北京人大附中0910学年高一年级数学必修1考核试卷

北大附中第1学段终结性评价试卷数学必修1（国家必修）问题一、（共计28分） 有关函数的基本概念．阅读材料1．教材34页映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作y 的原象．其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 值域． 依据阅读材料1，回答下列问题：1．（2分）依据阅读材料1中给出的映射的定义，做怎样的修改就能得到函数的定义，请在下面定义中直接修改．设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作y 的原象．其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 值域． 【答案】见解析．【解析】设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的一个映射，这时，称y 是x 在对应则f 的作用下的函数值，记作()f x ．于是()y f x =，x 称作自变量．其中A 叫做函数f 的定义域，由所有函数数值()f x 构成的集合叫做映射f 值域．2．（2分）结合你得到函数的定义，举一个不是函数的例子，并说明理由．（文字说明，代数表达式说明，画图说明均可）． 【答案】2y x =．【解析】在2y x =中，0x >时，一个x 值有2个值与之对应，例如：当1x =时，1y =±，故2y x =不是函数． 3．（2分）举出一个实际生活中的函数的例子．（文字说明，代数表达式说明或者画图说明均可）． 【答案】见解析．【解析】某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x ∈2个笔记本需要y 元，则5y x =，{}1,2,3,4,5x ∈． 4．（10分）我们在必修一模块的学习中复习和学习了以下常见的初等函数．．．．：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数等．研究学习函数的三要素以及函数的有关性质，初步学习了部分函数的图象的画法．依据阅读材料1，请写出5个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（2）__________；（3）__________；（4）__________；（5）__________． 【答案】（1）21y x =+，x ∈R ；（2）21y x x =++，x ∈R ；（3）2x y =，x ∈R ；（4）2log y x =，(0,)x ∈+∞；（5）3y x =，x ∈R ．【解析】一次函数为(0)y ax b a =+≠，定义域是R ；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，定义域是R ； 指数函数x y a =（0a >且1a ≠），定义域是R ；对数函数log a y x =，定义域是(0,)+∞；幂函数a y x =．常见的幂函数有y x =，定义域是R ；2y x =，定义域是R ；3y x =，定义域是R ；12y x =，定义域是[0,)+∞，1y x -=，定义域是(,0)(0,)-∞+∞．根据条件写出对应的初等函数的解析式及定义域即可． 5．（12分）按要求分别完成下列问题：（1）写出两个定义域和值域都是R 的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）； ①__________；②__________．（2）写出两个定义域为R ，值域为(0,)+∞的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）； ①__________；②__________．（3）写出两个定义域为(0,)+∞，值域为[0,)+∞的函数；（可以是初等函数，也可以是任何你知道的函数）．①__________；②__________．【答案】（1）①y x =，②1y x =+．（2）①2xy =，②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）①2(1)(0)y x x =->，②2(1)(0)y x x =->．【解析】（1）由于一次函数(0)y ax b a =+≠的定义域是R ，值域是R ，故y x =，1y x =+的定义域和值域都是R ，符合题意．（2）指数函数xy a =(0a >且1)a ≠的定义域为R ，值域为(0,)+∞，故函数2xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭符合题意．（3）二次函数2(1)y a x =-（其中0a >），(0,)x ∈+∞，对称轴为1x =，开口向上，∴min 10x y y===，即值域是[0,)+∞．故二次函数2(1)(0)y x x =->和22(1)(0)y x x =->定义域为(0,)+∞，值域是[0,)+∞，符合题意．二、（共计29分，附加题8分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材61页探索与研究的拓展）． 已知函数：（1）2()f x x =，21()(1)f x x =+，22()(1)f x x =-，23()1f x x =+，24()1f x x =-． （2）()2x g x =，11()2x g x +=，12()2x g x +=，12()2x g x -=，4()21x g x =-． 依据上述条件，完成下列问题：6．（8分）在下面的4个坐标系中，依次分别作出（1）中除函数()f x 以外的4个函数的图象，分别用简明扼要的语言叙述它们的图象与函数()f x 图象之间的关系．关系：__________；关系：__________；关系：__________；关系：__________．【答案】见解析． 【解析】关系：2()f x x =的图象向左平移1个单位可得到2()(1)f x x =+的图象．关系：2()f x x =的图象向右平移1个单位得到22()(1)f x x =-的图象．关系：2()f x x =的图象向上平移1个单位可得到2()1f x x =+的图象．关系：2()f x x =的图象向下平移1个单位得到2()1f x x =-的图象．7．（8分）在下面的4个坐标系中，依次分别作出（2）中除函数()g x 以外的4个函数的图象，验证你在第6问中的结论．【答案】见解析． 【解析】8．（4分）依据第6，7问中你总结的函数图象之间的关系，请你再举一组与上面（1）（2）两组不同类型的函数的例子，分别在下面写出相应的解析式，并在相应的坐标系中，作出函数的图象，验证你的结论．其中()h x =__________，1()h x =__________，2()h x =__________，3()h x =__________， 4()h x =__________．【答案】见解析．【解析】2()log h x x =，12()log (1)h x x =+，22()log (1)h x x =-，32()log 1h x =+，42()log 1h x x =-．9．（4分）探索说明函数()y f x =与()(0,0)y f x a b a b =++≠≠的图象之间的关系．【答案】见解析．【解析】由函数()y f x =的图象向右(0)a <或向左(0)a >平移()a 个单位长度，再向上(0)b >或向下(0)b <平移||b 个单位长度可得到函数()(0,0)y f x a b a b =++≠≠的图象．10．（5分）利用第9问的结论，画出函数1()1x x x ϕ+=-的图象． 解：因为函数122()111x x x x ϕ-+==+--， 所以可以将函数__________图象向__________平移__________个单位得以函数1y =__________的图象，再将函数1y 图象向平移__________个单位得到函数()x ϕ的图象．【答案】见解析． 【解析】因为函数122()111x x x x ϕ-+==+--， 所以可将函数2y x=的图象向右平移1个单位， 得到函数121y x =-的图象，再将函数1y 图象向上平移1个单位得到函数()x ϕ的图象．11．（附加题4分）说明函数()y f x =与(||)y f x =，|()|y f x =的图象之间的关系．【答案】见解析．【解析】要得到(||)y f x =的图象，只需将()y f x =的图象位于y 轴左侧的部分去掉，右边的部分以y 轴为对称轴翻折复制到左边，其余部分不变；要得到|()|y f x =的图象，只需将()y f x =的图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变．12．（附加题4分）已知函数22|log |,02()2log ,2x x x x x τ<⎧=⎨->⎩≤，若存在三个不同实数a ，b ，c 满足()()()a b c τττ==，则abc 的取值范围为__________．【答案】(2,4)【解析】作出函数22|log |,02()2log ,2x x x x x τ<⎧=⎨->⎩≤的图象，如图所示，∵存在三个不同的实数a ，b ，c 满足()()()a b c τττ==， ∴22|log ||log |a b =，即222log log log 0a b ab +==， ∴1ab =，∴abc c =，又∵(2,4)c ∈，故abc 的取值范围为(2,4)．三、（共计35分）有关函数的性质和函数性质的应用阅读材料2．高一某学生在复习数学必修一的模块考试过程中，整理复习函数的单调性和奇偶性定义如下：（1）函数的单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的两个值1x ，2x ，改变量21x x x ∆=-，则：当21()()0y f x f x ∆=->时，就称函数()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ∆=-<，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数；（2）函数的奇偶性：设函数()y f x =的定义域为D ，若()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；若()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．13．（4分）阅读材料2中高一某学生总结的有关定义是否存在问题？若存在问题，请在原定义上分别指出并改正． 【答案】见解析．【解析】该学生总结的定义存在问题．定义函数的单调性中，如果取区间M 中的两个值1x ，2x 应改为如果取区间M 中任意的两个值12x x <；定义函数的奇偶性中，应加上条件，对于定义域中的任意一个x ．14．（6分）若将函数按照奇偶性来分类，可以将函数分为几类？分别是什么函数？请按照你的分类各举一个具体函数的例子．解：将函数按照奇偶性来分类，可将函数分为__________类． 分别是__________．对应的函数例子分别是：__________． 【答案】见解析．【解析】将函数按照奇偶性来分类，可将函数分为四类， 分别是奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数， 对应的函数列子分别是：3y x =，y x 2=，0y =，2x y =．15．（8分）阅读材料2中高一某学生在复习整理做过的题目中，发现有两个错题没有改过来，请你帮忙改正，并说明错误原因．（1）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x >时，2()23f x x x =--，则函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-->⎪=⎨-++<⎪⎩；正确答案：__________；错误原因：__________．（2）函数1()f x x=的单调减区间是(,0)(0,)-∞+∞． 正确答案：__________；错误原因：__________． 【答案】（1）正确答案：2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪-++<⎩；错误原因：未考虑0x =时函数值，0x <时，解析式求解错误． （2）正确答案：(,0)-∞和(0,)+∞；错误原因：1y x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上不单调． 【解析】（1）当0x <时，0x ->， ∴22()()2()323f x x x x x -=----=+-， 又∵()f x 是定义在R 的奇函数，∴2()()23f x f x x x =--=--+，且(0)0f =， ∴函数2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩．（2）1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞， 但1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上不单调．16．（17分）已知函数2()xf x x m=+，()m ∈R ． （1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；解：①当0m =时，函数的定义域为D ，则(,0)(0,)D =-∞+∞，因为x D ∀∈，都有x D -∈， 又因为22()()()x xf x f x x x --==-=--，所以函数是奇函数； ②当0m >时，函数的定义域为R ，因为x ∀∈R ，都有x -∈R ， 又因为22()()()x xf x f x x m x m--==-=--++，所以函数是奇函数；③当0m <时，函数的定义域为1D ，则1D =__________， 因为1x D ∀∈，都是1x D -∈，又因为()f x -=__________，所以函数是__________； 综上，函数()f x 为定义域上的__________．（2）当1m =时，写出函数()f x 的单调增区间，并证明： 解：依题意，1m =时，函数2()1xf x x =+， 函数()f x 的定义域为R ，因为x ∀∈R ，都有x -∈R ， 又因为22()()()11x xf x f x x x --==-=--++，函数()f x 为奇函数，所以只需要考虑函数()f x 的图象在y 轴右侧的部分的单调性， 再由对称性可得函数的单调区间；所以当0x >时，1()1f x x x=+，设1()g x x x=+， 可知函数()g x 是函数()f x 的倒数函数； 函数1()g x x x=+的图象如图所示：（()g x 只需填写(0,)+∞的单调性） 所以函数()g x 在区间__________上，单调__________（递增、递减）． 所以函数()g x 在区间__________上，单调__________（递增、递减）． 所以当0x >时，函数()f x 在区间__________上单调递增．由函数()f x 是R 上是奇函数，所以函数()f x 在区间(1,0)-上单调__________（递增、递减）． 又因为(0)0f =，当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <， 所以在定义域R 内函数()f x 单调增区间是__________．用单调定义证明如下：__________． 所以21()()y f x f x ∆=-=__________． 所以0y ∆>，所以得证．（3）当4m =时，函数()f x 的值域为__________．（4）当1m =-时，根据已有函数相关知识，在给定坐标系画出函数()f x 的简图； 分析：当1m =-时，函数2()1xf x x =-； ①由函数()f x 的定义域，可以初步判断函数()f x 的奇偶性； ②由函数()f x 的定义域，可以初步判断函数()f x 可能有两条渐近线； ③当0x ≠时，1()1f x x x=-，设1()g x x x=-，函数()g x 是函数()f x 的倒数函数，同样也可以依据函数()g x 的图象考虑函数()f x 的图象和性质．④画图（在图中标出横坐标分别为．．．．．．．．．．．0，．12，．2的点．．）． （5）若函数()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】（1）{|x x ≠；22()()()x xf x f x x m x m---===--++；奇函数；奇函数．（2）(0,1)；递减；(1,)+∞；递增；(0,1)；递增；(1,1)-， 设任意1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，2221211212212112212222222221121212(1)(1)()(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x x x +-+----∆=-=-===++++++++． （3）11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（4）见解析． （5）(0,)+∞．【解析】（1）当0m <时，要使函数有意义，则20x m +≠，解得x ={1|D x x =≠， 又∵22()()()x xf x f x x m x m--==-=--++，∴函数是奇函数． （2）由()g x 的图象易知函数()g x 在区间(0,1)单调递减，在区间(1,)+∞单调递增， ∴1()()f xg x =在区间(0,1)递增，在区间(1,)+∞递减， 又∵()f x 是奇函数，∴()f x 在区间(1,0)-递增，在区间(,1)-∞-递减， ∴在定义域R 内函数()f x 单调增区间是(1,1)-， 证明如下：设任意1x ，2(1,1)x ∈-且，12x x <，则22212112211221222222211212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y f x f x x x x x x x +-+--∆=-=-==++++++， ∵1x ，2(1,1)x ∈-且12x x <，∴210x x ->，120x x <，1210x x ->， ∴0y ∆>，∴得证． （3）当4m =时，函数2()4xf x x =+， 当0x =时，(0)0f =， 当0x ±时，21()44x f x x x x==++，令4()g x x x=+，则()(,4][4,)g x ∈-∞-+∞， ∴11(),00,44f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，综上所述，函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（4）当1m =-时，函数2()1xf x x =-， ∴函数()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，且()f x 是奇函数， 当0x ≠时，1()1f x x x=-， 设1()g x x x=-，则()g x 在[,1)-∞-上递增，且()0g x <，()g x 在(1,0)-上递增，且()0g x >，在(0,1)上递增，且()0g x <，在(1,)+∞递增，且()0g x >，∴()f x 在(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞单调递减，且当(,1)(0,1)x ∈-∞-时，()0f x <， 当(1,0)(1,)x ∈-+∞时，()0f x >，故图象如下：（5）当0m =时，1()f x x=，值域是(,0)(0,)-∞+∞，当0m >时，2()xf x x m =+，值域是⎡⎢⎣⎦， 当0m <时，2()xf x x m=+，值域是R ， 故若函数()f x 的值域是R ，则实数m 的取值范围是(0,)+∞．