浙江省效实中学2013-2014学年高二数学上学期期中试卷 理新人教A版

C 1B 1A1D 1D C A B EF 浙江省效实中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 排列数35A =A. 6B. 20C. 60D.1202. 已知等差数列{}n a 中，57921a a a ++=，则7a 的值是A.7B.9C.11D.13 3. 给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S =A.1B.56 C.16 D.1305.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A.AC BE ⊥B.//EF 平面ABCDC.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等 6.已知正四棱锥P ABCD -棱长都等于a ，侧棱,PB PD 的中点分别为,M N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角的大小的正切值为A.33 B.12C.12 7. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π 8. 6个人站成前后两排，每排3人，其中甲不站前排，乙不站后排的站法种数为 A.72 B.108 C. 216 D. 3609．已知等差数列{}n a 满足253,9a a ==，若数列{}n b 满足113,n n b b b a +==，则{}n b 的通 项公式为n b =A ．21n+ B ．21n- C ．121n +- D ．122n -+10.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，棱1,,AB BC BB 两两垂直且长度相等，点P 在线段11AC （包括端点11,AC ）上运动，直线BP 与1B C 所成角为θ，则θ的取值范围是 A ．02πθ<≤B ．62ππθ≤≤C ．32ππθ≤≤D ．03πθ<≤第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11. 在公比为2的等比数列{}n a 中，242a a =，则1a = ▲．12.如右图，用6种不同的颜色为一块广告牌着色，要求在四个区域中相邻的区域不用同一种颜色，则共有 ▲ 种不同的方法（用数值表示）.13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 个圆锥的全面积为 ▲14. 一个几何体的三视图及部分数据如右图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为 ▲ ．15．如下图，在矩形ABCD 中，4,3,AB BC E ==为DC 边的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角D AE B --为60o，则直线AD 与面ABCE 所成角的正弦值为 ▲ ．16. 已知数列{}n a 满足22cossin ,33n n na n n N ππ+=+∈，则1232014a a a a ++++=L ▲ ．17. 如图，边长为4的正ABC ∆顶点A 在平面α上，,B C 在平面α的同侧，M 为BC 的中点.若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形11AB C ，则M 到平面α的距离的取值范围是 ▲ ．AED BCB CAE主视图侧视图俯视图A11三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.已知数列{}n a 为等差数列，且366,0a a =-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，190,2ABC AB BC BB ∠====o,,M N 分别是1,AB AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11BCC B ； （2）求证：MN ⊥平面11A B C ；20. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD ，已知45,2,ABC AB BC SB SC ∠=====o .（1）求直线SD 与平面ABCD 所成角的正切值； （2）求二面角C SA B --的大小的余弦值.CB21. 已知数列{}n a 中，*1111,()()2n n n a a a n N +==∈. （1）求证：数列2{}n a 与21{}n a -*()n N ∈都是等比数列； （2）求数列{}n a 的前2n 项的和2n T ；（3）若数列{}n a 的前2n 项的和2n T ，不等式222643(1)n n n T a ka ⋅≤-对*()n N ∈恒成立， 求k 的最大值.22. 已知直角三角形ABE ，AB BE ⊥，24,,AB BE C D ==分别是,AB AE 上的动点，且//CD BE ，将ACD ∆沿CD 折起到位置1A CD ，使平面1A CD 与平面BCD 所成的二面角1A CD B --的大小为θ，设,(0,1)CDBEλλ=∈.（1）若2πθ=且1A E 与平面BCD ，求二面角1A DEB --的大小的正切值； （2）已知1,2G λ=为1A E 的中点，若1BG A D ⊥，求cos θ的取值.高二数学期中考试答案 1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.B 7.B 8.C 9.A 10.C11.2；12.480；13.6π；14.13；15.13；16.122-+；17..18.（1）212n a n =-；（2）4(13)nn S =-.19.（1）（2）证略.20.（1；（2）12-. 21.（1）证略；（2）2133()2nn T =-；（3）48k ≤-.22.（1）2；（2）12.。

浙江省效实中学2013-2014学年高一数学上学期期末试卷（4-11班）新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()lg(2)f x x =+的定义域为A. (2,1)- B . [2,1)- C. (2,1]- D.[]1,2- 2.下列各组函数中表示同一函数的是A. x x f =)(与2)()(x x g =B. ||)(x x f =与33)(x x g =C. xe xf ln )(=与xex g ln )(= D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=x x x g3.函数22log (23)y x x =+-的单调递增区间是A.(,3)-∞-B. (,1)-∞-C. (1,)-+∞D.(1,)+∞ 4.函数lg(1)y x =-的图象为5.设0x 是函数4ln )(-+=x x x f 的零点，则0x 所在的区间为A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）6.已知函数()()()2212(3)x x f x x f x ≥⎧+⎪=⎨<+⎪⎩，则()()13f f -=A.7B.12C.18D.277.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且对任意的1212,1()x x x x >≠，有1212()()0f x f x x x ->-，设1(),(2),(3)2a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小关系为A.c b a <<B. b a c <<C. b c a <<D.a b c <<8.若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 A ．(1,)+∞ B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．1(,][2,)2-∞+∞ C ．1(,2]2 D ．1(0,][2,)2+∞10.已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11. 1130211()4(2)()924----⋅-+-= ▲ ．12. 若x x x f 2)1(+=-，则()f x = ▲ ．13. 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 ▲ ．14. 已知2log 3a =，33log 4b =，12109c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么将这三个数从大到小．．．．排列为 ▲ ． 15. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品为 ▲ ．16. 若函数2()(2)5f x x m x m =-+++在区间(2,4)内有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．17. 已知函数()f x x =-，2()252g x x mx m =-+-()m R ∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知函数()3x f x =，其反函数为()y g x =. （1）求32(4)(8)()9g g g +-的值； （2）解不等式()(0)1xg f x<-.19.已知函数1()f x x=，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()y g x =的图象.（1）求()g x 的解析式；（2）写出()g x 的单调区间，并证明()g x 的单调性（用函数单调性的定义证明）.20.已知函数2()()21xxf x a a R =+∈+是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2()(22)()f x tx f x t t R ->-∈其中.21.已知函数2()log f x x =与函数()y g x =的图象关于1x =对称. （1）求()g x 的解析式，并求其定义域；（2）若关于x 的不等式22()()log (224)()f x g x x ax a a R +<-++∈恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知函数24,1()(2)5,1kx k x f x x k x k x -+≤⎧=⎨-+++>⎩()k R ∈，且()y f x =在(1,5)x ∈-内有三个零点123,,x x x .（1）求实数k 的取值范围；（2）求222123x x x ++的取值范围.23.（附加题）已知函数2()11()f x x a x a R =+-+∈，求()f x 的最小值.宁波效实中学二〇一三学年度第一学期高一数学期末考试答案说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分. 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C B A D D C第Ⅱ卷（非选择题 共70分）ks5u二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11.196; 12. 2()43f x x x =++； 13. 13；14. a c b >>； 15. 40； 16. 