反比例讲义的意义

第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。

要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。

如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。

2.正比例关系的图像。

正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。

3.反比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。

4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。

关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。

如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。

【诊断自测】1.填空。

（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。

（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。

（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。

（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。

2.选择。

（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。

A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。

B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。

C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。

（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。

A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。

六年级数学下册比例讲义知识点1．正比例和反比例的意义【知识点归纳】1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：=k（一定）．2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）．【命题方向】常考题型：例1：y﹣x=0，y与x（）A、成正比例B、成反比例C、不成比例D、无法确定例2：长方形的面积一定，长和宽（）A、成正比例B、成反比例C、不成比例知识点2．辨识成正比例的量与成反比例的量【知识点归纳】1．成正比例的量：（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．（2）相对应的两个数的比值（商）一定．（3）关系式：=k（一定）．2．成反比例的量：（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．（2）相对应的两个数的乘积一定．（3）关系式：xy=k（一定）．3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．【命题方向】常考题型：例：下列x和y成反比例关系的是（）A、y=3+xB、x+y=C、x=yD、y=典型例题例1．长方形的面积一定，长和宽（）A．成正比例B．成反比例C．不成比例例2．下列式子中（a、b都不为0），a和b成反比例的是（）A．9×a=2×b B．a×﹣4÷b=0C．a=D．a×7=例3．下列关系式中x、y 都不为0，则x与y不是成反比例关系的是（）A．x=B．y=3÷x C．x=×πD．x=例4．成反比例的两个量在变化时的规律是它们的（）不变．A．积B．商C．和例6．如图的图象表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程与耗油量的关系．①这辆汽车行驶的路程和耗油量成比例．②根据图象判断，行驶150千米需耗油升．（1）若长方形的宽是8厘米，长是厘米；若长是8厘米，宽是厘米．（2）这些长方形的宽与长成比例．如果用y表示长，x表示宽，则y=．（3）这样的长方形中，当周长是70厘米时，它的长和宽各是多少？（列式解答）例8．一种服装布料每米售价为60元，购买2米、3米、…各需要多少元？（3）购买布匹的长度和需要的钱数有什么关系？（4）根据图象判断，购买2.5米布匹需要多少钱？例9．右面的图象表示小军骑车的路程和时间的关系．）小军骑车行驶的路程和时间成比例，这是因为：．千米大约需要分钟．甲地到乙地K1214：2622：268时640千米（1）将表格补充完整，根据表中的数据，在图中描点再顺次连接．（2）量没变，数量和总价之间成比例．（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要元钱？达标检测1．如果x=y，那么与y成（）比例．A．正B．反C．不成D．无法确定2．买同样的书，花钱的总价与（）成正比例．A．书的本数B．书的页数C．书的单价D．不能确定3．下面关系式，（）中X与Y不成正比例．A．X×=3B．5X=6Y C．4÷X=Y D．X=Y4．如果a：b=7：8，那么a和b（）A．成正比例B．成反比例C．不成比例5．下面构成正比例的是（）A．总页数一定，每天看的页数与天数B．长方形周长一定，长和宽C．x=y，x与y6．被除数一定，除数和商成比例．7．速度一定，时间和路程成正比例．（判断对错）8．如果A÷B=C，当A一定时，B 和C成比例．当B一定时，A和C成比例．9．按要求回答问题．a、b是相关联的两个量，并且a=，请补充下表，并且判断a与b成什么比例关系．成比例关系．10．根据下面的3张表，按要求回答问题．表1中的两种量，表2中的两种量，表3中的两种量．A．成正比例B．成反比例C．不成正比例，也不成反比例（2）根据成正比例的量的数据，在下图中描出所对应的点，再连起来．根据图象判断，装订6本练习本要用张纸，175张纸能装订本．课后作业【巩固练习】1．下列两种量的关系成正比例关系的是（）A．圆的半径和圆的面积B．写字总数一定，写一个字所用时问和写字总时间C．写字总数一定，每分钟写字个数和写字总时间D．两个互相咬合的齿轮，齿轮的齿数和转数2．成正比例的两种量中，一种量扩大，另一种量（）A．随着扩大B．随着缩小C．不变从表中我发现了，车费和人数比例关系．4．如果下表中的X与Y成正比例，那么表中的括号应填，如果X与Y成反比例，表中的括号应5．已知6x=4y，x和y成比例，已知=，x和y成比例．6．如果a=（c≠0），那么一定时，和成反比例；一定时，和c成正比例．表中每天看的页数和所用天数的规律是；每题要看的页数和看的天数成比，如果每天看30页，则要天；如果用了15天，则每天看页．8．一辆汽车2时行驶160千米，照这样的速度，行驶80千米、240千米、320千米…所需的时间分别填入（1）所描的点连线，你发现：（2）这些数量中不变．（3）路程和时间成比例．（4）估计4.5时行驶千米．因为一定，随着变化而变化．增加，随着增加；减少，随着减少，并且和的一定，与成比例．（2）把上表中的数据在下面的方格纸上表示出来．（3）连接各点，你发现什么？（4）表中的数量和时间有什么关系？（5）估计一下，2.5小时大约做多少个零件？5.5小时呢？。