四、（共计8分）关于对数的发明，对数的功绩，对数的应用，教材122页阅读与欣赏的拓展． 阅读材料4．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，15501617-），1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则对数log a b m =是实数，其中b ，a ，m 的关系是b m a =，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．比如计算642的近似值，若用64个2连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：因为64lg 264lg 2640.301019.5640=⋅≈⨯=，再利用对数表查表规则，查出 0.2640lg1.836≈，于是1919.26400.264019lg1.83619lg1.83610=+=+=⨯，可得642的近似值为191.83610⨯，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！ 请依据上述材料，完成下列问题：17．（3分）写出你知道的对数运算公式（至少3个）． 【答案】见解析．【解析】log ()log log a a a MN M N =+；log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M =．18．（2分）利用阅读材料4，计算2log 5的近似值；（计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01）． 【答案】见解析． 【解析】2lg5lg2lg2.50.30100.39790.6989log 5 2.32lg2lg20.30100.3010++====≈．19．（3分）利用阅读材料4（计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01）． 【答案】见解析．【解析】31111lg3472lg(3.47210)(lg3.4723)(0.54063) 1.18023333=⨯=+=+=，利用对数表查出0.1802lg1.514≈，∴1.180210.1802lg10lg1.514lg15.14=+=+=，即lg15.14，15.14≈．附件．对数用表（部分及查表说明） 一、使用说明1．整数部分是一位非零数字．lg 2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5．所以lg2.5730.40990.00050.4104≈+=．2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示10n N ⨯． 4lg 25730lg(2.57310)lg 2.5734 4.4104=⨯=+=3lg0.222573lg(2.57310)lg 2.573(3) 2.5896-=⨯=+-=-．3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．6.4104：由0.4104查出0.4104lg2.573=．则66.4104lg 2.5736lg(2.57310)lg 2573000=+=⨯=． 负的对数化负整数+正纯小数，再同样查．二、对数用表（部分）。

一、选择题1．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（ ）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．112．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）.A ．()0,1B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 7．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数8．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________.15．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.16．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 17．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+；③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）18．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 20．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题21．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域； （3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 22．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =.（1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值. 23．（1）已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数()()f x x a =+的图像上，求不等式()3g x >的解集；（2）已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 24．计算：（1）()210.2513110.02781369-︒--⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；. （2）()2lg32lg25lg8lg5lg20lg2103+++- 25．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明. 26．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠. （1）解不等式(26)(5)f a f a +； （2）已知对任意的实数()23,14m f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，是否存在实数k ，使得对任意的[1,0]x ∈-，不等式()()142240x x xf f k ++--⋅>恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数． 【详解】 根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．C解析：C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1195a ≤<.故选：C 【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.4．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增， 则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.5．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a=，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．6．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .8．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．9．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．10．D解析：D【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确； ④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数，∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属解析：8 【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210xxa ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.16．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解.【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤， 综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.17．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且12121212121222222222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④，故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 19．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应 解析：[)6,+∞【分析】由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】 解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞． 故答案为：[)6,+∞． 【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．20．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.三、解答题21．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ； （2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ， （4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =， ∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =， （2）1()2222xxx xf x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； （3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22x x t -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩即2m =，或2512m =(舍去)， 故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立， ∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩， 解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解． 22．（1）2a =；(1,3)-；（2）2.【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠， 由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）23．（1）()3,+∞；（2）min 1y =，max 54y =. 【分析】（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2， ∴)22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+.∴由()3g x >得，2213x -+>. ∴222x ->. ∴21x ->. ∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞.（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则142t ≤≤， 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =， 当14t =，即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解． 24．（1）29-；（2）0 【分析】（1）由幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式1240.253271101()6(3)13631291000333-=-++-=-++-=-（2）原式2lg32lg52lg 2lg5(1lg 2)(lg 2)10=++++-2lg5lg 2(lg 2lg5)3330=+++-=-= 【点睛】本题考查幂的运算和对数的运算，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础． 25．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】 （1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下： 当(1,1)x ∈-时，1()()log 1a x f x g x x+-=-， 设1211x x -<<<， 则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->， ∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题. 26．（1）(0,1)[2,)a ∈⋃+∞（2）实数k 不存在，详见解析 【分析】（1）分类讨论，利用对数函数的单调性，将不等式具体化，解不等式即可； （2）判断函数()f x 为增函数，将不等式具体化，再分离参数求最值，即可得出结论. 【详解】解：（1）当01a <<时，有2650a a +>， 解得02a <≤，即(0,1)∈a ； 当1a >时，有0265a a <+， 解得2a ，即[2,)a ∈+∞. 综上可知，(0,1)[2,)a ∈⋃+∞.（2）由于221331244m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 且()2314f m m f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知()f x 为增函数. ()()142240x x x f f k ++--⋅>，即()()14224x x x f f k ++>-⋅，则有14224x x x k ++>-⋅在[1,0]-上恒成立， 即1342x x k +<⋅+在[1,0]-上恒成立，令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设2()32,()g t t t g t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则min 17()24g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即74k <. 又由于[1,0]x ∈-时，240x k -⋅>恒成立， 解得2k >，故符合题意的实数k 不存在. 【点睛】本题考查对数函数的单调性、恒成立问题的转化分析、指数函数与二次函数的复合函数的最值问题.。

