18届高三数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入夯基提能作业本文

第2讲数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点□01Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝□06z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝□07z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝□08z 1z 2＋z 1z 3. (4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是□09OZ 1→＋OZ 2→所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是□10OZ 1→－OZ 2→即Z 2Z 1→所对应的复数．4．模的运算性质：①|z |2＝|z |2＝□01z ·z ；②|z 1·z 2|＝□02|z 1||z 2|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝□03|z 1||z 2|.1．概念辨析(1)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋b i 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案 D 解析3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i2＝2－i.故选D. (2)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝1＋i 1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，所以z 的共轭复数z ＝12－12i ，z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限．(3)(2018·华南师大附中一模)在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 为虚数单位)，则|z |为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 |z |＝cos 23＋sin 23＝1.(4)设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 答案 4解析 因为z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝2a ＋2＋(4－a )i ，且z 1z 2是实数，所以4－a ＝0即a ＝4.题型 一 复数的有关概念1．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案 C解析 因为m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3 D ．－1,4答案 A解析 因为(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， 所以a ＝3，b ＝－2.3．(2018·合肥一检)设i 为虚数单位，复数z ＝1－i3－i 的虚部是( )A.15 B ．－15 C ．1 D ．－1 答案 B 解析 复数z ＝－＋－＋＝4－2i 10＝25－15i ，则z 的虚部为－15.4．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2答案 C解析 因为z ＝1－i1＋i ＋2i ＝－2＋－＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1，故选C.有关处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.1．(2019·安徽安庆模拟)设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解得a ＝3.故选C.2．已知集合A ＝N ，B ＝{x ∈R |z ＝3＋x i ，且|z |＝5}(i 为虚数单位)，则A ∩B ＝________. 答案 {4}解析 因为|z |＝32＋x 2＝5，所以x ＝±4， 所以B ＝{－4,4}， 所以A ∩B ＝{4}．3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 因为(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.题型 二 复数的几何意义1．(2019·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i＝＋25＝35＋45i ，故选B. 2．若复数z ＝a －2i2在复平面内对应的点在直线y ＝－x 上，则z ·z ＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B 解析 因为z ＝a －2i 2＝a2－i ， 且z 在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－1在直线y ＝－x 上， 所以－1＝－a2，a ＝2，所以z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝1－i 2＝2.3．若复数z 满足①|z |≥1；②|z ＋i|≤|－1－2i|，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．答案 4π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z |≥1及|z ＋i|≤|－1－2i|易得x 2＋y 2≥1及x 2＋(y ＋1)2≤5知z 在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.条件探究1 把举例说明1中的“实轴”改为“虚轴”，求z 1z 2.解 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i.所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－22＝－5.条件探究2 将举例说明1中z 1对应的向量OZ 1→绕点O 逆时针旋转90°，得z 2对应的向量OZ 2→，试求z 1z 2.解如图所示，z 1＝2＋i ，z 2＝－1＋2i ，所以z 1z 2＝2＋i－1＋2i＝＋－1－5＝－i.复数几何意义及应用1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离.1．在复平面内，若O (0,0)，A (2，－1)，B (0,3)，则在▱OACB 中，点C 所对应的复数为( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C 所对应的复数为2＋2i.2．如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z 对应的复数z 满足(z 1－i)·z ＝1，则复数z 1＝( )A ．－25＋45iB.25＋45iC.25－45i D ．－25－45i答案 B解析 由图可知z ＝2＋i ，因为(z 1－i)·z ＝1， 所以z 1＝1z ＋i ＝12＋i ＋i ＝2－i 5＋i ＝25＋45i.题型 三 复数的四则运算角度1 复数的加、减、乘、除运算1．(1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________；(2)已知i 是虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2018＝________.答案 (1)4－i (2)1＋i 解析 (1)6＋7i1＋2i ＝＋－＋－＝20－5i5＝4－i. (2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1009＝i 8＋i 1009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.角度2 复数四则运算的综合应用2．若复数(1－i)(cos θ＋isin θ)在复平面内对应的点在第二象限，则实数θ的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4，k ∈Z解析 (1－i)(cos θ＋isin θ) ＝(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i ，此复数在复平面内对应的点为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，角θ终边所在的区域如图所示． 所以2k π＋3π4<θ<2k π＋5π4，k ∈Z .1．复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i1－i ＝i ； (3)1－i 1＋i ＝－i ； (4)a ＋b ii＝b －a i ；(5)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N ).1．(2018·太原二模)＋－21－2i＝( )A ．2B ．－2 C.13 D ．－13答案 A 解析 ＋－21－2i ＝＋－1－2i＝－4i ＋21－2i＝－1－2i＝2.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105 D.10 答案 C解析 ∵z ＝1－i 1＋2i ，∴|z |＝|z |＝|1－i||1＋2i|＝25＝105.3．复数z ＝cos75°＋isin75°(i 是虚数单位)，则在复平面内，z 2对应的点位于第________象限．答案 二解析 z 2＝(cos75°＋isin75°)2＝(cos 275°－sin 275°)＋(2sin75°cos75°)i ＝cos150°＋isin150° ＝－32＋12i ，其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12位于第二象限．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

第十一篇复数、算法、推理与证明(必修3、选修1-2)第1节数系的扩充与复数的引入知识点、方法题号复数的相关概念1,5,10,12,14,15,19,22复数代数形式的运算3,6,8,9,16,24复数的几何意义2,11,13,18,20复数相等的应用4,7,17,21复数的综合23,251.(2016资阳模拟)复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则实数m的值为( B )(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2解析:若复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0且m+1≠0,解得m=1.2.(2016重庆模拟)在复平面内,复数i·(1-i)对应的点位于( A )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为i·(1-i)=1+i,所以复数i·(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限.3.(2016绵阳模拟)已知i是虚数单位,则错误!未找到引用源。

