高中数学必修二(人教a版)第3章单元检测试题 含解析

2020-2021学年必修2第三章测试卷直线与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行，则实数m 的值为（ ） A ．6- B ．6C ．32D ．32-【答案】B【解析】因为直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行， 所以321m ⨯=⋅且82(2)m ⋅≠⨯-，解得6m =且12m ≠-，所以6m =， 故选B ．2．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26C ．4D ．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且A B '故选B ．3．下面说法正确的是（ ）A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【解析】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x ya b+=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错； 当12x x ≠时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示；当12x x =时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程1x x =， 即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对，故选D ．4．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny+-=，则m n +=（ ） A ．0 B ．1C ．2-D ．1-【答案】C【解析】由12l l ，得122n-=，解得4n =-，即直线2:230l x y --=， 两直线之间的距离为d ==2m = (8m =-舍去)，所以2m n +=-，故答案选C ．5．过点(1,2)的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB △的面积最小时，直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．250x y +-= C ．30x y +-=D ．2380x y +-=【答案】A【解析】设l 的方程为1(0,0)x y a b a b +=>>，则有121a b+=， 因为0a >，0b >，所以12a b +≥，即1≥，所以8ab ≥， 当且仅当1212a b ==，即2a =，4b =时，取“=”． 即当2a =，4b =时，OAB △的面积最小， 此时l 的方程为124x y+=，即240x y +-=，故选A ． 6．已知,m n ∈R ，则“直线10x my +-=与10nx y ++=平行”是“1mn =”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】若直线10x my +-=与10nx y ++=平行， 则10mn -=，即1mn =，当1m =-，1n =-时，两直线方程为10x y --=，10x y -++=，此时两直线重合， 故“直线10x my +-=与10nx y ++=平行”是“1mn =”的充分不必要条件， 故选A ．7．直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B mm ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）A．0,πB．π3 0,π,π44⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C．0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】直线l的斜率为2212121121y y mk mx x--===---，因为m∈R，所以(],1k∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选D．8．已知直线20kx y-+=和以()3,2M-，()2,5N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）A．32k≤B．32k≥C．4332k-≤≤D．43k≤-或32k≥【答案】C【解析】因为直线20kx y-+=恒过定点(0,2)A，又因为43AMk=-，32ANk=，故直线的斜率k的范围为4332k-≤≤，故选C．9．已知点()2,3A-，()3,2B--，直线l的方程为10kx y k--+=，且与线段AB相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．3(,4][,)4-∞-+∞B ．13(,][,)44-∞-+∞C ．3[4,]4-D ．3[,4]4【答案】A【解析】直线:10l kx y k --+=整理为()()110k x y ---=， 即可知道直线l 过定点()1,1P ， 作出直线和点对应的图象如图：(2,3)A -，(3,2)B --，(1,1)P ，31421PA k --∴==--，213314PB k --==--，要使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足PB k k ≤或PA k k ≤，4k ∴≤-或34k ≥， 即直线l 的斜率的取值范围是3(,4][,)4-∞-+∞，故选A ．10．设m ∈R ，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A ．25B ．32C ．6D ．3【答案】C【解析】直线10x my ++=可整理为()1my x =-+，故恒过定点1,0，即为A 的坐标；直线230mx y m --+=整理为()32y m x -=-，故恒过定点()2,3，即为B 坐标，又两条直线垂直，故可得22218PA PB AB +==， 即()2218PA PBPA PB +-=，整理得()()2211924PA PB PA PB PA PB =+-≤+，解得 6PA PB +≤， 当且仅当PA PB =时取得最大值， 故选C ．11．已知实数,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点，这个定点的坐标为（ ） A ．11(,)62B ．11(,)26C ．11(,)62D ．11(,)26-【答案】D【解析】∵12=+b a ，∴b a 21-=，∵直线03=++b y ax ，∴03)21(=++-b y x b ，即0)3()21(=++-y x x b ．12030x x y -=⎧⎨+=⎩，1216x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线必过点11(,)26-， 本题选择D 选项．12．已知ABC △是等腰三角形，5AB AC ==，6BC =，点P 在线段AC 上运动，则PB PC +的取值范围是（ ） A ．[]3,4 B ．12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]6,8D ．24,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图：可得()3,0B -，()3,0C ，由5AC =，可得()0,4A ， 直线AC 的方程为134x y+=，即4312x y +=， 可设()(),04P m n n ≤≤,，即有334n m =-， 则()()()3,3,2,2PB PC m n m n m n +=---+--=--====，当[]360,425n =∈， 可得PB PC +的最小值为122421655==⨯=， 当4n =时，可得PB PC +的最大值8，则PB PC +的取值范围是24,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知点(1,3)A 与直线4:30x y l ++=，则点A 关于直线l 的对称点坐标为______． 【答案】(5,1)-【解析】设点(1,3)A 关于直线340x y ++=的对称点(,)A a b '，则由3(3)11133++4022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪⨯=⎪⎩，解得5a =-，1b =，故点(5,1)A '-，故答案为()5,1-．14．过直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=的交点，且到点()0,4P 距离为2的直线方程为______．【答案】2y =或4320x y -+=【解析】由2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以，直线1l 与2l 的交点为()1,2．当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为1x =，点P 到该直线的距离为1，不合乎题意； 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=， 由于点()0,4P 到所求直线的距离为2，可得2=，整理得2340k k -=，解得0k =或43k =， 综上所述，所求直线的方程为2y =或4320x y -+=， 故答案为2y =或4320x y -+=．