一、选择题1．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．116B ．132 C ．164D ．11282．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-3．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：()()()1f xy f x f y =++，当1x >时，()1f x <-，且128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()(3)3f x f x +->-的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(0,1)(2,3)4．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（ ） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5．已知函数()3221xf x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<6．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．28．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．49．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ） A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ．()0,2C ．(0,4)D ．(,2)-∞11．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 21f x f x x =-的定义域是__________.14．函数y x =+______．15．若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.16．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________． 17．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．18．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．19．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________.20．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.三、解答题21．设函数12ax y x +=-. （1）当1a =时，在区间[)(]2,22,6-⋃上画出这个函数的图像；（2）是否存在整数a ，使该函数在[4,)+∞上是严格减函数，且当4x ≥时，都有4y ≤，如果存在，求出所有符合条件的a ，若不存在，请说明理由. 22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()243f x x x =-+.（1）若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上是单调的，求t 的取值范围；（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在22y x m =+-的图象上方，求实数m 的取值范围.24．已知函数()()210f x x x a=-+>.（1）判断()f x 在()0,∞+上的增减性，并用单调性定义证明. （2）若()20f x x +≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围. 25．在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-且()03f =，③()2f x ≥恒成立且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知二次函数()f x 的图象经过点()1,2，_________． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[]1,4-上的值域． 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由③可得()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111232232232232n n n n nf f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭，7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 2．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为xy e =在R 上单调递增，所以xy e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增， 又因为()()232f x f x ->，所以232xx ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.3．D解析：D 【分析】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-，根据定义可得()f x 在(0,)+∞上为递减函数，令1x y ==得(1)1f =-，令18,8x y ==可得(8)4f =-，可得(2)2f =-，将不等式化为[(3)](2)f x x f ->，利用单调性和定义域可解得结果. 【详解】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-，所以()()()()222111111111x x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=++<-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上为递减函数，在()()()1f xy f x f y =++中，令1x y ==得(1)2(1)1f f =+，得(1)1f =-，令18,8x y ==得11(1)(8)(8)()188f f f f =⨯=++，所以(8)1124f =---=-， 又(8)(2)(4)1f f f =++(2)(2)(2)113(2)2f f f f =++++=+4=-，所以(2)2f =-，()(3)3f x f x +->-可化为()(3)12(2)f x f x f +-+>-=，所以[(3)](2)f x x f ->，所以030(3)2x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，解得01x <<或23x <<.故选：D 【点睛】关键点点睛：利用定义判断函数的单调性以及求出(2)f 是解题关键.4．D解析：D 【分析】求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围． 【详解】[2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤，当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤， 按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤， 当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+，解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >． 因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤， 所以114m ≥-． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围．5．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.6．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B解析：B 【分析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求． 【详解】解：因为2()2af x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =， ①122a即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02ag a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故当1a =时，()g a 取得最小值12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．8．C解析：C 【分析】根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值． 【详解】由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，∴min ()(2)1M x M ==．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．9．A解析：A 【分析】 根据,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.【详解】由,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，得()()()222,[2,1]24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩，当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]， 当(1,)(,2)x ∈+∞-∞-，()2()154g x x =-++<，可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.10．B解析：B 【分析】构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把()80f x x->，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，【详解】由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-，设()()g x xf x =，可得()()12120g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，因为()24f =，则()228f =， 不等式()80f x x ->，可化为()80xf x x-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，即()()2g x g >，可得20x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<，所以不等式()80f x x->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.11．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a --， 上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ， 此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a -，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．12．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．二、填空题13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2【分析】求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](1,2 【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．14．【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域【详解】设则所以原函数可化为：由二次函数性质当时函数取最大值2由性质可知函数无最小值所以值域为：故答案为 解析：(],2-∞【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设)0t t =≥，则21x t =-， 所以原函数可化为：()2210y t t t =-++≥，由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时要注意一定写出新变量数的取值范围.15．【分析】直接计算需分多种情况讨论故先求题干的否定即对于区间上任意一个x 都有只需满足列出不等式组求解即可得答案【详解】函数在区间上至少存在一个实数使的否定为：对于区间上任意一个x 都有则即整理得解得或所解析：3(3,)2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-， 所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2- 【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.16．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3. 【解析】 解： 当k=0时，13y =，满足条件 当k 0≠时，24120k k -< 综上：0k 3≤<．点睛：定义域为R ，分母在R 上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．17．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f (－3)>f (－π)【解析】由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．18．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.19．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.20．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，2()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．【点睛】关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，转化为：()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分析，难度属于中档题三、解答题21．（1）答案见解析；（2）存在0a =或1． 【分析】（1）直接作出图象即可；（2）利用分离常数的方法结合反比例函数的单调性得出a 的范围，化简4y ≤将恒成立问题转化为求最值得出a 的范围，再由a 是整数求值即可． 【详解】（1）当1a =时，1233=1222x x y x x x +-+==+---（2）存在0a =或1符合题意．()212112=222a x a ax ay a x x x -++++==+---函数在[4,)+∞上是严格减函数，则120a +>，解得12a >-当4x ≥时，都有124ax y x =-≤+，等价于49ax x ≤-，即min 94a x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭又94y x =-在[)4,+∞上单调递增，则97444a ≤-= 故a 的取值范围是1724a -<≤，a 为整数，则符合条件的a 有0,1．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象，考查函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题，解决本题的关键是将当4x ≥时，都有4y ≤进行去分母化简，并分离参变量，将不等式恒成立转化为函数的最值问题，结合反比例函数的单调性求出参数的范围，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．22．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）(][),01,-∞⋃+∞；（2） 【分析】（1）分函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增和单调递减两种情况讨论，可得出关于实数t 的不等式，由此可解得实数t 的取值范围；（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用参变量分离法可得出265m x x <-+，利用二次函数求出函数()265g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）二次函数()243f x x x =-+的图象开口向上，对称轴为直线2x =.①若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增，则12t +≥，解得1t ≥； ②若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递减，则22t +≤，解得0t ≤. 综上所述，实数t 的取值范围是(][),01,-∞⋃+∞；（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立， 则265m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，令()()226534g x x x x =-+=--，则函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减，所以，()()min 10g x g ==，0m ∴<. 因此，实数m 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 24．（1）答案见详解；（2）0a <. 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可； （2）先分离参数，即转化为212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，只需求二次函数值域，即得结果. 【详解】解：（1）任取120x x <<，则12120,0x x x x +>-<，()1f x ()()()222212*********=1x x x x x x x x f a x a ⎛⎫⎛⎫-+--+=-=+-< ⎪ ⎭-⎪⎝⎝⎭故()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）()20f x x +≥，即2120x x a -++≥，即212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，而二次函数()()22211,0y x x x x =+=+->的值域为()0+∞，，故10a≤，故0a <. 