2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考(二)数学理科卷

天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考（二）数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若是虚数单位，则复数（）A．-1 B．1 C．D．2. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A．B．C．D．3. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A．B．C．D．4. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．5. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的虚轴长是（）A．B．C．3 D．66. 若函数是偶函数，则的最小值为（）A．B．C．D．7. 已知，是单位圆上的两个动点，，.若是线段的中点，则的值为（）A．B．1C．D．28. 已知函数（）的图象关于直线对称且，如果存在实数，使得对任意的都有，则的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题9. 设集合，，则__________．10. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图为等边三角形，则该几何体的体积为__________．11. 若曲线在处的切线与直线平行，则实数__________．12. 已知两圆和相交于，两个不同的点，且直线与直线垂直，则实数__________．13. 若，，且，则的最小值为__________．14. 函数的定义域为实数集，对于任意的，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题15. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16. 某钢厂打算租用，两种型号的火车车皮运输900吨钢材，，两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且型车皮不多于型车皮7个，分别用，表示租用，两种车皮的个数.（Ⅰ）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用，两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.17. 如图，点是菱形所在平面外一点，，是等边三角形，，，是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面的所成角的大小.18. 已知等差数列的公差，首项，，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）为数列的前项和，比较与的大小.19. 已知椭圆：（）与轴交于，两点，为椭圆的左焦点，且是边长为2的等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴交于点，求面积的取值范围.20. 已知函数，.（Ⅰ）若，求函数在的单调区间；（Ⅱ）方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合.。

2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R NC M = （ ）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ）①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”；③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)m x -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．D ．7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 . 11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t=⎧⎨=+⎩ （t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDF，则p 的值为 .14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=， 点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题615．（本小题满分13 （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯正视图ACBDEF EP ED EC DB AA C形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为AG 的长. 18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a n S nn n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)。

• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x≤5}，则(A ∪B)∩C= ( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{ x ∈R|-1≤x≤5}1.B 【解析】 (A ∪B)∩C={1，2，4，6}∩[1,5]={1,2,4}．故选B ．2. (2017年天津理)设变量x,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+y≥0，x+2y-2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z=x+y 的最大值为（ ） A. 23B.1C. 32D.32. D 【解析】画出不等式组表示的平面区域（图略），则可行域为四边形ABCD 及其内部，其中A （0，1），B （0，3），C （-32，3），D （-23，43），易得直线y=-x+z 过点B （0，3）时，z=x+y 取最大值为3.故选D ．3. (2017年天津理)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（ ）A.0B.1C.2D.33. C 【解析】初始N=19，进入循环后N 的值依次为N=18,N=6,N=2，结束循环，输出N=2.故选C ．4. (2017年天津理)设θ∈R ，则“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. A 【解析】|θ-π12|＜π12⇔0＜θ＜12，但θ=0时，sin θ=0＜12，不满足|θ-π12|＜π12，所以“|θ-π12|＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件.故选A.5. (2017年天津理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A. x 24-y 24=1B. x 28-y 28=1C. x 24-y 28=1D. x 28-y 24=15. D 【解析】由题意得a=b ，4-00-（-c ）=1⇒c=4，a=b=22⇒x 28-y 28=1.故选B ．6. (2017年天津理)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a,b,c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a6. C 【解析】因为f （x ）是奇函数且在R 上是增函数，所以当x ＞0时，f （x ）＞0，从而g （x ）=xf （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，a=g(-log 25.1)= g(log 25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log 25.1＜3，所以0＜20.8＜log 25.1＜3，g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3），所以b ＜a ＜c.故选C.7. (2017年天津理)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A. ω=23，φ=π12B. ω=23，φ=-11π12 C. ω=13，φ=-11π24D. ω=13，φ=7π247. A 【解析】由题意得⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2，11ωπ8+φ=k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω=43（k 2-2k 1）-23，又T=2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=23，11212k ϕ=π+π，由|φ|＜π得φ=π12，故选A ．8. (2017年天津理)已知函数f （x ）=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x+3，x≤1，x+2x ，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥|x2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.[-4716，2]B.[-4716，3916]C. [-23，2]D. [-23，3916]8. A 【解析】不等式f （x ）≥|x 2+a|可化为-f （x ）≤x2+a≤f （x ），（*）当x≤1时，（*）式即-x 2+x-3≤x 2+a≤x 2-x+3，即-x 2+x 2-3≤a≤x 2-32x+3，又-x 2+x 2-3=-（x-14）2-4716≤-4716（当x=14时取等号），x 2-32+3=（x-34）2+3916≥3916（当x=34时取等号），所以-4716≤a≤3916，当x ＞1时，（*）式为-x-2x ≤x 2+a≤x+2x ，-32x-2x ≤a≤x 2+2x .又-32x-2x =-（32x+2x ）≤23（当x=233时取等号），x 2+2x ≥2x 2·2x =2（当x=2时取等号），所以-23≤a≤2．综上，-4716≤a≤2．故选A ．9. (2017年天津理)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a-i2+i 为实数，则a 的值为___________．9. -2 【解析】a-i 2+i =(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i 5=2a-15-a+25i 为实数，则a+25=0,a=-2．10. (2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．10. 9π2 【解析】设正方体的边长为a ，则6a 2=18⇒a=3，其外接球直径为2R=3a=3，故这个球的体积V=43πR 3=43π×278=9π2．11. (2017年天津理)在极坐标系中，直线4ρcos （θ-π6）+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为___________．11. 1 【解析】直线为23x+2y+1=0，圆为x 2+（y-1）2=1，因为d=34＜1，所以有两个交点．12. (2017年天津理)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab 的最小值为___________．12. 4 【解析】a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥24ab·1ab=4，前一个等号成立的条件是a 2=2b 2，后一个等号成立的条件是ab=12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2=22，b 2=24时取等号．13. (2017年天津理)在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD =2→DC ，→AE =λ→AC -→AB （λ∈R ），且→AD ·→AE=-4，则λ的值为___________． 13. 311 【解析】由题可得→AB ·→AC =3×2×cos 60°=3，→AD =13→AB +23→AC ，则→AD ·→AE =（13→AB +23→AC ）（λ→AC -→AB ）=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4 λ=311．14. (2017年天津理) 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）14. 1 080 【解析】A 4 5+C 1 4C 3 5A 44=1 080.15. (2017年天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a=5，c=6，sin B=35．（1）求b 和sin A 的值； （2）求sin （2A+π4）的值．15. 解：（1）在△ABC 中，因为a ＞b ，故由sin B=35，可得cos B=45. 由已知及余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B=13，所以b=13. 由正弦定理a sin A =b sin B ，得sin A=asin B b =31313. 所以，b 的值为13，sin A 的值为31313. （2）由（1）及a ＜c ，得cos A=21313，所以sin 2A=2sin Acos A=1213，cos 2A=1-2sin 2A=-513. 故sin （2A+π4）=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7226.16. (2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 16.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3． P （X=0）=（1-12）×（1-13）×（1-14）=14，P （X=1）=12×（1-13）×（1-14）+（1-12）×13×（1-14）+（1-12）×（1-13）×14=1124， P （X=2）=（1-12）×13×14+12×（1-13）×14+12×13×（1-14）=14， P （X=3）=12×13×14=124. 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E （X ）=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.（2）设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为P （Y+Z=1）=P （Y=0，Z=1）+P （Y=1，Z=0）=P （Y=0）P （Z=1）+P （Y=1）P （Z=0）=14×1124+1124×14=1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．