迹是一条曲线，我们可以采用圆周运动的分析方法来研究质点经过曲线上某位置的运动规律.设质点经过A 、B 两点时速度分别为v 1、v 2，所受合外力分别为F 1、F 2，A 、B 两点所在圆弧的曲率中心分别为O 1、O 2，曲率半径分别为r 1、r 2，则根据圆周运动的分析方法我们可得F 1cosθ1＝121r v m ，F 2cosθ2＝222r v m . 注意：①曲线可分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可看作一小段圆弧，但这些圆弧的弯曲程度通常是不一样的，所以我们用r 1、r 2分别表示A 、B 两点处的曲率半径，反映圆弧的弯曲程度.②F 1、F 2沿曲线切线方向的分力使物体产生切线方向的加速度，使质点加速或减速.如图中质点经过A 点时减速，而经过B 点时加速.方法点拨 一般曲线运动，尽管各个地方的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧.这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的半径.注意到这点区别之后，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理了.要注意体会这种由“特殊”到“一般”的解决问题的思路.问题·探究问题 1 我们知道，力是改变速度的原因，那么，什么情况下力只改变速度的大小？什么情况下力只改变速度的方向？什么情况下力既改变速度的大小又改变速度的方向？探究:根据变速直线运动的知识，当物体所受外力的方向跟运动方向相同时，物体做加速直线运动;当外力的方向跟运动方向相反时，物体做减速直线运动.即当物体所受的外力方向跟运动方向在同一直线上时，外力只改变速度大小而不改变速度方向.根据匀速圆周运动的知识，做匀速圆周运动的物体所受的向心力只改变了物体速度的方向（其速度大小不变），而向心力总跟速度方向垂直，由此推知，如果物体所受的外力跟速度方向垂直，外力只改变速度的方向而不改变速度的大小.变速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它的一个分力沿切向，来改变物体运动的速度大小，另一个分力指向圆心，只改变物体的速度的方向，来充当向心力.如果物体所受的外力既不跟速度方向垂直，也不跟速度方向在同一直线上，该外力不仅改变速度大小，也改变速度方向.例如，在平抛运动中，物体所受的重力不仅使速度不断增大，也使速度方向不断变化.对于这种情况，我们可以把物体所受的外力分解为垂直于速度方向的分力F ⊥和跟速度方向在同一直线上的分力F ∥，其中F ⊥只改变速度的方向，F ∥只改变速度的大小.问题2 研究性课题:验证向心力公式.图6-7-4探究:手握细管摇动,尽量使小球在接近水平面内做匀速转动,弹簧测力计将指示出小球转动的向心力大小.改变小球的质量、小球到管口的距离、小球转动的速度,可以研究向心力与上述三个变量的关系.做完后,请与同学交流结果.我们也可对教材“做一做”栏目的上述实验作如下改进：取一段长约0.1 m、边缘光滑平整的细管,将一根长约1.2 m的细绳穿过细管,绳的一端拴一个小塑料球或橡胶球,另一端拴一只弹簧测力计.将弹簧测力计的另一端用细绳固定,如图6-7-4.典题·热题例1如图6-7-5所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动.则下列关于A的受力情况的说法中正确的是（）图6-7-5A.受重力、支持力B.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力C.受重力、支持力、摩擦力和向心力D.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力解析：A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，充当向心力的只能是A受到的静摩擦力，静摩擦力方向一定指向圆心，等于A所需的向心力.答案：D易错提示本题易错选B或C.错选B的同学认为物体受到的静摩擦力的方向总是与物体的运动方向相同或相反，实际上静摩擦力的方向总是与物体间相对运动趋势的方向相反，本题中小物块A相对圆盘的运动趋势是沿半径向外的.错选C的同学忽略了向心力是根据力的作用效果命名的，而分析物体的受力情况时，应分析物体受到的按力的性质命名的力.例2如图6-7-6所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（）图6-7-6A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大B.物体所受弹力增大，摩擦力减小C.物体所受弹力减小，摩擦力也减小D.物体所受弹力增大，摩擦力不变解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力F N.根据向心力公式，可知F N =mω2r ，当ω增大时，F N 增大，所以应选D.答案：D方法归纳 本题的解答过程中竖直方向上物体的受力平衡，水平方向上圆周内壁对物体的弹力提供物体做圆周运动的向心力.用牛顿第二定律解答有关圆周运动问题的一般步骤：（1）明确研究对象；（2）确定研究对象的运动轨道平面和圆心的位置；（3）按通常方法全面分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力和向心力有关.注意在分析受力时不要多出一个向心力来；（4）建立正交坐标（以指向圆心方向为x 轴的正方向），将力正交分解到坐标轴方向；（5）根据牛顿第二定律或力的平衡条件分别列方程求解.例3如图6-7-7所示，弹簧一端固定在转轴上，另一端与小球相连，小球在光滑的水平面上绕轴做匀速圆周运动.若弹簧原来的长度为0.5 m ，劲度系数为2 000 N/m ，小球的质量为225πkg ，当小球转动的周期为0.4 s 时，弹簧的伸长量是多少？图6-7-7解析：依据圆周运动向心力表达式以及胡克定律求解.设弹簧的伸长量为x ，则有kx=m （l 0+x ）ω2，ω=2π/T联立以上两式，代入数据解得弹簧的伸长量为：x=0.033 m.方法归纳 本题小球受到竖直向下的重力、竖直向上的支持力和总是指向圆心的弹簧的弹力的作用，弹簧的弹力充当向心力.要注意圆周运动中涉及弹簧的问题中，弹簧的长度通常会随着物体运动速度的变化而变化，要注意圆周运动的半径和弹簧伸长量之间的关系.例4如图6-7-8所示，水平转盘的中心有一竖直的小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r.