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自动控制原理第7章

自动控制原理第7章
而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性、自持 振荡。
7.2 描述函数法
一、描述性函数的定义
非线性元件的输入为正弦波时，将其输出的非正弦波的一次谐波（基
波) 与输入正弦波的复数比，定义为非线环节的描述函数。
分析：
设 输入为：
x(t) Asint
则输出：

y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n1
见图示说明：
但非线性系统则不然，它的稳定性不仅与系 统的结构和参数有关，还与输入信号及初始 条件有关。因此不能笼统地泛指某个非线性 系统是否稳定，而必须指明不同条件下系统 的稳定性。
3.非线性系统的自激振荡
线性系统只在阻尼比为零时，产生周期性的 等幅振荡；而且这样情况极少出现，极易变 化。但是在非线性系统中，常会出现具有一 定频率、一定振幅的稳定的等幅振荡，即自 激振荡。
二、改变非线性特性
1、改变非线性元件的参数
例如，在例7.1中，当线性部分参数不变(k=15)时，改变非线性部分的参 数a或b，可以使负倒描述函数曲线往左移，从而使两特性曲线不相交，即使 原有自持振荡的系统变为稳定。
2、对非线性元件采用某种并联校正
例如，一个饱和非线性元件并入一合适的死区非线性元件后，变成了线性 比例元件。
An

1

2 0
y(t) cosntdt
Bn

1

2 0
y(t ) sin
ntdt
假设输出为对称奇函数，则 A0 0 ；假设具有低通滤波特性，高次谐波
可忽略。
则非线性环节输出可认为
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t
Y1 sin(t 1) Y1e j1

自控原理课件 第7章-自动控制系统控制器及其校正与设计

自控原理课件 第7章-自动控制系统控制器及其校正与设计

31
32
33
比例控制器另一作用是调整系统的开环放大 倍数，加快系统的响应速度。 考虑图7.14所示带有比例控制器校正的控制系 统，系统的闭环传递函数为
34
可见，Kp 愈大，稳态精度愈高，系统的时间常 数τ＝T/(1+Kp )愈小，则系统响应速度愈快。 [例7.4]被控对象为一阶惯性的比例控制器控 制时SIMULINK仿真 如图7.15所示，一阶惯性环节为10/(5s+1) ，比例控制器增益为1时，系统输出为指数上升 形式。 如图7.16所示，被控对象不变，比例控制器 增益为10，系统输出仍为指数上升形式，输出与 输入不相等，仍为有差系统，但误差减小，且响 应速度加快，读者可计算验证。
67
由图7.36可见，校正前原系统是O型系统(无积 分器）是有静差系统。校正后系统成为I型系统(含 有一个积分器)，在阶跃输入下能实现无静差，改 善了系统的稳态性能。校正前原系统相位裕量＝ 88º ，校正后相位裕量＝65，相位裕量是减小的， 意味着系统的超调量将增加，降低了系统的稳定 性。总之，采用PI校正，能改善系统的稳态性能， 而动态性能可能受到一定的影响。
第7章 自动控制系统控制器及其 校正与设计
本章主要讲述自动控制系统中常用的控制器 及其校正。在对自动控制系统分析后，发现系统 不能满足性能指标的要求，需要对系统进行改进， 在原有的系统中，有目的地增添一些装置和元件， 人为地改变系统的结构和性能，使之满足所要求 的性能指标，这种方法就称为校正。常用的校正 方法有串联校正、反馈校正和顺馈补偿。同时， 本章还简要叙述常用的工程上的设计方法。
38
SIMULINK仿真结果如图7.20所示，输出波形 虽有振荡，但超调量减小，振荡次数减少，系统响 应得到了改善。 7．2．3 积分控制器(I)校正

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
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2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向

自动控制原理第7章

自动控制原理第7章

7.2采样过程和采样定理
7.2.1 信号的采样 离散控制系统与连续控制系统本质上的区别 在于信号由连续变成断续。这个过程是由离 散控制系统中的采样开关或模数转换器完成 的。对连续信号的采样过程可以由图7-3给出。

e (t) e* ( t ) e (t ) S e* ( t ) T 0 t 0
t
t
T
2T
t
(a)
图 7-3 实际采样过程
(b)
(c)

