北师大版八年级上第一章勾股定理 1 探索勾股定理同步练习3(附答案)

1.1 探索勾股定理第1课时【基础达标】1.如图，在△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长度为（）A.1B.√7C.2√3D.52.在Rt△ABC中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△ABC的面积为（）A.5B.60C.45D.303.(优秀传统文化)在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”.斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的几何美感.如图1，我们选取斗拱模型的一部分，它由三个小木块组成，形状类似于一个直角三角形(图2).假设这个斗拱模型的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c.根据工匠的记录，我们知道a=5尺(古代的长度单位)，b=12尺，则斜边c为尺.4.如图，在△ABC中，△ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为.5(新考法)如图，在△ABC中，AC=BC=5，P为AC上一动点，连接BP，BP的最小值为3，当BP取最小值时，AP= .【能力巩固】6(新考法)如图，在5×5的网格中，A，B，C都是网格点，则AC的长落在数轴上点（）A.M处B.N处C.P处D.Q处7对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（）A.15B.16C.17D.208.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为.【素养拓展】9(合作学习)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图，作AD△BC于点D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.10如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA△AB于点A，CB△AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB边上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处?11(五育并举)为推行五育并举，结合当地特色，某校推出石板画课程，如图，这是小明制作的正方形石板画ABDE，为了方便展示小明又制作了两个直角三角形支架(△ABC和△BDF)，点C、B、F在同一直线上，在△ABC中，△ACB=90°，AC=8 cm，BC=7 cm，求C、E两点之间的距离.参考答案1.1 探索勾股定理 第1课时基础达标作业 1.B 2.D 3.13 4.16 5.1能力巩固作业 6.D 7.C 8.23素养拓展作业9.解:在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13， 设BD=x ，则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x )2， ∴152-x 2=132-(14-x )2， 解得x=9， ∴AD=12，∴S △ABC =12BC ·AD=12×14×12=84.10.解:设AE=x ，在Rt△AED 中，x 2+152=DE 2. 在Rt△BCE 中，(25-x )2+102=CE 2.又DE=CE ，所以(25-x )2+102=x 2+152，解得x=10. 答:E 站应建在离A 站10 km 处.11.解:如图，连接CE ，过点E 作EG △AC ，交CA 的延长线于点G ， ∴△EGA=90°， ∴△EAG+△AEG=90°. ∴△BAE=90°， ∴△EAG+△BAC=90°， ∴△AEG=△BAC.∴AE=AB，∴△AEG△△BAC(AAS)，∴EG=AC=8 cm，AG=BC=7 cm.在Rt△ECG中，EG=8，GC=GA+AC=7+8=15(cm)，根据勾股定理得CE=√82+152=17(cm).。

第一章 勾股定理1 探索勾股定理（1）1．a 2＋b 2＝c 2；平方和等于斜边的平方 2．13 3．① 10 ② 8 ③ 9 ④ 9 4．6；85．150m 6．5cm 7．12 8．C 9．D 10．B 11．AB ＝320m 12．AD ＝12cm ；S △ABC ＝30 cm 2 13．△ABC 的周长为42或32． 14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．聚沙成塔：提示，秋千的索长为x 尺（一步＝4尺），x 2－（x －4）2 解得：x ＝61 探索勾股定理（2）1．5或7cm 2．36 cm 2 3．370 4．A 2＋B 2＝C 2 5．49 6．A 7．C 8．B9．B 10．C 11．D 12．B 13．（1）15；（2）40；（3）10 14．AB ＝17；CD ＝1201715．210 m 2 16．不是；应滑约0.08米 17．直角三角形的三边分别为6、8、10 18．C D ＝431 探索勾股定理（3）1．10 2．12 3．125cm 4．15cm 5．64 6．3cm 7．6498．B 9．B 10．D 11．10m 12．AC ＝3 13．PP ′2＝72 14．2 15．当△ABC 是锐角三角形时a 2 ＋ b 2＞c 2；当△ABC 是钝角三角形时a 2＋b 2＜c 2聚沙成塔：（1）小正方形的面积为1；（2）提示：分割成四个直角三角形和两个小长方形2 能得到直角三角形吗1．直角三角形；9k 2＋16k 2＝25k 2 2．8或234 3．4、8 4．直角 5．m ＝2 6．直角、90°7．直角 8．C 9．A 10．四边形地ABCD 的面积为36 cm 2 11．S △ABC ＝6 cm 2 12．10天 13．32＋42＝52，应用勾股定理逆定理得直角三角形14．（1）是．提示：（30×30）2＋（40×30）2＝（50×30）2；（30×30）2＋（40×30）2＝15002；（2）1507分钟 15．是．提示：∵BD ＝AD ＝DC ，CD ⊥AB ∴∠A ＝∠B ＝45°＝∠BCD ＝∠ACD ∴BC ＝AC ∠BCA ＝90°3 蚂蚁怎样走最近1．84 cm 2 2．25k m 3．13 4．325．4 6．B 7．C 8．A 9．12米 10．提示：设长为x m ， 宽为y m ，根据题意，得2248100xy x y =⎧⎨+=⎩ ∴86x y =⎧⎨=⎩2(86)28c m =+= 11．提示：过A 为AE ⊥CD 于E ，∵AB ＝CE ＝3cm ， CD ＝8cm DE ＝5m ∴AE ＝BC ＝12m ∴AD ＝22DE AE +＝22512+＝13m ∴最短距离为13m ． 12．提示：设AE ＝x k m BE ＝(25)x -k m ∵DE ＝CE 且DE ＝22AD AE + CE ＝22BE BC + ∴2215x +＝2(25)100x ++ ∴10x =∴E 点应建在离A 站10km 处13．提示：能通过，∵AB ＝2cm ∴AO ＝BO ＝CO ＝1cm ∵2.3m ＋1m ＝3.3m ∴3.3m ＞2.5m 且2m ＞1.6m ；∵OD ＝12AB －BD ＝0.8m CD ＝CH －DH ＝0.2m ∴22oc OD CD =+＝21017m ＜1m ∴能通过． 14．提示：过B 作BC ⊥AD 于C ，∴BC ＝2＋6＝8k m ，AC ＝8－（3－1）＝6k m ∴2210AB BC AC km =+=单元综合评价一、1．（1）4 （2）60 （3）162 2．6，8，10 3．17cm 4．4.8，6和8 二、5．B 6．D 7．B 8．D三、9．是直角三角形 10．利用勾股定理 11．169厘米2 12．12米四、13．方案正确，理由：裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为4a ，则DF ＝FC ＝2a ，EC ＝a ．在Rt•△ADF 中，由勾股定理，得AF 2＝AD 2＋DF 2＝（4a ）2＋（2a ）2＝20a 2；在Rt △ECF 中，EF 2＝（2a ）2＋a 2＝5a 2；在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝（4a ）2＋（3a ）2＝25a 2．∴AE 2＝EF 2＋AF 2，由勾股定理逆定理，得∠AFE ＝90°，∴△AFE 是直角三角形．14．提示：设DE 长为x cm ，则AE ＝（9－x ）cm ，BE ＝x cm ，那么在Rt △ABE 中，∠A ＝90°，∴x 2－（9－x ）2＝32，故（x ＋9－x ）（x －9＋x ）＝9，即2x ＝10，那么x ＝5，即DE 长为5cm ，连BD 即BD 与EF •互相垂直平分，即可求得：EF 2＝12cm 2，∴以EF 为边的正方形面积为144cm 2．第二章 实数（答案）1 数怎么又不够用了1．D 2．B 3．B 4．（1）（2） 5．有理数有3.57••，3.1415926，0.12•34•，0，12；无理数有2π，0.1212212221…． 6．＞ 7．6、7 8．B 9．它的对角线的长不可能是整数，也不可能是分数． 10．（1）5；（2）b 2＝5，b 不是有理数． 11．可能是整数，可能是分数，可能是有理数． 聚沙成塔：不妨设3π是有理数，因为有理数都可以表示成分数的形式，所以设(0)3n m m π=≠， ∴3n m π=，而3n m 是分数，所以π也是分数，这与π为无理数矛盾．∴3π不是有理数而是无理数．2平方根（1） 1．D 2．C 3．81的平方根是3±，算术平方根是3 4．635．a ＝81 6．A 7．D 8．25 9．－2，－1，0，1，2，3，4 10．（1）当0x ≥时，3x 有意义；（2）当23x ≥-时，3142x +有意义；（3）任何数． 11．（1）7的平方根为7±，7的算术平方根为7；（2）27的平方根为±7，27的算术平方根为7；（3）2()a b +的平方根为±（a ＋b ）；2()a b +的算术平方根为(0)()(0)a b a b a b a b ++≥⎧⎨-++<⎩12．（1）23；（2）827-；（3）6；（4）2；（5）1；（6）566；（7）72 13．（1）6x =±；（2）8x =±；（3）1265x =，2145x =；（4）20,6x =-；（5）199,1010x =-；（6）0,10x = 聚沙成塔：x ＝64，z ＝3，y ＝5 ∴33216x y z ++=2 平方根（2）1．8;0.5± 2．1625；13 3．两，互为相反数 4．0.0196 5．,0x -,x 6．8± 7．001，或 8．43± 9．490.35-，， 10．4± 11．C 12．B 13．C 14．B 15．(1)2,(2)0,23(3)1(4)3,1x x x x x x ======- 16．±（m －2n ）聚沙成塔：a ＝26，b ＝193 立方根1．D 2．B 3．（1）∵ 73＝343，∴ 343的立方根是7，即3343＝7；（2）∵ 0.93＝0.729，∴0.729的立方根是0.9，即3729.0＝0.9；（3）∵346410()232727-=-=-，∴10227-的立方根是43-，即31042273-=- 4．A 5．C 6．38＝2，2的平方根是±2． 7．33333333322327273(1)64644(2)10.9730.0270.310171255(3)542727273(4)24452002353210231060--==-==--=-=-=-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=8．3322321(1)111a a a a a a a a +-+=+-=+-=-+=9．答案：由题意知 3331120y x -+-=，即333112y x -=--． 又∵33331(13)13y y y -=--=--，∴31312y x --=--∴1312y x -=-，∴:3:2x y =10．因为31x +的平方根是±４，31x +＝16，∴16115533x -===． 把5x =代入919x +，得919x +＝9×5＋19＝45＋19＝64，∴919x +的立方根是４．11．∵34x =，∴3464x == 又∵24(21)30y z z -++-=∴210y z -+=且30z -=，即3z =，5y =，∴3333364125272166x y z ++=++==．12．33332733433437(1)2166;(2);(3)825125128=-=--=-=-． 13．（1）x ＝－6；（2）x ＝0.4． 聚沙成塔：242221010,10(10)10,===3632362323339333124343310(10)10,10(10)1010(10)10,10(10)10========上述各题的计算规律是：所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值，用式子表示为：323(0),n n n n a a aa a ==．