17. (2017年天津理)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC=90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2． （1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C -EM -N 的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．17.解：如图，以A 为原点，分别以→AB ，→AC ，→AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）．（1）易得→DE =（0，2，0），→DB =（2，0，2-）． 设n =(x,y,z)为平面BDE 的法向量，则⎩⎨⎧n ·→DE =0，n ·→DB =0，即⎩⎨⎧2y=0，2x-2z=0. 不妨设z=1，可得n =（1，0，1）．又→MN =（1，2，1-），可得→MN ·n =0． 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ． （2）易知n 1=（1，0，0）为平面CEM 的一个法向量.设n 2=（x ，y ，z ）为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2·→EM =0，n 2·→MN =0，因为→EM =（0，-2，-1），→MN =（1，2，-1），所以⎩⎨⎧-2y-z=0，x+2y-z=0.不妨设y=1，可得n 2=（-4，1，-2）.因此有cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-421，于是sin<n 1,n 2>=10521.所以，二面角C-EM-N 的正弦值为10521.（3）依题意，设AH =h （0≤h≤4），则H （0，0，h ），进而可得→NH =（-1，-2，h ），→BE =（-2，2，2）．由已知，得|cos<→NH ,→BE >=→NH ·→BE |→NH ||→BE |=|2h-2|h 2+5×23=721， 整理得10h 2-21h+8=0，解得h=85或h=12．所以，线段AH 的长为85或12．18. (2017年天津理)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *)．18.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12，得b 1（q+q 2）=12，而b 1=2，所以q 2+q-6=0. 又因为q ＞0，解得q=2.所以b n =2n.由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8，① 由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，②联立①②，解得a 1=1,d=3，由此可得a n =3n-2．所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n-2，数列{b n }的通项公式为b n =2n．（2）设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ，由a 2n =6n-2，b 2n-1=2×4n-1，有a 2n b 2n-1=（3n-1）×4n ， 故T n =2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+…+（3n-1）×4n +(3n-1)×4n+1， 上述两式相减，得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)×4n+1=12×（1-4n）1-4-4-（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8，得T n =3n-23×4n+1+83． 所以，数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n-23×4n+1+83．19. (2017年天津理)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 19.解：（1）设F 的坐标为（-c ，0）．依题意，c a =12，p 2=a ，a-c=12，解得a=1，c=12，p=2，于是b 2=a 2-c 2=34． 所以，椭圆的方程为x 2+4y 23=1，抛物线的方程为y 2=4x ． （2）设直线AP 的方程为x=my+1（m≠0），与直线l 的方程x=-1联立，可得点P （-1，-2m ），故Q （-1，2m ）． 将x=my+1与x 2+4y 23=1联立，消去x ，整理得（3m 2+4）y 2+6my=0， 解得y=0或y=-6m3m 2+4．由点B 异于点A ，可得点B （-3m 2+43m 2+4，-6m 3m 2+4）．由Q （-1，2m ），可得直线BQ 的方程为（-6m 3m 2+4-2m ）（x+1）-（-3m 2+43m 2+4+1）（y-2m ）=0， 令y=0，解得x=2-3m 23m 2+2，故D （2-3m 23m 2+2，0），所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2. 又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2+2×2|m|=62， 整理得3m 2-26|m|+2=0，解得|m|=63，所以m=±63.所以，直线AP 的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.20. (2017年天津理)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g(x)为f(x)的导函数． （1）求g(x)的单调区间；（2）设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2]，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，求证：h(m)h(x 0)＜0；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p,q ，且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2]满足|pq-x 0|≥1Aq 4．20.解：（1）由f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a ，可得g(x)=f′(x)=8x 3+9x 2-6x-6， 进而可得g′(x)=24x 2+18x-6．令g′(x)=0，解得x=-1或x=14．当x 变化时，g′(x), g(x)的变化情况如下表：`所以，g(x)的单调递增区间是(-∞,-1)，(14,+∞)，单调递减区间是(-1, 14)． （2）由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m)，得h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m)， h(x 0)=g(x 0)(m-x 0)-f(m)．令函数H 1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x)，则H 1′(x)=g′(x)(x -x 0)．由（1）知，当x ∈[1,2]时，g′(x)＞0，故当x ∈[1，x 0]时，H 1′(x)＜0，H 1(x)单调递减； 当x ∈（x 0，2]时，H 1′(x)＞0，H 1(x)单调递增．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x)＞H 1(x 0)=-f(x 0)=0，可得H 1(m)＞0，即h(m)＞0． 令函数H 2(x)=g(x 0)(x-x 0)-f(x)，则H 2′(x)= g(x 0)-g(x)．由（1）知，g(x)在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1,x 0)时，H 2′(x)＞0，H 2(x)单调递增； 当x ∈（x 0，2]时，H 2′(x)＜0，H 2(x)单调递减．因此，当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x)＜H 2(x 0)=0，可得H 2(m)＜0，即h （x 0）＜0． 所以，h （m ）h （x 0）＜0．（3）对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2]， 令m=pq ，函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m).由（2）知，当m ∈[1,x 0)时，h （x ）的区间（m ，x 0）内有零点；当m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点，所以h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x 1，则h(x 1)=g(x 1)(p q -x 0)-f(pq )=0.由（1）知g(x)在[1,2]上单调递增，故0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2）， 于是|pq -x 0|=|f （p q ）g （x 1）|≥|f （pq ）|g （2）=|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|g （2）q 4．因为当x ∈[1,2]时，g(x)＞0，故f （x ）在[1,2]上单调递增，所以f （x ）在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而p q ≠x 0，故f （pq ）≠0．又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1，所以|p q -x 0|≥1g （2）q 4．所以，只要取A=g （2），就有|p q -x 0|≥1Aq 4．。