把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样 器，又叫采样开关。采样过程可以用一个周 期性闭合的采样开关S来表示，如图7-3所示。 假设采样开关每隔T秒闭合一次，闭合的持续 时间为τ。采样器的输入e(t)为连续信号，输 出e(t)为宽度等于τ的调幅脉冲序列，在采样 瞬间nT,n=1,2…)时出现。即在t=0时，采样 器闭合τ秒，此时e(t)=e(t)= τ , t= τ 以后，采 样器打开，输出e(t)=0。以后每隔T秒重复一 次这种过程。
7.1引言

如果控制系统中所有的信号均是时间t的连续 函数，这样的系统称为连续时间系统，简称 连续系统；如果系统中某处或数处信号是脉 冲序列或数码，则这样的系统称为离散时间 系统，简称离散系统。其中离散信号以脉冲 序列形式出现的称为采样控制系统或脉冲控 制系统；以数码形式出现的称为数字控制系 统或计算机控制系统。
T
1 T
n
e jn s t


式中 s ---采样角频率；T —采样周期 并有

s 2 / T

将（7-4）式代入（7-2）ห้องสมุดไป่ตู้，有
1 * e (t ) T
n
e(t )e jn s t

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章

7.3 相平面法及其在系统分析中的应用
• 相平面分析（phase plane analysis）
f ( x, x ) 0 x
相平面 相变量 相轨道 相平面图 令系统的状态 x1 x x2 x
dx1 x2 dt
dx2 定极限环
• 不稳定极限环 • 半稳定极限环
相平面法在系统分析设计中的应用
对于一个分段线性化的非线性来说，只要我 们对各线性区域内的相平面能正确绘制，那 么我们根据系统状态连续变化的特点，把各 区域内的相轨迹彼此正确地衔接起来就可以 得到非线性系统的完整相平面图。
☆ 线性系统的相平面图分析 ☆ 非线性系统相平面分析
x(t ) A sin ωt
y(t ) A0 ( An cos nωt Bn sin nωt )
n 1

y(t ) y1 (t ) A1 cosωt B1 sin ωt Y1 sin(ωt φ1 )
1 2π A1 y (t ) cos ωt d (ωt ) π 0
非线性系统的负倒描述函数
包含非线性环节闭环系统的稳定判据
假定 G( jω)的极点都位于复左半平面，在复平面上 分别绘制 G( jω) 的极坐标曲线和 1 / N ( A)曲线，则： （1） G( jω) 曲线不包围 1 / N ( A) 曲线，则闭环系统 是稳定的； （2）G( jω) 曲线包围 1 / N ( A) 曲线，则闭环系统不 稳定； （3）若 G( jω) 曲线与 1 / N ( A) 曲线相交，则系统可 产生自激振荡（极限环），该极限环可能是稳定 的，也可能是不稳定的，取决于 1 / N ( A) 相交点的 情况。
★ 绘制相平面图的解析法 ★ 绘制相平面图的图解法

自动控制原理 第七章 非线性

自动控制原理 第七章 非线性

x x x 0 , x(t0 ) x0 , x (t0 ) x0
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
dx
x
.
x
dt
容易求出奇点为（0，0）。
图 例7-2的根轨迹
ABCDO对应.初始条件为
x(0) 2, x(0) 7
EFO对应初.始条件为：
x(0) 0, x(0) 10
从相轨迹图可以直观地看到： 所有的相轨迹都最终收敛到 奇点（0，0），这说明系统 是渐近稳定的；可以证明， 每一条相轨迹都是向心螺旋 线，这说明系统的运动过程 是衰减振荡的。
3）相轨迹图形特征
如果微分方程满足解的存在性和唯一性条件， 那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：
1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解 的存在性和唯一性）；
2)相轨迹必垂直通过轴； 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的 相轨迹从右向左运动。
Байду номын сангаас
例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹
.. .
..
线性系统如果某系统在某初始条件下的响应 过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条 件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。例：
x& x x2 x(0) x0
（1）当初始条件xo ＜1时,1－xo＞0,上式 x(t) 具有负的特征根,其暂 态过程按指数规律衰 减,该系统稳定。
（ 2 ） 当 xo=1 时 ,1xo=0,上式的特征根为 o 零,其暂态过程为一常 量。
x a xa x a
此处： x 输入 y 输出 k 比例系数
y
ym
a
k
x
0a
ym
饱和非线性对系统的影响：