如果将根号内的10换成任意的正数，这种计算规律仍然成立．4 公园有多宽1．C 2．C 3．D 4．14或15 5．A 6．Ａ 7．>，>，<，<．8．∵10＞9，∴10＞9，即10＞3，∴1018-＞318-，∴1018-＞14． 9．（1）不正确．∵40020=，而547＞400，显然547＞20，∴54719.3≈是不正确的；（2）不正确． ∵3100010=，而3375＜31000，显然3375＜10，∴327511.5≈是不正确的． 10．通过估算7＝2.……，∵7的整数部分是2，即2x =；7的小数部分是2.……－2，即7－2．∴y ＝7－2，∴(7)y x +＝22(72)(72)(7)23-+=-=．11．解析：误差小于几就是所得结果不差几，可比其多，也可比其少．（1）当误差小于100时，300000≈500；（2）当误差小于10时，600≈20；（3）当误差小于1时，320≈3；（4）当误差小于0.1时，2≈1.4．12．解析：当结果精确到1米时，只能用收尾法取近似值6米，而不能用四舍五入法取近似值5米．若取5米，则就不能从离地面5米处的地方引拉线了．设拉线至少需要x 米才符合要求，则由题意得BD ＝13x ． 根据勾股定理得x 2＝（13x ）2＋52，即x 2＝2258，∴x ＝2258． 当结果精确到1米时，x ＝2258≈6（米）． 答：拉线至少要6米，才能符合要求．聚沙成塔：进行估算时，小数部分是用无理数的形式表示的，而不是用计算器求得的．要准确找出被估算数在哪两个整数之间．（1）910的整数部分用910表示∵ 223091031961<<= ∴ 3091031<< ∴ 91030≈（2）∵ 332321331N N N N N N N <+++<+++；即 33231(1)N N N N N <+++<+∴ 33211N N N N N <+++<+ ∴ 332N N N N ++≈．5 用计算器开方1．B 2．>，< 3．12，－3，±5 4．－a 5．6；计算器步骤如图：5题图 6题图6．解析: 如果要求一个负数的立方根，可以先求它的相反数的三次方根，再在结果前加上负号即可．计算器步骤如图：7．设两条直角边为3x ，2x ．由勾股定理得（3x ）2＋（2x ）2＝（5）2，即9x 2＋4x 2＝520． ∴x 2＝40；∴x ≈6.3；∴3x ＝3×6.3＝18.9；2x ＝2×6.3＝12.6．答：两直角边的长度约为18.9厘米、12.6厘米．8．当h ＝19.6时，得4.9t 2＝19.6；∴t ＝2；∵t ＝2>231()8∴这时楼下的学生能躲开． 9．设该篮球的直径为d ，则球的体积公式可变形为316V d π=， 根据题意，得316d π＝9850，即398506d π⨯= 用计算器求Ｄ的按键顺序为：９ ，８ ，５ ，０ ，× ，６ ，÷ ，SHIFT ， EXP ， ＝ ， 3 ， ＝ ，显示结果为：26.59576801．∴d ≈26.6（㎝）答：该篮球的直径约为26.6㎝．10．（1）279.3，27.93，2.793，0.02793；（2）0.02550，0.2550，2.550，25.50，255.0它们的规律是：一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍，一个数缩小到原来的1100，则它的算术平方根就缩小到原来的110． 6 实数（1）1．（1）正确，因为实数即是由有理数和无理数组成的．（2）正确，无理数都是无限不循环小数． （3）不正确，带根号的数不一定是无理数，如42=是有理数．（4）不正确，无理数不一定都带根号，如π是无理数，就不带根号．（5）正确，两个无理数之积不一定是无理数，如2(2)2⋅-=-．（6）不正确，两个无理数之和也不一定是无理数，如2(2)0+-=是有理数．（7）正确，数轴上的点与实数一一对应．2．Ｃ 3．Ａ 4．D 5．A 6．C 7．D8．∵2323218-=-⨯=-；2232312-=-⨯=-；又∵ 1812>，∴ 3223-<-．9．25 10．由2(5)70a b c ++++=-3可得，a -3=0，50b +=，70c +=，∴a =3，5b =-，7c =-；∴a b c+＝14-． 11．－６ 12．大正方形的面积为216（㎝2），所以这个正方形的边长为21666=（㎝）聚沙成塔：∵互为相反数的两数之和为零 ∴ 1218440x y --+--=，∵两个加数均为算术平方根，∴1210x --≥，8440y --≥，∴ 1210x --=且8440y --=；112x -=，54x =．同理：8y =，∴ 54x =，8y =． 6 实数（2）1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C 9．2；2；－22；－45；54；5410．π－3.14 11．5± 12．6＋5 13．B 点 14．1 15．2216．x ≥2 17．解：①原式＝[（7－6）（7＋6）]2＝ 7－6＝1；②原式＝2＋26＋4－1－26＝3＋2；③原式＝21(21)(21)-+-－134×2＋1＋（－23）＝2－1－232＋1－132＝0；④原式＝[（23－32）＋（23＋32）]×[（23－32）－（23＋32）]＝（23－32＋23＋32）×（23－32－23－32）＝－24618．解：因为（a －2）2＋（b －1）2＝0，a －2＝0且b －1＝0，所以a ＝2，b ＝1，所以2221a b -=⨯-＝3 19．解：由已知a ＝b ，cd ＝1，则2222a b cd a b--+＝0－1＝－1 20．解：因为x ＝2004－1，所以x ＋1＝2004，原式＝（2004）2－6＝2004－6＝1998．21．解：原式＝│x －2│＋│x －1│，当1≤x ≤2时，原式＝－（x －2）＋（x －1）＝122．解：∵4<5<9，∴b ＝5－2．又∵a ＝5，∴b ＝20a ＝5－2－205＝5－2－2＝5－4聚沙成塔：23．解：由题意，得2020x x -≥⎧⎨-≥⎩解得x ＝2，所以y ＝22-＋22-＋3＝3，所以y x ＝32＝9；（1）由题意，得201050x x -≥⎧⎨-≥⎩解得x ＝2，所以y ＝21053221052x x -+-+=-+-⨯；所以y x ＝32＝9；（2）由题意，得3601050x x -≥⎧⎨-≥⎩解得x ＝2，所以y ＝3261052⨯-+-⨯，所以2x －y ＝2×2－3＝1．24．解：（1）从上往下依次填25，121，361，…；（2）令左边第一个数为n ，则第n 个等式的左边为n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1，右边是什么？可尝试着来求，则可得如下规律．n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1＝（n 2＋3n ＋1）2．证明：n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1＝n （n ＋3）·（n ＋1）（n ＋2）＋1＝（n 2＋3n ）（n 2＋3n ＋2）＋1＝（n 2＋3n ）2＋2（n 2＋3n ）＋1＝（n 2＋3n ＋1）2，结论成立．（3）15×16×17×18＋1＝（152＋3×15＋1）2＝2712，故15×16×17×18＋1的平方根为±271，算术平方根为271．单元综合评价（一）一、选择题:（每小题3分共24分）1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．B二、填空题．（每空3分共33分）9．－13 10．5 11．2，－1 12．3332- 13．37+或37- 14．－1，5215．－1，0，1，2 16．23，3- 三、解答题．17．①2±=x ；②x ＝－2与14()23x -<<矛盾，故所求x 不存在；③32+±=x ；④223x ±+=18．解：（1）52；（2）＝4313232+ 19．解：欲使原式有意义，得 ⎪⎩⎪⎨⎧<±≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-4,3,30403||03x x x x x x ∴3<x <4．20．∵|a |＝b ，∴b ≥0，又∵|ab |＋ab ＝0，∴|ab |＝－ab ，即 a ≤0，∴|a |＋|－2b |－|3b －2a |＝－a ＋2b －（3b －2a ）＝a －b 21．（1）x ＝2；（2）x 的x 次方根为2± 22．2x －3≥0且3－2x ≥0，即2x －3＝0，32x =，此时y ＝4，∴3462xy ⨯==． 单元综合评价（二）答案与提示:一、选择题1．Ａ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ｄ 5．Ｄ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｂ 9．Ａ 10．B11．Ｂ 12．Ｂ二、填空题1．－5 2．0 3．－2 4．1；－9 5．3±；3 6．1 7．实数 8．0或64 9．x ≥0且x ≠6．三、计算题1．10355- 2．（1）3；（2）1324；（3）203253-；（4）1639；（5）1536-；（6）331- 3．75x =- 4．每个正方形边长为：52 表面积为25756()22⨯=． 5．原式变为a a -=，且0≠a ；根据绝对值的定义：a ＜0 6．1+=n a n ．7．证明：（1）设(3,4)(3)4(3)434(3,4)(3,4)n n n x n x n n x n n x =⇒=⇒=⇒=⇒=；（2）略． 8．要使所有的根式都有意义，必须满足240,920,130,0a a a a +≥-≥-≥-≥，∴a ＝0．∴原式＝49100-++= 9．±3 10．3211．133,413a b -=-=，原式＝8 12．经分析容易发现：22()()c b c b c b -=+-，当a ＝21时，b ＝220，c ＝221 13．原式＝23+．第三章 图形的平移与旋转1 生活中的平移1．（1）身高、体重没有改变；（2）向前移动；移动了50cm ；（3）四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的形状、大小相同；（4）略 2．移动一定距离 3．相等；平行；相等 4．5平方厘米；90° 5．平行且相等 6．右；2 7．－4 8．∠ABC ＝∠A ′B ′C ′＝∠A ′OC ＝∠BOB ′；∠B ′OC ＝∠A ′OB 9．略 10．略 11． AB 、A ′B ′；BC 、B ′C ′；AC 、A ′C ′；△ABC ≌△A ′B ′C ′ 12．3；15 13．（1）（420×280）÷（30×20）＝196；（2）13×13＝169；长贴14块，宽也贴14块14．如图，将四块草地向中间拼拢（即平移），这样就形成了一个长为a －c ，宽为b －c 的矩形．b － ca － c∴S 空白＝（a －c ）×（ b －c ）＝ab – ac – bc ＋ c 215．19.5米．2 简单的平移作图1．对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等 2．做出平移后的对应点；平移的方向和平移距离 3．A 4．如图 5．如图 6．略 7．如图ABCDAB CDC'B'AB CDOO'4题图5题图7题图8．（1）9；（2）略9．将长方形ABCD沿着AB方向平移6cm才能使平移的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm210．（1）都是由“○、△”组成的“基本图案”平移形成的；（2）略；（3）大小、形状没有发生变化．因为它们都是由“基本图案”平移得到的11．根据平移的性质，可以通过对应点、对应边、对应角等多种方法作图12．1213．①②③正确，理由略14．通过平移使阴影部分面积变成一个小正方形的面积，即25 15．略聚沙成塔：（如右图），平移B点到B′使BB′的距离等于河宽，连接AB′交另一岸于C点，过C点作垂直于河岸的桥CD即为所求．（方法不限，正确即可）3 生活中的旋转1．（1）绕一个固定的点或线，转动过程中形状没有发生改变；（2）形状、大小没有发生变化，位置发生了变化；（3）绕两指针的交点，分针转12格；（4）略2．转动一个角度；旋转中心；旋转角3．位置；形状、大小．4．2 5．（1）线段绕其中点顺时针（逆时针）旋转60°、120°得到的；（2）等边三角形；（3）它是由一个花瓣为基本图形，以花瓣为旋转中心，顺时针旋转72°，144°，288°四次得到的6．线段r绕点O旋转180°；矩形ABCO绕线段AO旋转180°；直角三角形AOB绕线段AO旋转180°7．①点C；90°；②点A；CA；∠EAC；③等腰直角三角形8．△ACE和△DCB；△A M C和△DNC；△CME和△CNB，它们都是绕C点旋转60°9．（1）30°；（2）75°10．70°11．如图所示基本型依次绕正六边形中心旋转60°（其它正确变换均可）AB CDOO'11题图 12题图 15题图12．如图基本型依次绕正六边形中心顺时针和逆时针旋转120°（其它正确变换均可）13．