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:40l kx y -+=与直线2:30l x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为______．【答案】92【解析】设直线1l 与y 轴交于()0,4A ，直线2l 与x 轴交于()3,0B ，5AB ==．当0k =时，直线1l 为4y =，直线2l 为3x =，所以两条直线的交点为()13,4P ． 当0k ≠时，两条直线的斜率分别为k 、1k-，斜率乘积为1-，故12l l ⊥， 所以P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）．设以AB 为直径的圆的圆心为3,22C ⎛⎫⎪⎝⎭，半径522AB r ==， 圆的方程为()22235222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点()13,4P 满足圆的方程．综上所述，点P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）．圆心C 到直线43100x y -+=的距离为2d ==． 所以点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为59222d r +=+=， 故答案为92．16．直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，则PA PB +的最小值是______．【解析】直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点， 则()3,0A ，()0,2B ，设A 关于直线1y x =--对称的点为()1,A x y ，则133122y x y x ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=--⎪⎩， 解得14x y =-⎧⎨=-⎩，11PA PB PA PB A B +=+≥=1A ，P ，B 三点共线时等号成立，．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知ABC △的顶点()2,4A ，()0,2B -，()4,2C -． 求：（1）AB 边上的中线CM 所在直线的方程； （2）求A 点关于直线BC 对称点坐标． 【答案】（1）560x y +-=；（2）()6,4--． 【解析】（1）由题设有()1,1M ，故211415CM k -==---， 故直线CM 的方程为()1115y x =--+，即560x y +-=． （2）()22104CB k --==---，故直线BC 的方程为2y x =--，设A 点关于直线BC 对称点坐标为(),a b ，则42222412b a b a ++⎧=--⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得64a b =-⎧⎨=-⎩，故A 点关于直线BC 对称点坐标为()6,4--．18．（12分）己知直线l 的方程为210x y -+=． （1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求与直线l 平行，且到点()3,0P2l 的方程． 【答案】（1）270x y +-=；（2）210x y --=或2110x y --=． 【解析】（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点()3,2A ，∴所求直线方程为()1232y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点()3,0P=解得1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=．19．（12分）已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 【答案】（1）220x y ++=；（2）1．【解析】（1）3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，则点P 的坐标为()2,2-．由于点P 的坐标是()2,2-，且所求直线l 与直线210x y --=垂直， 可设所求直线l 的方程为20x y c ++=．将点P 坐标代入得()2220c ⨯-++=，解得2c =， 故所求直线l 的方程为220x y ++=．（2）由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是1-，2-， 所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积11212S =⨯⨯=．20．（12分）已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=．（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB △面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）47m =，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为（3）面积的最小值为4，240x y ++=．【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--．（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，= 423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47m =． （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，0k <，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -，()12122121222222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△4=，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4，此时直线的方程240x y ++=．21．（12分）已知ABC △的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -．（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标．【答案】（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0A -．【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -，得BC 边所在直线方程为123122y x --=---， 即240x y +-=．（2）BC ==，A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =由于A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩△， 即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()3,0A -．22．（12分）设直线l 的方程为()()1520a x y a a ++--=∈R ．（1）求证：不论a 为何值，直线l 必过一定点P ；（2）若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ， 当AOB △面积最小时，求AOB △的周长及此时的直线方程；（3）当直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线l 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）10+32120x y +-=；（3）390x y +-=．【解析】（1）由()1520a x y a ++--=，得()250a x x y -++-=，则2050x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩， 所以不论a 为何值，直线l 必过一定点()2,3P ．（2）由()1520a x y a ++--=得，当0x =时，52B y a =+；当0y =时，521A a x a +=+， 又由5205201B A y a a x a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩，得1a >-， ()()5252111941+12221AOB S a a a a a ++⎡⎤∴=⋅++⎢⎥+=⎣⋅+⎦△112122⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当()9411a a +=+，即12a =时，取等号． ()4,0A ∴，()0,6B ，AOB∴△的周长为4610OA OB AB ++=+=+ 直线方程为32120x y +-=．（3）直线l 在两坐标轴上的截距均为正整数，即52a +，521a a ++均为正整数，而a 也为正整数， 523211a a a +=+++，2a ∴=， 所以直线l 的方程为390x y +-=．。