自动控制原理第七章


条件下的时间响应曲线如图所示。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性 从曲线及方程中可以看出， 系统有两个平衡状态，即 x=0和 x=1 。 按稳定性的定义对平衡状 态 x=1来说，系统只要有一 个很小的偏离，就再也不会 回到这一平衡状态上来。 因此，x=1的平衡状态是一个不稳定的平衡状态。
第七章 非线性系统的分析
§7
非线性系统的分析
教学内容：
§7-1 非线性控制系统概述 §7-2 描述函数法 §7-3 相平面法
§7-1 非线性控制系统概述
一、引言 二、研究非线性系统的一般方法 三、典型非线性特性 四、非线性控制系统的特点
一、引言
包含一个或一个以上非线性元件或环节的系统为非线性系 统。 实际上自动控制系统的各个环节不可避免的带有某种程度 的非线性，线性系统只是非线性系统的近似。 非线性系统程度不严重时，在一定范围内或特定条件下， 可采用微偏法进行线性化，这种非线性称为非本质非线性。 如果系统的非线性具有间断点、折断点，称为本质非线性。 这时采用线性系统分析方法去研究会引起很大的误差甚至导 致错误的结论。
四、非线性控制系统的特点
3.稳定性 3.稳定性
线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始 状态无关。 非线性系统的稳定性不仅仅和系统的结构与参数有关， 还和起始状态有直接关系。 一个非线性系统，他的某些平衡状态可能是稳定的， 某些平衡状态可能是不稳定的。因此对于非线性系统， 不存在系统是否稳定的笼统概念，要研究的是非线性系 统平衡状态的稳定性。
2 n
A +B
2 n
An ϕn = arctan Bn
一 描述函数的基本概念
非线性特性为奇对称，则直流分量 A0= 0； 同时，各谐波分量的幅值与基波相比一般都比较小； 因此，可以忽略式中的高次谐波分量，只考虑基波分量， 这种近似也称为谐波线性化。则

自动控制理论第七章精品文档


第七章 离散化控制系统
5
自动控制理论
第二节 信号的采样与复现
一、采样过程 把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采
样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。
f (kT)
图7-５
2019/10/15
第七章 离散化控制系统
6
自动控制理论
图7-６
式中： f*(t)f(t)T(t)

若F (s)含有 S P 的一阶极点时，对应的留数为： Rls ipm [s(p)F(s)zzeTS]
若F (s)含有 S P 的q阶重极点时，对应的留数为：
R(q11)!limddqsq11[(sp)qF(s)zzeTS] sp
2019/10/15
第七章 离散化控制系统
f *(t) (t kT)
（7-1） ，KT —脉冲出现时刻
k

f*(t)f(kT)(tkT)
（7-2）
k
2019/10/15
第七章 离散化控制系统
7
自动控制理论
图7-7
考虑当t<0时，f(t)=0，则有

f*(t)f(kT)(tkT) k0
2019/10/15
k
2019/10/15
第七章 离散化控制系统
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自动控制理论 图7-10
图7-11
2019/10/15
第七章 离散化控制系统
13
自动控制理论
图7-８可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是
s 2max
香农采样定理
s 2max
s
图-12
香农定理的物理意义是：采样角频率 s 若满足s 2max，则
25
自动控制理论

自动控制原理第七章非线性系统ppt课件


7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn

自动控制原理第七章


特点
常见于放大器中，在大信 号作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
a
k
K
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e (t ) a k e (t ) a
e(t ) > a e (t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
0 A
a

1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G ( j )
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A b
Im
Re
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
G ( j ) 1 N ( A)
1 N ( A) 1 2
Im
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
28
G ( j )
令
Im G ( j ) 0
0 .3 K 4 .5

50 rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
R e G ( j )
50
系统临界稳定
0 .3 K c 4 .5

1 2
K c 7 .5
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第七章非线性控制系统7.1 非线性控制系统概述3 17.2 描述函数法27.3 相平面法37.4 非线性系统的Matlab仿真分析4从数学模型的角度了解非线性控制系统的有关概念。