物体A 通过轻绳跨过无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 的质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ＜1）倍，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A 才能随盘转动?图6-7-8解析：应取物体A 研究.物体A 随盘转动的向心力应由绳的拉力和盘面的摩擦力提供，摩擦力可能为零，可能指向圆心，也可能背离圆心.绳的拉力F 总等于B 物体的重力mg.若A 物体随盘转动的角速度较大，则A 要沿盘外滑，此时绳的拉力与最大静摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg+μmg=mrω12解得ω1=r g )1(μ+.若A 物体随盘转动的角速度较小，则A 要向圆心滑，此时静摩擦力的方向背离圆心，由牛顿第二定律得：mg －μmg=mrω22解得ω2=r g /)1(μ-要使A 随盘一起转动，则角速度ω应满足的关系是：r g r g /)1(/)1(μωμ+≤≤-方法归纳 根据向心力表达式解题的关键是分析物体做匀速圆周运动时的受力情况，明确哪些力提供物体做圆周运动的向心力.另外，静摩擦力的大小和方向是由物体的运动状态确定的，不同的运动状态对应不同的摩擦力大小和方向.。
曲线运动条件质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上匀变速曲线运动做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平抛运动变加速曲线运动做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动特点曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90度时，物体做曲线运动的速率将不变运动的合成与分解合运动和分运动关系等时性合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等等效性合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存独立性每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响矢量性加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则相关性合运动的性质是由分运动性质决定的从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解物体的实际运动是合运动速度、时间、位移、加速度要一一对应如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。
如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则小船渡河问题平抛运动将物体沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动为平抛运动运动特点只受重力初速度与重力垂直运动性质平抛运动是初速度为零的匀变速曲线运动处理方法平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动基本规律水平方向：匀速直线运动vx=v₀，x=v₀t竖直方向：自由落体运动vy=gt，y=gt²/2合速度合位移特点运动时间由高度决定，与v₀无关竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立类平抛当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动圆周运动描述述圆周运动物理量线速度做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值（描述质点沿切线方向运动的快慢）大小v=s/t单位：m/s方向某点线速度方向沿圆弧该点切线方向角速度做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值（描述质点绕圆心转动的快慢）大小ω=θ/t 矢量单位：rad/s周期和转速周期T做圆周运动物体一周所用的时间（s）转速n做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数（r/s，r/min）v，ω，T，n的关系匀速圆周运动特点线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的性质速度大小不变而速度方向时刻改变加速度大小不变、方向时刻改变变加速曲线运动加速度和向心力匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力质点做匀速圆周运动的条件合外力大小不变方向始终与速度方向垂直且指向圆心向心加速度描述线速度方向改变的快慢大小方向总是指向圆心，方向时刻在变化向心力作用产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小向心力对做圆周运动的物体不做功大小方向总是沿半径指向圆心，时刻在变化向心力是个变力向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定关联速度同轴转动的物体各点角速度ω相等线速度v=ωr与半径r成正比链条传动、齿轮传动、皮带传动（不打滑）两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω=v/r与半径r成反比向心运动和离心运动提供的向心力等于所需要的向心力时物体做匀速圆周运动提供的向心力大于所需要的向心力时物体做向心运动提供的向心力小于所需要的向心力时物体做离心运动生活中的圆周运动火车转弯汽车过拱桥弹力只能背离圆心汽车过凹路弹力只能指向圆心→M=π²r³/Gt²只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的F=GMm/r²=m4π²r/T²追寻守恒量——能量伽利略的斜面实验过程将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上现象小球在斜面B上速度变为0时，即到达最高点时的高度与它出发时的高度相同结论这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