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第三章 直线与方程评估验收卷 新人教A 版必修2(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.答案：A2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．2解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m ＝－6. 答案：C3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0.答案：D4．已知点A (0，4)，B (4，0)在直线l 上，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0 解析：设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．已知A (2，4)与B (3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段AB中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0. 答案：D8．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0. 答案：D10．设点A (3，－5)，B (－2，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值X 围是( )A ．k ≥1或k ≤－3B ．－3≤k ≤1C ．－1≤k ≤3D ．以上都不对解析：如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB ＝1，k PA ＝－3，结合图形可知k ≥1或k ≤－3.答案：A11．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 解析：采用赋值法，令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点． 答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A ′(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A ′(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为________．解析：直线的斜率k ＝2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得m ＝2或m ＝3.但当m ＝2时，m 2－4＝0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以m ＝3.答案：314．已知斜率为2的直线经过点A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2， 解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－315．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10；又因为点(1，p )在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2；又因为点(1，p )也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0，即n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，某某数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得点A 的坐标为(－1，0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2)，且k CE ＝－1k AB ＝1，所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C (4，3)，所以|AC |＝|BC |＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 20．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P 且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x ＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2.解得k ＝34. 所以直线方程为3x －4y －10＝0.所以适合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P ，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线，易求其方程为2x －y －5＝0，且最大距离d ＝ 5.(3)由于原点到过点P (2，－1)的直线的最大距离为5，而3>5，故不存在这样的直线．21．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围；(2)证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a ≤－1，故所求a 的取值X 围为a ≤－1.(2)证明：方程可整理成a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；(2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；如图②所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．图① 图②对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |－|P ′B |＝|P ′A |－|P ′B ′|<|AB ′|＝|PA |－|PB ′|＝|PA |－|PB |；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C |>|AC ′|＝|PA |＋|PC ′|＝|PA |＋|PC |.(1)设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a＝－1，所以a ＋3b －12＝0①. 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线上， 所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0②.联立①②得，a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即此时所求点P 的坐标为(2，5)．(2)设点C 关于l 的对称点为C ′，同理可求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以直线AC ′的方程为19x ＋17y －93＝0，解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝019x ＋17y －93＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267，故此时所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。

姓名，年级：时间：第三章3．1 直线的倾斜角与斜率3．1．1 倾斜角与斜率课时分层训练错误!1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（)A．45°,1B．135°,－1C．90°，不存在D．180°,不存在解析：选C 作出图象，故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R;③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A（－2,0),B（－5，3)，则该直线的倾斜角为( ）A．150° B．135°C．75° D．45°解析：选B ∵直线经过点A(－2,0），B(－5,3）,∴其斜率k AB＝错误!＝－1。

设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ＝－1，∴θ＝135°。

4．过两点A（4，y)，B（2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ）A．－错误! B.错误!C．－1 D．1解析：选C tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即错误!＝1，所以y＝－1。

5．已知直线l经过点A（1,2),且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（－1,0］B．[0,1］C．［1,2] D．［0，2］解析：选D 由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2。