1353m ≤<或4m =； 17. 1[,1]9. 三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 解：（1）3()log g x x =，3333232(4)(8)()log 4log 8log 299g g g +-=++=； （2）33log ()1,03,0114x x x x x <∴<<∴<<--.ks5u 19.（1）1()111x g x x x =+=--； （2）()g x 在区间(,1),(1,)-∞+∞上单调递减， 证明：①在(1,)+∞上任取12x x >，1212212112121212(1)(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x x x -----=-==------， 当121x x >>时，210x x -<，12(1)(1)0x x -->，21120(1)(1)x x x x -∴<--，12()()0g x g x ∴-<，即12()()g x g x <，()g x 在区间(1,)+∞上单调递减.②在(,1)-∞上任取12x x >，同理可得12()()0g x g x -<，即12()()g x g x <，()g x 在区间(,1)-∞上单调递减.20.解：（1）因为2()()21xxf x a a R =+∈+是定义在R 上的奇函数， 所以()()0f x f x +-=在R 上恒成立.2221()()221021212121x x x x x x x f x f x a a a a --∴+-=+++=++=+=++++，12a ∴=-.（2）1211()221221x x x f x =-+=-++在R 上单调递增，222x tx x t ∴->-，即2(2)20x t x t -++>，()(2)0x t x ∴-->，ks5u①当2t >时，2x t x ><或；②当2t <时，2x x t ><或；③当2t =时，2x ≠. 21.解：（1）2()(2)log (2)g x f x x =-=-，定义域为(,2)-∞; （2）22222()()log log (2)log (2)log (224)f x g x x x x x x ax a +=+-=-<-++恒成立，2(2)224x x x ax a ∴-<-++在(0,2)x ∈上恒成立，即2(1)20x a x a -+++>在(0,2)x ∈上恒成立，令2()(1)2h x x a x a =-+++①102(0)20a h a +⎧≤⎪⎨⎪=+≥⎩1,212a a a ≤-⎧∴∴-≤≤-⎨≥-⎩；②102132,13111()02a a a a x h +⎧<<-<<⎪⎧⎪⎪∴∴-<<⎨⎨+-<<+⎪⎩⎪>⎪⎩； ③132,3424(2)40a a a a h a +⎧≥≥⎧⎪∴∴≤≤⎨⎨≤⎩⎪=-≥⎩； 综上：24a -≤≤.22.解：（1）根据题意02411k k k k >⎧⎪∴>-⎨-<<⎪⎩，ks5u又2(2)4(5)04421508452(1)05(5)0k k k k k k k f k f ⎧∆=+-+>⎪><-⎧+⎪<<⎪⎪∴<<∴<<⎨⎨⎪⎪><⎩⎪>⎪⎩或， 综上45k <<.（2）不妨令123234,2,5k x x x k x x k k-=+=+⋅=+， 2222222123123234()2()(2)2(5)k x x x x x x x x k k k-∴++=++-=++-+2221684425()2()3k k k k k k k k =++--=-+-+，令421(3,)5t k k =-∈，222123726(18,)25x x x ∴++∈. 23.（附加题）解：2221,1()111,1x ax a x f x x a x x ax a x ⎧+-+≥⎪=+-+=⎨-++<⎪⎩，①0a >时（i ）12a≥即2a ≥时，min ()(1)2f x f ==；ks5u （ii ）12a <即02a <<时，2min ()()124a a f x f a ==-++； ②0a <时（i ）12a -≥即2a ≤-时，22()1,()12424a a a a f a f a =-++-=--+ 2min()()124a a f x f a ==-++；（ii ）12a -<即20a -<<时，2min ()()124a a f x f a ==-++；③0a =时，2()1f x x =+，min ()1f x =综上：2min 1,2()42,2a a a f x a ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩.。

浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题（1、2班）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 某工厂的10名工人生产同一零件，生产的件数分别为15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. c a b >> 2. 设随机事件A 、B 的对立事件为A 、B ，且()()0P A P B ≠，则下列说法错误．．的是 A. 若A 和B 独立，则A 和B 也一定独立B. 若()()0.2P A P B +=，则()() 1.8P A P B += C. 若A 和B 互斥，则必有()()P A B P B A = D. 若A 和B 独立，则必有()()P A B P B A =3. 某校开设九门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，若学校规定每位学生选修四门，则不同的选修方案共有 A. 15种 B. 60种 C. 75种 D. 100种4. 若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数=a1B. 513-或 C. 523-或 D. 5. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有 A.144种 B. 96种 C. 48种 D.34种 6. 已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为A.1142π- B.3142π+ C.112π- D.112π+7. 已知()1,f x x x x C =-+∈，若()94f zi i -=-，则在复平面中，复数z 对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 将六个点,,,,,A B C D E F 随机分布在圆周上，每个点的位置相互独立，则ABC ∆与DEF ∆无公共点的概率为A.310B.120C.35D.320第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共7小题，共29分．9. 已知复数z 满足21iz i =-，则z 的虚部为__▲ ，z =__▲ .10. 已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =__▲ ； 标准差()Y σ=__▲ .11. 亲情教育越来越受到重视. 在公益机构的这类活动中，有一个环节要求父(母)与子(女)各自从1,2,3,4,5中随机挑选一个数以观测两代人之间的默契程度. 若所选数据之差的绝对值等于1，则称为“基本默契”，若所选数据相同，则称为“非常默契”，则结果是“非常默契”的概率为__▲ ；结果为“基本默契”的概率为__▲ .12. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样抽取样本，若粮食类需要抽取8种，则样本容量为__▲ ；抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为__▲ . 13. 在()()()()56781111x x x x ---+---的展开式中，含3x 的项的系数是__▲ .(用数字作答)14. 对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有__▲ 种.15. 若2,3,4,a i b i c i x =+=+=+=2a bx cx ++=__▲ .三、解答题：本大题共5小题，共47分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 盒中共有9个球，其中4个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外全相同.(1)从盒中一次取2个球，求这2个球颜色相同的概率；(2)每次随机取一球，取后放回，共取了3次，求三次取到球颜色不全相同的概率；(3)从盒中一次取4个球，其中红、黄、绿个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中最大与最小数的差，求X 的分布列.17. 有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成. 编码规则如下表. 明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成. (如：明文取的三个字母为AFP ，则与它对应的五个数字(密码)就为11223)(1)假设密码是11211，求这个密码对应的明文； (2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求()=2P ξ；②求随机变量ξ的分布列和数学期望.18. 抛物线()2:20C y px p =>的准线1:2p l x =-过双曲线2212x y -=的一个焦点. (1)求抛物线C 的方程；(2)设M 为抛物线C 上任意一点.①设2:4360l x y -+=，求M 到1l 与2l 距离之和的最小值；②以M 为切点的抛物线的切线l 与1l 交于点N ，试问x 轴上是否存在定点Q ，使Q 在以MN 为直径的圆上. 若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由.19. 设2012112,,2323n nn n n n N x x a a x a x a x ⎛⎫⎛⎫≥∈+-+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .(1)求012n a a a a ++++ ；(2)记k a (0k n ≤≤)的最小值为n T . ①求8T ；②若n 为奇数，求n T .20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =，它的上顶点为A ，左、右焦点为12,F F ，直线12,AF AF 分别交椭圆于点B 、C .(1)判断BO 是否平分线段AC ，说明理由；(2)若(),022BO P =，，过P 的动直线l 交椭圆于M 、N 两点，在线段MN 上取点Q ，使MP MQPN QN=. ①写出椭圆E 的方程；②求点Q 的轨迹方程.【附加题A 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：A 班同学做，B 班做了也没分☹设三角形的三边长分别是整数,,m n k ，且m n k >>，已知333100100100m n k ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，其中{}[]x x x =-，而[]x 表示不超过x 的最大整数，求这种三角形周长的 最小值.【附加题B 】(5分，计入总分，但总分不超过100分)：B 班同学做，A 班做了也没分☹求((2015+的十进制表达式中的个位数字.