△BCE顺时针旋转60°即得△ADC，故AD＝BE14．（1）两个正方形的重叠部分的面积保持不变；（2）14（通过旋转利用特殊位置求值）15．如图，将△OAB绕B点顺时针旋转90°，使O点落在点O′的位置，再连接OO′，可得等腰直角三角形BOO′和直角三角形COO′，则可求∠AOB＝135°4 简单的旋转作图1．旋转中心；旋转方向；旋转角度2．形状；大小；旋转中心；旋转角度及方向3．90°；60°；45°4．3个5．3 6．略7．略8．如图9．53°10．如图11．如图（O′′为O的旋转对称点）12．略13．如图，分别连结两带箭头线段的对应点，做所得两条线段的垂直平分线，其交点即为所求的旋转中心14．略15．（1）不是始ABCD B'终相等，如F 点转到AB 边上时；（2）连结BE ，则线段BE 的长始终与线段DG 的长相等．（△AGD 绕A 旋转可得到△ABE ．）A B COC'B'A' O O '' O O'8题图 10题图 11题图 13题图5 它们是怎样变过来的1．对折 2．旋转中心；旋转角度；旋转方向 3．平移方向；平移距离 4．长度；角度 5．A 6．不能，必须经过对折 7．略 8．△ABD 绕A 点逆时针旋转60°得到△ACE 9．（1）平移（2）旋转（3）平移和旋转（4）轴对称（5）旋转 10．略 11．A12．（1）将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°而得到△AFD ；（2）BE ＝DF 13．45° 14．略15．如图，沿对角线方向，每次平移距离为对角线长的14．6 简单的图案设计1．略 2．略 3．略 4．一个圆 5．旋转或旋转和平移 6．略 7．略 8．略9．略 10．如图，先把矩形纸片对折，然后在沿着B M 对折使C 落在EF 上的N 点，再折出BM 和CN 即可． 11．略 12．略 13．略C E B A FD A B C DEF MN10题图单元综合评价1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B 8．C 9．60° 10．120° 11．9cm 12．5π 13．6 14．12 15．20π 16．5cm 17．32 18．60°19．（1）点D ；（2）90°；（3）等腰直角三角形；（4）22；25 20．略 21．AA ′的长为13个单位 22．提示：作∠BOB ′=∠AOA ′，且使BO =B ′O 23．略 24．（1）150°（2）等腰三角形（3）75°．25．解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长又∵较短的边长为5cm ，即BC ＝5cm ．∴平移的距离为5cm ．（2）∵∠ECM ＝30°，∴∠CED ＝60°，∴∠EMC ＝90°．又∵在Rt △ECD 中，DE ＝10cm ，EC ＝5cm ，∴CD ＝53cm ，∴CM ＝532cm ． （3）△ABC 与△DEC 中，∵30A D ∠=∠=，ANE DNB ∠=∠，AE ＝DB ．∴△ABC ≌△DEC ，∴AN ＝DN ．第四章 四边形性质探索1 平行四边形的性质（1）1．110，110，70 2．14 3．45，135 4．45，135，45，135 5．三，□AEDF ，□BDEF ，□CDFE 6．24，12 7．9，□AEOG ， □ADHG ， □ABFE ， □ABCD ， □EDCF ， □EDHO ， □BFOG ， □BCHG ， □CFOH 8．40 9．6，4 10．C 11．D12．D 13．B 14．D 15．A 16．相等，证：△ABE ≌△CDF （AAS ） 17．证： △ADF ≌△CBE （SAS ） 18．AB =9cm ，BC =10cm 19．△FBE 是等腰三角形 20．（1）AE =2cm ，EF =1cm ，BF =2cm ；（2）BC =AE =BE =2.5cm 21．AB =BE +DF 22．连结AE ，AF ．易得：S ABE ADF S ∆∆==12S ABCD ，因为：BE =DF ，所以BE ，DF 上的高相等，可得：AG 平分∠BGD ．1 平行四边形的性质（2）1．二 2．10＜m ＜22 3．四 4．68 5．59 6．六 7．24 8．AB //CD ，两直线平行，内错角相等，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，△ABE ≌△CDF 9．D 10．D 11．C12．C 13．B 14．C 15．证：△BOE ≌△DOF （AAS ） 16．相等，证：△BOE≌△DOF （AAS ） 17．证：AF =EF ，BM =EF 18．BC =AD =12，CD =AB =13，OB =12BD =2.5 19．（1）证：∠MAB +∠MBA =90°；（2）DE =AD =BC =CF ，可得：DF =CE 20．相等，S CDE ∆= S ADF ∆= S ABF ∆+S CDF ∆，所以： S ABF ∆=S EFC ∆．2 平行四边形的判定（1）1．AB //CD 等 2．平行 3．平行四边形 4．BE =DF 等 5．平行且相等；平行且相等 6．平行四边形 7．平行四边形 8．平行四边形 9．B 10．C 11．A12．D 13．B 14．D 15．是，连结BD 交AC 于O ，证：OE =OF ，OB =OD 即可16．是，证：BD //CF ，BD =CF 即可 17．（1）除□ABCD 外，还有2个，是□ACNP ，□ACQM ；（2）相等，MQ =AC =NP ，可得：MP =QN 18．几种都正确，重点是给出的证明方法正确即可 19．分别过四个顶点作对角线的平行线所围成的四边形即为答案20．作CH ⊥BF 于H ，证：△ADE ≌△BCH 得：DE =CH ，再证：FG =CH ．2 平行四边形的判别（2）1．6 2．55和125 3．75 4．80 5．3＜a ＜15 6．70 7．19 8．489．C 10．B 11．C 12．∠C =50°，∠B =130° 13．证：△ADE ≌△BCF （AAS ）得：AD =BC 14．周长=39，面积=60 15．过C 作CD //AC ，证：△BDE ≌△CGH 得：AD =GH ，再证：AD =EF 即可 16．BC =10cm ，CD =6cm 17．证：EM =FN ，EM //FN18．延长DP 交AE 于G ，延长EP 交BF 于H ．则有，PD =BH ，PE =PG =AF ，PF =FH ．可得答案 19．7 20．B3 菱形1．2 2．10 3．176 4．44 5．60°，120°，60°，120° 6．6和8 7．248．33 9．菱形 10．60 11．B 12．C 13．D 14．C 15．C 16．B17．B 18．提示：△ABE ≌△ADE ，得：∠ABE =∠ADE ，∠DAE =∠ACD =∠ABE ．所以： ∠DAE =∠ADE 19．证∠DAE =∠ADE ，得：AE =DE 即可 20．（1）略；（2）90° 21．证四边形AEDF 是菱形 22．利用面积搭桥：AB ·DH =12·AC ·BD ，DH =9.6 23．（1）略；（2）∠AHC =100° 24．△AOE ≌△COF ，AE =CF ，由已知得：AE =EC ，可证 25．（1）略；（2）相等；（3）EF ⊥BD 时，BEDF 是菱形，由已知可得：AC =2，OA =1，即：OA =AB ，可得：∠AOB =45°，∠AOF =45°，旋转角的度数为45° 26．证△DEH ≌△CFH （AAS 或ASA ） 27．利用角平分线上的点到角两边的距离相等证CD =DE ，利用等校对等边证CD =CF 问题即可得证．4 矩形，正方形（1）1．40 2．矩形，对角线相等的平行四边形是矩形 3．10，5 4．12，16 5．2136．45 7．25 8．24 9．= 10．1 11．2.4 12．A 13．A 14．C15．B 16．D 17．是．连结AC ，证△ADC ≌△BCA （HL ）即可 18．证△ADE ≌△BCF 即可 19．是矩形，由条件可得：OE =OF =OG =OH 20．（1）△AOB 是等边三角形，经过计算可得：OA =OB =AB =4；（2）S BOC ∆=43 21．（1）∠ACB =30°；（2）BO =AB =BE 22．连结AC 交BD 于点O ，经过计算可得AB =OA =12BD =7 23．连结DE ，S CDE ∆=12S ABCD 矩形=12；S CDE ∆= 12·CE ·DF ，可求得DF = 4.8 24．（1）△ABE ≌△BCD ，∠B =∠C =90°；（2）24 25．（1）设EF =x ，则有222(8)4x x --=，解得EF =3；（2）39 26．方法同上，解得：BE =5，DF =4，则面积为10 27．（1）略；（2）由已知可得：AE =BE =DE ，可证得：∠ADB =90°，问题即可得证 28．（1）平行四边形，证△BDE ≌△BAC ，得DE =AC =AF ，同理：EF =AB =AD ；（2）∠BAC =150°；（3）∠BAC =60°29．（1）取CD 的中点O ，连结OA ，可得CD =2OA =AB =12；（2）方法同（1）．4 矩形，正方形（2）1．有一个内角是直角 2．32 3．2 4．2 5．22.5 6．58a 7．正方形 8．24 9．A 10．C 11．A 12．B 13．D 14．C 15．B 16．A 17．15° 18．△ADF ≌△CDM 得DM =DF ，∠ADF =90°，所以∠MFD =45° 19．由△OCF ≌△OBE 可得：BE =CF =3，由勾股定理可得EF =5 20．连结BE ，BF ，由△ABE ≌△BCF 得BE =BF 即可 21．△ABG ≌△BCE 得∠GAB =∠BCE ，所以∠CHG =∠ABC =90° 22．过E 作EM ⊥CD 于M ，过G 作GN ⊥BC 于N ，证△EFM ≌△GHN 即可23．（1）不变，由AH =AB =AD 可得∠BAE =∠EAH ，∠DAF =∠F AH ，所以∠EAF =∠EAH +∠F AH =12∠BAD =45°；（2）不变，由（1）得：周长=CE +BE +CF +DF =2BC 24．延长CE ，AD 交于G ，则△ADF ≌△CDG ，所以AF =CG =2CE 25．10 26．（1）由勾股定理得ME =54a ；（2）△EMC 是直角三角形，证ME 222MC CE +=即可 27．提示：连结PQ ，证∠MPQ =∠MQP 28．（1）△ABP ≌△ADP ；（2）当P 点不在直线AC 上时，BP ≠DP ；（3）BE =CF ，△CDF ≌△BCE （SAS ） 29．提示正方形的边长为5，两直角边长可为1和25 梯形（1）1．（1）√（2）√（3）√（4）√（5）√（6）×（7）√（8）√（9）√（10）√ 2．1203．底边的垂直平分线，对称轴 4．4 5．42+2， 2+1 6．三 7．30 8．3 9．C 10．C 11．B 12．D 13．D 14．D 15．△ABP ≌△CDP （SAS ）16．全等，证略 17．（1）四边形AECD 是菱形；（2）BC =8cm 18．腰长为5cm 19．5＜CD ＜9 20．延长BA ，CD 交于O ，证∠ABC =∠OAD 得AD //BC 21．结论：EF =12（BC －AD ），提示：过E 作EG //AB ，EH //CD ．5 梯形（2）1．AB =CD 2．20 3．30 4．105，115 5．7＜d ＜13 6．36 7．75cm 28．5cm ＜a ＜9cm ，等腰 9．6 10．C 11．B 12．C 13．B 14．C 15．B16．B 17．B 18．略 19．（1）略；（2）平行四边形 20．连结AC ，证AC 平分∠DAE 21．（1）连结AE ，DE ，由S ABC ABE CDE S S ∆∆∆=+可得AB ·CG =AB ·EF +CD ·EM ，即AB =CD ；（2）方法同（1） 22．△EMC 是等腰直角三角形，提示：①连结MA ，证△DEM ≌△ACM ，②延长EM ，CB 交于点O ，利用等腰三角形的性质．6 探索多边形的内角和与外角和1．3n - 2．18 3．12 4．n ，n ，n ，2n 5．36°，108°，144°，72° 6．60，90，120，90 7．八 8．36，144 9．五 10．120 11．9 12．四 13．12 14．3，2 15．B 16．B 17．C 18．D 19．C 20．A 21．D 22．略23．九 24．C 25．多边形的边数=22m n+． 7 中心对称图形1．（1）√（2）√（3）√（4）×（5）√ 2．略 3．90 4．对称中心，对称中心5．平行且相等 6．1 7．对角线的交点 8．线段的中点 9．③⑩，⑤⑦⑨，①②④⑥⑧ 10．D 11．C 12．A 13．B 14．A15．D 16．C 17．略 18．是 19．重叠部分面积=正方形面积的一半=1420．作图方法如图所示（方法不唯一）．MN 即为所求．单元综合评价（1） 1．140 2．6 3．对角线的交点 4．4 5．4或24336－ 6．67.5 7．23或43 8．4．8 9．45 10．8 11．6或23 12．D 13．C 14．B 15．C16．B 17．D 18．D 19．