浙江省黄岩中学高中数学《1.2.2同角三角函数的基本关系》练习题 新人教版必修4

1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160°D ．±|cos 160°|解析： 1－sin 2160°＝ cos 2160°＝ |cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：B3．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋ 1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0，2π)所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π答案：B 4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0 B ．8 C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)， 所以sin θ－cos θ >0，sin θ－cos θ＝ （sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝ tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813. 10．若3π2<α<2π，化简1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：因为3π2<α<2π，所以sin α<0.所以原式＝（1－cos α）2（1＋cos α）（1－cos α）＋（1＋cos α）2（1－cos α）（1＋cos α）＝（1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α＝ |1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|.因为sin α<0，所以原式＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， 所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中， Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝m ＋12，sin βcos β＝m4，所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1， 得1＋2×m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122，解得m ＝± 3.当m ＝3时，sin β＋cos β＝3＋12>0，sin β·cos β＝34>0，满足题意，当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－32<0，这与β是锐角矛盾，舍去．综上，m ＝ 3.。

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1.2.2 同角三角函数的基本关系一、A组1。

化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是()A。

B.C。

1 D.解析：原式=sin2β+cos2β（sin2β+cos2β)=sin2β+cos2β=1。

答案:C2.（2016·山东淄博实验中学检测)已知tan α=2，则sin2α—sin αcos α的值是(）A。

B.—C。

—2 D。

2解析:sin2α-sin αcos α==。

答案:A3。

（2016·吉林长春十一中高一期中）（1+tan215°）cos215°的值等于(）A. B.1 C。

— D.解析：（1+tan215°）cos215°=cos215°=cos215°+sin215°=1。

答案：B4。

已知α是第四象限角，tan α=-，则sin α=（)A. B.- C. D.-解析:∵α是第四象限角,∴sin α<0.由tan α=—,得=-，∴cos α=-sin α.由sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1，∴sin2α=1，sin α=±.∵sin α<0，∴sin α=-.答案：D5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值为（）A.2 B。

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1.2.2 同角三角函数的基本关系题号1234567891011得分答案一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若α∈错误!，sin α＝错误!，则cos α＝( )A。

错误! B.错误!C。

错误! D。

错误!2．已知sin α＝错误!,且α是第二象限角，那么tan α等于( ) A．－错误! B．－错误!C。

错误! D.错误!3．若π〈α〈错误!，则错误!＋错误!的化简结果为( )A。

错误! B．－错误!C。

错误! D．－错误!4．若错误!＝2，则sin θcos θ＝（）A．－417B。

错误!C．±错误! D.错误!5．已知α是第四象限角，tan α＝－错误!，则sin α＝（)A.15B．－错误!C.错误! D．－错误!6．（tan x＋错误!）cos2x＝（)A．tan x B．sin xC．cos x D。

错误!7．已知tan α＝2，则错误!＝( ）A．－错误! B.错误!C．1 D。

错误!二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________．9．在△ABC中,若tan A＝错误!，则sin A＝________．10．已知sin αcos α＝错误!,则sin α－co s α＝________．11．已知α是第二象限角,则错误!＋错误!＝________．三、解答题（本大题共2小题,共25分)12．（12分)已知cos α＝－错误!，且tan α〉0，求错误!的值．13.(13分）已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1,求下列各式的值．(1）tan α；(2）错误!。

学习资料第一章三角函数1．2任意角的三角函数1．2。

2同角三角函数的基本关系[A组学业达标］1．已知α是第四象限角，tan α＝－512,则sin α＝（)A.错误!B．－错误! C.错误!D．－错误!解析：因为tan α＝－错误!，所以错误!＝－错误!，所以cos α＝－错误!sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝±错误!,又α是第四象限角，所以sin α＝－错误!.答案:D2．已知sin x＝2cos x，则错误!＝(）A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：∵sin x＝2cos x，∴tan x＝2,∴原式＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝错误!,则三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析：将sin α＋cos α＝错误!两边平方，得1＋2sin αcos α＝错误!，即2sin αcos α＝－错误!。

又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α〈0,∴α为钝角．故三角形为钝角三角形．答案:A4．已知sin α－cos α＝错误!，则sin αcos α＝() A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：∵sin α－cos α＝错误!，∴（sin α－cos α）2＝错误!,即1－2sin αcos α＝错误!，∴sin αcos α＝－错误!.答案:A5．若sin θ,cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（）A．1＋错误!B．1－错误!C．1±错误!D．－1－错误!解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－错误!,sin θ·cos θ＝错误!.又（sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴错误!＝1＋错误!，解得m ＝1±错误!.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－错误!.答案：B6．若β∈［0，2π)，且错误!＋错误!＝sin β－cos β，则β的取值范围是________．解析:∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝|sin β｜＋|cos β｜＝sin β－cos β，∴sin β≥0，cos β≤0,∴β的终边在第二象限或在x 轴负半轴或在y 轴正半轴．∵0≤β<2π,∴β∈错误!。

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】1．2.2 同角三角函数的基本关系 课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝____________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；sin α·cos α＝______________________＝________________________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________. 一、选择题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2二、填空题7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理 1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22 (2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．C 2.B 3.A4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．B [方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1. 化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5， ∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]7．－5138.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 10.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 11．解 原式＝(1－cos 4α)－sin 4α(1－cos 6α)－sin 6α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， 右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α ∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a ≤1，∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.。

1.2.2 同角三角函数的基本关系1.A 已知()1sin cos ,0,5ααα+=∈π，则tan α的值是( ) A.34 B ．34- C ．43- D ．432.A 已知α是第四象限角，5tan ,12α=-则sin ___________α=.3.A新知新讲4.A 已知1tan ,3α=计算sin 2cos 5cos sin αααα+-的值.5.A 已知1tan ,3α=则2212sin cos sin cos αααα+-的值______________.6.A 证明：2222tansin tan sin αααα-=.1.2.2 同角三角函数的基本关系参考答案1. C.2.5sin .13α=- 详解：5sin 5tan sin cos 12cos 12ααααα=-=⇒=-⋅， 2225144(cos )cos 1cos ,12169ααα-⋅+=⇒=12cos 13α=±所以，5sin 1312cos 13αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5sin 1312cos 13αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由于α是第四象限角，5sin 13α=-． 3.cos4sin 4-．sin 4cos4cos4sin 4=-=-．新知新讲 4.12.详解：法一：猜出sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入即得sin 2cos 15cos sin 2αααα+=- 法二：7sin 2cos tan 213145cos sin 5tan 23αααααα++===--（上下同时除以cos α，构造tan α） 5.-2.法一：猜值猜出sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入即得2212sin cos sin cos αααα+-= -2； 法二：1的转化，因式分解2212sin cos sin cos αααα+-=2222sin +cos 2sin cos sin cos αααααα+-=()()()2sin cos sin cos sin cos αααααα+-+ =sin cos sin cos αααα+-=tan 1tan 1αα+-= -2； 法三：上下同除2cos α，构造2tan α.2212sin cos sin cos αααα+-=2222sin +cos 2sin cos sin cos αααααα+-=22tan +12tan tan 1ααα+-= -2. 6.证明：2222tan sin tan sin αααα--=222tan (1sin )sin ααα--=222tan cos sin ααα-=2222sin cos sin 0cos αααα⋅-=，所以2222tan sin tan sin αααα-=.。