宁波效实中学二〇一五学年度第一学期高一1、2班数学期中答案班级_______学号______姓名________9. 1 ；10. 1 ；11.15；82512. 20 ； 6 13. 12114. 30 15.三．解答题（本大题共5小题，共47分.） 16.（本小题满分9分）解：(1)22243229518C C C P C ++==； (2)33341270193981P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)17.（本小题满分9分）解：(1)AEM(2)①827；②E 73=ξ18.（本小题满分10分） 解：(1) 24y x =.(2)①距离最小值为2，当且仅当2139M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取等号. ②存在Q (1，0) 19.（本小题满分9分）解：(1)51023n n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)①8=0T ；②2223k k nk n k n a C --=-，当2n k <，()2223k k nk n k n a C --=- 记2223k nk n k b --=-，则22222212323k n k n k n k n k k b b -------≥⇔-≥-12n k ⇔≤- 所以当2n k <时k b 单调递增，而kn C 也递增，因此最小值为01123n n a =-当2n k >，()220032k k n k n k k n n n a C C C a --=-≥≥>. 综上1123n n n T =-20.（本小题满分10分） 解：(1) 平分；(2)①22132x y +=；②y =1.附加题： A 班：123由题意()333mod100m n k ≡≡，由于()3,100=1，因此又等价于()331m o d100m k nk--≡≡， 因为()11100=100114025ϕ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由欧拉定理()4031mod100≡ 设0u 为满足()31mod100u ≡的最小正整数，则040u ，否则，若()0110400qu u u u =+≤< 则()0140331mod100qu u-≡≡，即1=0u . 由于3k 的末位3,9,7,1循环，因此0=4u h .因为()()2431012011mod100hhh =-≡-+≡，所以10020h ，得0=20u设20,20m k s n k t -=-=，因为m n k <+，所以()20k s t >-， 而周长为()203s t k ++，故当1,2,21t s k ===时周长最小123. B 班：9。

宁波效实中学二○一三学年度第一学期期中考试高二（理）数学试卷请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．直线50x +-=的倾斜角为A ．30-︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为A ．2B C ．D3．“0,0m n >>”是“方程221mx ny +=表示椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设12,F F 是椭圆2241649x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1PF ∶2PF =3∶4， 则12PF F ∆的面积为ks5uA ．4B ．6C ．D ．5．已知P 是椭圆上一点，F 是椭圆的一个焦点，则以线段PF 为直径的圆和以椭圆长轴为 直径的圆的位置关系是 A ．相离B ．内切C ．内含D ．可以内切，也可以内含6．直线l 与直线1:3100l x y -+=和直线2:280l x y +-=分别交于M ，N 两点，且MN 的中点坐标为(0,1)，则直线l 的方程为A ．440x y +-=B ．440x y +-=C ．440x y -+=D ．440x y --= 7．曲线24x y +≤围成的区域面积是A.8B.16C.24D. 328．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A ．[1+B ．[1-C ．[1-D ．[1,1-+ 9．若直线4mx ny +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221164x y += 的公共点有ks5u A ．0 个B ．1个C ．2 个D ．最多一个10．一个平整的操场上竖立着两根相距20米的旗杆，旗杆高度分别为5米和8米，地面上动点P 满足：从P 处分别看两旗杆顶部，两个仰角总相等，则P 的轨迹是 A ．直线 B ．线段 C ．圆 D ．椭圆二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为 ▲ ．12．椭圆2215x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为 ▲ ．ks5u 13．经过点(4,3)M ，渐近线方程为2y x =±的双曲线的方程为 ▲ ．14．已知m R ∈，则动圆22242640x y mx my m ++-+-=的圆心的轨迹方程为 ▲ ． 15．已知(4,3)A ，且P 是双曲线222x y -=上一点，2F 为双曲线的右焦点，则2PA PF +的最小值是 ▲ ．16．一束光线从点(0,1)出发，经过直线20x y +-=反射后，恰好与椭圆2212y x +=相切， 则反射光线所在的直线方程为 ▲ ．17．设,x y 满足线性约束条件2025000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为6，则a b +的最小值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤． 18．已知ABC ∆中的顶点坐标为：(1,1),(3,2),(7,7)A B C ---． （I ）求ABC ∆的面积；（II ）求ABC ∆的内角A 的平分线所在的直线方程．19． 已知圆C 过点(11,0)，且与圆2225x y +=外切于点(3,4)．（I ）求两个圆的内公切线的方程(如果两个圆位于公切线的异侧，则这条公切线叫做两个圆的内公切线)； （II ）求圆C 的方程．ks5u20．已知椭圆2214x y +=，过点(1,0)M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，O 是坐标原点． （I ）求AB 中点P 的轨迹方程；（II ）求OAB ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程．21．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>，直线:4)l y x =-关于直线1:bl y xa=对称的直线'l 与x 轴平行．ks5u （I ）求双曲线的离心率；（II ）若点(4,0)M 到双曲线上的点P 的最小距离等于1，求双曲线的方程．22．直线l 过x 轴上的点M ，l 交椭圆22184x y +=于,A B 两点，O 是坐标原点． （I ）若M 的坐标为(2,0)，当OA OB ⊥时，求直线l 的方程；（II ）若M 的坐标为(1,0)，设直线l 的斜率为(0)k k ≠，是否存直线l ，使得l 垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，说明理由．2013学年第一学期高二数学（理）期中考试答案1—10 DCBBBABCCC11．1 12．203或15413．22455x y -= 14．20(44)x y x +=-<<15． 16．230x y -+=或1x = 17 18．（1）24S =； （2）33,,44AB AC k k ==-∴角A 的角平分线是1y =-19．（1）34250x y +-=（2）令(11,0),(3,4)A B ，则(BC C 为所求圆圆心）直线方程是430x y +=， 线段AB 的中垂线是212y x =-，ks5u430212x y y x +=⎧⎨=-⎩，得C 点坐标(18,24)，半径22625r AC ==， 圆方程是22(18)(24)625x y -+-=． 20．（1）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则221122221(1)41(2)4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2），得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，041x y y x +⋅=+，即2240x x y ++= ks5u （2）令:1l x hy =-代入2244x y +=，得22(4)230h y hy +--=，216(3)h ∆=+，12211224S OM y y h =⋅⋅-=⋅=+t =≥22211t S t t t==++在)+∞上单调递减，t =0h =时，max S =，:1l x =- ． 21．（1）b a =e = （2）令双曲线为222213x y b b-=，ks5uPM ==x ==≤或x ≥i）94≤即4b ≥，当x =时，1PM =，2380b -+=，3b =（舍）或3b =，双曲线方程是22311616x y -=； ii）04b <<，当94x =时，1PM =，22951,,44b b -==双曲线方程是22441155x y -= 22．（1）令直线1122:(2),(,),(,),l y k x A x y B x y =-，k 不存在时，显然不成立；2228(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(12)8880k x k x k +-+-=， 2212122288(1),,1212k k x x x x k k -+==++由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，即21212(2)(2)0x x k x x +--=，2221212(1)2()40k x x k x x k +-++=，韦达定理代入，得22k =，直线:2)l y x =-；（2）令AB 中点00(,)x y 由1122(,),(,),A x y B x y 得221122221(1)841(2)84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2），得12121212()()()()02x x x x y y y y -++-+=，0002AB x k y +⋅=，即0010(1)2x y k-⋅=ks5u又因为AB 中点00(,)x y 在直线l 上，所以00(2)(2)y k x =-由（1）（2）得002,x y k ==，因为中点00(,)x y 在椭圆内，所以2200184x y +<，即k <<0k ≠。