C 20．A 21．C 22．（1）略；（2）24cm 2 23．20cm 或22cm ． 24．DG =9.6cm 2 25．（1）由已知得：BF =BC =AD =AG ，即得AF =GB ；（2）∠A =90°或ABCD 是矩形等 26．CF ⊥DE ．证△DOE ≌△COG ，得到∠ODE =∠OCG 即可 27．（1）证AF //CE ；（2）∠B =30°；（3）不可能 28．略单元综合评价（2）1．12 2．AE =CF 等 3．正四边形 4．70 5．有一组邻边相等 6．3 7．608．52 9．①③⑤ 10．26 11．52 12．48 13．D 14．C 15．A 16．A17．C 18．C 19．C 20．C 21．C 22．（1）平行四边形；（2）AD 的中点；（3）EF ⊥BC ，EF =12BC 23．（1）略；（2）EF =1.5 24．（1）略；（2）等边三角形，M N正方形，正六边形；（3）略 25．同意，延长AE ，BC 交于点G ．可证得：AF =FG ，AE =EG ，结论即可得证 26．（1）略；（2）点P 为EF 的中点 27．图略 28．（1）证△FON ≌△BOM 即可；（2）同（1）第五章 位置的确定1 确定位置（1）1．两 2．（5，1）；7排3号 3．一 ；方向角 4．5k m 5．南偏西30°方向，且距离小红50m 6．（1）两；照相馆；超市；（2）一；（3）两；方向和距离 7．B 8．每小时11海里 聚沙成塔：经度、纬度和高度．1 确定位置（2）1．（1）A （10，8）、B （6，11）、C （4，9）、D （2，8）、E （8，1）；（2）略 2．（－2，1）；3．（1）湖心岛（2.5，5）、光岳楼（4，4）、山陕会馆 （7，3）；（2）不是，他们表示一对有序实数 4．略 5．（4，5） 6．D 7．D 8．（1）N （2，4）、P （6，4）、Q （4，1）；（2）菱形，面积为12 9．北偏东045方向上，42m 聚沙成塔：（1）略；（2）3175++．2 平面直角坐标系（1）1．（1）第四象限；（2）y 轴；（3）第二象限 2．一；a ＜0，b ＞0；a ＞0 ，b ＜0 ；三 3．二4．2＞x ＞－1 5．（1）B （4，8）、E （11，4）、H （10，4）、R （6，1）；（2）．M ，I ，C ，E 6．（7，0 ），（ －2，－3） 8．二 9．2，3,7 10．0，0，6 11．113,2x y ≠=12．B 13．C 14．D 15．A （1，1）、B （3，4）、C （1，3）、D （0，5）、E （－1，3）、F （－3，4）；B 与F 横坐标相反，纵坐标相同；C 与E 横坐标相反，纵坐标相同．2 平面直角坐标系（2）1．移动的菱形2．鱼，向左平移了两个单位 3．一、三象限 4．－4，－1 5．（0，0） 6．B （－2，0）、C （2，0）、A （0，2） 7．D 8．略．2 平面直角坐标系（3）1．二 2．6 3．2 4．1 5．一；（1，2）；（－1，－2）；（－1，2） 6．（2，－2） 7．9 8．（－2，3） 9．（3，7） 10．（33,322）或（33,322-） 聚沙成塔：P （7,04）；最小值是17． 3 变化的鱼（1）1．四 2．y ；纵 3．二；三 4．（－2，－3） 5．5，4；－1，4；2，7；2，1；（1）右；左；（2）上；下 6．鱼；（5，0），（10，4），（8，0），（10，1），（10，－1），（8，0），（9，－2），（5，0）；向右平移5个单位；（0，3）（5，7）（3，3）（5，4）（5，2）（3，3）（4，1）（0，3）；向上平移3个单位；右，3；左，5；上，2；下，6 7．（1）鱼；（2）（0，0），（10，4），（6，0），（10，1），（10，－1），（6，0），（8，－2），（0，0）；图形纵向不变，横向拉长为原来的2倍；（3）（0，0），（52，4），（32，0），（（52，1），（52，－1），（32，0），（2，－2），（0，0）；图形纵向不变，横向缩短为原来的12；（1）图形横向不变，纵向拉长为原来的3倍（2）图形横向不变，纵向缩短为原来的13（3）图形纵向不变，横向拉长为原来的4倍（4）图形纵向不变，横向缩短为原来的158．（－1，－2） 9．三 10．略 聚沙成塔：A 4（16，3），B 4（32，0），A n （2n ，3），B n （12n +，0）．3 变化的鱼（2）1．4、3、5 2．（2，－3）、（－2，3）、（－2，－3） 3．8 4．（4，5）；x 轴 5．（1）鱼（2）（0，2），（－5，6），（－3，2），（－5，3），（－5，1），（－3，2），（－4，0），（0，2）；与原图关于y 轴对称；（3）（0，－2），（5，－6），（3，－2），（5，－3），（5，－1），（3，－2），（4，0），（0，－2）与原图关于x 轴对称；（4）（0，－2），（－5，－6），（－3，－2），（－5，－3），（－5，－1），（－3，－2），（－4，0），（0，－2）；与原图关于原点中心轴对称；（1）＝；＝，－；（2）＝，－；＝（3）＝，－，；＝，－ 6．图形横坐标不变，纵坐标乘以－1；向下平移1个单位 7．8、10 8．（4，－3） 9．A 10．B 11．C 12．163． 单元综合评价1．二 2．（4，－3） 3．6，8，10 4．（3，－4），（－3，4），（－3，－4） 5．3，（4，0） 6．（1，3） 7．（0，0）、（－2，23-）、（2，23-） 8．6或73- 9．8：40分 10．B 11．C 12．B 13．B 14．D 15．B 16．C 17．D 18．C 19．如图，所得的图形象机器人．19题图 20题图 21题图20．解：如图，点A 与点B 、点C 与点D 关于y 轴对称，点A 与点D 、点B 与点C 关于x 轴对称，点A 与点C 、点B 与点D 关于原点对称．答案不唯一，只要合理就可以（如图）． 21．（1）以BC 边所在的直线为x 轴，BC 的中垂线（垂足为O ）为y 轴，建立直角坐标系（如图）．因为BC 的长为6，所以AO ＝21BC ＝3，所以A （0，3），B （－3，0），C （3，0）（2）整个图案向右平移了2个单位长度，如图△A2B2C2（3）与原图案关于x轴对称，如图△A3BC（4）与原图案相比所得的图案在位置上关于y轴对称，横向拉长了2倍，如图，△AB4C4第六章一次函数1 函数（1）1．S＝a2，a，S，a2．自变量、因变量、函数3．B 4．C 5．A 6．B 7．D 8．（1）合金棒的长度和温度，温度是自变量，合金棒的长度是温度的函数（2）10.01cm，10cm（3）50℃～150℃（4）y＝0.001x＋10，验证略（5）9.98cm，10.1cm．9．周长＝2x＋底边＝36，∴底边＝36－2x，面积＝（36－2x）·6×12，∴y＝3（36－2x）＝－6x＋108．10．t小时后汽车行驶30t千米，又天津与北京相距120千米，∴距北京的路程为:120－30t，即有s＝120－30t．11．∵第一排为1＋9＝10，第二排为2＋9＝11，…，第n排为:n＋9，∴m＝n＋9．聚沙成塔：可按下列公式计算出任何一天是星期几，S＝（x－1）＋1114100400 x x x---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＋C，其中x表示公元的年数和，C是该年的元旦算到这天为止（含这天）的日数，14x-⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示14x-的整数部分，同样1100x-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1400x-⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别表示11,100400x x--的整数部分，求出S后，再用7除，若恰好除尽，则这天便是星期天，若余数为1，则这天为星期一，若余数为2，则这天为星期二，……依次类推，即可推出过去的或未来的任何一天是星期几，如计算1949年10月1日是星期几的方法是：S＝（1949－1）＋1949119491194914100400---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＋（31＋28＋31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋1）＝2694，2649 ÷7＝384 ……6，故1949年10月1日是星期六．同样可以算出2222年元旦是星期几．S＝（2222－1）＋2222122221222214100400---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＋1＝2760．2760÷7＝394……2，故公元2222年元旦是星期二．1 函数（2）1．C 2．D 3．A 4．D 5．y＝10－0.5t，0≤t≤206．y＝5%（x－1000），1000＜x≤1500，18 7．y＝－80x＋160，0≤x≤28．y＝－2x＋80，20＜x＜40 9．y ＝12．8x＋10000 10．B11．（1）当x＝2时，代入y＝424222121xx-⨯-==++；当x＝3时，代入y＝102.54=；当x＝－3时，代入y＝142--＝7；（2）当y＝0时有:4x－2＝0，∴x＝12．12．（1）y＝2x＋15（x≥0）；（2）25万元．13．（1）y＝0．3x＋2．1；（2）3米；（3）10年．14．（1）m＝2n＋18 ；（2）m＝3n＋17，m＝4n＋16；（3）m＝bn＋a－b（1≤n≤p）．15．y＝2.4，o<t≤3，t>3时，y＝2.4＋（t－3）×1，∴y＝2.4，0<t≤3，y＝t－0.6，t>3．16．当030x<≤时，y＝0；当x>30时，y＝（t－30）×0．5＝0．5x－15．17．（1）反映了s与t之间的关系；（2）200米；（3）甲；（4）20025V乙＝8米/秒．18．分析：如图，∠BOC＝180°－（∠1＋∠2），而O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，所以∠1＋∠2＝12（∠ABC＋∠ACB）＝12（180°－∠A）．C21OBA解：∵∠ABC、∠ACB平分线交于点O，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB，∵在△BOC中，•∠BOC＝180°－（∠1＋∠2），∴∠BOC＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）＝180°－12（180°－∠A）＝90°＋•12∠A．即y＝90°＋12x（0°<x<180°）．聚沙成塔：（1）该公民10月份的收入1350元中，应纳税的部分是1350－800＝550元，按交税的税率表，他应交纳税款:500×5%＋50×10%＝25＋5＝30元．（2）当1300≤x≤2800时，其中800不用纳税，应纳税的部分为500－2000元之间，其中500元按5%交纳，税费为500×5%＝25元，剩余部分交纳，于是有：y＝[（x－800）－500]×10%＋500×5%＝（x－1300）×10%＋25即：y＝0．1x－105①（3）根据第（2）小题，当收入在1300－2800元之间时，纳税额在25元至175元之间，于是该企业职员的纳税款为55元，他的收入必在1300元至2800元之间．当y＝55代入①，得x＝1600元．2 一次函数1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 7．S＝116L28．s＝2－16t，一次9．y＝43x 10．1211．±1，－1 12．P＝50－5t（0≤t≤10）．13．（1）y＝20－221x；（2）根据题意，得221x＝23（20－221x），解得x＝84（m in）．14．y＝8x＋0.4x＝8.4x，∴y是x的正比例函数．当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21，即当数量是2.5千克时的售价是21元．15．由表中可知，弹簧原长为12cm，每增加1kg质量，弹簧伸长为0.5cm，故y＝12＋0.5x．16．（1）当x≤6时，y＝x，当x>6时，y＝6×1＋（x－6）×1.8＝1．8x－4.8；（2）当水费为8.8元时，则该户的月用水量超过了6m3，把y＝8.8代入y＝1.8x－4.8，得x＝759．17．（1）y与x的函数关系式为：y＝2x，自变量x的取值范围是：x≥0的整数．（2）购买一张这种电话卡实际通话费为10＋1＝11（元），当x＝46 000时，y＝2x＝2×46 000＝92000，92 000÷400＝230（亩）．18．（1）设y1＝kx1＋b1，y2＝kx2＋b2．12112212120,300,30600;30600.20,10,0;300.b b k b k b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩则 ∴y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300． （2）y 1是不推销产品没有推销费，每推销10件得推销费200元；y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y 1的付费方案；•否则选择y 2的付费方案．