天津市十二重点中学高三数学下学期毕业班联考试卷（二）理（含解析）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：如果事件、互斥，那么一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求出集合中的范围，根据为整数求得集合；再根据并集定义求得结果. 【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，其中涉及到绝对值不等式的求解问题，属于基础题.2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据约束条件做出可行域，将问题转化成在轴截距最大的问题，可知当过点时截距最大，代入点坐标求得的最大值.【详解】根据约束条件可得如下图阴影部分所示的可行域：则当在轴截距最大时，取最大值由平移可知，当过点时，截距最大由得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中型的最值的求解，关键是将问题转化为直线在轴截距的最值问题，通过平移来解决.3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，不满足，循环则，，不满足，循环则，，不满足，循环则，，满足，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.4.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式分别求出的范围，根据解集的包含关系和充要条件的判定方法得到结果.【详解】，则，则是的必要不充分条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.5.已知为直角三角形，，点为斜边的中点，点是线段上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将利用线性运算进行拆解，根据向量数量积的运算律和已知中的长度关系，将问题转化为与有关的二次函数问题，通过求解二次函数最小值得到结果.【详解】由图形可知：为直角三角形，斜边为，即且，则又为中点且设，则当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积取值范围的求解，关键是能够通过线性运算将所求数量积向已知模长和夹角的向量进行转化，利用向量共线定理，构造出二次函数的形式，从而可以利用二次函数最值的求解方法得到结果.6.已知函数 ,令，则的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可判断出函数为偶函数且在上单调递增；将的自变量都转化到内，通过比较自变量大小得到的大小关系.【详解】定义域为且为上的偶函数当时，，则在上单调递增；；，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数性质比较大小的问题，能够通过函数的解析式得到函数的奇偶性、单调性，将问题转化为自变量之间的比较是解决问题的关键.7.已知抛物线：的焦点为双曲线：的顶点，过点的直线与抛物线相交于、两点，点在轴上，且满足，若，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线顶点求出抛物线方程；根据，可知与中点连线垂直于；直线与抛物线联立后，借助韦达定理求出，从而可表示出，利用垂直关系求得，从而三角形面积可求.【详解】由题意可知当直线斜率不存在时，，不合题意可设直线为：，且，，联立，整理得：，由得：若，则，设中点为，则点坐标为由可知，即由椭圆对称性可知，当，仍成立本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的求解问题，关键是能够通过长度的等量关系分析得到，从而得到斜率之间的关系，使得问题得以求解.8.已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.【详解】过点，即又又的图象向右平移个单位后与原图象重合在上单调令，，解得，当时，为的一条对称轴又当，且时，本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.是虚数单位，复数=__________．【答案】【解析】 【分析】根据复数除法运算的运算法则求解即可. 【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 10.在的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式系数和为求得，再利用二项式展开式通项公式求得结果. 【详解】由题意得：二项式系数和则展开式通项公式为：当，即时常数项：本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，关键是能够通过二项式系数和的性质求得.11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为__________． 【答案】【解析】 【分析】先求圆锥侧面积，再求球半径，即得球体积.【详解】因为圆锥侧面积为，因此【点睛】本题考查圆锥侧面积、球表面积与体积，考查基本分析求解能力，属基础题.12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．设点在上，点在上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用参数表示点坐标，将问题转化为求到的距离的最小值；利用点到直线距离公式表示出，利用三角函数知识求得最值.【详解】由可得：设则的最小值即为到的距离的最小值当时，本题正确结果：【点睛】本题考查距离的最值问题的求解，涉及到极坐标与直角坐标的互化，解题关键是将问题转化为点到直线距离的最值问题，通过参数方程的意义，利用三角函数的知识来求解.13.若则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.14.已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点当时，，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增当时，，此时由此可得图象如下图所示：恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为与两段图象分别相切当与相切时，可得：当与相切时设切点坐标为，则又恒过，则即，解得：由图象可知：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若,，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用切化弦和正弦定理可得，从而求得；（Ⅱ）利用余弦定理构造方程求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】（Ⅰ）由得（Ⅱ），整理可得，解得【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于常规题型.16.为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。