浙江效实中学2013—2014学年度下学期期末考试高二数学理试题【试卷综析】本试卷是高二第二学期期末试卷，考查了高一、高二全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式性质、基本不等式、解不等式、函数的性质及图象、函数解析式的求法、正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的图象、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，则2(12)i -= （A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 【知识点】复数的代数运算【答案解析】B 解析：解：2(12)i -=1－4－4i=－3－4i ，所以选B. 【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键. 2．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-=（A） （B） （C） （D）【知识点】诱导公式，同角三角函数基本关系式【答案解析】D 解析：解：因为1tan()2πα-=，得tan α=－12，而3cos()2πα-=－sin α＜0，所以排除A 、C ，由正切值可知该角不等于23π，则排除B ，所以选D【思路点拨】遇到三角函数问题，有诱导公式特征的应先用诱导公式进行化简，能用排除法解答的优先用排除法解答.3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >>【知识点】【答案解析】A 解析：解： 【思路点拨】4．下列函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x=- （D ）sin cos y x x=+【知识点】三角函数的最小正周期【答案解析】C 解析：解：A 、B 选项由化一公式可知最小正周期为2π，C 选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D 选项可验证2π为其一个周期，综上可知选C. 【思路点拨】求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法，公式法就是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观察判断. 5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如图所示，为了得到()sin 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移12π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度【知识点】函数()sin()=+f x A x ωϕ图象的应用，图象的平移变换.【答案解析】B 解析：解：由图象得A=1，又函数的最小正周期为74123πππ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，所以22πωπ==，将最小值点代入函数得7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，解得()732,2623k k k Z πππϕπϕπ+=+=+∈，又23ππϕϕ<，所以=，则()sin 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()sin 2=g x x 是函数f （x ）用6x π-换x 得到，所以是将()f x 的图象向右平移了6π个单位，选B.第5题【思路点拨】由三角函数图象求函数解析式，关键是理解A ，ω，φ与函数图象的对应关系，判断函数图象的左右平移就是判断函数解析式中x 的变化.6．已知22ππθ-<<，且sin cos 5θθ+=，则tan θ的值为（A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13-【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质【答案解析】C 解析：解：因为0＜sin cos θθ+=＜1，而22ππθ-<<，得04πθ-<<，所以1tan 0θ-<<，则选C【思路点拨】熟悉sin cos θθ+的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=o，则“2x <<ABC ∆有两个解”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件【知识点】解三角形，充分条件、必要条件，充要条件的判断【答案解析】B 解析：解：若三角形有两解，则以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，因为相切a=2sin 45=o，经过点B 时a=2，所以三角形有两解的充要条件为2x <<，则若2x <<三角形不一定有两解，但三角形有两解，则必有2x <<2x <<ABC ∆有两个解”的必要非充分条件，选B.【思路点拨】判断充要条件时，可先明确命题的条件和结论，若由条件能推出结论成立，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+- 【知识点】函数的值域的应用，一元二次不等式的解法.【答案解析】C 解析：解：因为函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞），若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则2431b b -+->-，解得22b << C.【思路点拨】利用函数的图象解题是常用的解题方法，本题若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，由两个函数的图象可知，g （b ）应在函数1)(-=x e x f 的值域为（－1，+∞）的值域内.9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，对于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心； ④当2π=x 时，)(x f y =一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A 解析：解：当f （x ）=－sinx 时，显然满足)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，但当2π=x 时，)(x f y =取得最小值，所以④错排除B 、C 、D ，则选A.【思路点拨】在选择题中，恰当的利用特例法进行排除判断，可达到快速解题的目的. 10)(x f y =)(x g y = 集合A={0))((=-t x g f x 与集合B=0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ，则b a -的值不可能是（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2【知识点】函数的图象的应用【答案解析】A 解析：解：由图象可知若f （x ）=0，则x 有3个解，分别为33,0,22x x x =-==，若g （x ）=0，则x 有3个解，不妨设为x=n ，x=0，x=-n ，（0＜n ＜1），由f （g （x ）-t ）=0得g （x ）-t=32，或g （x ）-t=0，或g （x ）-t=32-，即()()()3322g x t g x t g x t =+==-或或，当121<<t 时，由g （x ）=t ，得x 有3个解；()311,22g x t ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，此时x 有3个解；()352,22g x t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时方程无解．所以a=3+3=6．由g （f （x ）-t ）=0得f （x ）-t=n ，或f （x ）-t=0或f （x ）-t=-n ．即f （x ）=t+n ，或f （x ）=t ，或f （x ）=t-n ．若f （x ）=t ，因为121<<t ，所以此时x 有4个解；若f （x ）=t+n ，因为121<<t ，0＜n ＜1，所以若0＜n ＜12，则12＜t+n ＜32，此时x 有4个解或2解或0个解，对应f （x ）=t-n ∈（0，1）有4个解，此时b=4+4+4=12或b=4+2+4=10，或b=4+0+4=8；若12≤n ＜1，则1＜t+n ＜2，此时x 无解．对应f （x ）=t-n ∈11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应的有2个解或3解或4个解．所以此时b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8．综上b=12或10或8或6或7．则b －a=0或1或2或4或6，所以选项A 不可能，故选A【思路点拨】判断复合函数的零点，可从外往里进行判断，注意充分利用图象先确定各自的零点或零点的范围，再由对应的函数值的范围确定复合函数零点个数.第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α=__ ▲ _．【知识点】三角函数定义【答案解析】2±解析：解：由已知得直线经过二、四象限，若α的终边在第二象限，因为点P 到原点的距离为1，则3sin sin42πα==，若α的终边在第四象限，则α的终边经过点P关于原点的对称点⎝⎭，所以sin 2α=-，综上可知 sin α=2±.【思路点拨】一般已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的定义求值，本题应注意所求角终边所在的象限有两个.12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=⋅，则角C =__ ▲ _． 【知识点】两角和的正切公式【答案解析】60o解析：解：由tan tan tan A B A B ++=⋅得()tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan A BA B A B C A B A B ++=⋅=-+=-=-⋅则又C 为三角形内角，所以C=60°【思路点拨】一般遇到两角的正切和与正切积的关系，可考虑利用两角和的正切公式进行转化.13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _． 【知识点】余弦函数的性质【答案解析】()[,]2k k k Z πππ-∈解析：解：因为214cos 2cos 23y x x =+=+，由()222,2k x k k x k k Z ππππππ-≤≤-≤≤∈得，所以所求函数的单调递增区间为()[,]2k k k Z πππ-∈.【思路点拨】一般求三角函数的单调区间，先把三角函数化成一个角的函数，再结合其对应的基本三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】分段函数、二次不等式解法【答案解析】[2,2]-解析：解：当a ＜0时，由()()0f a f a -+≤得22222240a a a a a a +++=+≤，解得－2≤a ＜0，当a ≥0时得22222240a a a a a a -+-=-≤，解得0≤a ≤2，综上得a 的取值范围是[2,2]-.【思路点拨】对于分段函数解不等式，可分段解不等式再求各段上解集的并集. 15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是__ ▲ _． 