能动能与势能动能：物体由于运动而具有的能量势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量能量转化：小球的动能和势能可以相互转化功功功等于力和沿该力方向上的位移的乘积做功的两个必要因素力和物体在力的方向上的位移公式W=FScosθ（θ为F与s的夹角）单位：焦耳1J=1N·m适用恒力做功求解功是过程量，是力对空间的积累效应，和位移、时间相对应功是标量，没有方向，但有正负正功表示动力做功负功表示阻力做功功的正负表示能的转移方向公式W=FScosθ的求解W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移Scosθ，即将物体的位移分解为沿F方向W等于力F在位移s方向上的分力Fcosθ乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向功的物理含义功是能量转化的量度做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化对物体做正功，物体的能量增加；功的正负当0≤θ<90°时W>0，力对物体做正功，动力当θ=90°时w=0，力对物体不做功当90°<θ≤180°时W<0，力对物体做负功或说成物体克服这个力做正功，阻力合力功的计算用平行四边形定则求出合外力，再根据W=FScosθ计算功θ应是合外力与位移s间的夹角，且合力为恒力分别求各个外力的功，再求各个外力功的代数和变力做功问题将变力转化为恒力，再用W=FScosθ计算滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，若变力F大小不变，功等于力和路程的乘积作出变力F随位移变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功根据动能定理或能量转化和守恒定律求变力做的功摩擦力的做功静摩擦力做功的特点静摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功静摩擦力起着传递机械能的作用只有机械能的相互转移，而没有机械能转化为其他形式的能相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零滑动摩擦力做功的特点滑摩擦力可以做正功，可以做负功，也可以不做功能量的转化相互摩擦的物体之间机械能的转移机械能转化为内能相互摩擦的系统内，转化为内能值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积Q=Fs功率定义功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率。
高中数学 必修2 第六章平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心. （2）为的重心.（3）为的垂心. （4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移） （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC⃗⃗⃗⃗⃗ 平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （OC 是▱OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形ABC ∆,,A B C ,,a b c O ABC ∆222OA OB OC ⇔==O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=法则的物理模型.（5）一般地我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量性质：①对于相反向量有：a ＋（－a ）＝0；②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a －b ＝a ＋（－b ），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa ＝0；由①②知，（－1）a ＝－a .（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa ）＝（λμ）a ；②（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；③λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ；特别地，有（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）；λ（a －b ）＝λa －λb .（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2b ）＝λμ1 a ±λμ2 b .（4）共线向量定理：向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为[0，π2]（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则∠a O b ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角. 当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a ，b 是两个非零向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，我们考虑如下变换：过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点a 和终点b ，分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则①a ·e ＝e ·a ＝|a |cosθ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝√a ·a .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a ·b |≤|a |·|b |.（7）运算律：①a ·b ＝b ·a ；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量） 条件：e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标. （3）坐标表示：a ＝（x ，y ）.