所以a 的取值范围为0a <. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有： （1）分离参数法：参变分离，转化为函数最值问题；（2）构造函数法：直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．（3）数形结合法：画出函数图像，结合图象，根据关键点处的大小关系得到结果. 25．（1）()223x x x f =-+；（2）[]2,11.【分析】（1）若选①：利用待定系数法并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选②：根据对称轴方程以及()03f =并结合()f x 的图象经过点()1,2求解二次函数()f x 的解析式；若选③：根据已知条件判断出()1,2为图象的最低点，由此分析出对称轴，则二次函数的解析式可求;（2）根据（1）得到()f x 的解析式，然后利用配方法和整体替换的方法求解出()212x -+的取值范围，则()f x 在[]1,4-上的值域可求.【详解】 解：若选①，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++． 因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-．因为()f x 的图象经过点()1,2，所以()1122f a b c c =++=-+=，所以3c =． 故()223x x x f =-+．若选②，（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()f x 图象的对称轴方程为2bx a=-．由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故()223x x x f =-+．若选③，（1）()()20f x ax bx c a =++≠．因为()03f =，所以3c =．因为()()21f x f ≥=，所以()13212f a b b a ⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，2b =-．故()223x x x f =-+．（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+． 因为14x -≤≤，所以213x -≤-≤，所以()2019x ≤-≤，所以()221211x ≤-+≤． 即()f x 在[]1,4-上的值域为[]2,11． 【点睛】方法点睛：求解函数解析式常用的方法有：（1）换元法：适用于求解已知()()f g x 的解析式求解()f x 的解析式的类型； （2）待定系数法：适用于已知函数的类型求解函数解析式，如已知函数为一次函数可设()()0f x kx b k =+≠或已知函数为二次函数可设()()20f x ax bx c a =++≠；（3）方程组法：适用于已知()(),f x f x -组成的方程求解()f x 的解析式或已知()1,f x f x ⎛⎫⎪⎝⎭组成的方程求解()f x 的解析式的类型.26．（1）2()1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）利用增函数的定义证明即可；（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单调性可求解不等式【详解】（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01b=，得0b =， 因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221514a=+，解得1a =， 所以2()1xf x x =+（2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以()f x 在(0,1)上是增函数.（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数， 所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数， 所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，所以2211112121t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<.【点睛】关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。

一、选择题1．已知集合{}11M x Z x =∈-≤≤，{}Z (2)0N x x x =∈-≤，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,22．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2D ．-1或24．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞ D ．1[,0)(0,1)3-⋃5．在整数集Z 中,被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{5|}k n k n Z =+∈,0,1,2,3,4k =;给出四个结论:（1）2015[0]∈;（2）3[3]-∈;（3）[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃;（4）“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知{}lg M y y x ==，{}xN y y a ==，则MN =（ ）A ．0,B ．RC ．∅D ．,07．对于非空实数集A ，定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥．设非空实数集(],1C D ≠⊆⊂-∞．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有D C **⊆；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有C D *≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必有CD *=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C ，D ，必存在常数a ，使得对任意的b C *∈，恒有a b D *+∈．以上命题正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤9．已知0a b >>，全集为R ，集合}2|{ba xb x E +<<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（ ）A ． E M =（R C F ）B ．M =（RC E ）F C ．F E M =D ．FE M =10．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈11．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<12．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞；②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个． 其中结论正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知集合{|M m Z =∈关于x 的方程2420x mx +-=有整数解}，集合A 满足条件：①A 是非空集合且A M ⊆；②若a A ∈，则a A -∈．则所有这样的集合A 的个数为______．14．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．15．若集合(){}2220A x Z x a x a =∈-++-<中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是_____.16．已知()2f x x ax b =++，集合(){}0A x f x =≤，集合(){}3B x f f x ⎡⎤=≤⎣⎦，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是______.17．非空集合G 关于运算*满足：① 对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；② 存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法； ②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法； 其中为融洽集的是________18．若{}2230P x x x =--<,{}Q x x a =>,且P Q P =,则实数a 的取值范围是______.19．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________20．若集合{}|121A x m x m =+<≤-，{}|25B x x =-≤<,若()()R R C A C B ⊇，则m 的取值范围是_____________．三、解答题21．设集合{}|34A x x =-≤≤，{|132}B x m x m =-≤≤- （1）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围.22．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}16B x x x =->. （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-<<+，()()R C AC B ⊆，求实数m 的取值范围.23．设全集U R =，集合{|2A x x =≤-或}{}5,|2x B x x ≥=≤．求（1）()UA B ⋃；（2）记(){},|23U A B D C x a x a ⋃==-≤≤-，且C D C ⋂= ，求a 的取值范围.24．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围. 25．已知集合{|123}A x a x a =+≤≤+，{}2|7100B x x x =-+-≥. （1）已知3a =，求集合()R A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的范围．26．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B ；（2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】阴影部分可以用集合M N 、表示为()()M N C M N ⋃⋂，故求出M N 、、M N ⋃，M N ⋂即可解决问题． 【详解】解：由题意得，{}1,0,1M =-，{}0,1,2N ={}1,0,1,2M N ⋃=-，{}0,1M N ⋂=阴影部分为()(){}1,2M N C M N ⋃⋂=-故选B 【点睛】本题考查用韦恩图表示的集合的运算，解题时要能用集合的运算表示出阴影部分．2．C解析：C 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.4．A解析：A 【分析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足， 当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-， 又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<， 当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a≥-， 又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<， 综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集.5．C解析：C 【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于（1）,因为20155403÷=,余数为0,所以2015[0]∈,故（1）正确; 对于（2）,因为()3512-=⨯-+,所以33[]-∉,故（2）错误; 对于（3）,因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类,故[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃,故（3）正确;对于（4）,因为整数,a b 属于同一“类”,所以整数,a b 被5除的余数相同,从而-a b 被5除的余数为0,反之也成立,故“整数,a b ”属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”．故（4）正确．综上所述,正确的个数为:3个. 故选C ． 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被5所除得余数为k 的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】先化简集合M ，N ，再计算M ∩N 即可． 【详解】由已知易得M ＝R ，N ＝{y ∈R|y >0}，∴M ∩N ＝(0，+∞）． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单．7．B解析：B 【分析】根据题干新定义{|A z *=对任意},x A z x ∈≥，通过分析举例即可判断。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期高一年级阶段数学检测必修第四册学分认定考核试卷说明：本试卷选择题（1-10题）为客观性试题（闭卷30分钟，共40分），填空题与四道大题（11-19题）为主观性试题（开卷60分钟，共60分（其中含卷面书写分5分）），全卷共100分；请将答案写在答题纸的相应位置上.一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）1. 下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M a Î，M b Î，l a b =I ，则M l Î；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理3判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理3判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.2. 设m 是一条直线，a 、b 是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）A. 若a b ^，m a ^，则//m bB. 若a b ^，//m a ，则m b^C. 若//a b ，m a ^，则m b^D. 若//a b ，//m a ，则//m b【答案】C【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若a b ^，m a ^，则//m b 或m b Ì，故A 不正确；对于选项B ：若a b ^，//m a ，则//m b 或m b Ì或m b ^，故B 不正确；对于选项C ：若//a b ，m a ^，根据面面平行的性质定理可得m b ^，故C 正确；对于选项D ：若//a b ，//m a ，则//m b 或m b Ì，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3. 在ABC V 中，6ABC p Ð=，AB =，3BC =，则AC 等于（ ）B. 3 D. 21【答案】A【解析】【分析】直接根据余弦定理即可得出结果.【详解】因为6ABC pÐ=，AB =，3BC =，所以2222cos 93233AC BC AB BC AB ABC =+-××Ð=+-´=，即AC =，故选：A.【点睛】本题主要考查了通过余弦定理解三角形，属于基础题.4. 在ABC V 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A 10b =，45A =°，70C =° B. 60a =，48c =，60B =°C. 8a =，5b =，80A =°D. 13a =，16b =，45A =°【答案】D【解析】【分析】在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断．【详解】A ：已知两角和一边，三角形确定，只有一解；B ：已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；C ：已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解；D：sin 16sin 45b A a b =°=<<，有两解．故选：D.【点睛】本题主要考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法．属于较易题.5. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，则圆柱的体积为（ ）【答案】D【解析】【分析】设出圆柱的高2a ，找到侧面积S 和a 之间的关系，即可求得体积.【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为2a ，又因为轴截面为正方形，故可得底面半径为a .则24S a p =，解得a =故可得圆柱体积2224S V a a p p p =´=´=.故选：D.【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题.6..把边长为4的正方形ABCD ，沿对角线BD 折成空间四边形ABCD ，使得平面ABD ^平面BCD ，则空间四边形ABCD 的对角线AC 的长为（ ）A. 4B.C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】先利用正方形对角线垂直知对折后AO ^平面BCD 即AO OC ^，在Rt AOC △求AC 即可.