【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】[0,8]解析：解：由24cos sin 40x x m ++-=得()22cos 4cos 3cos 21m x x x =-+=--，因为()[]2cos 210,8x --∈，所以若方程有实数解，则m 的范围是[0,8]【思路点拨】一般遇到方程有实数解问题，可通过分离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2c ab 的最小值为__ ▲ _．【知识点】正弦定理、余弦定理、基本不等式【答案解析】23解析：解：因为sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，由正弦定理及余弦定理得222222222222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc +-+-+-⨯=⨯+⨯，整理得22232c a b ab =+≥，所以223c ab ≥，当且仅当a=b 时等号成立.即2c ab 的最小值为23.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可分别利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用基本不等式求最小值.17．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是__ ▲ _．【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题【答案解析】2k >+(m ，n)为函数当x ≥0时图象上任意一点，若点(m，n)是函数)(xfy=的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，得()211n mn k m⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩，消去n得210m km k-++=，若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根，得()241010k kkk⎧∆=-+>⎪>⎨⎪+>⎩，解得2k>+【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知0a>且1a≠，设:P函数xy a=在R上单调递减，:Q函数2ln(1)y x ax=++的定义域为R，若P与Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．【知识点】命题真假的判断，指数函数与对数函数的性质的应用【答案解析】12a<<解析：解：若命题P为真，则0＜a＜1；若命题Q为真，则△=240a-<，得－2＜a＜2，又因为0a>且1a≠，所以0＜a＜2且1a≠，若P与Q有且仅有一个正确，则12a<<.【思路点拨】判断复合命题的真假可先判断组成复合命题的基本命题的真假，若两个命题有且仅有一个正确，可从使两个命题为真的实数a的范围的并集中去掉交集即可求得实数a 的范围.19．ABC∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知60,1a Ab c==-=o，求,b c和,B C．【知识点】余弦定理、正弦定理【答案解析】12b c==；75,45B C==o o解析：解：由余弦定理得()22264b c bc b c bc bc=+-=-+=-，即2112bc b c=+=+=联立得，又sinC=sin22Aca⨯==，由c＜a，得C＜A，所以C为锐角，则45C=o，所以B=180°－C－A=75°.【思路点拨】在解三角形问题中，结合已知条件恰当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是解题的关键.20．已知函数xxxxf cossin2cos2)(2+=．（Ⅰ）求()12fπ的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x=-⋅+，若[,]123xππ∈，求函数)(xg的值域．【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用【答案解析】（Ⅰ）32（Ⅱ）[解析：解：（Ⅰ）因为xxxf2sin2cos1)(++=，所以13()11222fπ=++=+；（Ⅱ）ππ()()()(1sin2cos2)(1sin2cos2)44g x f x f x x x x x=-⋅+=+-⋅-+2()1(sin2cos2)2sin2cos2sin4g x x x x x x=--==∵[,]123xππ∈∴44[,]33xππ∈∴()sin4[g x x=∈所以)(xg的值域为[【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数，再进行解答.21．已知函数()()2log1f x x=+.（Ⅰ）若()()10f x f x+->成立，求x的取值范围；（Ⅱ）若定义在R上奇函数)(xg满足()()2g x g x+=-，且当01x≤≤时，)()(xfxg=，求()g x在[]3,1--上的解析式，并写出()g x在[]3,3-上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g x，若关于x的不等式321()()822xxtg g+-≥-+在R上恒成立，求实数t的取值范围．【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）x x x⎧⎪∈>⎨⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）()22log(1)(32)log(3)(21)x xg xx x---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩() g x在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x在[]1,1-上递增；（Ⅲ）420t-≤≤解析：解：（Ⅰ）由()()10f x f x+->得()2221log1log010x xx x xx⎧+>⎪++>0>⎨⎪+>⎩，得，解得x>，所以x的取值范围是12x x x⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）当－3≤x≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x－2)=f(－x－2)=()()22log21log2x x--+=--，当－2＜x≤－1时，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－()2log3x+，综上可得()22log(1)(32)log(3)(21)x xg xx x---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x在[]1,1-上递增；（Ⅲ）因为21113log2222g g f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（Ⅱ）知，若g(x)=23log2-，得x=32-或52x=，由函数g(x)的图象可知若321()()822xxtg g+-≥-+在R上恒成立记32118288(12)xx xt tu+-+==-+++当10t+≥时，11111(,)88(12)888xt tu++=-+∈--++，则11115(,)[,]88822tu+∈--+⊆-则115882t+-+≤解得120t-≤≤当10t +<时，11111(,)88(12)888x t t u ++=-+∈-+-+，则 11115(,)[,]88822t u +∈-+-⊆- 则111882t +-+≥- 解得41t -≤<- 综上，故420t -≤≤【思路点拨】解对数不等式时注意其真数的限制条件，本题中的不等式恒成立问题可结合函数的图象建立条件求范围.22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，若()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，若()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设0a <且a b ≠，若()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．【知识点】不等式性质、不等式恒成立问题.【答案解析】（Ⅰ）2b ≥；（Ⅱ）13解析：解：（Ⅰ）因为()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，所以()()0f x g x ⋅≥，在[1,)x ∈-+∞上恒成立，即[1,)x ∈-+∞，2(3)(2)0x a x b ++≥ ∵0a > ∴230x a +≥ ∴20x b +≥ 即2b x ≥- ∴max (2)b x ≥- ∴2b ≥（2）①当b a <时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，()()0f x g x ⋅≥在(,)x b a ∈上恒成立，即(,)x b a ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<Q ，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤-∴23b a b <≤- ∴2211133()61212a b b b b -≤--=-++≤ ②当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<Q ， 2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤ ∴13b a -< ③当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，所以，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立0,b >Q 而0x =时，2(3)(2)0x a x b ab ++=<不符合题意，④当0a b <=时，由题意：(,0)x a ∈，22(3)0x x a +≥恒成立 ∴230x a +≤ ∴103a -≤<∴13b a -≤ 综上可知，max 13a b -=． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为求函数的最值问题，本题注意分类讨论在解题中的应用.。