2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}20A x x x =-≤，{}1B x x =<，则AB 为（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0- 2.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()2:3220l m x my -+-，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A ．2π B ．38π C. 4πD ．58π6.已知定义在R 上的函数()cos f x x x =+，则三个数31log 47a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，129log 517b f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >> C.b c a >> D ．c b a >>7.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在双曲线上，且12//MN F F ，1212MN F F =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，1125FQ F N =，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．52C.2 D8.已知定义在[)1,+∞上的函数()4812,12,1,2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列说法中正确的个数有（ ）①关于x 的方程()()102nf x n N -=∈有24n +个不同的零点； ②对于实数[)1,x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立； ③在[)1,6上，方程()60f x x -=有5个零点；④当()1*2,2n n x n N -⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是 ． 10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线23cos ,23sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）相交于两点A 、B ，则AB = ．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.若49nnx dx -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中3x 的系数为 ．13.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为 ． 14.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，45ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰CD 上的动点，则3PA BP +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos cos A B a b +=（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）已知sin 4sin a CA=，ABC ∆的面积为b 的值.16. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求3个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求二面角E AF B --的余弦值；（Ⅲ）若M 为线段DE 上的一点，且满足直线AM 与平面ABF所成角的正弦值为15，求线段DM 的长. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+，（a 为常数，0a ≠，1a ≠）. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a S =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，()()1111n n n n a c a a ++=++.若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围.19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()()2,00F c c >，过点2,0a E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆交于x 轴上方的A ，B 两点，且122F A F B =. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点()(),0H m n m ≠在1AF C ∆的外接圆上，求nm的值. 20.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞.使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()22?k m k n ++⎡⎤⎣⎦，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD 6-8:CDB 二、填空题 9.12-10.2 11. 23π12.28013.2三、解答题15. 解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()sin sin A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴sin B =0B π<<∴3B =.（２）由已知及正弦定理4c = 又S ΔABC =3B π=∴12sin ac B = 得6a =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得 b =16. （1）令A 表示事件“3个人来自于两个不同专业”，1A 表示事件“3个人来自于同一个专业”，2A 表示事件“3个人来自于三个不同专业”，351103311()3120C C p A C +==23521011130()3120C C C p A C ==则由古典概型的概率公式有1207933331111)()(1)(10531053221=+--=--=C C C C C C C A P A p A p ； （2）随机变量X 的取值为：0，1，2，3则12035330)0(1073===C C C X p ， 12063321)1(1073===C C C X p ， 12021312)2(1073===C C C X p , 1201303)3(1073===C C C X p ,3563211108()0123120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， 且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FOBD O =，BDEF FO BDEF BD 平面平面⊂⊂,∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，ABCD AC ABCD BD 平面平面⊂⊂,∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)()()(,0,1,0,0,1,0,AB D F -，∴()()()1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-，)0,2,0(==设平面AEF 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅02033222y z x令1,121==z x 则，得)1,0,1(=m设平面ABF 的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅030332222y x z x ，令1,3,1222===z y x 则，得)1,3,1(=n所以 510,m cos ==>=<n 又因为二面角B AF E --为钝角， 所以二面角B AF E --的余弦值为510-（3）设),3,,0()3,1,0(λλλλλ-=-===)10(≤≤λ)3,1,3()3,,0()0,1,3(λλλλ---=-+--=+=DM AD AM 则所以 15302424532|||||,AM cos |2=++⋅==><λλn AM n 化简得01482=-+λλ 解得：)(431413舍或---=λ所以213-=DM . 18. 解：（1）-1-1-1(1),2(1)n n n n n n S a S a n S a S a =-+∴≥=-+时，11),(n n n n n a a a S S a aa ----∴=+ 11,=nn n n a a a a a a --∴=且 0,1a a ≠≠ ∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列n n a a ∴=（2）由n n n b a S =+得，1=2b a22=2+b a a 323=2++b a a a因为数列{}n b 为等比数列，所以2213=b b b ，22322+=2(2++)a a a a a a （） 解得1=2a . (3)由（2）知111122(21)(21)11(1)(1)22n n n n n n n n c c +++⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒=++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ +1112121n n n c =-++ 所以2231+1111111=+1+1+1+---2221+1222+1n n n T ++++11131-23+1<n =， 所以21233λλ≤+，解得1-13λλ≥≤或.19. 解：(1)由12=2,F A F B 得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+ 整理，得223a c =，故离心率3c e a == (2) 解法一：(i)由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c =-⎧⎨+=⎩消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.依题意，2248(13)033c k k ∆=->-<<，得 而 21221823k cx x k +=+ ①22212227623k c c x x k -=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c c x k -=+，2229223k c cx k +=+将12,x x代入②中，解得k =解法二：00(,),A x y 设利用中点坐标公式求出200,)22a x y c B +（，带入椭圆方程 2022202220023622236a x y c c x y c⎧+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩（）（） 消去20y，解得00=0x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解出k =(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知1230,2c x x ==当3k =-时，得)A，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l的方程为222c y x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.直线2F B的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩， 由0,m ≠解得533m c n c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故n m=20. (1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==①11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题(共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

