空间点线面的关系的判定及性质

空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。

5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。

方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。

特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。

7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。

8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。

特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。

9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。

特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。

10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。

空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理： 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) (公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．(公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；) 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面平行的判定定理和性质定理∵∴∵＝∴2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？4．平面与平面平行的判定定理和性质定理∵＝ 提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 突破点 一1.点共线问题,一般转化为证明这些点的某两个平面点公共点,再根据公理3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．）证明这些点都在这两个平面的交线上.2.线共点问题 ，证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这点，把问题转化为证明点再直线上。

3.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其他元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

空间点线面位置关系及平行判定及性质【知识点梳理】1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线6．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒（4）面面平行的性质定理如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行 //αβ，a αγ=，//b a b βγ=⇒（5）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行a α⊥，//b a b α⊥⇒7．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）面面平行的性质定理如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒8．平面与平面平行（1）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，ab A =，//a β，////b βαβ⇒（2）垂直于同一直线的两个平面互相平行 a α⊥，//a βαβ⊥⇒【典型例题】题型一：点线面的关系用符号表示、判断异面直线 例1．给定下列四个命题①,,//,////a b a b ααββαβ⊂⊂⇒ ②,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥ ③,//l m l n m n ⊥⊥⇒ ④,,,l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④变式1．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题： ①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ； ③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n其中真命题的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0题型二：以中位线为突破口的平行证明问题例2．如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：//DE 平面BCP变式1．如图，在四面体PABC 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,AP AC ，,BC PB 的中点，求证：四边形EEFG 为平行四边形变式2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BAC 90∠=，11AB AC AA ===，延长11A C 至点P ，使111C P A C =，连接AP 交棱1CC 于D ．求证：1//PB 平面1BDA ；题型三：以平行四边形为突破口的平行证明问题例3．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，//EF AC ，2AB =，1CE EF ==，求证：//AF 平面BDE变式1．在三棱柱111C B A ABC -中，直线1AA 与底面ABC 所成的角是直角，直线AB 与11B C 所成的角为45，90BAC ∠=，且1AB AA =，,,D E F 分别为11,,B A CC BC 的中点．求证：//DE 平面ABC ；题型四：三种平行之间的相互关系与转化例4．如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，2,4AB BC ==，,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ；变式1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，2AB a =，1AD AA a ==，求证: //MN 面11ADD A题型五：探究性问题例5．如图所示，直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，2AB =，1AD CD ==，在线段AB 上是否存在点P （异于,A B 两点），使得//CP 平面1111A B C D ？证明你的结论变式1．如图，直三棱柱11ABB DCC -中，190ABB ∠=，14,2,1AB BC CC ===，DC 上有一动点P ，1CC 上有一动点Q ，讨论：无论,P Q 在何处，都有//PQ 平面1ABB ，并证明你的结论【方法与技巧总结】1．熟记立体几何证明中的多个公理，推理，判定定理以及性质定理2．熟练掌握空间中点线面的位置关系的符号表示，并能够适当灵活转化为中文以便理解，在此建立空间的想象能力和空间感，进一步把符号转化为立体图象加以记忆3．熟记平行证明中常用的判定定理和性质定理，特别重视三角形中位线定理和平行四边形性质定理的应用4．应用三角形中位线定理和平行四边形性质定理，证明线线平行，从而得出线面平行或面面平行，重视线线平行证明的重要性5．掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化【巩固练习】1．下面命题中正确的是( )．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是( )．A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面3．在空间中，下列命题正确的是( )．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解答题：1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.2、如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；4、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.5、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．6、如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．。

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积2S rl rππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl Rππππ=+++⑤球的表面积24S Rπ=⑥扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积①柱体的体积V S h=⨯底②锥体的体积13V S h=⨯底③台体的体积1)3V S S h=+⨯下上（④球体的体积343V Rπ=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。