【详解】如图所示，正方形ABCD ，对角线交于O 点，则AC BD ^，沿对角线BD 折成空间四边形ABCD 后，有AO BD ^，CO OA ==而平面ABD ^平面BCD ，交线是BD ，故AO ^平面BCD ，即AO OC ^，所以AOC △是等腰直角三角形，故4AC =.故选：A.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，属于基础题.7. 在ABC V 中，2a =，45B =°，105C =°，则ABC V 的面积是（ ）A. 2+B.C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件先求出A ，在ABC V 中，利用正弦定理求出b ，再利用三角形面积公式求解即可.【详解】由45B =°，105C =°，得30A =°，在ABC V 中，由正弦定理得：2sin sin sin 30sin 45a b b b A B =Þ=Þ=°°则ABC V 的面积是：()11sin 2604522ab C =´´°=°+°60cos 4560sin 451=°°+°°=+，所以ABC V 的面积是1+故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及三角形面积公式,考查了两角和的正弦公式.属于较易题.8.已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面积是（ ）A. 169p B. 83p C. 649p D. 4p【答案】C【解析】∵ D 是正△ABC 的中心，∴ AD 是△ABC 的外接圆半径.∵ AD ＝2sin 60AB =°，又OD ＝12R ＝12OA ，OA ＝OD ＋AD ，∴ R ＝21344R + ，∴ R ＝ 649 ，∴ 球的表面积S ＝4πR ＝649p .故选C9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①1//D P 平面11A BC ；②1D P BD ^；③平面1PDB ^平面11A BC ；④三棱锥11A BPC -的体积不变.则其中所有正确命题的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定与性质判断①正确；由特殊点可以说明②错误；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断③正确；利用等积法说明④正确．【详解】对于①，连接1A B ，11A C ，可得11//AC AC ，11//AB DC ，∴平面11//A BC 平面1ACD ，从而有1//D P 平面11A C B ，故①正确；对于②，连接1111,,D A D B AB ，可知11AD B V 是等边三角形，三角形内角为3p ，所以1D A BD ，所成角为3p，所以当点P 与A 重合时，不满足1D P BD ^，故②错误；对于③，连接1DB ，由111DB A C ^且11DB A B ^，可得1DB ^平面11A C B ，又1DB Ì平面1PDB ，由面面垂直的判定知平面1PDB ^平面11A BC ，故③正确；对于④，容易证明11//A C AC ，从而//AC 平面11A BC ，故AC 上任意一点到平面11A BC 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面11A BC 为底面，则三棱锥11A BPC -的体积不变，故④正确．∴正确命题的序号是①③④．故选：C ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何元素位置关系的证明，考查三棱锥的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10. 三棱锥V ABC -中，侧面VBC ^底面ABC ，45ABC Ð=°，VA VB =，AC AB =.则（ ）A. AC BC^ B. VB AC ^ C. VA BC ^ D. VC AB^【答案】C【解析】【分析】由已知条件得到45,ACB AC AB Ð=°^，设BC 的中点为D ，AB 的中点为E ，连接,,,AD VE VD DE ，利用面面垂直性质定理得到AD ^面VBC ，进而得到AD VD ^；再利用线面垂直的判定定理得到AB ^面VDE ，进而得到AB VD ^；最后利用线面垂直的判定定理得到VD ^面ABC ，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DV 为z 轴建立空间坐标系，设,VD b BD DA DC a ====，写出点坐标，利用两个向量的数量积是否为0判断两条线的垂直关系即可.【详解】由AC AB =，45ABC Ð=°，得45,ACB AC AB Ð=°^，故选项A 错误；设BC 的中点为D ，AB 的中点为E ，连接,,,AD VE VD DE ，由题意得：,,//AD BC VE AB DE AC ^^，又面VBC ^面ABC ，且面VBC I 面ABC BC =，AD Ì面ABC ，所以AD ^面VBC ，又VD Ì面VBC所以AD VD ^；//,DE AC AB AC ^,所以DE AB ^，又 VE AB ^，VE DE E =I ,AB Ë面VDE ，则AB ^面VDE ，所以AB VD ^；又AB AD A Ç=,VD Ë面ABC ，所以VD ^面ABC ，则,VD BC VD AD ^^，所以以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DV 为z 轴建立空间坐标系，设,VD b BD DA DC a ====，则()()()(),0,0,0,,0,0,,0,0,0,A a B a C a V b -，所以()()(),0,,0,,,0,,VA a b VB a b VC a b =-=-=--uu r uur uuu r ，()()(),,0,,,0,0,2,0AB a a AC a a BC a =-=--=-uuu r uuu r uuu r ，所以220,0,0VA BC VB AC a VC AB a ×=×=-¹×=-¹uu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r ，故VA BC ^，选项BD 错误，选项C 正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查了利用空间向量求解两条直线的垂直问题.属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸中相应位置上.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c .若222a c b +-=，则角B 的大小为________.【答案】6p 【解析】【分析】利用余弦定理结合已知条件求B 的余弦值即得结果.的【详解】因为222a cb +-=，所以222cos 2ac b B ac +-===又ABC V 中，()0,B p Î，故6B p =，故答案为：6p .【点睛】本题考查了利用余弦定理求角，属于基础题.12. 在ABC V 中，若b =，3c =，30B °=，则a 等于________.【答案】.【解析】【分析】由正弦定理，求得sin C =，得到60C °=或120C °=，分类讨论，即可求得a 的值.【详解】由正弦定理，可得sin sin b c B C =，所以sin sin c B C b ×===，因为(0,180)C Îo o ，所以60C °=或120C °=，当60C °=时，90A °=，可得a ==；当120C °=时，30A °=，此时a b ==，综上可得a =或a =故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得sin C 的值，得出C 的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.13.在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且B 在A 的南偏西30°距离A 点300米的地方，在A 测得山顶的仰角是30°，则山高为________米.【答案】150+【解析】【分析】先设山高CD h =，依题意可得ABD Ð，由正弦定理可求得AD ，在直角ADC V 中，tan 30h AD =×°计算得出结果即可.【详解】设山高CD h =，300AB =，()()180180456075ABD ADB DAB Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°，由正弦定理得)sin 1501sin AB ABD AD ADB ×Ð===Ð.在直角ADC V中，)tan 301501150h AD =×°==+.故山高为(150+米.故答案为：150+.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于较易题.14. 已知正四棱锥的高为4，侧面积为，则该棱锥的侧棱长为________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a ，由侧面积列式求得a 值，进一步求得侧棱长即可.详解】如图，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，底面中心为O ，取BC 的中点M ，【连接OM ，PM ，则2a OM =，斜高PM ==∴该棱锥的侧面积142S a =´´=24a =，又OB =，==，故答案：【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，属于基础题.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC pÐ=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ，点N 在棱11A B 上，//HN 平面1A BC ，则111A N AB 的值为________.【答案】12【解析】【分析】先取111,BB A B 中点,M N 得到过HN 的一个平面平行平面1A BC ，即知11112A N AB =.【详解】取111,BB A B 中点,M N ，连接,HM MN ，为故MH BC P ，1MN A B ∥，又,MH MH 在平面1A BC 外，,BC MN Ì平面1A BC所以MH ∥平面1A BC ，MN ∥平面1A BC ，又,MH MH 相交在平面HMN 内，故平面1A BC P 平面HMN ，即//HN 平面1A BC ，故11112A N AB =.故答案为：12.【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题.三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ^平面ABCD ，E 、F 分别是棱PD 、CD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAC ；（2）求证：EF BD ^.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）由E 、F 分别是棱PD 、CD 的中点，可得：//EF PC ，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用已知条件得到AC BD ^，PA BD ^，利用线面垂直的判定定理证明BD ^面PAC，所以BD PC ^，又由（1）得//EF PC ，即可得证.【详解】证明：（1）由E 、F 分别是棱PD 、CD 的中点，可得：//EF PC ，又EF Ë平面PAC ，PC Ì平面PAC ，所以//EF 平面PAC ；（2）∵底面ABCD 为正方形，AC BD \^，又PA ^平面ABCD ，所以PA BD ^，又PA AC A =I ，BD Ë面PAC ，所以BD ^面PAC ，所以BD PC ^，又由（1）得//EF PC ，所以EF BD ^.【点睛】本题主要考查了线面垂直、线面平行的判定定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于较易题.17. 在ABC V 中，1b =，2c =，ABC V.（1）求A Ð；（2）求sin B 的值.【答案】（1）3A p Ð=或23A p Ð=；（2）12.【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式求得sin A 的值，从而可以确定出角A 的大小；（2）由余弦定理求出a ，结合正弦定理可求出sin B 值.【详解】（1）因为1b =，2c =，ABC V所以有121sin 2A ´´´=sin A =，的因为(0,)A p Î，所以3A p Ð=或23A p Ð=；（2）由余弦定理可得：当3A p =时，22212cos 1421232a b c b c A =+-××=+-´´´=，所以a =由正弦定理，sin sin b a B A =，得sin 1sin 2b A B a ===，当23A p =时，22212cos 14212(72a b c b c A =+-××=+-´´´-=，所以a =由正弦定理，sin sin b a B A =，得sin sin b A B a ===，所以sin B 的值为12.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，余弦定理解三角形，正弦定理解三角形，属于简单题目.18. 在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos sin B b A =.（1）求cos B ；（2）若3c =，AC 边上的中线BD，求边a .【答案】（1）13；（2）1.【解析】【分析】（1）由题中条件，根据正弦定理，先得到sin B B =，代入22sin cos 1B B +=，即可得出结果；（2）根据BD 为AC 边上的中线，得到cos ADB cos DB 0Ð+Ð=C ，根据余弦定理，得出2223AD a =+，再由222cos 2a c b B ac +-=得出22492AD a a =+-，两式联立，即可得出结果.【详解】（1）因为cos sin B b A =，在ABC V 中，由正弦定理可得cos sin sin A B B A =，则sin 0B B =>，所以2222sin cos 8cos cos 1B B B B +=+=，解得1cos 3B =（负值舍去）；（2）因为BD 为AC 边上的中线，所以ADB Ð与CDB Ð互补，则cos ADB cos DB 0Ð+Ð=C ，因为BD =，3c =，AD DC =，由余弦定理可得222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-Ð==×，222cos 2CD BD BC CDB CD BD +-Ð==×，0=，所以2223AD a =+，又在ABC V 中，22222941cos 263a cb a AD B ac a +-+-===，则22492AD a a =+-，因此226229a a a =+-+，整理得2230a a +-=，解得1a =或3a =-（舍）.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.19.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =.（1）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ；（2）若直线1B D ^平面EFP ，①求三棱锥1B EFP -的表面积；②试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积.【答案】（1）答案见详解；（2）①6++；②作图步骤见解析，三棱锥Q EFP - 的体积为815．【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到//EF l ，再结合线线平行的传递性即可证明结论；（2）①先根据直线1B D ^平面EFP 得到1B D EP ^，进而得到P 是1DB 的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥1B EFP -的表面积；②根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线即可；根据NEFP 四点共面，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等，那么三棱锥Q EFP -的体积等于三棱锥P ENQ -的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面EFP Ç平面11ABB A EF =，所以//EF l ，因为点E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点，所以1//EF A B ，所以1//l A B ．（2）①因为直线1B D ^平面EFP ，EP Ì平面EFP ，所以1B D EP ^，又因为DAE D @△11B A E ，所以1DE B E =，所以1DP B P =，因为2EFP S D ==，11122EPB FPB S S D D +=´´=，1162EFB S D =´=，所以三棱锥1B EFP -的表面积为6++②作图步骤如下：连接GE ，过点G 作GH DC ^于点H ，连接HA 并延长交GE 的延长线于点I ，连接IM 并延长交AB 于点J 交DC 的延长线于点K ，再连接GK 交1CC 于点S ，连接MS 并延长交11B C 的延长线于点R ，连接RG 并延长交11A D 于点Q ，再连接EQ ，GS ，EJ ，则图中EQ ，QG ，GS ，SM ，MJ ，JE 即为平面EGM 与正方体各个面的交线．设BJ CK x ==，由题知23AJ HC CK x =+=+，所以1322x AJ HK +==，所以342x x ++=，解得53x =，因为11139553C R C S GC MC SC CK ====，2MC =Q ，\1185C R =，所以111635D Q C R ==，如上图，设N 为线段11A D 的中点，可证点N 在平面PEF 内，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等，所以，三棱锥Q EFP -的体积=三棱锥Q ENP -的体积=三棱锥P ENQ -的体积183215ENQ AB S D ==g ，所以三棱锥Q EFP - 的体积为815．【点睛】本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．。