19．（1）解法一：根据题意，得y ＝16×20%·x ＋20×25%×100001620x -＝－0.8x ＋2 500，解法二：•y ＝16·x ·20%＋（10 000－16x ）·25%＝－0.8x ＋2 500．（2）解法一：由题意知300,1000016300.20x x ≤⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得250≤x ≤300． 由（1）知y ＝－0.8x ＋2 500，∵k ＝－0.8<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300（元）， ∴100001620x -＝100001625020-⨯＝300（箱）． 答：当购进甲种酸奶250箱，•乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2 300元． •解法二：•因为16•×20%<20×25%，即乙种酸奶每箱的销售利润大于甲种酸奶的销售利润，•因此最大限度的购进乙种酸奶时所获销售利润最大，即购进乙种酸奶300箱， 则x ＝100002030016-⨯＝250（箱）． 由（1）知y ＝－0．8x ＋2 500，•∴x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300（元）．聚沙成塔：（1）当t ≤300m in 时，y ＝168，不是一次函数，当t >300m in 时，y ＝168＋（t －300）×0.5＝0.5t ＋3是一次函数；（2）原收费方式的月话费为：50＋0.4t ，由题意得50＋0.4t >168，得t >295，再由50＋0.4t >0.5t ＋3，得t <470．即当通话时间在295m in 到470m in 之间时，选用方案3比原收费方式要省钱．3 一次函数（1）1．C 2．C 3．略 4．（1）Q ＝－5t ＋30；（2）略 5．（1）图略；当y >0时，2x －2>0，∴x >1，即当x >1时，y >0；当x ＝1时2x －2＝0 即y ＝0；当x <1时2x －2<0即y <0；（2）当y ＝0时x ＝1，∴与x 轴交点坐标为（1，0）．当x ＝0时y ＝－2，∴与y 轴交点坐标为（0，－2）．6．C聚沙成塔：（1）35，40，12；（2）3，4时～16时和28时～40时，0时～4时、16时～28时和40时～48时；（3）12时骆驼的体温（39℃）；20时、36时、44时．3 一次函数（2） 1．0，232．（2．0），（0，－2） 3．－2 k >2 4．<0 5．<1 6．一，二，四，（2，0），（0，4）7．128．C 9．C 10．C 11．A 12．C 13．B14．A 15．D 16．A 17．－1<k≤218．－219．一、二、四聚沙成塔：（1）y＝1.5x＋4.5；（2）22.5．5 一次函数图象的应用1．0≤x<3，x＝3，x>3 2．50，5，10，y＝－10t＋50（0≤t≤5）3．（1）y＝52x＋25（0≤x≤50）（2）100 4．10cm 5．B；6．画直线y＝2x－6，图象与x轴的交点的横坐标即方程的解，或先画直线y＝2x＋3，然后观察当自变量x取何值时函数值为9．7．①P（1，0）；②当x<1时y1>y2，当x>1时y1<y28．（1）骑自行车者出发较早，早3个小时．（2）骑摩托车者到达乙地较早，早到3个小时．（3）自行车每小时走10千米，摩托车每小时走40千米．（4）自行车出发4小时后被摩托车追上，此时摩托车出发1小时．9．（1）100元；（2）2.5元；（3）50元；（4）y＝－2.5x＋100（0≤x≤40）10．解：（1）设y＝kx＋b，把（40．0，75．0）和（37．0，70．2）代入关系式，得75.040.0, 70.237.0.k bk b=+⎧⎨=+⎩解之得，k＝1．6，b＝11，∴y＝1．6x＋11；（2）当x＝42．0时，y＝1．6×42．0＋11＝78．2，∴这套桌椅就是配套的．11．解：（1）设y租＝k1x，y会＝k2x＋b，∵点（100，50）在y租上．∴50＝100k1，k1＝0.5，因此，y租＝0.5x．又∵点（0，20），（100，50）在y会＝k2x＋b上，故b＝20，50＝100k2＋b，∴k2＝0.3，因此y会＝0．3x＋20；（2）租书卡每天收费0.5元，会员卡每天收费0.3元；（3）•由图象可知，一年内租书时间在100天以内时，用租书卡，超过100天时用会员卡．12．如图：（1）y＝3x＋5（6－x）＋4（10－x）＋8[12－（10－x）]，即y＝2x＋86；（2）当y≥90时，即2x＋ 86≤90，∴x≤2，∵x为自然数，∴x的取值为0，1，2．因此，总费用不超过90万元的调运方案有3种即：①从A市调往C市10台，D市2台，从B市调往D市6台；②从A市调往C市9•台，D市3台，从B市调往C市1台，D市5台；③从A市调往C市8台，D市4台，从B市调往C市2台，D市4台．（3）在y＝2x＋86中，y随x的增大而增大，又知0≤x≤2的整数，∴当x＝0时，y•取最小值为86．因此，最低费用是86万元，调运方法是从B市运往D市6台，从A市运往C•市10台，运往D市2台．13．解：（1）①当月电用量0≤x≤50时，y是x的正比例函数，设y＝k1x，•∵当x ＝50时，y ＝25，∴25＝50k 1，∴k 1＝12，∴y ＝12x ． ②当月用电量x >50时，y 是x •的一次函数．•设y ＝k 2x ＋b ，∵当x ＝50时，y ＝25；当x ＝100时，y ＝70， ∴2222550,0.9,70100.20.k b k k b b =+=⎧⎧∴⎨⎨=+=-⎩⎩∴y ＝0．9x －20； （2）当每月用电量不超过50千瓦时时，收费标准是：每千瓦时0.5元．当每月用电量超过50千瓦时时，收费标准是：其中的50千瓦时每千瓦时0.5元，超过部分每千瓦时0.9元．聚沙成塔：由于刻度尺只能测量测试，又知弹簧长度与所挂物体的质量是一次函数关系，从而可求弹簧长度与所挂物体质量的关系式，挂上物体后，用刻度尺测量弹簧长度，代入关系式，就可求出物体的质量．解：设y ＝kx ＋b ，把（0，14．5）和（3，16）代入关系式，得14.5,0.5,163,14.5.b k k b b ==⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得， ∴y ＝0.5x ＋14.5，•∴只要有一把刻度尺，就可测量出所挂物体的质量，即挂上物体后，用刻度尺测量弹簧的长度，把测量的长度代入y ＝0.5x ＋14.5中，就可求出物体的质量．4 确定一次函数表达式1．y ＝2x 2．y ＝－2x 3．134．4 5．32- 6．－2 7．B 8．D 9．D ；10．设正比例函数为y ＝kx （k ≠0）．∵图象经过点A （－3，5），∴x ＝－3时y ＝5，即－3k＝5．∴k ＝－53，∴函数解析式为y ＝－53x 11．（1）设此一次函数为y ＝kx ＋b ．把（2，1），（－1，3）代入有:2k ＋b ＝1，－k ＋b ＝－3，解得k ＝45,33b =-． ∴此一次函数的解析式为4533y x =- （2） 4533y x =-，当y ＝0时，4533x -＝0，∴x ＝54，即有与x 轴交点坐标为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当x ＝0时，y ＝53-∴与y 轴交点坐标为50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 12．根据题意，得80t ＋S ＝400，即S ＝－80t ＋400．13．（1）60；（2）y ＝0.4x ＋20（x ≥100）；（3）600元 ．14．分析：两点之间线段最短，先作M 点关于y 轴的对称点M ′（－4，3），连接M ′N 交y 轴于点P ，则PM ＋PN ＝PM ′＋PN ＝M ′N 最短．要求M ′N 与y 轴的交点，先求M ′N 的表达式，由直线M ′N 过M ′（－4，3）和N （1，－2），可求出M ′N 表达式为y ＝－x －1与y •轴的交点坐标P 为（0，－1）．15．△ABC 的面积为4 16．（1）y ＝－3x ＋2；（2）略17．（1）由图象知L 过点（0，－2），（3，2）所以2,23.b k b -=⎧⎨=+⎩，解得 k ＝43，所以此一次函数的表达式为y ＝43x －2；（2）当x ＝20时，y ＝43×20－2＝743；（3）在y ＝43x －2中，k ＝43>0，故y 随x 的增大而增大． 18．∵一次函数的图象过（0，0），∴可设一次函数为y ＝kx ．根据题意，得2,3.m k mk -=⎧⎨-=⎩由①得，m ＝－2k ③，把③代入②得，－3＝－2k ·k ，k 2＝32，∴k ＝±62，因y 随x 的增大而增大，所以k ＝62，故这个一次函数的表达式为y ＝62x ． 19． （1）设y 与x 的关系式为y ＝kx ＋b ，把（0，331）和（10，337）代入y ＝kx ＋b ，得3310,33710.b k b =+⎧⎨=+⎩，由①得，b ＝331，把b ＝331代入②得337＝10k ＋331，∴k ＝35．故所求一次函数关系式为y ＝35x ＋331；（2）把x ＝22代入y ＝35x ＋331，得y ＝35×22＋331＝344.2，故燃放烟花点与此人相距344.2×5＝1721（m ）．聚沙成塔：（1）y 与x 之间的函数关系式y ＝10＋20101560-x ，即y ＝40x ＋10； （2）•从P •地到C •地的距离为150－10＋30＝170（k m ），170÷40＝4．25>4h ，故不能在中午12点前赶到C 处．设汽车的速度为xk m/h ，则根据题意，得（4－1501040-）·x ≥30，解得x ≥60，即汽车的速度最少应提高到60k m/h ．单元综合评价一、选择题1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．B 11．A 12．C 二、填空题13．1 14．1，增大 15．k >0 16．（－1，4） 17．y ＝0.5x ＋2.1 18．23，－2 19．5，－32 20．y ＝23x ＋2． 三、解答题21．（1）根据题意，得2,3,1 2.b k k b b ==-⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩解得∴一次函数的表达式为y ＝－3x ＋2；（2）略．22．设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2（x ＋1），则y ＝k 1x －2k 2（x ＋1），根据题意，得。

第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ） （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是 （ ）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。

第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.FC参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ． 3．1360cm ． 4．D ． 5．25km ． 6．4． 7．3 cm ．1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。

4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：BC AB AC AB AD 2222=++⋅。

D CO ABD AB C5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。