互斥，那么错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

柱体的体积公式错误！未找到引用源。

. 其中错误！未找到引用源。

表示柱体的底面积,错误！未找到引用源。

表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知集合错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

= （）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】由已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

．2. 设变量错误！未找到引用源。

满足线性约束条件错误！未找到引用源。

则目标函数错误！未找到引用源。

的最小值是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】因为实数错误！未找到引用源。

满足不等式组错误！未找到引用源。

，那么可知当过点（3 ，-3）时，目标函数取得最小值为-6，选B3. 阅读右想程序框图，当输入错误！未找到引用源。

的值为错误！未找到引用源。

时，运行相应程序，则输出错误！未找到引用源。

的值为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】程序运行时，参数值依次为分别为错误！未找到引用源。

，循环开始：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，此时不满足判断条件，输出错误！未找到引用源。

天津市十二区县重点学校2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）己知．其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1C．2D．32．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣2y﹣3的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣2，3]C．[﹣，3）D．3．（5分）若如框图所给的程序运行结果为S=1，那么判断框中应填入的关于k的条件可以是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞64．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S5=7a4，则=（）A．15 B．17 C．19 D．215．（5分）已知点P的极坐标是，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．D．6．（5分）下列四个：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”；③设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．47．（5分）已知双曲线M：两个焦点为分别为，过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F1MN是等边三角形，则以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（）A． B．C． D．8．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y=（）A．0B．2C．4D．6二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 9．（5分）设集合，B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，则集合A∩B中的所有元素之积等于．10．（5分）已知（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数项为．11．（5分）由曲线（t为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积为．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为．13．（5分）如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE=，则BE的长为．14．（5分）在△ABC中，已知，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则的最小值为．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．17．（13分）如（图1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB的中点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如（图2）．（Ⅰ）求证：DF⊥BC；（Ⅱ）求平面ABC与平面AEFD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱AC上是否存在一点M，使直线FM与平面ABC所成角的正弦值为，若存在求出点M的一个坐标，否则说明理由．18．（13分）已知椭圆的右焦点是F（c，0），左右顶点分别为A，B，上下顶点分别是C，D，且点P（2a，b）满足PF⊥CF，（Ⅰ）求椭圆E的离心率，并证明P，B，D三点共线；（Ⅱ）对于给定的椭圆E，若点R（2a，3c），过点A的直线l与椭圆E相交于另一点Q，当△OQR的面积最大等于9，求直线l的方程．19．（14分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，S n=+++，求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a n=，T n为数列{a n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）求证不等式对任意的正整数n都成立（其中e是自然对数的底数）．天津市十二区县重点学校2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）己知．其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1C．2D．3考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：∵．∴2（a+i）=bi+2i2，即2a+2i=﹣2+bi，则2a=﹣2且b=2，解得a=﹣1，b=2，则a+b=﹣1+2=1，故选：B．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣2y﹣3的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣2，3]C．[﹣，3）D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．解答：解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣3得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣3=4+2﹣3=3，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣3得z=2×﹣2×﹣3=﹣，故z∈[﹣，3）故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3．（5分）若如框图所给的程序运行结果为S=1，那么判断框中应填入的关于k的条件可以是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S=1，从而判断框中应填入的关于k的条件可以是k＞6．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=10，S=35满足条件，S=25，k=9满足条件，S=16，k=8满足条件，S=8，k=7满足条件，S=1，k=6此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S=1，故判断框中应填入的关于k的条件可以是k＞6．故选：D．点评：本题主要考查循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S5=7a4，则=（）A．15 B．17 C．19 D．21考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，又=，代值计算可得．解答：解：由题意和等差数列的性质可得S5===5a3=7a4，∴=，∴==21×=15故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）已知点P的极坐标是，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把极坐标转化成直角坐标，进一步利用过点P且垂直于极轴的位置关系求出极坐标方程．解答：解：点P的极坐标是，转化为直角坐标为：（，），则：过点P且垂直于极轴的直线方程为：，整理为：，故选：D．点评：本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，垂直于极轴的极坐标方程的确定．主要考查学生的应用能力．6．（5分）下列四个：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”；③设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．4考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是x＞y，而“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”⇔|x|＞|y|，即可判断出正误；②利用逆否的定义即可判断出正误；③设是任意两个向量，则“”⇔“”且方向相同，即可判断出正误；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y==（x∈R）的图象，即可判断出正误．解答：解：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是x＞y，而“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”⇔|x|＞|y|，因此不正确；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x≥﹣y，则x≤y”，因此不正确；③设是任意两个向量，则“”⇔“”且方向相同，因此“”是“”的充分不必要条件，正确；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y==（x∈R）的图象，正确．其中正确的个数是2．故选：C．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知双曲线M：两个焦点为分别为，过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F1MN是等边三角形，则以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（）A． B．C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF2|=，根据△MNF1为正三角形，可得+4c2=，由此可以求出a，即可求出以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程．解答：解：由题意可知，M，N关于x轴对称，则|NF2|=，∵|F1F2|=2c，∴|NF1|2==|MN|2=，∴+4c2=∴4a2c2=3b4∴4a2c2=3（a2﹣c2）2，∵c=，∴a=1或3（舍去），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴焦点F2到渐近线的距离为=，∴以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为=2，故选：A．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，关键是找出几何量之间的关系，求出a．8．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y=（）A．0B．2C．4D．6考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，构造函数f（t）=t5+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．解答：解：∵（x﹣1）5+2x+sin（x﹣1）=3，∴（x﹣1）5+2（x﹣1）+sin（x﹣1）=3﹣2=1，∵（y﹣1）5+2y+sin（y﹣1）=1，∴（y﹣1）3+2（y﹣1）+sin（y﹣1）=1﹣2=﹣1，设f（t）=t5+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=5t4+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣1）=1，f（y﹣1）=﹣1，即f（x﹣1）+f（y﹣1）=1﹣1=0，即f（x﹣1）=﹣f（y﹣1）=f（1﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣1=1﹣y，即x+y=2，故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 9．（5分）设集合，B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，则集合A∩B中的所有元素之积等于2．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据x为整数确定出A中的元素，进而确定出A，把A元素代入B中检验求出A与B的交集，即可求出交集中所有元素之积．解答：解：由A中不等式得：A={0，1，2}，∵B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，∴A∩B={1，2}，则集合A∩B中的所有元素之积等于2．故答案为：2点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．（5分）已知（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数项为80．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由二项式系数的性质求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r，则展开式中常数项可求．解答：解：由题意知，2n=32，即n=5．