等于( D )(A)-1+i (B)-1-i(C)1+i (D)1-i解析:错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=1-i.4.(2016宿州三模)设i为虚数单位,若错误!未找到引用源。

=b-i(a,b∈R),则a+b等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为错误!未找到引用源。

=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,所以a+b=3.5.(2015高考广东卷)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则错误!未找到引用源。

等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以错误!未找到引用源。

=2-3i,故选A.6.(2015高考四川卷)设i是虚数单位,则复数i3-错误!未找到引用源。

精品试卷【2019最新】精选高考数学一轮复习 第11章 复数、算法、推理与证明 第1讲 数系的扩充与复数的引入分层演练 文一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋(a ∈R)是纯虚数，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ．因为a ＋＝a ＋＝a ＋＝a －2＋i 是纯虚数，所以a ＝2．故选D ． 3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i ＋i2＝＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2018·福建基地综合测试)已知＝1－yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋yi 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D ．＝(x －xi)＝1－yi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，所以x ＋yi ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )精品试卷解析：选A ．由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝＝＝＋i ，故z 的实部为，故选A ．6．已知＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4解析：选A ．因为＝1＋＋＝－3－4i ，所以－3－4i ＝a ＋bi ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A ．二、填空题7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z1＝3＋4i ，z2＝t ＋i ，且z1·z2是实数，则t 等于________．解析：因为z1＝3＋4i ，z2＝t ＋i ，所以z1·z2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z1·z2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－．答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则·＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．所以·＝z·＋1＝5＋1＝6．答案：69．已知复数z 满足＝i(其中i 是虚数单位)，则|z|＝________．解析：由＝i 知，z ＋2＝zi －2i ，即z ＝，所以|z|＝＝＝2．答案：210．已知复数z ＝(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝＝＝＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5．答案：－5三、解答题11．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)B点对应的复数．解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i．因为＝，所以所表示的复数为－3－2i．(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．(3)＝＋＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i．12．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i．设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋5a＋bi＝a＋bi＋5（a－bi）a2＋b2＝＋i．因为z＋是实数，所以b－＝0．又因为b≠0，所以a2＋b2＝5．①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0．②由①②得解得精品试卷精品试卷⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。

第1讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内成立．2．复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.1.教材习题改编 设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠－1.所以m ＝1.故选A.2．(2016·高考全国卷甲)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)A 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2A 由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.4.教材习题改编 在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4，5)，则OB →对应的复数为________．OA →＝(6，5)，AB →＝(4，5)， 则OB →＝OA →＋AB →＝(10，10)． 10＋10i5.教材习题改编 已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________．因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 2＋i复数的有关概念(1)(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2(2)(2017·辽宁师大附中期中)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的虚部为________．【解析】 (1)因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ， 所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B ．(2)因为z ＝1－i(i 为虚数单位)，所以zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）－2i ＝2i 2－2i ＝－i.故其虚部为－1.【答案】 (1)B (2)－1解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2017·山西省第二次四校联考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a＋b )的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12C 因为（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12，所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.2．(2017·河南省六市第一次联考)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－i a ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2 B ．11 C. 3D ． 6C 由题意得，2－ia ＋i ＝t i ，t ≠0，t ∈R ，所以2－i ＝－t ＋ta i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2a ＝12，所以z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z |＝3.复数的几何意义(1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(2)(2017·湖南一模)已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 (1)因为z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2，1)，即z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.(2)因为复数z ＝11－i ＝1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋12i ，所以z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B ．【答案】 (1)A (2)B复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2017·河北省三市第二次联考)若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A ．－4B ．－3C ．1D ．2A 若z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜－3.2．(2017·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D 由已知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)， 所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ， 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．复数代数形式的运算(1)(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2017·武汉市武昌区调研)已知(z －1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(3)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________． 【解析】 (1)4iz z －1＝4i（1＋2i ）（1－2i ）－1＝i. (2)因为z ＝4＋3i 2－i ＋1－3i ＝（4＋3i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.(3)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21 008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0.【答案】 (1)C (2)A (3)0计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i ＋i 3. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i2（1＋i ）2＝－42i ＝2i. (2)2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i 2i＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.1．(2017·山西省第二次四校联考)若复数z 满足z (i ＋1)＝2i －1，则复数z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．iD ．1B 因为z (i ＋1)＝2i －1，所以z ＝2（i －1）（i ＋1）＝2－2＝－1，所以z 的虚部为0.2．(2017·商丘模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.3．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)在复平面内与复数z ＝2i1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋iB 因为z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.故选B ．4．(2017·湖南省东部六校联考)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D 由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．5．(2017·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1C 因为z 为纯虚数，所以a ＝2，所以a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－3i 3＝－i.6．(2017·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3iB 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B ．7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________．z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i ·i ＝－2i.－2i8．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________．由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.－19．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ， 即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.210．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2.(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i.12．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i. 求z .设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.因为z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，所以(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，①2a ＝2.②由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.13．(2017·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i(a ，b ∈R )，则函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π6＋b 图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π18，1D 因为(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i ，所以a ＋b i ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1，令3x ＋π6＝k π，k ∈Z ，所以x ＝－π18＋k π3，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝5π18，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1，故选D ．14．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝________． 由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38. 38。