（4）特殊向量的坐标：i ＝（1，0），j ＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆） 设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），λ∈R ，则有下表：设向量a ＝（x ，y ），则有λa ＝（λx ，λy ），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），其中b ≠0.向量a ，b （b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P 的坐标为（x ，y ），则x =x 1+x 22y =y 1+y 22.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a ·b ＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a ⊥b ⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a ＝（x ，y ），则|a |＝√x 2+y 2.②两点间的距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则θ=a ·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12＋y 12√x 22＋y 22【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F ·s ＝|F ||s |cosθ（θ为F 和s 的夹角）.动量m ν实际上是数乘向量. 3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS 、SSS 、SSA ）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （3）正弦定理的表示（AAS 、SSA ）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 符号语言：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则2sin sin sin a b cR C===A B （R 为△ABC 的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式 设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，正弦定理有如下变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； （5）三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． （6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }叫做复数集.（2）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . （4）复数的分类①对于复数a ＋bi （a ，b ∈R ），当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）可以分类如下：复数{实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数），②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 复平面内的点z （a ，b ）. ②复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模或绝对值. 12||d z z =-=111z x y i =+222z x y i =+②记法：复数z ＝a ＋bi 的模记为|z |或|a ＋bi |. ③公式：|z |＝|a ＋bi |＝√a 2+b 2（a ，b ∈R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z̅表示，即如果z ＝a ＋bi ，那么z̅＝a －bi .（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
必修二5-7章必背知识点晨背第五章突变和基因重组一、基因突变1、概念：是指DNA分子中碱基对的替换、增添和缺失，而引起基因结构的改变。
（显微镜下）例如：镰刀型细胞贫血症直接原因：组成血红蛋白的一条肽链上的氨基酸发生改变（谷氨酸→缬氨酸）根本原因：控制合成血红蛋白的基因发生碱基对的替换。
2、原因：物理因素：X射线、激光等；化学因素：亚硝酸盐等；生物因素：病毒、细菌等。
3、特点：①普遍性②不定向性③随机性④多害少利性⑤低频性4、时间：细胞分裂间期（DNA复制时期）有丝分裂间期或减I间期显性突变（a A）该突变一旦发生，突变体即可表现出新突变性状；5、基因突变的类型：隐形突变（A a）该突变在第一代突变体中突变性状一般不能表现出来，只有当隐性基因纯合时突变性状才能表现出来。
且可稳定遗传6、应用——诱变育种①方法：用射线、激光、化学药品等处理生物。
②原理：基因突变③实例：高产青霉菌株的获得④优缺点：优：可以提高突变率，在较短时间内获得更多的优良性状；大幅度地改良某些性状。
缺：但有利变异个体少，诱发突变的方向难以掌握。
7、意义：①是生物变异的根本来源；②为生物的进化提供了原始材料；③是形成生物多样性的重要原因之一。
晚背（二）基因重组1、概念：是指生物体在进行有性生殖的过程中，控制不同性状的基因重新组合的过程。
2、种类：①基因的自由组合：减数分裂（减Ⅰ后期）形成配子时，随着非同源染色体的自由组合，位于这些染色体上的非等位基因也自由组合。
②基因的交叉互换：减Ⅰ四分体时期，同源染色体上（非姐妹染色单体）之间等位基因的交换。
结果是导致染色单体上基因的重组，组合的结果可能产生与亲代基因型不同的个体。
3、应用(育种)：杂交育种①概念：将两个或多个品种的优良性状通过交配集中在一起，在经过选择和培育，获得新品种的方法。
②原理：基因重组③常用方法：杂交自交筛选（第二代开始选育）自交（直到不再发生性状分离为止）④适合用生物：有性生殖的生物⑤优缺点：优：能将优良性状集中于一体，方法简单，容易操作；缺：育种年限长，局限于同种或亲缘关系较近的个体之间。