∴（x2+）n=（x2+）5，由=．令10﹣，得r=4．∴展开式中常数项为．故答案为：80．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．（5分）由曲线（t为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积为．考点：参数方程化成普通方程；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：先消去参数t，可得曲线为y=x2，联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x2与直线y=2+x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．解答：解：由曲线（t为参数），可得曲线为y=x2，联立，可得或，∴曲线y=x2与直线y=2+x围成的封闭图形的面积为（x+2﹣x2）dx=（x2+2x﹣x3）|=（×4+4﹣）﹣（﹣2+）=．故答案为：．点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为1．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出外接球的半径即可．解答：解：由题意考查几何体的图形如图，该几何体是一个底面为直角三角形，顶点在底面的射影为斜边中点的三棱锥，三棱锥的数据如图，此几何体的外接球半径为1．故答案为：1点评：本题考查球的半径的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13．（5分）如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE=，则BE的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切线的性质、角平分线的性质，证明∠ADE=∠DAE，可得AE=DE，再利用切割线定理，即可求出CE的长，即可求出BE．解答：解：∵AE是圆O的切线，∴∠EAC=∠B，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，设CE=x，∵AE是圆O的切线，∴AE2=CE•BE，∵BC=2CE，∴DE2=x•3x=3，∴x=1，∴BE=3．故答案为：3．点评：本题考查切线的性质、角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）在△ABC中，已知，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由=9，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量=，=，=（1，0），=（0，1）推出x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，从而转化为一元二次函数可求最小值．解答：解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°，∵=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6，∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4），P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设=，=，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x•+y•=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4﹣4λ，则4x+3y=12，∴可得x=3﹣，∴=（x，y）•（x，y﹣4）=x2+y2﹣4y=（3﹣）2+y2﹣4y=，∴可解得：的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而转化为一元二次函数可求最小值．本题考查了平面向量及应用，考查了转化思想，属于中档题．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…（2分）∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（5分）（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）所以=…（8分）==．…（10分）因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…（13分）点评：本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）直接利用独立重复试验求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求出概率，然后得到随机变量X的分布列，求解期望即可．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为A，…（1分）则…（5分）（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．…（6分），，，，（或）（每个一分）…（10分）随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P…（11分）随机变量X的期望（个）…（13分）点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（13分）如（图1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB的中点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如（图2）．（Ⅰ）求证：DF⊥BC；（Ⅱ）求平面ABC与平面AEFD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱AC上是否存在一点M，使直线FM与平面ABC所成角的正弦值为，若存在求出点M的一个坐标，否则说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由面EBCF⊥面AEFD，DF⊥EF，利用面面垂直的性质证明DF⊥BC；（Ⅱ）以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，然后利用向量的数量积求得平面ABC的法向量，由题意可得面AEFD的一个法向量为，然后利用向量的夹角公式得答案；（Ⅲ）设存在满足条件的点M，利用向量共线的条件得到，把向量的坐标用含有λ的代数式表示，再由直线FM与平面ABC所成角的正弦值为列式求得λ的值，进一步求得点M的一个坐标．解答：（Ⅰ）证明：∵面EBCF⊥面AEFD，又DF⊥EF，面EBCF∩面AEFD=EF，DF⊂面AEFD，∴DF⊥面EBCF，又∵BC⊂面EBCF，∴DF⊥BC；（Ⅱ）解：以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系F﹣xyz，则A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），D（0，1，0），设平面ABC的法向量，有，∴，令x0=1，得平面CBA的一个法向量，面AEFD的一个法向量为，∴．∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是．（Ⅲ）设存在满足条件的点M，则，有，∴，依题有，整理得（2λ﹣1）（14λ﹣11）=0，故，或，都满足0≤λ≤1，故存在满足条件的点M，其一个坐标为．点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．（13分）已知椭圆的右焦点是F（c，0），左右顶点分别为A，B，上下顶点分别是C，D，且点P（2a，b）满足PF⊥CF，（Ⅰ）求椭圆E的离心率，并证明P，B，D三点共线；（Ⅱ）对于给定的椭圆E，若点R（2a，3c），过点A的直线l与椭圆E相交于另一点Q，当△OQR的面积最大等于9，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用PF⊥CF，得到，推出a2=b2+c2=2ac，求出椭圆E的离心率，求出P，B，D三点坐标，利用斜率相等判断P，B，D三点共线．（Ⅱ）求出直线AR的方程，推出，设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入椭圆方程，设点Q的坐标为（x1，y1），求解点Q坐标，利用Q到直线AR的距离，求出三角形的面积法一：设2k﹣1=t，若t=0，当t≠0时，分别评价三角形的面积的最大值，由S△OQR的最大值是9，求解直线l的方程是x+2y+2=0．法二：设，求出导函数，令f'（k）=0得，，或，利用函数的单调性求解函数的最值，然后求解直线方程．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题可知点C（0，b），，因为PF⊥CF，所以，即（c﹣2a）c+（﹣b）2=0，…（1分）∴a2=b2+c2=2ac，故椭圆E的离心率．…（2分）此时，所以点，，所以，，故P，B，D三点共线．…（4分）（Ⅱ）依题可知直线AR的方程为，即x﹣2y+2c=0，且，…（5分）可设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入E方程3x2+4y2=12c2整理得（3+4k2）x2+16ck2x+16c2k2﹣12c2=0，…（6分）由于﹣2c是上述方程的一个根，因此设点Q的坐标为（x1，y1），有，…（7分）故点Q到直线AR的距离等于，…（8分）所以，…（9分）法一：设2k﹣1=t，若t=0，则S△OQR=0，当t≠0时，…（10分）若t＞0，则；若t＜0，则（当且仅当t=﹣2取等号）综上可知S△OQR的最大值是9c2…（12分）由S△OQR的最大值是9可知，故直线l的方程是x+2y+2=0．…（13分）法二：设，则，…（10分）令f'（k）=0得，，或，可知f（k）在区间内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，又当k趋向于无穷大时f（k）的值趋向于0，并且在内f（k）＜0，在内f（k）＞0，…（11分）因此，f（k）的最大值是，f（k）的最小值是，…（12分）所以S△OQR的最大值是．由此可知c=1，直线l的方程是x+2y+2=0…（13分）（注：还有其它解法，如设点Q的坐标为，用点到直线的距离公式；或数形结合求出与直线AR平行且与椭圆相切的直线等．请老师们参照给分）点评：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，三角形的面积最值的求法，韦达定理以及弦长公式的应用，椭圆方程的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，S n=+++，求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a n=，T n为数列{a n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式；相等向量与相反向量．专题：计算题；综合题；压轴题；函数思想；转化思想；解题方法．分析：（Ⅰ）设出M的坐标，求出，．利用=．求出x1+x2的值，再用求出y1+y2的值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，化简S n=+++，可求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用a n=，T n为数列{a n}的前n项和，求出T n的表达式，结合不等式，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值．解答：解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M．又=，即，，∴x1+x2=1．（2分）①当x1=时，x2=，y1+y2=f（x1）+f（x2）=﹣1﹣1=﹣2；②当x1≠时，x2≠，y1+y2=+===；综合①②得，y1+y2=﹣2．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x1+x2=1时，y1+y2=﹣2．∴，k=1，2，3，，n﹣1．（7分）n≥2时，S n=+++，①S n=，②①+②得，2S n=﹣2（n﹣1），则S n=1﹣n．n=1时，S1=0满足S n=1﹣n．∴S n=1﹣n．（10分）（Ⅲ）a n==21﹣n，T n=1++=.⇔⇔．T m+1=2﹣，2T m﹣T m+1=﹣2+=2﹣，∴，c、m为正整数，∴c=1，当c=1时，，∴1＜2m＜3，∴m=1．（14分）点评：本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）求证不等式对任意的正整数n都成立（其中e是自然对数的底数）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，求导数，确定切线的斜率，即可求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求导数，令f'（x）=0，得或（舍去），分类讨论，确定函数的单调性，利用f （x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）要证，只要证，设，确定单调性，即可证明结论．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，．…（1分）因为k=f'（1）=﹣1，f（1）=﹣2，所以切线方程是y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0…（2分）（Ⅱ）由f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．得f′（x）=（x＞0）…（3分）因为a＞0，故令f'（x）=0，得或（舍去）．…（4分）（1）当，即a≥1时，f（x）在（1，e）上单调递增，所以f（1）＜f（x）＜f（e），而f（1）=﹣2＜0，f（e）=（e2﹣e）a﹣（2e﹣1）；…（5分）要使f（x）在区间（1，e）的有零点，应有f（e）=（e2﹣e）a﹣（2e﹣1）＞0，解得由于，故a≥1适合题意；…（6分）（2）当，即时，在上f'（x）＜0，f（x）单调递减，在上f'（x）＞0，f（x）单调递增，…（7分）故，与（1）同理有，，故适合题意．…（8分）（3）当即时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以，在（1，e）上f（x）＜f（1）=﹣2＜0，不合题意．综上（1）（2）（3）可知，正数a的取值范围是．…（9分）（Ⅲ）证明：要证，只要证…（10分）设，则故是增函数，…（11分）当k≥2时，取，有，…（12分）在上述的不等式中分别令k=2，3，4，…，n得：，…（13分）故，所以，不等式对任意的正整数n都成立．…（14分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查不等式的证明，有难度．。