《勾股定理》同步练习题A 卷（满分100分）一﹑填空题 (每小题2分, 共20分)1. 如图，∠OAB =∠OBC =∠OCD =90°， AB =BC =CD =1，OA =2，则OD 2=____________.2. 如图， 等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6，则腰AB 的长为____________.3. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________________m.4. 正方形的面积为18cm 2, 则正方形对角线长为__________ cm.5．在△ABC 中，∠C =90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________.6. 小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则________ AB 米． 7. 一个三角形三边满足(a+b)2－c 2＝2ab, 则这个三角形是 三角形.8. 木工做一个长方形桌面， 量得桌面的长为60cm ， 宽为32cm ， 对角线为68cm ， 这个桌面__________ (填“合格”或“不合格”).9. 直角三角形一直角边为12cm ，斜边长为13cm ，则它的面积为 ． 10. 有六根细木棒，它们的长分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm ），首尾连结能搭成直角三角形的三根细木棒分别是 ． 二﹑选择题(每小题3分, 共30分)11. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为 （ ）A. 4B. 8C. 10D. 12 12. 小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（ ）A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 13. 如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 64（1题图） A B C200m 520m（3题图） D CB A O （2题图） A B D（13题图）14. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（ ）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形15. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm , 则斜边的长( )A. 18cmB. 20 cmC. 24 cmD. 25cm 16. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( )①；，，514131===c b a ②6=a ，∠A =45°; ③∠A =320, ∠B =58°；④；，，25247===c b a ⑤.422===c b a ，，A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 17. 在△ABC 中，若12122+==-=n c n b n a ，，，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形18. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°19. 在△ABC 中，AB =12cm ，BC =16cm,，AC =20cm,，则△ABC 的面积是（ ）A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 2 20. 如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm （3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点 处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）A. 10cmB. 12cmC. 19cmD. 20cm 三、 解答题 (每小题10分, 共50分)21. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）22. 如图， 在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 求AC 2的值. A（20题图）BAB D C23. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？观测点小汽车小汽车24. 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？ 25. 如图所示的一块地，∠ADC ＝90°，AD ＝12m ，CD ＝9m ，AB ＝39m ，BC ＝36m ，求这块地的面积.B 卷 (满分50分)一、填空题(每小题2分,共10分)1. 如图，AC ⊥CE ，AD =BE =13，BC =5，DE =7，则AC = .2. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B3. 在ΔABC 中,若AB=30,AC=26,BC 上的高为AD=24,则此三角形的周长为 .4. 已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形． 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2． 二、选择题（每小题3分，共15分）6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别A BCDE （1题图）（2题图） 2032A B是（ ）A. 5、4、3、B. 13、12、5C. 10、8、6D. 26、24、107.如图，在同一平面上把三边为BC ＝3，AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A.125 B. 135 C. 56 D. 2458. 直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，那么此三角形的周长是（ ） A. 120 B. 121 C. 132 D. 1239．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．6cm 2 B ．8cm 2 C ．10cm 2 D ．12cm 2 10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A ．25海里 B ．30海里 C ．35海里 D ．40海里三、解答题（11、12题每题8分，13题9分，共25分）11. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.13．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km的范围内是（9题图）北 南A东（10题图）（7题图）C ′ BCA受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案一1、7 ；2、10；3、480； 4、6；5、50；6、15；7、直角；8、合格；9、30；10、6，8，10； 二CDDC DADC AA 三21、13米 22、AC 2＝623、20 v 米/秒＝72千米/时＞70千米/时，超速。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，一木杆在离地面4m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端3m的B处，则木杆折断之前的长度为（）A．6m B．7m C．8m D．9m2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．163．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（）A．8B．7C．6D．54．下列各组数中为勾股数的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．，，D．3，4，55．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝3：4：5C．a2＝（b+c）（b﹣c）D．∠A：∠B：∠C＝1：1：4二．填空题6．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD 的面积是．7．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D 的面积之和为cm2．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为．9．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽，则木柱长为尺．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为．11．如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝15，BC＝9，AC＝12，则BD2的值为．12．如图，圆柱形容器高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，为了吃蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径爬到内壁B处，它爬行的最短距离是cm．13．相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点O．若AD＝3，BC＝5，AB2+CD2＝．14．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为．三．解答题15．疫情期间，老师出了一道题让学生交流，请你帮他们完成解答过程．如图，在△EFG中，EF＝15，FG＝14，EG＝13，求△EFG的面积．16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求斜边AB上的高；（2）①当点P在BC上时，PC＝；（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．18．如图，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，求△ABC的面积．19．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求出它的面积是多少．20．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D 两村到E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面4m处折断，树的顶端落在离树杆底部3m处，∴折断的部分长为：＝5，∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：D．2．解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．3．解：∵AB＝AC＝5，∴△ABC是等腰三角形，∵BC＝6，AD⊥BC，∴CD＝BC＝3，∴AD＝4，∴S△ABC＝＝12，∵AC边上中线BE交AD于点O，∴S△BCE＝S△ABC＝6．故选：C．4．解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数，不符合题意；B、∵22+32≠42，∴不是勾股数，不符合题意；C、∵不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；D、∵32+42＝52，∴是勾股数，符合题意．故选：D．5．解：A．∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a：b：c＝3：4：5，32+42＝52，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：4，∠A+∠B+∠C＝180°∴最大角∠C＝×180°＝120°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题6．解：如图，连接AC，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5．在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB•BC+AC•AD＝×4×3+×5×12＝6+30＝36．故答案为：36．7．解：如图，∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．故答案为：49．8．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴＝π（AC2+BC2）＝2π，∴AC2+BC2＝16，∴AB＝4，故答案为：4．9．解：设木柱长为x尺，根据题意得：AB2+BC2＝AC2，则x2+82＝（x+3）2，解得：x＝．答：木柱长为尺．故答案为：．10．解：过点D作DE⊥BC于E，在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝5，则AD＝3，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝3，即点D到BC的距离为3，故答案为：3．11．