非线性系统：由非线性代数方程或非线性微分方程描述的系统。

非线性控制系统：在非线性系统中引入控制变量时，称之为非线性控制系统。

范得波尔方程： 7.1 非线性控制系统概述从系统组成角度看，非线性指元件或环节的输入输出不满足线性关系。

当控制系统包括一个或一个以上具有非线性特性的环节时，称之为非线性控制系统。

222(1)02(1)x x x x x x x x u ρρ--+=--+=典型非线性特性：死区、饱和、间隙、继电器。

不灵敏区——又称死区常见于测量、放大元件中，其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。

执行机构中的静摩擦的影响往往也可用死区来表示。

死区特性如图1(a)所示。

控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳差，而测量元件死区的影响尤为显著。

摩擦死区会造成系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地跟踪目标。

y t ()x t ()k aa饱和饱和也是一种常见的非线性，在铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其特点是，当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值(图1(b))。

饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。

在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。

y t ()x t ()kb b - a a -7.1.1 典型非线性特性间隙——又称回环传动机构的间隙也是一种很常见的非线性特性。

在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时，从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向(图1(c))。

铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性，又称磁滞特性。

间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳态误差增大，相位迟后增大，从而使动态特性变坏。

采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可以消除齿轮间隙对系统的不利影响。

y t ()x t () 0kcba -a +b -c-7.1.1 典型非线性特性继电器特性由于继电器吸上电压和释放电压的不同，其特性中包含了死区、回环和饱和特性(图1(d))。

图中当a＝0时的特性称为理想继电器特性。

在控制系统中，有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能。

y t()x t()0 MM-aa-ma-may t ()x t ()b b -aa -y t ()x t ()MM -y t ()x t () 0 M M- a a -1、不能应用叠加原理：线性系统用线性微分方程来描述，可以应用叠加原理。

用典型信号对系统分析的结果，一般也适用于其他情况。

而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。

在实际上遇到非本质的非线性系统时，常常采用小偏差线性化方法处理。

对于本质非线性特性，有时采用分段线性化方法或其他近似方法。

2、平衡点与稳定性特性更加复杂：线性系统的稳定性和零输入响应的性质只决定于系统本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。

然而非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结构和元件特性而且与系统的初始条件有关。

对于同一结构和参数的系统，可能出现在较小初始值时系统稳定，但在饺大初始值时系统不稳定的情况，也可能相反。

因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。

3、独特的自激振荡：对于线性系统而言，只有两种基本的运动形式即发散和收敛。

只有当系统处于稳定的临界状态时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。

系统参数稍有细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，往往也会发生具有一定振幅和频率的振荡，称为自持振荡，又称自激振荡。

在有的非线性系统中，还可能产生不止一种振幅和频率都不相同的自持振荡。

4、特殊的频率响应特性：在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不问，因此可以用频率特性来表示系统的固有特性。

但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，其周期与输入信号相同。

有时还会出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。

应该指出，研究非线性系统并不一定都要求解其暂态过程，通常讨论的重点是系统是否稳定；会不会产生自持振荡，如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自持振荡。

7.1.2 非线性系统的分析方法在工程实际上应用的分析非线性系统的方法中，描述函数法和相平面法是应用较为广泛的。

相平面法是一种时域分析法，它保留非线性特性，而将高阶的线性部分近似地化为二阶来进行分析。

描述函数法是一种频域分析法，它保留线性部分，而对非线性环节进行谐波线性化分析。

它们采用的近似方法是互相补充的。

应该指出，模拟计算机和数字计算技术的发展，给分析复杂的非线性系统提供了力便和有效的条件，必将进一步促进非线性系统的研究工作。

描述函数法是在频域中分析非线性的一种近似方法。

它是频域法于一定条件下和在非线性系统中的应用，主要用于分析非线性系统的稳定性，自持振荡及其在正弦信号作用下之输出。

描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正弦输入信号作用下之实际输出。

-G s ()0r t =()x t ()y t ()c t ()N A ()设非线性系统的方框图如图所示。

图中N （A ）为非线性元件。

设N （A ）的输入信号为一正弦信号。

由于非线性特性的作用，其输出信号的稳态分量y （t ）是一个非正弦周期函数，其周期与输入信号相同。

sin x t A t ω=()我们作如下假设：（1）高次谐波的幅值通常要比基波的幅值小；（2）系统的线性部分G(s)又具有低通滤波特性；所以可以认为只有基波分量沿闭环回路反馈到N 的输入端，而高次谐波经低通滤波后衰减得可以忽略不计。