故选D。

6。

如图,已知直线l 1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为．解析:因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为错误!×(90°－30°）＝30°。

3.2.1 直线的点斜式方程[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(2,0)的一切直线B ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的一切直线C ．通过点(－2,0)的一切直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的一切直线解析：方程y ＝k (x －2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率．故选B. 答案：B2．斜率为－1，且在y 轴上的截距为1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0 解析：直线的斜截式方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0.故选B. 答案：B3．已知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，则过点M 和N 的直线方程为( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5解析：因为直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 所以直线方程为y －32＝72－323－2(x －2)，即4x －2y ＝5，故选B.答案：B4．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－274解析：由已知方程得y ＝94x －9，故直线l 在y 轴上的截距为－9.答案：B5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝0解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为 －34，则直线l 的方程为________．解析：由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即y ＝－34x ＋72.答案：y ＝－34x ＋727．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析：由3sin α＝cos α，得tan α＝13，∴直线l 的斜率为13.又直线l 在x 轴上的截距为2，∴直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴直线l 的方程为y －0＝13(x －2)，即y ＝13x －23. 答案：y ＝13x －238．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________. 解析：令x ＝0得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，得a ＝83.答案：83三、解答题(每小题10分，共20分) 9．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (－1,4)，倾斜角为60°； (2)经过点B (4,2)，倾斜角为90°； (3)经过原点，倾斜角为60°； (4)经过点D (－1,1)，与x 轴平行．解析：(1)直线斜率为tan60°＝3，所以直线方程为y－4＝3(x＋1)．(2)直线斜率不存在，直线垂直于x轴，所以所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，所以所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，所以直线方程为y＝1.10．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：(1)AB所在直线的方程；(2)AC边所在直线的方程．解析：根据已知条件，画出示意图如图所示．(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于45°，所以k AC＝tan45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.[能力提升](20分钟，40分)11．已知k＋b＝0，k≠0，则直程y＝kx＋b的大致位置是( )解析：方法一因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x ＝－b k＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1,0)．只有选项B 中的图象符合要求．方法二 由直线方程为y ＝kx ＋b ，可得直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .因为k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，即直线的斜率与直线在y 轴上的截距互为相反数．选项A 中，k ＋b >0，不符合要求；选项B 中，k >0，b <0，符合要求；选项C 中，b ＝0，不符合要求；选项D 中，k <0，b <0，k ＋b <0，不符合要求．答案：B12．如果对任何实数k ，直线(3＋k )x －2y ＋1－k ＝0都过一定点A ，那么点A 的坐标是________．解析：直线方程变为k (x －1)＋3x －2y ＋1＝0，当x ＝1时，3x －2y ＋1＝0，y ＝2，所以直线过定点A (1,2)． 答案：(1,2)13．斜率为3的直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 解析：设l 的方程为y ＝3x ＋b ， 令x ＝0得y ＝b ，令y ＝0得x ＝－b3，所以l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3，即b 26＝6，解得b ＝±6， 所以直线l 的方程为y ＝3x ＋6或y ＝3x －6. 14．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f－3≥0，f3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.。