宁波效实中学二○一三学年度第一学期期中考试试卷高三数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}05U x Z x =∈≤≤，集合{}3,1A =，{},B y y x x A ==∈，则()U C A B =UA .{}0,4,5,2B .{}0,4,5C .{}4,5,2D .{}4,52、已知sin(3)2sin()2ππαα-=-+，则sin cos αα=A .25-B .25C .25或25-D .15-3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则"()[1,2]"f x 为上的增函数是"()[4,5]"f x 为上的减函数的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要4、()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A .关于点(,0)12π对称B .关于点5(,0)12π对称C .关于直线512x π=对称D .关于直线12x π=对称 5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM的距离为A .3 B .6a C .2a D .12a 6、已知函数()f x 满足()()f x f x ππ+=-，且当(0,)x π∈时，()cos f x x x =+，则(2),(3),(4)f f f 的大小关系是A .(2)(3)(4)f f f <<B .(2)(4)(3)f f f <<C .(4)(3)(2)f f f <<D .(3)(4)(2)f f f << 7、已知,m n 为异面直线，,m n αβ⊥⊥平面平面，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则A . //αβ且//l αB .αβ⊥且l β⊥C . α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l8、2()21,()1x f x g x x =-=-，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩，则下列判断正确的是A .()F x 为偶函数B .()F x 有最小值1-，无最大值C .()F x 有最大值1，无最小值D .()F x 无最大值，也无最小值9、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12345a a a =，且133551315513S S S S S S ++=，则2a =A .3B .5C .9D .1010、已知函数()32()20f x ax bx a =+-≠有且仅有两个不同的零点12,x x ，则A .当0a <时，12120,0x x x x +<>B .当0a <时，12120,0x x x x +><C .当0a >时，12120,0x x x x +<>D .当0a >时，12120,0x x x x +><第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11、若212iz i -=+，则复数z 的实部与虚部的和为________. 12、若2,1,,602a b a b a b ︒==<>=+=v v v v v v ，则_________.13、数列{}n a 满足12a =，2112(1)n n a a n+=+⋅，则n a =_________ 14、已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15、半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u v u u u v u u u v的最小值是___________.16、在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c h a b++的取值范围是 .17、若,,()(22x y R x y t x xy +∈+≥+恒成立，则t 的范围是____________.三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18、在数列{}n a 中，1122,210,1n n n n n a a a a b a +=-+==-. （1）求证：{}n b 为等差数列，并求n b ； （2）若数列{}n c 满足23121...333n n n c c c c b -++++=，求数列{}n nc 的前n 项和n T .19、已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3ba=， sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求()f B 的值.20、在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AB DAB ︒=∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 中点,M 为线段PC 上的一点. （1）若M 为PC 中点，求证：//ME PAB 平面；（2）若二面角M EB C --的平面角为60︒，求直线AB 与平面MEB 所成角的余弦值.21、已知()xf x xe =，2()2g x ax ax =+，a R ∈（1）若()f x 与()g x 在(0,0)处的切线互相垂直，求a 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，当12a ≤≤(||)y F x =在[,]a a -的最大值.22、对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号{}x 表示．例如{}811.20.2,{1.2}0.8,{}77=-==.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1{}a a =，11,00,0n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎪⎨⎬=⎨⎩⎭⎪=⎩,, 其中123n =L ,,,.（1）若2=a ，求23,a a 并猜想数列{}n a 的通项公式（不需要证明）；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．2013学年第一学期期中高三数学（理）答案1-10： DACCA BDBBB11、-1 12、、22n n 14、43π15、132-16、14a a e =->+或、16t ≤18、（1）112222222111111n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==-----，所以，{}n b 为等差数列，且11221b a ==-，所以，2n b n =（2）当1n =时，112c b ==；当2n ≥时，联立23121231122...2333...22333n n n n c c c c n c c c c n ---⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=-⎪⎩，得123n n c -=，所以123(2)n n c n -=⋅≥ 所以 ，123(1)n n c n -=⋅≥，123n n nc n -=⋅，12123212323...233232323...23n n nn T n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅１ ，所以2122(133...3)23n nn T n --=++++-⋅23123(12)31n n n n T n n ∴-=--⋅=-⋅-，11()322n n T n ∴=-⋅+19、22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-22cos sin cos cos222sin(2)6x x x x x x x π=-+=+=+7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈Q ，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈-（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++化简得 sin 2sin C A =2,,c a b ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒===()(60)2sin1501f B f ︒︒∴===20、（1）取BC 中点M ，连MN,NE, MN//PB,所以MN//平面PAB EN//AB,所以NE//平面PAB 所以 平面MNE//平面PAB 所以 MN//平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(1,0,0),3,0),(1,0,0)3),(3,0)E A B D P C --算得 平面MEB 的法向量1(33,0,2)n λλ=u v， 平面EBC 的法向量2(0,0,1)n =u u v12221cos ,213(1)4n n λλ<>==⋅-+u v u u v，解得11()3λ=-或者舍去此时，122(3,0,)33n =u v ，13cos ,n AB <>=u v u u u v 1321、（1）'()(1),'()22,xf x x eg x ax a =+=+又'(0)'(0)1f g =-，所以21a =-，12a =- （2）2()(2)xF x xe ax ax =-+，只要求()[0,]F x a 在上的最大值，'()(1)(22)(1)(2)x x F x x e ax a x e a =+-+=+-，令 ()2(12)xh x e x x =-≤≤,'()20x h x e =->，min ()(1)20h x h e ∴==->，()0h x >恒成立，2x e x ∴>，2a e a ∴>，()(0,ln 2)(ln 2,)F x a a a ∴↓↑在又322(0)0,()(2)(2)a a F F a ae a a a e a a ==-+=--，令2()2(12)x m x e x x x =--≤≤,'()22x m x e x =--,''()20x m x e =->，所以'()2)m x 在递增，2'()'(2)2220m x m e ∴≤=--<，所以()m x 单调递减，()(1)40m x m e ≤=-<， 所以max ()(0)0F x F ==22、（1）2221211111(2)2()t x x x a x x ax x a a ==-=-+=--+，且102,x a <<2(0,]t a ∴∈（2）212121212121212122112121111()2()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+-+=+-222121212121212142141422a x x a a x x x x t x x x x x x t---+-=++=++, 当12a ≥时，2140a -≤，214a t t t -∴+为的增函数， 且当2t a =时，有最大值21()a a- 即12x x a ==时，21212111()()()x x a x x a --≤-（3）212121114()()2a x x t x x t---=++， 令2214()2,(0,]a f t t t a t -=++∈ 当12a ≥时，2()(0,)f t a 在递增，所以221()()()f t f a a a≤=-，故舍去 当102a <<时，2222214(14)'()1a t a f t t t ---=-=，所以，())f t ↓+∞↑在，要使得2()()f t f a ≥恒成立，则有2a ≥，2414a a -≥，且102a <<解得0a <<。