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

例如，速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系为 s ＝ vt，当路程一定时，即 s 为常数时，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝s/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中，自变量 x 不能等于 0，因为分母不能为 0。

同时，反比例函数的表达式还可以写成 xy ＝ k 或 y ＝ kx^（－1) 的形式。

二、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以它的图像在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

我们可以通过列表、描点、连线的方法来画出反比例函数的图像。

在列表时，要选取一些具有代表性的点，比如 x 取 1、2、－1、－2 等等，然后计算出对应的 y 值，再描点连线。

三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

对称中心是坐标原点（0，0）。

2、增减性前面我们提到了，当k＞0 时，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

需要注意的是，这里说的增减性是在每个象限内，而不是在整个定义域内。

3、渐近线反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

当 x 趋近于正无穷大或负无穷大时，y 趋近于 0；当 y 趋近于正无穷大或负无穷大时，x 趋近于 0。

四、反比例函数中 k 的几何意义设 P（x，y）是反比例函数 y ＝ k/x 图像上的任意一点，过点 P 作x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积S ＝ PM·PN ＝｜xy| ＝｜k|。

正比例和反比例的课堂讲义教材导入：1.两种相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。

2.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

高度和底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。

（一）正比例的意义例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表：填空：1、表中有和两种量，当时间是1小时，路程是当时间是2小时，路程是，这说明时间这种量变化了，路程这种量也。

2、观察表格：我们从左往右观察，时间扩大2倍，对应的路程也倍，时间扩大3倍，对应的路程也倍……从右往左观察，时间缩小8倍，对应的路程也；时间缩小7倍，对应的路程也……通过观察，我们发现路程是随着的变化而变化的。

时间扩大路程也扩大，时间缩小路程也。

它们扩大、缩小的规律是。

3、比值60，实际上是火车的：将这些式子所表示的意义写成一个关系式：路程＝速度(—定)。

时间4、小结：通过刚才的观察和分析．我们知道路程和时间是两种 的量。

(两种相关联的量。

)路程和时间这两种量的变化规律是 。

(路程和时间的比的比值(速度)总是一定的。

)【规律方法】理解成正比例的意义。

判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。

不要省去任何一步。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：xy= K （一定）。

【变式训练1】【难度分级】 A1、下面各题中哪两种量成正比例?为什么? ①笔记本单价一定，数量和总价。

②汽车行驶速度一定，行驶的路程和时间。

③工作效率一定，工作时间和工作总量。

反比例的意义1. 引言反比例，又称为反比关系，是指两个变量之间的关系，当一个变量增加时，另一个变量会相应减少，并且呈现出一条特定规律的曲线。

反比例关系在日常生活中广泛存在，对于理解和应用于各个领域均具有重要的意义。

本文将探讨反比例的意义以及其在不同领域中的应用。

2. 数学中的反比例关系在数学中，反比例关系可以用一个简单的数学表达式表示，如下所示：y = k/x其中，y和x是两个变量，k是常数。

当x增大时，y会相应减小，具有反比例的关系。

这种关系在数学中具有重要的意义，不仅可以用于解决实际问题，还有助于深入理解数学概念。

3. 物理学中的反比例关系反比例关系在物理学中也具有重要的意义。

以牛顿运动定律中的万有引力定律为例，根据定律可以推导出两个物体之间的引力与它们之间距离的平方成反比。

这个反比例关系对于研究天体运动和行星的轨道等宇宙现象具有非常重要的意义。

4. 经济学中的反比例关系在经济学中，反比例关系也经常出现。

例如，某种商品的需求量与商品的价格之间存在反比例关系，在价格上涨时需求量减少，价格下跌时需求量增加。

这种反比例关系在经济学中对于研究供需关系和市场机制具有重要的意义。

5. 工程学中的反比例关系反比例关系在工程学中也有广泛的应用。

例如，电阻和电流之间的关系可以表示为反比例关系，当电阻增加时，电流减小。

这个反比例关系在电路设计和电子工程中具有重要的意义，可以用于控制电流大小和电路的稳定性。

6. 生活中的反比例关系反比例关系在日常生活中也随处可见。

例如，我们常见的行驶速度和行驶时间之间存在反比例关系，行驶速度越快，所需行驶的时间越短。

同样地，人均工作时间和产出之间也存在反比例关系，工作时间越长，单位时间的产出越低。

7. 结论反比例关系在数学、物理学、经济学、工程学以及日常生活中都具有重要的意义。

它不仅在解决实际问题中起到关键作用，还有助于我们深入理解各个领域的相关概念和原理。

因此，对于学习和了解反比例关系的意义具有重要的价值。

反比例的意义教材分析：“反比例的意义”是在学生学过“正比例的意义”的基础上，让学生理解反比例的意义，并会判断两个量是否成反比例关系，加深对比例的理解。

学情分析：在此之前，学生学习了正比例的意义，对“相关联的量”、“成正比例的两个量的变化规律”、“如何判断两个量是否成正比例”已经有了认识，这为学习“反比例的意义”奠定了基础。