在这种假设条件下，可以只考虑y的基波分量。

此外，设非线性特性为对称型。

上述情况实际上可以看成如下的情形：即相当于将非线性元件在一定条件下看成为具有对输入正弦的响应仍是同频率正弦的线性化特性的一种线性元件，从而使含有这种非线性元件的非线性系统变成一类有条件的线性系统，或称线性化系统，其条件便是指谐波线性化。

7.2.1 描述函数法的分析过程 描述函数——又称等效复放大系数在谐波线性化系统中，非线性元件的特性，与通过频率响应描述线性元件特性相类似，也可采用一复变函数N （A ）来描述。

该复变函数的模等于非正弦周期输出的基波 的振幅Y 1与输入正弦的振幅A 之比，其相角为正弦输出相对正弦输入 的相移。

因此复变函数N(A )称为非线性元件的描述函数，它与线性元件的频率响应不同，一般是输入正弦振幅A 的函数，只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输入振幅又是角频率的函数。

111sin y t Y t ωϕ=+()（）sin x t A t ω=()x t ()1y t ()7.2.1 描述函数法的分析过程22111111111tg B jA Y A B A N A A A A B ϕ-++=∠==()描述函数N (A )表示当非线性元件的输入信号为正弦函数时，输出信号的基波分量与输入信号在幅值和相位上的相互关系，类似于线性系统中的频率特性。

在一般情况下，N (A )为正弦输入信号幅值的函数，而与频率无关。

需强调指出，描述函数中相移是由于非线性元件的非单位特性引起的，与线性系统的频率特性中相移不是一回事。

7.2.2 典型非线性特性的描述函数下面介绍几种典型非线性特性的描述函数。

这些特性都是对称奇函数。

包括：（1）饱和特性的描述函数；（2）不灵敏区特性的描述函数；（3）间隙特性的描述函数；（4）继电器特性的描述函数；（1）饱和特性的描述函数y t ()0y t ()0t ω0 x t ()x t ()a a -1πϕ-1ϕ1πϕ-1ϕπsin x t A t ω=()()K输出输入2πKa1111sin 0 sin KA t t y t Ka t KA t t ωωϕϕωπϕωπϕωπ<<⎧⎪=<<-⎨⎪-<<⎩()()11221002202114sin d sin d 4 sin d sin d 2si n 1 B y t t t y t t t KA t t Ka t t a a a KA A A A πππϕϕωωωωππωωωωππ-==⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()10A =00A =221111Y A B B =+=1111tg 0A B ϕ-==()111212sin 1Y B N A A Aa a a K A a A A A ϕπ-=∠=⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦() ()1,();0,()0a a N A K N A A A→→→→()2102sin 1a a a N A A a A A A π-⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦() ()相对描述函数为结论：当非线性特性为单值、奇对称函数时，描述函数为正弦输入信号幅值的实函数。

即，其基波分量输出相对于正弦输入信号在相位上是同步的，不存在滞后。

（2）不灵敏区特性的描述函数y t ()0y t ()0t ω x t ()1πϕ-1ϕK输出输入K -∆∆0 x t ()1πϕ-1ϕπsin x t A t ω=()()2π()K A -∆11110 0 sin 0 t y t K A t t t ωϕωϕωπϕπϕωπ≤<⎧⎪=-∆≤≤-⎨⎪-<≤⎩()()00A =10A =()112102112sin d sin d 2 0sin sin d 02 sin 12B y t t t y t t tK A t t t KA A A A A πππϕϕωωωωππωωωπππ--==⎡⎤=+-∆+⎣⎦⎡⎤∆∆∆=---⎢⎦≥∆⎥⎣⎰⎰⎰())(([])()()111212102sin 121,()0;0,()2sin 12Y B N A A AK A A A A A N A A N A KN A A A A A ϕππππ--=∠=⎡⎤∆∆∆=---≥∆⎢⎥⎣⎦∆→→∆→→⎡⎤∆∆∆=---≥∆⎢⎥⎣⎦()()//()()（3）间隙特性的描述函数；y t ()0 y t ()tω x t ()1πϕ-K 输出输入a-a2π0tω x t ()1πϕ-πsin x t A t ω=()()2π2π221111111111tg22sin 1211241 B jA Y A B A N A A A A B a a a a K A A A A Ka a j A a A Aϕπππ--++=∠==∠⎡⎤=+-+--⎢⎥⎣⎦+-≥()()()()())（间隙特性非单值、奇对称，基波分量输出相对于正弦输入信号在相位上存在滞后。