浙江省效实中学-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． 请在答题卷内按要求作答第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、已知随机变量X 的分布列如图，则p 的值为 A.14 B. 12 C. 34D.1 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C 与11A C 所成角为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒3、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}n a ：1(1(n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球）第次摸取白球），如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得71S =-的概率为 A.52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 34372133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D. 34371233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、如果21()2n x x-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的含3x 项的系数为A.52B.52- C.20 D.20- 5、若把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 A.18种 B.19种 C.10种 D.9种6、某5所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的5位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知书。

若每位学生都等可能地选择任意一所大学就读，则恰有两名学生选择同一所大学（其他三人在其他学校中各选一所不同大学）的概率为 A.15 B.24125 C.96125 D.481257、已知等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，,AC BC 的中点分别是,D E ，将CDE ∆沿DE 折起，使得C DE A --为直二面角，此时斜边AC 被折成折线ADC ，则ADC ∠等于 A.150︒ B.135︒ C.120︒ D.90︒8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123P =，乙的命中率为212P =，两人的所有射击都是相互的。

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i -2．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= （A ）32 （B ）32- （C ）55 （D ）55-3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >> 4．下列函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x =- （D ）sin cos y x x =+5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如图所示，为了得到()sin 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象 （A ）向右平移12π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度6．已知22ππθ-<<，且10sin cos 5θθ+=，则tan θ的值为（A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13-7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=o，则“223x <<”是“ABC ∆有两个解”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+-9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，对于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心； ④当2π=x 时，)(x f y =一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示： Oxy112 -2-1 y 2-1··第5题集合A ={}0))((=-t x g f x 与集合B ={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ， 则b a -的值不．可能是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α=__ ▲ _． 12．已知在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=⋅，则角C =__ ▲ _．13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _．14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是__ ▲ _．15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是__ ▲ _．16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2c ab的最小值为__ ▲ _．17．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对 称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ ▲ _．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数x y a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的定义域为R ，若P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围． 19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6,60,31a A b c ==-=-o ，求,b c 和,B C ．20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，若[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域． 21．已知函数()()2log f x x a =+.（Ⅰ）当1a =时，若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）若定义在R 上奇函数)(x g 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g x ，若关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，若()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，若()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设0a <且a b ≠，若()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分。

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（数理班）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）参考公式：柱体的体积公式 V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式 13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,表示h 锥体的高 球的表面积公式 2=4S R π球的体积公式 343V R π= ,其中R 表示球的半径台体的体积公式 121()3V S S h = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.空间中,已知,a b 是直线,,αβ是平面,且,,//a b αβαβ⊂⊂,则,a b 的位置关系是 （ ）A. 平行B. 相交C.异面D.平行或异面2.已知椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上,则m 的值是( )A ．B ．6 CD ． 3. 下列命题不正确的是 （ ） A. 若P αβ∈I ,且=l αβI ,则P l ∈ B. 若,A l B l ∈∈,且,A B αα∈∈,则l α⊆C. 若直线a I 直线b A =,则直线a 与直线b 确定一个平面D. 三点,,A B C 确定一个平面.A4. 将半径为6cm 的圆形铁皮,剪去16后,余下部分卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为（ ） A ．3253cm π B3cm C ．3cm D ．350cm π 5. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线1AB CC 与所成角的余弦值为（）A.346. 如图所示,已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ,其中112AB A B =,截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分的体积为 （ ）A. 14V B. 23V C. 37V D. 35V7. 有下列说法：①若p xa yb =+u r r r ,则p u r 与a r ,b r 共面；②若p u r 与a r ,b r 共面,则p xa yb =+u r ；③ 若MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r,则,,,P M A B 共面；④ 若,,,P M A B 共面, 则MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r. 其中正确的是 （ ）A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④8. 等腰梯形ABCD 中,,2,1AB CD AB AD BC CD ====P ,沿对角线AC 将平面ACD 折起,折叠过程中,AD 与BC 夹角的取值范围为 （ ）A. 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9. 从空间一点作n 条射线,使得任意两条射线构成的角均为钝角,n 最多为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610. 过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ,若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ,当ABCM最大时点C 的横坐标为（ ） A.5B.1C.4D. 1正视图侧视图俯视图第Ⅱ 卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题4分,单空题每小题3分,共25分．11. 