解：∵AB＝15，BC＝9，AC＝12，∴BC2+AC2＝92+122＝152＝AB2，∴∠C ＝90°，过D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴DE ＝CD ，设DE ＝CD ＝x ，∵S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ，∴AC •BC ＝AB •DE +BC •CD ，∴×12×9＝×15x +×9x ，∴x ＝，∴CD ＝，∴BD 2＝4405， 故答案为：4405．12．解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′，则AF +BF 为蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离，即A ′B 的长度， ∵A ′B ＝25（cm ），∴蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为25cm ，故答案为：25．13．解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2＝9+25，∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝34．故答案为：34．14．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故答案为：5．三．解答题15．解：如图，过点E作EH⊥FG于点H，在Rt△EFH和Rt△EGH中，由勾股定理可得：EH2＝EF2﹣FH2，EH2＝EG2﹣GH2，∴EG2﹣GH2＝EF2﹣FH2，设FH＝x，则GH＝14﹣x，∵EF＝15，FG＝14，EG＝13，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9，∴EH＝12，∴S△EFG＝×FG•EH＝×14×12＝84，∴△EFG的面积为84．16．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，设边AB上的高为h，则，∴，∴．答：斜边AB上的高为．（2）①当点P在BC上时，点P的运动长度为AB+BP＝2t，∴PC＝AB+BC﹣（AB+BP）＝10+6﹣2t＝16﹣2t．故答案为：16﹣2t．②若点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC．由①知：PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL）．∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2．在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：．17．解：（1）连接PB，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝8（cm），∵CP2+BC2＝PB2，∵P A＝PB＝2tcm，∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，∴t＝；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．18．解：∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，∴AC＝5，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，BC＝12，∵52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，即△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝5×12÷2＝30．19．解：连接AC，在Rt△ACD中，AC为斜边，已知AD＝4，CD＝3，则AC＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•CB﹣AD•DC＝24，答：该四边形面积为24．20．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．∴BE＝15km．（2）DE和EC垂直，理由如下：在△DAE与△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（SAS），∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥EC．。

第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．472．下列说法正确的是（）．A．若a、b、c是ABC的三边长，则222+=a b cB．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，则222+=a b cC．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90A∠=︒，则222+=a b cD．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90C∠=︒，则222+=a b c3．如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为()A．9B．8C．27D．454．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ） A ．25 B ．14C ．7D ．7或25 5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，正方形,AEDC BCFG 的面积分别为25和144，则AB 的长度为（ ）A ．13B ．169C ．12D ．56．在中Rt ABC △，90C ∠=︒，若4AC =，3BC =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．5C ．6D ．77．在Rt ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ，C ∠的对边，若90A ∠=︒，则（ ） A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．b a c +=8．△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．a b c +>C ．a b c +<D ．222+=a b c9．在Rt △ABC 中，若斜边AB ＝3，则AC 2+BC 2等于( )A ．6B ．9C ．12D ．1810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225 C ．365 D ．334 评卷人得分二、填空题 11．在直角三角形ABC 中，△C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．12．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．13．在由小方格组成的网格中，我们发现对直角三角形的三边，有“直角三角形两直角边的平方和等于______”结论成立，并通过拼图证明是正确的，我们把它叫做______定理．14．等腰三角形ABC的面积为212cm，底上的高3cmAD，则它的周长为______ cm．15．（1）如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形A的面积为________；（2）如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形B的面积为________.16．如图所示，图1中x的值为_______，图2中的y的值为_______.17．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．18．若直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则面积为______．19．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．评卷人得分三、解答题20．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，求()2a b+的值．21．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯．问：红地毯至少需要多少米？22．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？23．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.24．规范表达（严格按格式）：如图，已知△A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积.25．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.参考答案：1．D【解析】【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，△正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．故选D．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.2．D【解析】【分析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.【详解】解：由勾股定理，A、没有确定直角和斜边，故A 错误；B、没有确定斜边，故B错误；C、斜边为a，则222a b c=+，故C错误；D、90C∠=︒，则a与b为直角边，c为斜边，则222+=a b c，故D正确；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.3．A【解析】【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．【详解】△正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，△根据图形得：2+4=x−3．解得：x=9．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．4．D【解析】【分析】根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为22437-=，+=或者223425故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．5．A【解析】【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．【详解】解：△在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又△AC2=144，BC2=25，△AB2=25+144=169，△AB=169=13．故选A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．6．B【解析】【分析】Rt△ABC，△C＝90°，则根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2即可求AB的长度．【详解】在直角△ABC中，△C＝90°，由勾股定理可得222224325AB AC BC=+=+=，所以5AB=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视90A ∠=︒，受思维定式的影响，想当然地认为C ∠为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，8．B【解析】【详解】对于任意一个三角形，三角形的三边关系满足：两边之和大于第三边.故选B.点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，特别要注意，不要把三角形看成是一个直角三角形，误认为三角形的三边满足勾股定理，很容易错选为D.9．B【解析】【分析】利用勾股定理将AC 2+BC 2转化为AB 2，再求值． 【详解】△Rt △ABC 中，AB 为斜边，△AC 2+BC 2＝AB 2，△AB 2+AC 2＝AB 2＝32＝9．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC 2+BC 2＝AB 2是解决问题的关键．10．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C 到AB 的距离．