2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则必有( )A.k 1<k 3<k 2B.k 3<k 1<k 2C.k 1<k 2<k 3D.k 3<k 2<k 12.直线x ＋2y －5＝0与2x ＋4y ＋a ＝0之间的距离为5,则a 等于( ) A.0B.－20C.0或－20D.0或－103.若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A.－3B.2C.－3或2D.3或－24.下列说法正确的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B.经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示 D.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示5.点M (4,m )关于点N (n ,－3)的对称点为P (6,－9),则( ) A.m ＝－3,n ＝10 B.m ＝3,n ＝10 C.m ＝－3,n ＝5D.m ＝3,n ＝56.以A (1,3),B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0D.3x ＋y ＋2＝07.过点M (2,1)的直线与x 轴,y 轴分别交于P ,Q 两点,且|MP |＝|MQ |,则l 的方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x ＋y －5＝0D.x ＋2y －4＝08.直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点,则该点的坐标是( ) A.(－2,1)B.(2,1)C.(1,－2)D.(1,2)9.如果AC <0且BC <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1,－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝011.已知点P (a ,b )和Q (b －1,a ＋1)是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y ＝0 B.x －y ＝0C.x ＋y －1＝0D.x －y ＋1＝012.设x ＋2y ＝1,x ≥0,y ≥0,则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( ) A.15,1 B.0,1C.0,15D.15,2二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.不论a 为何实数,直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限. 14.原点O 在直线l 上的射影为点H (－2,1),则直线l 的方程为______________. 15.经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 16.与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17.(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0,分别根据下列条件,求t的值：(1)过点(1,1)；(2)直线在y轴上的截距为－3.19.(12分)光线从A(－3,4)点出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的C点, 18.(12分)直线l过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是18,求此直线的方程.又被y轴反射,这时反射光线恰好过D(－1,6)点,求直线BC的方程.20.(12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方？21.(12分)已知△ABC的顶点A为(3,－1),AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0,∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0,求BC边所在直线的方程.22.(12分)已知直线l过点P(3,1),且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5,求直线l的方程.2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜,故10k <,直线2l 与直线3l 均向右倾斜,且2l 更接近y 轴,所以：1320k k k <<<,故选A. 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D【解析】斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.故选D. 5.【答案】D【解析】由对称关系462n =+,239m -=-,可得m ＝3,n ＝5.故选D. 6.【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(－2,2),且斜率k ＝－3, 可得直线方程为3x ＋y ＋4＝0.故选B. 7.【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点,Q (0,2),P (4,0), 可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0.故选D. 8.【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y －1＝m (x ＋2), 可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1).故选A. 9.【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--,由AC <0且BC <0,可知AB >0,直线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.故选C. 10.【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行,且和点(1,－1)等距,不难求得直线为2x ＋3y ＋8＝0.故选D. 11.【答案】D 【解析】∵k PQ ＝11a bb a+---＝－1,∴k l ＝1.显然x －y ＝0错误,故选D.12.【答案】A【解析】x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, O 到线段AB 的距离的平方为最小值,即d 2＝15,|OB |2＝1为最大值.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】二【解析】直线方程可变形为：(3x －y ＋7)＋a (x ＋2y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0x ＋2y ＝0得,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线过定点(－2,1).因此直线必定过第二象限. 14.【答案】2x －y ＋5＝0【解析】所求直线应过点(－2,1)且斜率为2,故可求直线为2x －y ＋5＝0. 15.【答案】y ＝－25x 或x ＋y ＋3＝0【解析】不能忽略直线过原点的情况. 16.【答案】3x ＋4y －4＝0【解析】所求直线可设为3x ＋4y ＋m ＝0,再由－3m －4m ＝73,可得m ＝－4.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】(1)3；(2)95.【解析】(1)代入点(1,1), 得2＋(t －2)＋3－2t ＝0,则t ＝3.(2)令x ＝0,得y ＝232t t --＝－3,解得t ＝95.18.【答案】2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1,则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 19.【答案】5x －2y ＋7＝0. 【解析】如图所示,由题设,点B 在原点O 的左侧,根据物理学知识,直线BC 一定过(－1,6)关于y 轴的对称点(1,6),直线AB 一定过(1,6)关于x 轴的对称点(1,－6)且k AB ＝k CD , ∴k AB ＝k CD ＝4631+--＝－52.∴AB 方程为y －4＝－52(x ＋3). 令y ＝0,得x ＝－75,∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.CD 方程为y －6＝－52(x ＋1). 令x ＝0,得y ＝72,∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴BC 的方程为75x -＋72y＝1,即5x －2y ＋7＝0.20.【答案】见解析. 【解析】如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P , 若P ′(异于P )在直线上,则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |. 因此,供水站只有在P 点处,才能取得最小值,设A ′(a ,b ), 则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处. 21.【答案】2x ＋9y －65＝0. 【解析】设B (4y 1－10,y 1),由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上,可得：114716+1059=22y y --⋅⋅-0,y 1＝5, 所以B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′,y ′), 则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1,7),∵点A ′(1,7),B (10,5)在直线BC 上,∴51075110y x --=--,故BC ：2x ＋9y －65＝0. 22.【答案】x ＝3或y ＝1.【解析】若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x ＝3,此时与直线l 1,l 2的交点分别为A (3,－4),B (3,－9).截得的线段AB 的长为|AB |＝|－4＋9|＝5,符合题意. 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为|AB |＝5,所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解得k ＝0,即所求直线为y ＝1.综上所述,所求直线方程为x ＝3或y ＝1.。