已知正方体1111ABCD A B C D -中,11114A E AC =u u u u r u u u u r,若1()AE xAA y AB AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r , 则x = ▲ ,y = ▲ ．12. 已知球的表面积为24cm π,则它的半径等于 ▲ cm,它的内接长方体的表面积的最大值为 ▲ 2cm .13. 一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的俯视图的面积为 ▲ ,体积为 ▲ ． 14.椭圆22:184x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1, 则弦AB 所在的直线方程为 ▲ ；点P 为椭圆上的任意一点,F 为左焦点,则OP FP uu u r uu rg 的取值范围为 ▲ ．15.直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点,OB OC ⊥若,O 为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 16. 平面α//平面β,直线,m n αβ∈∈,点,,A m B n AB ∈∈与α面夹角为4π,AB n ⊥,AB 与m 的夹角为3π,则m 与n 的夹角为 ▲ . 17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,以顶点A 为球心,332为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题,共45分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．18.（本题共7分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -,且过点()2,3Q -,椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求12PF F ∆的内切圆方程.1H 4GH 3HH 1BEFH 2HGFDCP19. （本题共9分）在所有棱长都为2的三棱柱111ABC A B C -中,160B BC ∠=o ,13AB =.（Ⅰ）求证：1AB BC ⊥；（Ⅱ）求二面角1B AB C --的正切值. 20. （本题共9分）如图,四棱锥ABCD P -的底面是 边长为8的正方形,四条侧棱长均为43H F E G ,,, 分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点,//BC 平面GEFH ． （Ⅰ）证明：;//EF GH（Ⅱ）若2=EB ,且二面角E GH B --大小为45o ,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．21. （本题共10分）如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.（Ⅰ）证明：如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体；反之亦然. （Ⅱ）给出下列四面体①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直； ③高在各面的射影是所在面的垂心； ④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为 .22. （本题共10分）平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：2215x y +=,抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点,设()00,P x y 是E 上的动点,且位于第一象限,记E 在点P 处的切线为l .（I ）求p 的值和切线l 的方程（用00,x y 表示）（II ）设l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上; （ii ）设l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12S S 的最大值.1A高二期中考（数理班）数学参考答案一.选择题1.D2.B3.D4.B5.A6.C7. C8.B9.B 10. A二.选择题11. 1,14； 12. 1,8 ；13.16+82+43ππ，；14. 30,2,8x y⎡+-=+⎣；15. y=； 16.45o； 17.6.三. 解答题18. （Ⅰ）2211612x y+=（Ⅱ）由12112122122,=5=3=4,8PF PFPF PF F F PF F FPF PF⎧-=⎪∴⊥⎨+=⎪⎩Q得：，，又,故内切圆半径()()221111,112r PF F F PF C=+-=圆心为，,所以内切圆方程为：()()2211 1.x y-+-=19. （Ⅰ）取BC中点D,由题设得1,ABC B BC∆∆均为等边三角形,111,,,.BC AD BC B D BC ABD BC AB∴⊥⊥∴⊥∴⊥面（Ⅱ）1112,,AB AD B D ABAD O B O AD=∴===⊥Q已知取中点得,1111,.,B O BC B O ABC OE ABB E B E AB⊥∴⊥⊥⊥又面作，连证得,1111tanB OB EO B ABC B EOEO∴∠--∠==为二面角的平面角,20. （Ⅰ）Q//BC平面GEFH,,,PBC GEFH GH BC GH=∴I P面面同理由,,.ABCE GEFH EF BC EF GH EF=∴I P P面面得B（Ⅱ）取BC,AD 的中点M,N,设,MN EF I PM GH J ==I I ,,,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN GH PM GH PMN⊥⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 且面,,45.GH IJMJI E GH B ∴⊥∴∠=--o 即为二面角的平面角又2228,PN PM MN PM PN MN====∴+=已知45,,12PMN PNM MIJ JM PM∴∠=∠=∆==o 为等腰直角三角形且, 故,,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角，sin EB BGE GB ∴∠=== 21. （Ⅰ）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.作11,AH BCD H ⊥面垂足为,则11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面,12212,,BH CD E ABE BH AE H AH BH H ⊥=I 延长交于在面内作，垂足为设,12122,.CD ABH BH ABH BH CD BH ACD ⊥⊆∴⊥⊥已有面，面故面此时两条高线12.AH BH H 和已交于点 连接CH ,下证.CH ABD ⊥面111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 面而面故 222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 又面而面故 CH ABD ∴⊥面. 连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面综上可知,四条高线交于点H ,故该四面体为垂心四面体；反之,若该四面体为垂心四面体,即四条高线交于点H . ,AH BCD ⊥Q 面AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥Q 又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面,故CD AB ⊥,同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥ （Ⅱ）①②③④均符合要求. 22.解：（I）由题意可得c e a ==,1b =抛物线的焦点F 为(0,1),则2p =,24E x y =：,直线l 方程为002()y y xx +=（Ⅱ）（i ）证明：设00(),P x y ,1122,,()()A x y B x y ,由点差法可得15OD ABk k ⋅=-,012AB k x =, 即有025OD k x =-,直线OD 的方程为025y x x =-,当0x x =时,可得25y =- 即有点M 在定直线25y =-上； （ii ）直线l 的方程为0012y x x y =-,令0x =,可得0(0,)G y - ,则10001112()2S FG x x y ==+ 2002000022()115522222255y y S PM x x y y ++=⋅=⋅++ 则0012202(2)(1)52()5y y S S y ++=+ 令022()55y t t +=≥ ,则2212222233521322()()2(3)()248553355333335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35t =,即015y =时,12S S 取得最大值83。

浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题（普通班）说明：本试卷共100分． 请在答题卷内按要求作答一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1、复数323aii-+为纯虚数，则实数a 的值为 A .1 B .1- C .2 D .2-2、椭圆221y x m+=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 A .14 B .12C .2D .43、已知椭圆1422=+y x 的两个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为 A .23 B .3 C . 27D .44、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为A .221169x y -= B .221916x y -= C .22134x y -= D .22143x y -= 5、已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是A B C .2 D 16、过点(2,3)A -作直线与抛物线28y x =在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则直线BF 的斜率为A .23 B .23C .34D .43 7、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为A .恒等于2aB .恒大于2aC .恒小于2aD .不确定8、已知12,F F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左，右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221PF PF u u u r u u u r 的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是A .[2,)+∞B .(1,3]C .(1,2]D .[3,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分。