天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的）1．i 是虚数单位，复数=++-ii 4321（ ）A. i 5251+ B. i 5251+- C. i 21-D. i 21--2．设变量y x ,满足约束条件30301x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.3B.4C.5D.63．已知命题0:>∀x p ，总有1ln )1(>+x x ，则p ⌝为（ ） A.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤使得 B.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤使得C.0000,(1)ln 1x x x ∃>+≤总有D.0000,(1)ln 1x x x ∃≤+≤总有4．已知31)43(=a ，31log 43=b ，43log 3=c ，则（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >>5．将sin(2)4y x π=-的图像上所有点向左平移4π后得到)(x f y =的图像，则)(x f y =在[-2π，0]上的最小值为（ ）A. 1-B. 22- C.0D. 23-6. 已知抛物线x y 42=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于点M （M 异于原点），且点M 到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ） A ．25B ．26 C ．2D.37．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)+∞,0上单调递增，若ba ,均为不等于1的正实数，则ba >是0)(log )2log 1(21>+b f f a 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2==AD AB ，1CD =，P 为线段BC 上一个动点，设BC BP λ=，则当PD PA ⋅取得最小值时λ的值是（ ）A. 21 B.54 C. 0D.1第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.9. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈=15xN x S ，{}6,4,2=T ，则集合T S 中元素个数为________.10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11. 执行如图所示的程序框图,则输出的S 的值是________. 12. 已知ba ,均为正实数，圆)1(2222=-+-+b a ax y x 与圆012222=-+-+b a y y x 外切，则ab 的最小值为________.13. 如图AB 是圆O 的直径，过B 作圆O 的切线交弦AD 的延长线于点P ，M 为AD 上一点，且6==PMPB ，4=PD ，连接BM 并延长交圆O 于点C ，连接OC 交AD 于点N ，则CN =________.11题图10题图13题图正视图俯视图侧视图14. 已知函数⎩⎨⎧>≤-+=)0(,ln )0(,513)(x x x x x f ，若函数2)(+-=kx x f y 恰有3个零点，则实数k 的取值范围为________.三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60人数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M ，求事件M 的概率.16．（本小题满分13分） 在ABC∆中，内角C B A ,,所对边分别为cb a ,,,已知B cC a sin 2sin =,2b =,41cos -=A .（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-.17.(本小题满分13分）如图四边形PDCE 是正方形，四边形ABCD为直角梯形，DCAB //，090=∠ADC ，且平面PDCE ^平面ABCD .（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ；（Ⅱ）求证：直线⊥PC 平面ADE ；（Ⅲ）若正方形PDCE 边长为a 2，a AD AB ==，求直线BE 与平面PDCE 所成角的余弦.ABCDMPE18.（本小题满分13分）己知数列{}n a 前n 项的和为n S ，且满足n S 2(2)n n a -=-()n N *∈. （Ⅰ）证明数列}{1n a -为等比数列.（Ⅱ）若n n b a =⋅2log (1)n a - ,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 是过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线，已知直线l 交椭圆于,M N 两点，若椭圆上存在一点P ,满足OM ON OP λ+=,求当2OP k =时,k 的值.20．（本小题满分14分）已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(23)(23（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知)('x f 是)(x f 的导函数，若[]1,0,21∈∃x x ，使得a x x f x f 23)(')(221-+≤，求实数a 的取值范围.天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（文科） 评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2； 10．320； 11．217 ； 12．21 ； 13．25；14．{}e k k k =≤<-或03|三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：年龄（岁）[)30,15[)45,30[)60,45[)75,60频数 1213 87 赞成人数5 7x3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为45.0，则x 的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[)60,45，[)75,60两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[)75,60年龄段为事件M，求事件M的概率.解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为3+x+75+----------------2分-----------------3分解得3=x-----------------4分（2）设年龄在[]60,45的3位被调查者为C,,年龄在A,B[65,75]的3位被调查cb,，a,---------------5分则从6位调查者中抽出2人包括：)aBAa(Cb,a，aca(),((,),),,,(,),c，),(),Acc,,(CBABA共15个基,(),CB,(C(),C(),,,(),),(),,AbbB(Cbb，),(),本事件，且每个基本事件等可能。