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线4x ＋2y －2＝0与直线3x ＋y －2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(1，－1)D ．(1,1) 【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y －2＝0，3x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B二、填空题6．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为__________．【解析】 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM |＝|PN |， 即＋＋＋4＋＝ －＋＋4－，解得a ＝－32， 故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 7．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】 设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)三、解答题8．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程.【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝－，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)【解析】 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．【答案】 A11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图3­3­2.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图3­3­2【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a2＋ac ＋c2，同理|CD |＝a2＋ac ＋c2，所以|AE |＝|CD |.。

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。

第三章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．设{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )A．a B．bC．c D．a或b【答案】C【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底．2．已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为( )A．(－1，－3,2) B．(1,3，－1)C．(1,3,1) D．(－1,3,1)【答案】B【解析】AB→＝(1,0,1)，AC→＝(－1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝x＋z＝0，n·AC→＝－x＋y＋2z＝0，n＝(1,3，－1)为平面ABC的法向量．故选B．3．设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，则△BCD是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】C【解析】由AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，可知AB→⊥AC→，AB→⊥AD→，AC→⊥AD→，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形．4．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°【答案】C【解析】cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2－25·6＝0，∴a 与b 的夹角为90°.5．(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于t ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →等于( )A ．32t 2 B ．34t 2C ．12t 2D ．14t 2【答案】D【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝t ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.又AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，故AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(t 2cos 60°＋t 2cos60°)＝14t 2.6.已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.2 B.102 C.22 D.322【答案】D【解析】PA ＝(－2,0，－1)，|PA |＝5，PA ·n |n |＝－22，则点P 到直线l 的距离为|PA |2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ·n |n |2＝5－12＝322.7．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12c【答案】B【解析】如图，MN →＝MO →＋OC →＋CN →＝23AO →＋OC →＋12CB →＝－23a ＋c ＋12(b －c )＝－23a ＋12b ＋12c .8．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A ．652B ．65C ．4D ．8【答案】B【解析】|a|＝3，|b|＝3，而a ·b ＝4＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝49，故sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝659，于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝|a||b |sin 〈a ，b 〉＝3×3×659＝65.故选B ．9．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A ．52，－12，－1B ．52，12，1C ．－52，12，1D ．－52，－12，－1【答案】A【解析】d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 2，由空间向量基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3.解得x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故选A ．10．(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，CC 1＝2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．77C ．12D ．32【答案】A【解析】取线段A 1B 1，AB 的中点分别为O ，D ，则OC 1⊥平面ABB 1A 1，∴可以以OB 1→，OC 1→，OD →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ，如图，则A (－1,0，2)，B 1(1,0,0)，B (1,0，2)，C 1(0，3，0)，∴AB 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(－1，3，－2)．∵AB 1→·BC 1→＝(2,0，－2)·(－1，3，－2)＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即异面直线AB 1和BC 1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A ．11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是( )A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的法向量D.AP∥BD【答案】ABC【解析】∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则C正确.∵BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP ＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故D错误.12.(多选题)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )A.A1D与B1D1是异面直线B.A1D与EF所成角的大小为45°C.A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为13D.二面角CD 1B 1B 的余弦值为63【答案】AD【解析】易知A 正确；如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1).