【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：2215AB AC BC=+=，过C作CD△AB，交AB于点D，又S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，△91236155AC BCCDAB⋅⨯===，则点C到AB的距离是365．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．11．15【解析】【详解】2291215AB=+=12．5【解析】【详解】试题解析：如图，在Rt△OAB中，90AOB∠=，△OA=4千米，OB=3千米，△225AB AO BO=+=千米.所以甲、乙两人相距5千米.故答案为5.13．斜边的平方勾股【解析】【分析】根据勾股定理的内容，即可得到答案.【详解】解：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个定理叫做勾股定理.故答案为斜边的平方，勾股.【点睛】本题考查了勾股定理的内容和证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理.14．18【解析】【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．【详解】设底为a,则12a⋅3=12，a=8，△BD=2a=4,根据勾股定理得,AB=22AD BD+=2234+=5cm，△腰为5，△周长为5+5+8=18cm.【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一.15．（1）180（2）144【解析】【分析】（1）根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案；（2）根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．【详解】（1）如图，根据题意，CD2=144，DF2=36，且△CDF=90°，△CF2= CD2+ DF2=144+36=180故A的面积为180.（2）如图，根据题意MN2=81，ML2=225，且△MNL=90°，△NL2=ML2-MN2=225-81=144故B的面积为144.【点睛】本题考查勾股定理，在本题中每一条边所对正方形的面积正好等于该边的平方，而三边的平方符合勾股定理.16．413【解析】【分析】（1）先根据勾股定理计算出x的平方，再计算x；（2）先根据勾股定理计算出y的平方再计算y.【详解】（1）因为图1为直角三角形，所以根据勾股定理x2+32=52，即x2=52-32=16，所以x=4；（2）因为图2为直角三角形，所以根据勾股定理y2=52+122=169,所以y=13.【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中已知两直角边可根据勾股定理求出斜边（或斜边的平方）.17．12【解析】【详解】△直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，△另一直角边长=2215912-=，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12．18．260cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后利用直角三角形面积公式算出即可.【详解】∵直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，∴另一直角边长为：2217158-=cm，∴直角三角形面积为：11582⨯⨯=60 2cm，故答案为260cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形的两条边长求出另一条直角边长度是解题的关键.19．17【详解】试题解析：根据勾股定理可知，△S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，△S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．△正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.20．25【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：a2+b2=13，ab×4=13-1=12，即：2ab=12，四个直角三角形的面积是：12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．21．需要爬行的最短路径是17cm.【解析】【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【详解】根据勾股定理,楼梯水平长度为2213512（米），则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为17m.【点睛】本题考查生活中的平移现象和勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和勾股定理. 22．（1）5；（2）24.【详解】试题分析：根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．试题解析：解：（1）根据勾股定理得：x 2＝32＋42＝9＋16＝25，解得：x ＝5或x ＝－5（舍去），则x ＝5；（2）根据勾股定理得：252＝72＋x 2，即x 2＝576，解得：x ＝24或x ＝－24（舍去），则x ＝24．23．12BEFD S =正方形.【解析】【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=.所以212BEFD S BD ==正方形. 【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.24．39【解析】【详解】试题解析：在RtΔABC 中，利用勾股定理BC 的长，再求出长方形BCDE 的面积即可.试题解析：在RtΔABC中，△A=90°，AB=12，AC=5，△BC=2222AC AB+=+=51213△长方形BCDE的面积=13×3=39.25．48cm2【解析】【详解】试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积．如图：等边△ABC 中BC="12" cm，AB="AC=10" cm作AD△BC，垂足为D，则D为BC中点，BD="CD=6" cm在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64△AD="8" cm△S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)考点：本题考查的是勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。

八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( )A.12海里B.16海里C.20海里D.28海里2.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A.6mB.8mC.10mD.12m3.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( ).A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米6.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是( )A.5≤h≤12B.5≤h≤24C.11≤h≤12D.12≤h≤247.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C 两村之间的距离为( )A.250kmB.240kmC.200kmD.180km8.如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC＝5，BC＝12，OD等于( )A.2B.3C.1D.1二、填空题9.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么，两正方形的面积分别为．10.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．12.如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为________，小正方形的面积为________．13.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．14.等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.三、解答题15.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，请算出旗杆的高度．16.如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上.如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离.17.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？18.如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？19.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？20.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值.参考答案1.C.2.D.3.C4.A.5.B6.C.7.C.8.A.9.答案为：12，24．10.答案为：8．11.答案为：10．12.答案为：13，1.13.答案为：17m．14.答案为：7或25.15.解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理得x2＋52＝(x＋1)2解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米．16.解：在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m故AC＝2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝(1.5＋0.5)＝2m 故EC＝1.5m故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5m答：梯子顶端A下落了0.5m.17.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.18.解：过B作BD⊥公路于D．∵82＋152＝172∴AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．∵∠1＝30°∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°．在Rt△BCD中∵∠BCD＝60°∴∠CBD＝30°∴CD＝0.5BC＝0.5×15＝7.5(km)．∵7.5÷2.5＝3(h)∴3小时后这人距离B送奶站最近．19.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．20.解：(1)设存在点P，使得PA＝PB此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2即：(4﹣2t)2＋32＝(2t)2解得：t ＝∴当t ＝时，PA ＝PB ；(2)当点P 在∠BAC 的平分线上时，如图1，过点P 作PE ⊥AB 于点E 此时BP ＝7﹣2t ，PE ＝PC ＝2t ﹣4，BE ＝5﹣4＝1在Rt △BEP 中，PE 2＋BE 2＝BP 2即：(2t ﹣4)2＋12＝(7﹣2t)2解得：t ＝83∴当t ＝83时，P 在△ABC 的角平分线上.。

第一章 勾股定理 分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（ ）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）A．B ．C ．D ．7． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（ ）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是 ．14．如图，矩形ABCD 中， ， ，CB 在数轴上，点C 表示的数是 ，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。