教学目标：1、使学生理解反比例的意义,能正确判断成反比例关系的量。

2、经历反比例意义的构建过程，培养学生的探索发现能力和归纳概括能力。

3、使学生体会反比例与生活的联系，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。

教学重点：引导学生正确理解反比例的意义。

教学难点：正确判断两种量是否成反比例。

教学准备：小黑板教学过程：一、复习旧知，感受新知情景游戏：对口令（1）同样的面包单价：2元∕个。

老师说个数，学生对总价（对口令的同时用小黑板展示出下表）。

表1反馈：面包的总价与个数成正比例。

因为它们是两种相关联的量，面包个数扩大或缩小，总价也随着扩大或缩小，并且它们的比值（单价）一定。

根据学生的回答板书，成正比例的量所具有的三个特征：①两种相关联的量②变化有规律③一定的量（2）共有30个苹果分给小朋友。

老师说出小朋友的人数，学生回答分得的苹果个数。

（对口令的同时用小黑板展示出下表）表2教师小结：也就是说每天生产的吨数和需要生产的天数是有联系的两个数量。

那么每天生产的吨数和需要生产的天数是怎样变化的？学生：每天生产的吨数越多，需要生产的天数就越少。

2、小组合作，探索新知谈话：原来每天生产的吨数和需要生产的天数有这样的关系。

现在和小组内的同学从两种量中找出几组对应的数，算出工作总量和工作时间的乘积，看看有什么新的发现？学生在小组内列举数据，求出乘积，交流自己的发现，在此基础上全班汇报。

教师根据学生的汇报适时进行板书：100×60＝6000 200×30＝6000 300×20＝6000 ……学生发现每天生产的吨数和需要生产的天数的乘积都是6000，也就是一定的。

《反比例》教学设计与反思隘子中心小学李文婷【教学内容】《义务教育课程数学》（北京师范大学出版社）第四单元正比例和反比例【教学目标】1、通过感知生活中的事例，理解并掌握反比例的意义，能够初步的判断两种相关联的量是否成反比例。

2、培养学生的逻辑思维能力。

3、渗透数学源于生活的观点。

【设计说明】成反比例的量是《义务教育课程数学》（北师大版）第四单元正比例和反比例中的内容。

这部分内容是对小学阶段学习的数量关系的概括与总结，也是初中学习反比例函数的铺垫，可以说这部分内容起着承上启下的作用。

反比例的意义是一个让学生学起来很难懂，学过之后又非常容易遗忘的内容，这是因为：1、反比例很抽象，只要满足“X×Y=K（一定）”，两种相关联的量就成反比例关系，学生需要对两种量先要进行分析判断，思维含量高。

2、反比例的事例生活中有，但并不常用。

3、学生对反比例的意义记忆的成分多，理解与应用远远不如计算强，不会举一反三。

基于这样的想法，对教材做了一些校本化处理，以期达到使学习的内容既贴近学生的生活经历，引起学生学习的兴趣，又能理解并掌握反比例的目的。

设计如下：首先从谈话引入，讲一讲老师小时候花钱买东西的事情：用1角钱买糖果，买的糖果越多，糖果越便宜；买的糖果越少，糖果越贵。

既渗透了反比例的意义，又拉近了与学生学习知识的距离，让学生体会到生活中有这样的事情，从而为学习反比例知识做铺垫。

然后列举生活中的两个事例，探索并概括规律，总结反比例的意义。

事例一用100元换整元整元的人民币可以换多少张？10事例二与学生谈话说说上学乘坐的交通工具，让学生猜猜数学老师乘坐哪种交通工具上班，引出数学老师骑车上班的事例，并给出表格：根据表格提供的数据，算算从周二到周四的时间分别是多少？（可以使用计算器）事例三5月份，五年级搞了一次社会实践活动，和学生一起回顾军旅双日游发生的事，运用反总结前面说过的三个事例，学会用字母表示反比例关系：X×Y＝K（一定）总的说来，人民币是学生最熟悉的，用事例一作学习材料，既便于操作，又容易发现规律，直观易懂。