对于B ，∵A 1D ＝(－1,0，－1)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴|A 1D |＝(－1)2＋0＋(－1)2＝2，|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋0＝22，A 1D ·EF ＝12＋0＋0＝12，故cos 〈A 1D ，EF 〉＝A 1D ·EF|A 1D |·|EF |＝12，可知向量A 1D 与EF 的夹角为60°，所以A 1D与EF 所成角的大小为60°，B 错误；对于C ，∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，∴AB 是平面B 1EB 的法向量，∵AB ＝(0,1,0)，A 1F ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，∴|AB |＝1，|A 1F |＝32，A 1F ·AB ＝12，故cos 〈A 1F ，AB 〉＝13，∴A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为223，C 错误；对于D ，∵AC 1⊥平面B 1D 1C ，∴AC 1是平面B 1D 1C 的法向量，又AC 为平面B 1D 1B 的法向量，故AC 1与AC 所成的角等于二面角C －D 1B 1－B ，∵AC 1＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，则|AC 1|＝3，|AC |＝2，AC 1·AC ＝2，∴cos 〈AC 1，AC 〉＝63，∴二面角C －D 1B 1－B 的余弦值为63，D 正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2017年上海)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量DB1→的坐标为(4,3,2)，则向量AC1→的坐标是________．【答案】(－4,3,2)【解析】由DB1→的坐标为(4,3,2)，可得A(4,0,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,2)，则C1(0,3,2)，∴AC1→＝(－4,3,2)．14．已知平面α经过点O(0,0,0)且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是__________________．【答案】x＋y＋z＝0【解析】OM→·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.15.已知向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，则3a－2b＝，a与b所成角的余弦值为.【答案】(5,13，－28) －7138 230【解析】3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28).a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a|＝32＋52＋(－4)2＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b|＝－2150×69＝－7138230.16．(2019年吉林长春期末)在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为________．【答案】55【解析】以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0，0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·DF→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2,0,1)．设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|PA →·n ||PA →||n |＝55.∴直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，得－λ＋2μ＝0.∴当λ，μ满足－λ＋2μ＝0时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直．18．(12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b ＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－1＋0＋02×5＝－1010.∴a 和b 的夹角的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)．∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝0. 即2k 2＋k －10＝0.∴k ＝－52或k ＝2. 19．(12分)(2019年福建龙岩期末)如图，在多面体ABCA 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1ABC 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C ．证明：(1)∵二面角A 1ABC 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，∴AA 1⊥平面BAC ． 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ． ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．∴A 1B 1→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC →＝(2,0,0)．设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C ．(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1→＝(1,1,0)，A 1C →＝(2,0，－2)． 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0.令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0.∴AB 1→⊥m .又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．20.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长.【解析】(1)证明：由DE⊥平面PAC，得DE⊥PA.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.又CD∩DE＝D，所以PA⊥平面PCD.(2)解：取AD的中点O，连接PO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(1)得PA⊥PD，由AD＝2得PA＝PD＝2，PO＝1.设CD＝a，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，－1,0)，则BC＝(－a,2,0)，PC＝(a,1，－1).设m ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，由⎩⎨⎧m ·BC ＝0，m ·PC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋2y ＝0，ax ＋y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝a ，z ＝3a ，故m ＝(2，a,3a )为平面PBC 的一个法向量. 由(1)知n ＝DC ＝(a,0,0)为平面PAD 的一个法向量.由|cos 〈m ，n 〉|＝m ·n|m ||n |＝|2a |a10a 2＋4＝22，解得a ＝105，即CD ＝105.所以在Rt △PCD 中，PC ＝2155. 由等面积法可得DE ＝CD ·PDPC ＝33.21．(12分)(2019年广东广州期末)如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．解：(1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC ．∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC ．如图，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，BD ＝12AE ＝2，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4，0,4)． ∴AB →＝(－4,4,0)，CE →＝(4,0,4)． ∴cos 〈AB →，CE →〉＝－1642×42＝－12.∴AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)，∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·OD→＝0，n ·MD→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，则n ＝(2,1,1)． 设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CD →〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝3010.∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.22.(12分)(2020年福建泉州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置，使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A 1CP ⊥平面A 1BE ； (2)求二面角BA 1PD 的余弦值.【解析】(1)证明：如图，连接AP ，PC .∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，∴BE ＝4，∠ABE ＝30°，∠EBC ＝60°，BP ＝2. ∴PC ＝23.∴BP 2＋PC 2＝BC 2.∴BP ⊥PC .∵A 1P ＝AP ＝2，A 1C ＝4，∴A 1P 2＋PC 2＝A 1C 2. ∴PC ⊥A 1P .∵BP ∩A 1P ＝P ，∴PC ⊥平面A 1BE . ∵PC ⊂平面A 1CP ，∴平面A 1CP ⊥平面A 1BE .(2)解：如图，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0，3)，P (0,0,0)，D (－4，23，0)，∴PA 1＝(－1,0，3)， PD ＝(－4,23，0).设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·PA 1＝0，m ·PD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0.取x ＝3，得m ＝(3，2,1).易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22.由图可知二面角BA 1PD 是钝角， ∴二面角BA 1PD 的余弦值为－22.。