2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−123．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（）A．m＝3，n＝15B．m＝﹣3，n＝15C．m＝3，n＝81D．m＝﹣3，n＝817．“函数f（x）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A．存在a∈（1，2）满足f（a）≤f（1）B．存在a∈（1，2）满足f（a）≥f（2）C．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）＝f（b）D．存在a，b∈[1，2]且a＜b满足f（a）≥f（b）8．如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（）A．ab＞c B．abc＞12C．c+2b＜a D．a+c＞2b9．已知f（x）={1，x∈Q0，x∈∁R Q．若对任意x∈R，均有xf（x）≤g（x），则函数g（x）可以是（）A．g(x)=1B．g（x）＝x C．g（x）＝x2D．g（x）＝|x|x10．如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A﹣B﹣C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当AM＝x 时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2的定义域为．x+112．不等式|2x﹣3|＜3的解集是．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝，B＝．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+b的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，xf（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣3．（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}，求a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，求x 1+x 2的取值范围； （Ⅲ）若当x ∈[3，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ） A ．（1，3） B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4）20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“yx +x y+2=1xy”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为（6分）23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝（6分）24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为（6分）25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增； ②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1； ④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是（6分）三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x，y∈T，当x+y≠x﹣y时，{x+y，x﹣y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x，y∈T，当x+y≠|x﹣y|时，{x+y，|x﹣y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{1，a，b}是弱和差集，求A；（Ⅲ）若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．2023-2024学年北京市中国人民大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，3}解：A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．已知命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是（）A．∀x≥0，x2+x＞−12B．∃x≥0，x2+x≤12C．∀x＜0，x2+x＞−12D．∃x＜0，x2+x＞−12解：命题p：∃x＜0，x2+x≤−12，则¬p是∀x＜0，x2+x＞−12．故选：C．3．下列函数中，在定义域上单调递减的是（）A．y＝x﹣1B．y＝﹣|x|C．y＝﹣x2﹣2x﹣1D．y=1√x+1+√x解：根据一次函数的性质可知，y＝x﹣1在R上单调递增，不符合题意；y＝﹣|x|，y＝﹣x2﹣2x﹣1在R上不单调，不符合题意；因为y=√x+1+√x在（0，+∞）上单调递增，故y=1√1+x+√x在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选：D．5．已知关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵关于x的方程x2﹣3x+a＝0的两个实根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝a，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=9﹣4a＝1，∴a＝2．故选：B ．6．已知函数f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝（x +1）2，下表列出了x ＝m 时各函数的取值，则（ ）A ．m ＝3，n ＝15B ．m ＝﹣3，n ＝15C ．m ＝3，n ＝81D ．m ＝﹣3，n ＝81解：由题得：f （m ）＝m 2﹣1＝8且g （m ）＝（m +1）2＝4， 可得m ＝﹣3，故f [g （m ）]＝f （4）＝42﹣1＝15＝n ． 故选：B ．7．“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≤f （1） B ．存在a ∈（1，2）满足f （a ）≥f （2） C ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）＝f （b ） D ．存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）解：“函数f （x ）在区间[1，2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a ，b ∈[1，2]且a ＜b 满足f （a ）≥f （b ）． 故选：D ．8．如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是（ ）A ．ab ＞cB ．abc ＞12C ．c +2b ＜aD ．a +c ＞2b解：由图可知，﹣1＜a ＜−−12，−12＜b ＜0，12＜c ＜1，对于A ，由﹣1＜a ＜−12，−12＜b ＜0可得12＜−a ＜1，0＜−b ＜12，所以0＜ab ＜12，又12＜c ＜1，故ab ＜c ，故A 错误；对于B ，由0＜ab ＜12，12＜c ＜1，可得0＜abc ＜12，故B 错误；对于C ，由﹣1＜2b ＜0，12＜c ＜1，可得−12＜c +2b ＜1，又﹣1＜a ＜−12，所以c +2b ＞a ，故C 错误； 对于D ，由图可知，|a ﹣b |＜|b ﹣c |，即b ﹣a ＜c ﹣b ，整理得2b ＜a +c ，故D 正确． 故选：D ．9．已知f （x ）={1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q．若对任意x ∈R ，均有xf （x ）≤g （x ），则函数g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=1xB ．g （x ）＝xC ．g （x ）＝x 2D ．g （x ）＝|x |解：当x 为有理数时，f （x ）＝1，xf （x ）≤g （x ）⇔x ≤g （x ），排除A ，C 选项； 当x 为无理数时，f （x ）＝0，xf （x ）≤g （x ）⇔0≤g （x ），排除B 选项；只有D 正确． 故选：D ．10．如图，给定菱形ABCD ，点P 从A 出发，沿A ﹣B ﹣C 在菱形的边上运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q ，PQ 与AC 相交于点M ，R 为菱形ABCD 边上的动点（不与P ，Q 重合），当AM ＝x 时，△PQR 面积的最大值为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为四边形ABCD 是菱形，且P 关于AC 的对称点为Q ，所以PQ ⊥AC ， 先研究P 从A 运动到B 的情况，设AC ＝a ，∠P AM ＝α，则PQ ＝2x •tan α，然后可得y =12PQ ⋅MC =x •（a ﹣x ）tan α，因为P 从A 运动到B 与P 从B 运动到C 时，对应的△PQR 面积最大值的变化规律是相反的， 所以设0＜x ≤a2，y ＝x •（a ﹣x ）tan α=[−(x −a 2)2+a 24]tanα，（0＜x ≤a2），显然tan α＞0，结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在（0，a2）上单调递增，C 选项正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f（x）=√x−2x+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．解：要使函数有意义，只需x−2x+1≥0，解得x≥2或x＜﹣1，所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．12．不等式|2x﹣3|＜3的解集是（0，3）．解：|2x﹣3|＜3，则﹣3＜2x﹣3＜3，解得0＜x＜3，故所求的解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．13．A={y|y=√x}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}，B⊆A，则实数a的取值集合是{a|a≥0}．解：A={y|y=√x}={y|y≥0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＝0}，∵B⊆A，∴a≥0，∴实数a的取值集合是{a|a≥0}．故答案为：{a|a≥0}．14．若存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则实数a的取值集合是{a|a≥6}．解：存在x∈（0，+∞），使得x2﹣ax+9＝0，则存在x∈（0，+∞），ax＝x2+9，即a=x+9x，设g（x）=x+9 x ，x+9x≥2√x⋅9x=6，当且仅当x＝3时，等号成立，故a≥6，所以实数a的取值集合是{a|a≥6}．故答案为：{a|a≥6}．15．对集合A，B，定义A⊗B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}．①若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为：A＝{1，2}，B＝{3，4}．（写出一组即可）②若集合M满足：存在M的子集A，B，使得A⊗B的元素个数不小于100，且对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∈A⊗B，则集合M的元素个数的最小值是10．解：①当A＝{1，2}，B＝{3，4}时，由题意可知：A⊗B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，此时A⊗B的元素个数为4，满足题意．②设集合A中元素的个数为m，集合B中元素的个数为n，根据题意可知A⊗B的元素个数为mn，若A⊗B的元素个数为4，则A，B可以为A＝{1，2}，B＝{3，4}，若对任意（a，b）∈A⊗B，均有（b，a）∉A⊗B，则A＝B，m＝n，又A⊗B的元素个数不小于100，则mn＝m2≥100，解得m≥10，因为A，B是集合M的子集，所以集合M的元素个数的最小值是10．故答案为：①A＝{1，2}，B＝{3，4}（答案不唯一）；②10．三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（11分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求m的取值集合；（Ⅱ）若A∪B＝R，求m的取值集合．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝（﹣∞，m），其中m∈R．若B⊆A，则m≤﹣2，∴m的取值集合是{m|m≤﹣2}；（Ⅱ）若A∪B＝R，则m≥3，∴m的取值集合为{m|m≥3}．17．（12分）已知函数f（x）＝ax+bx的定义域为（0，+∞），y＝﹣3x+6与y＝f（x）的图象相交于点A（1，f（1）），B（2，f（2））．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．解：（Ⅰ）根据题意，可得f（1）＝﹣3+6＝3，f（2）＝﹣6+6＝0，故{a+b=32a+b2=0，解得{a=−1b=4，所以f（x）的解析式为f(x)=−x+4x；（Ⅱ）函数f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数，理由如下：证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)+(4x1−4x2)=(x2−x1)(1+4x1x2)，因为x1＜x2，且x1、x2都是正数，所以x2﹣x1＞0且1+4x1x2＞0，可得f（x1）＞f（x2）．因此f（x）=−x+4x在（0，+∞）上是减函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，求x1+x2的取值范围；（Ⅲ）若当x∈[3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）依题意﹣1，3是方程ax2﹣2x﹣3＝0的两根，所以﹣1+3=2a，﹣1×3=−3a，解得a＝1，故a的值为1．（Ⅱ）关于x的方程f（x）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，所以a≠0，所以x1+x2=2a，Δ＝4+12a＞0，解得a＞−1 3，当−13＜a＜0时，1a＜−3，所以2a＜−6，x1+x2∈（﹣∞，﹣6）；当a＞0时，2a∈(0，+∞)，即x1+x2∈（0，+∞）．综上所述：x1+x2的范围是（﹣∞，﹣6）∪（0，+∞）．（Ⅲ）函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3对称轴是x=1 a ，当a＜0时，f（x）在[3，+∞）上f（x）≥0不恒成立，当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在[3，+∞）上f（x）≥0不成立，当1a ≤3时，即a≥13时，f（x）在[3，+∞）上单调递增，要使在[3，+∞）上f（x）≥0恒成立，则f（3）＝9a﹣6﹣3≥0，解得a≥1，即a≥1；当1a ＞3时，即0＜a＜13时，f(x)min=f(1a)=1a−2a−3=−1a−3，要使f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则−1a −3≥0，解得a ≤−13，矛盾．综上所述，f （x ）≥0在[3，+∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，+∞）．一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x ||x |＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}，则{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝（ ）A ．（1，3）B ．[1，3]C ．[﹣4，1]∪[3，4]D ．（﹣4，1）∪（3，4） 解：集合A ＝{x ||x |＜4}＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x 2﹣4x +3＞0}＝{x |x ＞3或x ＜1}，A ∩B ＝{x |﹣4＜x ＜1或3＜x ＜4}，故{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．故选：B ．20．若xy ≠0，则“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由y x +x y +2=x 2+y 2+2xy xy =(x+y)2xy ，可得“y x +x y +2=1xy ”等价于“(x+y)2xy =1xy ”，即x +y＝±1．因此，由x +y ＝1可以得到y x +x y +2=1xy 成立，由y x +x y +2=1xy 不能推出x +y ＝1． 故“x +y ＝1”是“y x +x y +2=1xy ”的充分而不必要条件．故选：A ．21．若x 03+y 03=a （x 0∈Z ，y 0∈Z ），则称（x 0，y 0）是关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）A ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解B ．∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解C ．∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解D ．∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有有限组整数解解：对于A ：当a ＝0时，由x 3+y 3＝0，得（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝0，解得y ＝﹣x ，∀x ∈Z ，（x ，﹣x ） 是方程x 3+y 3＝0的整数解，所以，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有无限组整数解为真命题，故A 正确；对于B ：当a ＝1时，方程x 3+y 3＝1，因为x 0∈Z ，y 0∈Z ，所以有且仅有（0，1）和（1，0）时方程x 3+y 3＝1成立，因此，∃a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 有且只有两组整数解为真命题，故B 正确．对于C ：当a ＝3时，由3＝1×3，3＝3×1，3＝（﹣3）×（﹣1），3＝（﹣1）×（﹣3），仅有这4种整数分解的方法，又x 2﹣xy +y 2≥0，所以{x +y =−1x 2−xy +y 2=−3，无解； 或{x +y =−3x 2−xy +y 2=−1，无解； 或{x +y =1x 2−xy +y 2=3，消去y 得3x 2﹣3x ﹣2＝0，解得x =3±√336，无整数解； 或{x +y =3x 2−xy +y 2=1，消去y 得3x 2﹣9x +8＝0，无解； 综上所述，方程x 3+y 3＝3无整数解，所以，∀a ∈Z ，方程x 3+y 3＝a 至少有一组整数解为假命题，故C 错误．对于D ：若关于x ，y 的方程x 3+y 3＝a 存在整数解（x 0，y 0 ）．由x 0∈Z ，y 0∈Z ，则a ∈Z ，∀a ≠0，整数a 至多有有限组分解方法，可设所有分解形式为a ＝b i c i （i ＝1，2，3，⋯，n ；b i ，c i ∈Z ），由x 3+y 3＝（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）＝a ，得{x +y =b i x 2−xy +y 2=c i，i ＝1，2，3，⋯，n ， 消去y 得3x 2﹣3b i x +b i 2−c i ＝0，i ＝1，2，3，⋯，n ，对于b i （i ＝1，2，3，⋯，n ）的每一个确定的值，此关于x 的二次方程最多有2个整数解，即方程组至多有2组整数解．所以，∀a ≠0，方程x 3+y 3＝a 至多有2n 组整数解，故D 正确．故选：C ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22．函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的最小值为 2 ．解：在数轴上，设﹣1、1、x 所对应的点分别是A 、B 、P ，则函数y ＝|x ﹣1|+|x +1|的含义是P 到A 的距离与P 到B 的距离的和，可以分析到当P 在A 和B 之间的时候，距离和为线段AB 的长度，此时最小．即：y ＝|x ﹣1|+|x +1|＝|P A |+|PB |≥|AB |＝2．故答案为：2．23．若∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，则实数a ＝ 2 ．解：∀x ∈[a ，a +1]，∃y ∈[13，12]，使得xy ＝1，即∀x ∈[a ，a +1]，∃1x ∈[13，12]， 所以{1a =121a+1=13，解得a ＝2． 故答案为：2．24．若（x 0，y 0）是方程组{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，则代数式√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|的值为 12 ．解：因为（x 0，y 0）是方程组：{x 24+y 23=1x −3y −3=0的一组解，可得3y 0＝x 0﹣3， 所以|3y 0﹣1|＝|x 0﹣1﹣3|＝|x 0﹣4|，且（x 0﹣1）2+y 02=x 02−2x 0+1+3（1−x 024）=x 024−2x 0+4=14（x 0﹣4）2， 所以√(x 0−1)2+y 02|3y 0−1|=12|x 0−4||x 0−4|=12． 故答案为：12．25．设a ＞0，函数f(x)={x +2，x ＜−a−x 2+a 2，−a ≤x ≤a −√x −1，x ＞a，给出下列四个结论：①当a ＝2时，f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增；②当a ≥1时，f （x ）存在最大值；③设M （x 1，f （x 1））（x 1≤a ），N （x 2，f （x 2））（x 2＞a ），则|MN |＞1；④若y ＝f （x ），y ＝﹣x 的函数图象有三个公共点，则a 的取值范围是（0，1）．其中所有正确结论的序号是 ①②③④ ．解：依题意，a ＞0，当x ＜﹣a 时，f （x ）＝x +2，其图像为一条右端点取不到的单调递增的射线；当﹣a ≤x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+a 2，开口向下，对称轴为y 轴，与x 轴交点为（﹣a ，0），（a ，0）， 其图象为抛物线y ＝﹣x 2+a 2 位于x 轴上方（含x 轴交点）部分；当x ＞a 时，f （x ）=−√x −1，其图像是一条左端点取不到的单调递减的曲线；对于①：若a ＝2，则f （x ）的图像如下：由图像可知：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故①正确；对于②：当a≥1时，则有：若x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；若﹣a≤x≤a时，f（x）＝﹣x2+a2，显然取得最大值a2＞1；若x＞a时，f(x)=−√x−1＜−√a−1≤﹣2．综上所述：f（x）取得最大值a2，故②正确；对于③：当﹣a≤x1≤a时，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x1＝a时，y1＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，y2＝f（x2）＜−√a−1，此时|MN|＞y1﹣y2＞√a+1＞1；当x1＜a时，若0＜a＜2时，部分射线在x轴上方，此时|MN|＞√a+1＞1；若a≥2时，此时|MN|＞2a≥4；综上所述：|MN|＞1，故③正确；对于④：当x＜﹣a时，令x+2＝﹣x，解得x＝﹣1，可知此时y＝f（x）与y＝﹣x至多有1个交点；当﹣a≤x≤a时，由图象f（x）的图像可知：此时y＝f（x）与y＝﹣x有且仅有一个交点；当x＞a时，令−√x−1=−x，整理得x−√x−1=0，解得√x =1+√52或√x =⋅1−√52（舍去），所以x =3+√52， 可知此时y ＝f （x ）与y ＝﹣x 至多有一个交点；综上所述：y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象有三个公共点，可知，y ＝f （x ）与y ＝﹣x 在x ＜﹣a 和x ＞a 内均有一个交点，则{a ＞0−a ＞−1a ＜3+√52，解得0＜a ＜1， 所以a 的取值范围是（0，1），故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26．（12分）对非空数集T ，给出如下定义：定义1：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠x ﹣y 时，{x +y ，x ﹣y }∩T ≠∅，则称T 为强和差集；定义2：若∀x ，y ∈T ，当x +y ≠|x ﹣y |时，{x +y ，|x ﹣y |}∩T ≠∅，则称T 为弱和差集．（Ⅰ）分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b }是弱和差集，求A ；（Ⅲ）若强和差集B 的元素个数为12，且1∈B ，求满足条件的集合B 的个数．解：（Ⅰ）由题∀x ，y ∈{0，1}，根据强和差集定义，当x +y ≠x ﹣y 时，x 与y 的所有取值可能为{x =0y =1,，{x =1y =1，都满足{x +y ，x ﹣y }∩{0，1}≠∅， 所以{0，1}是强和差集．∀x ，y ∈{1，2}，根据弱和差集定义，当x +y ≠|x ﹣y |时，x 与y 的所有取值可能为{x =1y =1,，{x =1y =2,，{x =2y =2,，{x =2y =1， 其中{x =2y =2时不满足{x +y ，|x ﹣y |}∩{1，2}≠∅． 所以{1，2}不是弱和差集．（Ⅱ）若集合A ＝{1，a ，b } 是弱和差集，则当{x =1y =1时，{x +y ，|x ﹣y |}＝{2，0}，由题意有{2，0}∩{1，a ，b }≠∅，若0∉{1，a ，b }，则2∈{1，a ，b }，当{x =2y =2时，{4，0}∩{1，a ，b }≠∅⇒4∈{1，a ，b }继续重复以上步骤8∈{1，a ，b }，显然矛盾．所以必有0∈{1，a ，b }，不妨a ＝0，则A ＝{1，0，b }，b ≠0，b ≠1．当{x =1y =b，有{1+b ，|1﹣b |}∩{1，0，b }≠∅， 若1+b ＝0⇒b ＝﹣1，此时A ＝{1，0，﹣1}为弱和差集．若|1−b|=b ⇒b =12，此时A ={1，0，12}为弱和差集．若|1﹣b |＝1⇒b ＝2，此时，A ＝{1，0，2}为弱和差集．所以A ＝{1，0，﹣1}或A ={1，0，12}或A ＝{1，0，2}．（Ⅲ）因为B 为强和差集且1∈B ，如果B 中有其它正数，设其最大值为m （m ＞1），根据强和差集定义得m +1∉B ，m ﹣1∈B ，1﹣m ∈B ，即集合B 有一定的对称性，当{x =m y =m 时，{2m ，0}∩B ≠∅，所以0∈B ．所以以0，1为对称中心依次列出12元素的集合可得：{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}与{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，另根据定义可验证得一个强和差集的一个倍数也是强和差集，但必须满足1∈B ，故满足条件的集合B 只有2 个．。

人大附中2009-2010学年度第一学期高一年级数学必修1模块考核试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确答案填涂在答题卡上。

） 1. 已知集合{}12A =，，{}123B =，，，{}234C =，，，则()AB C ∪＝（ ）A ．{}123，， B. {}124，， C. {}234，， D. {}1234，，， 【解析】D2.）A ．122- B. 122 C. 132 D. 562 【解析】B3.若函数()3x f x =的反函数是1()y f x -=，则1(3)f -的值是（ ）A ．1 B.0 C.13 D.3【解析】 A4.函数111y x =+-的图象是（ ）A B C D【解析】A5.已知集合[]04A =，，集合[]02B =，，按照对应法则f 能建立从A 到B 的一个映射是（ ）A.:f x y →=B. :2f x y x →=-C. 1:2f x y x →=D. 1:f x y x →=【解析】C6.已知2(2)4f x x x -=-，那么()f x =（ ）A ．284x x -- B. 24x x -- C.28x x + D.24x -【解析】 D7.若函数()f x 的定义域为[]04，，则函数2()f x 的定义域为（ ） A ．[]02，B. []016，C. []22-，D. []20-， 【解析】 C8.已知函数()1f x ax =+，存在0(11)x ∈-，，使0()0f x =，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B.1a > C.1a <- D.1a <-或1a >【解析】 A9.当函数||()2x f x m -=-的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是（ ） A ．01m <≤ B.01m ≤≤ C.10m -<≤ D.1m ≥ 【解析】A10.函数()()y f x y g x ==，的图象如下，(1)(2)0f g ==，不等式()0()f xg x ≥的解集是（ ）A ．{}{}|12|12x x x x x <><<或 B.{}|12x x <≤ C ．{}{}|12|12x x x x x ><<≤或 D. {}|12x x ≤≤【解析】 B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题表中）11.已知集合{12}A a =，，，集合{17}B =，，若B A ⊆，则实数a 的值是____ . 【解析】 712.设 1.50.80.521482a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则a b c ，，从小到大的顺序是____ . 【解析】 c b a <<13.已知函数()f x 是奇函数，当0x ≤，时，2()2f x x x =-，那么当0x >时，()f x 的解析式是_____________. 【解析】()22f x x x =--14.函数234y x x =--的定义域是[]0m ，，值域是2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是______ .【解析】 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15.设函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M，函数()g x =N . 求：⑴集合M N ，；⑵集合R MN C N ，.【解析】⑴ 3|2M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭{}|13N x x x <或≤ ⑵ 3|12MN x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或 {}|3R N x x x =<≤ð.16.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。

人大附中2023级高一年级第一学期数学统练（一）一、选择题（每小题5分，共50分）1.命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是（）A.20,0x x x ∀≤−>B.20,0x x x ∀>−≤C.20,0x x x ∃>−<D. 20,0x x x ∃≤−>2 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()U U A B ∪= （ ）A.{}0,5 B.{}1,2,3,4 C.{}0,1,2,3,4,5 D.{}0,1,2,53.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）A.()()U U A B ∩B.()()UUA B C.()U AB D.()U A B∩ 5.设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ∪=，，，则满足条件的实数x 的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个.6.命题甲：2x ≠或3y ≠；命题乙：5x y +≠，则甲是乙的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D 既不充分又不必要条件7.设:1,:1p a b q ab a b >>+<+，则p 是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件..的C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ）A.1− B.0C.1D.39.对于集合A ，B ，我们把集合{}x x A x B ∈∉且且叫做集合A 与集合B 差集，记作A B −．现已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则下列说法不正确的是（ ）A.{1,5}A B −=B.{6,7}B A −=C.()A A B B −−=D.()A A B A B −−=10.设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ = ∉，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知集合{}A x x a =<，}2B x =<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．12.能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 13.若存在性命题:∃x ∈R ，使得210mx +≤是假命题，且全称命题: 2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则实数m 的取值范围是_____.14.已知[]x 表示不大于x 的最大整数，{}|[]A y y x x ==−，{}|0B y y m =≤≤，若y A 是y B∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______.15 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m −≤≤或1m =；其中正确命题的序号为____________三、解答题（共35分）的.16. 设集合U =R ，{}03Ax x =≤≤，{}12B x m x m =−≤≤. （1）3m =，求()U A B ∩ ； （2）若B A ，求m 的取值范围.17. 设命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，q ：关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根．（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围． 18. 给定整数i ，如果非空集合T 满足： 一：*T ⊆N ，{}1T ≠，二：x ∀，*y ∈N ，若x y T +∈，则xy i T −∈，那么称集合T 为“减i 集”. （1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明. （3）是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.人大附中2023级高一年级第一学期数学统练（一）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是（ ） A. 20,0x x x ∀≤−> B. 20,0x x x ∀>−≤ C. 20,0x x x ∃>−< D. 20,0x x x ∃≤−>【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论即得. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是“20,0x x x ∃>−<”. 故选：C.2. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()U U A B ∪= （ ） A. {}0,5 B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}0,1,2,5【答案】C 【解析】【分析】根据补集的概念，即可求出,U U A B ，再根据并集运算，即可求出结果.【详解】由题意可知{}{}0,2,4,5,0,1,3,5U U A B ==， 所以()(){}0,1,2,3,4,5U U A B ∪=. 故选：C.3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件. 故选：B4. 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）A. ()()U U A B ∩ B. ()()U U A B C. ()U A B D. ()U A B ∩【答案】C 【解析】【分析】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集.【详解】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用()U A B 表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.5. 设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ∪=，，，则满足条件的实数x 的个数是 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个.【答案】C 【解析】【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A ∪B={1，4，x}，得x 2=x 或x 2=4，可解出符合题意的x 有0，2，-2共3个．【详解】{}14A x = ，，，{}21B x =，，所以由集合的互异性可得1x =±且4x ≠，{}14A B x ∪= ，，，则2x x =或24x = 解之得0x =或2x =±满足条件的实数x 有022−，，共3个， 故选C.【点睛】本题给出含有未知数x 的集合A 、B ，在已知它们并集的情况下求实数x 值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．6. 命题甲：2x ≠或3y ≠；命题乙：5x y +≠，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：若2x ≠或3y ≠则5x y +≠的逆否命题为：若5x y +=则2x =且3y =为假命题，则原命题不成立，即充分条件不成立；若5x y +≠则2x ≠或3y ≠的逆否命题为：若2x =且3y =则5x y +=为真命题，则原命题为真命题.即必要条件成立.所以甲成立是乙成立的必要不充分条件.故选B. 考点：四种命题.7. 设:1,:1p a b q ab a b >>+<+，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件定义结合题意求解即可.【详解】若1a b >>，则10,10a b −>−<，所以()()110a b −−<， 所以1ab a b +<+，所以p 是q 的充分条件；若1ab a b +<+，不妨取1,52a b ==，不满足1a b >>， 所以p 不是q 的必要条件，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A .8. 若命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ） A 1− B. 0C. 1D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，分离参数转化为22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，构造函数求解最小值即可.的.【详解】因为命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，所以命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，即220x x a −−≤在[]0,3x ∈上有解， 即22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，记2()2f x x x =−，[]0,3x ∈，则min ()a f x ≥， 因为2()2f x x x =−在[]0,1上单调递减，在(]1,3上单调递增，所以min ()(1)1f x f ==−， 所以1a ≥−，所以实数a 可取的最小整数值是1−. 故选：A9. 对于集合A ，B ，我们把集合{}x x A x B ∈∉且且叫做集合A 与集合B 的差集，记作A B −．现已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则下列说法不正确的是（ ）A. {1,5}A B −=B. {6,7}B A −=C. ()A A B B −−=D. ()A A B A B −−=【答案】C 【解析】【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案. 【详解】因为{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则 {1,5}A B −=，故A 正确； {6,7}B A −=，故B 正确；{}()2,3,4A A B B --=≠,故C 不正确；{}2,3,4A B = ，故()A A B A B −−= ，故D 正确.故选：C10. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ =∉，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A ϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ = ∉，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅= ，()()01i i A B A B ϕϕ∴== ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ= ，则()i A B ∉ ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=； 若()1i A B ϕ= ，则()i A B ∈ ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=； ∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B A i B ϕϕϕ=⋅ （）（）；正确，故②正确； 对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B === ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ= （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+ ； 故③错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．【答案】2a ≥ 【解析】【分析】根据子集的定义求解．【详解】因为{}A x x a =<，{}12B x x =<<，B A ⊆，所以2a ≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础． 12. 能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1?,1−（答案不唯一）【详解】分析：举出一个反例即可． 详解：当11a b =>=−时，1111a b=<=−不成立， 即可填1,1−．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．13. 若存在性命题:∃x ∈R ，使得210mx +≤是假命题，且全称命题: 2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】01m ≤≤ 【解析】 【分析】由全称、特称命题的真假结合一元二次不等式恒成立即可得解.【详解】若x ∃∈R ，使得210mx +≤是假命题，则210mx +>在R 上恒成立， 当0m =时，10>恒成立，符合题意； 当0m ≠时，则040m m >∆=−<，解得0m >；所以若该命题是假命题，则0m ≥若2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则2440m ∆=−≤，解得11m −≤≤； 所以实数m 的取值范围是01m ≤≤. 故答案为：01m ≤≤.14. 已知[]x 表示不大于x 的最大整数，{}|[]A y y x x ==−，{}|0B y y m =≤≤，若y A 是y B∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】先求出集合A ，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合{}|[]A y y x x ==−，不失一般性我们不妨设()1,Z k x k k ≤<+∈，此时由[]x 定义可知，有[]01y x x x k ≤=−=−<，的所以{}{}|[]|01A y y x x y y ==−=≤<， 若y A 是y B ∈的充分不必要条件，则A B ， 所以m 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.15. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m −≤≤或1m =；其中正确命题的序号为____________ 【答案】①②③④ 【解析】【分析】由题分析：1m l −≤≤≤1，若x S ∈则2x x l ≤≤，对每个选项列不等式组分析. 【详解】非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， 若1l >，则2l l >，2l S ∉，所以1l ≤，若1m <−，则21m m >>，2m ∉，所以1m ≥−， 所以1m l −≤≤≤1，且当x S ∈时，有211x x x l −≤≤≤≤≤1,，非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， ①若1m =，根据1m l −≤≤≤1，则1l =，所以{}1S =；②若12m =−，214m S =∈，则114l ≤≤； ③若12l =， 22121{2m m m m≤≤≥，解得：0m ≤；④若1l =，2211m m m m≤ ≤ ≥ ，解得：10m −≤≤或1m =；故答案为：①②③④【点睛】此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.三、解答题（共35分）16. 设集合U =R ，{}03A x x =≤≤，{}12B x m x m =−≤≤. （1）3m =，求()U A B ∩ ；（2）若B A ，求m 的取值范围.【答案】（1）[)0,2（2）{|1x m <−或312m ≤≤【解析】【分析】（1）先利用补集运算求出U B ，再利用集合的交集求解即可；（2）由B A ，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组，求解即可．【小问1详解】 当3m =时，{}26Bx x =≤≤，故{|2U B x x =< 或}6x >， 又{}03A x x =≤≤，故()[)0,2U A B =【小问2详解】当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m <− ≤ −≤ 或012312m m m m ≤− ≤ −< ，解得312m ≤≤， 综上所述，m 的取值范围为{|1x m <−或312m ≤≤17. 设命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，q ：关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根．（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 13,22m ∈−；(2) ()()13,2,2,22m ∈−∞−−+∞ 【解析】【分析】(1)根据题意，若q 为真，即()242160m ∆=−−<即可求解； (2) 因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，分别讨论两种情况即可. 【详解】(1)对于命题q ，因关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根， 所以()242160m ∆=−−<，即1322m −<<. 因q 为真，故1322m −<<，即13,22m ∈− . (2) 对于命题p ，因关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，所以240m ∆=−>，即2m <−或m>2.因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，221322m m m m − ≤−≥或或 ，即2m <−或m>2；当p 假q 真时，221322m m −≤≤ −<< ，即1322m −<<. 综上所述：()()13,2,2,22m ∈−∞−−+∞. 18. 给定整数i ，如果非空集合T 满足：一：*T ⊆N ，{}1T ≠，二：x ∀，*y ∈N ，若x y T +∈，则xy i T −∈，那么称集合T 为“减i 集”.（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明.（3）是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明.【答案】（1）{}1,2P =是“减0集”，不是“减1集”（2）不存在“减2集”，证明见解析（3）存在“减1集”：{}{}{}{}*1,3,1,3,5,1,3,5,7,,|21,Nx x k k =−∈【解析】【分析】（1）已知*P ⊆N ，{}1P ≠，11,110P P +∈×−∈，由此即可判断{}1,2P =是 “减0集”，同理可判断{}1,2P =不是 “减1集”.（2）假设存在“减2集”A ，根据“减2集”的性质可以推出矛盾，从而求解.（3）假设存在“减1集”A ，根据“减1集”的性质可以一个个判断前面几个正整数是否在“减1集”A 中，由此即可发现规律.【小问1详解】因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1101P P +=∈×−=∈，所以{}1,2P =是“减0集”，同理因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1110P P +=∈×−=∉，所以{}1,2P =不是“减1集”.【小问2详解】假设存在“减2集”A ，则x y A +∈，那么2xy A −∈，分以下两种情形来讨论： 情形一：当21x y xy +=−>时，有()()113x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=∈，3327A ×−=∉，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +≠−时，则1x y xy +=−或(),2x y xy m m +=−>，（因为若m 为负整数，则()()110x y m −−−>，即此时1x y xy m +≠−+）， 若11x y xy +=−>，有()()112x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=∈，2324A ×−=∉，而这与集合A “减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=−>，有()()111x y m −−=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m −−=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+∈，但122xy a b a b <−=+−<+，所以2xy A −∉,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.【小问3详解】假设存在A 是“减1集”，{}1A ≠.假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A ∈，则11A +∈，但111A ×−∉，因此2A ∉，假设3A ∈，则12A +∈，且121A ×−∈，因此3A ∈，因此可以有{}1,3A =,假设4A ∈，则13A +∈，但131A ×−∉，因此4A ∉，假设5A ∈，则23A +∈，且321A ×−∈，因此5A ∈，因此可以有{}13,5A =,, 依次类推有：{}{}*1,3,5,7,,|21,N x x k k =−∈ .【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=−>和2x y xy +≠−证出矛盾（至于为什么结果是矛盾的可以首先举出几个特例然后猜想，最后演绎推理）， 第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解. 是是。