Simulink软件在混沌系统滑模控制实验中的应用

工业技术科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald80DOI：10.16660/ki.1674-098X.2007-1010-4121基于Tkinter的Arneodo混沌系统全局滑模控制实验赵海滨 颜世玉(东北大学机械工程与自动化学院 辽宁沈阳 110819)摘 要：对于Arneodo混沌系统，采用全局滑模控制器进行镇定控制。

通过Python语言进行系统仿真，采用SciPy库中的odeint函数进行常微分方程的求解，采用Tkinter建立人机交互界面对系统参数进行设置，并采用Matplotlib进行数据的可视化。

数值仿真结果表明，全局滑模控制器能够进行Arneodo混沌系统的镇定控制。

关键词：Arneodo混沌系统 Python语言 Tkinter 全局滑模控制器中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2020)10(a)-0080-03Global Sliding Mode Control Experiment of Arneodo ChaoticSystem based on TkinterZHAO Haibin YAN Shiyu(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang, Liaoning Province,110819 China)Abstract: For Arneodo chaotic system, a global sliding mode controller is used to stabilize the system. The system is simulated by Python language, the odeint function in Scipy library is used to solve ordinary differential equations, the human-computer interface is established by Tkinter, the system parameters are set, and the data is visualized by Matplotlib. Numerical simulation results show that the global sliding mode controller can stabilize Arneodo chaotic system.Key Words: Arneodo chaotic system; Python language; Tkinter; Global sliding mode controller混沌系统对初始条件非常敏感，广泛存在于各种非线性系统中，有着十分广阔的应用前景[1]。

Duffing混沌的轨迹跟踪控制仿真实验作者：颜世玉于清文赵海滨来源：《科技创新导报》2019年第17期摘 ; 要：根据Duffing混沌系统和期望轨迹建立轨迹误差系统，采用线性滑模面和双幂次趋近律设计滑模控制器，并采用滑模控制器进行轨迹跟踪控制。

采用Simulink软件建立仿真实验系统。

仿真结果表明，滑模控制器能够进行Duffing混沌的轨迹跟踪控制，轨迹跟踪误差渐进收敛到零。

关键词：滑模控制器 ;Duffing混沌 ;轨迹跟踪 ;仿真实验中图分类号：TP273 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1674-098X（2019）06（b）-0009-03Abstract：According to the Duffing chaos and the desired trajectory， trajectory tracking error system is established. The sliding mode controller is designed by linear sliding mode surface and double power reaching law. The sliding mode controller is used for trajectory tracking control. The simulation experiment system was built by Simulink software. The results show that the sliding mode controller can perform trajectory tracking control of Duffing chaos， and the trajectory tracking error converges to zero gradually.Key Words：Sliding mode controller; Duffing chaos; Trajectory tracking; Simulation experiment混沌是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。

第27卷　第2期桂林电子科技大学学报V o l.27,N o.2　2007年4月Journal of Guili n Un iversity of Electron ic Technology A p r.2007　基于M A TLAB Si m u link的实时混沌信号发生器研究Ξ刘雄英,丘水生,范艺(华南理工大学电子与信息学院,广州　510640)摘　要:为克服用硬件电路实现复杂混沌映射的困难问题,基于M A TLAB Si m ulink建立多涡卷混沌映射的数值模型,采用快速原型技术通过输入 输出卡,将虚拟仿真信号转化生成实际的物理电信号,并与实际硬件电路连接起来,构成混沌通信系统的半实物仿真模型。

对模型的实验结果分析表明,数字仿真模型生成信号不仅具有优良的统计特性,而且通过模拟输出卡输出的实际电信号和信号源数字仿真模型生成的信号一致。

关键词:混沌信号发生器;信号源;多涡卷;数字仿真中图分类号:TN914.3 文献标识码:A 文章编号:16732808X(2007)022*******Study of rea l-ti m e chaotic genera tori m plem en ta tion usi ng M AT LAB Si m ul i nkL IU X iong2y ing,Q IU S hu i2sheng,FA N Y i(Co llege of E lectronics&Info r m ati on Engineering,South Ch ina U niversity of T echno l ogy,Guangzhou510640,Ch ina)Abstract:W e constructed a digital si m ulati on model of m ulti2scro ll chao tic m ap using M A TALAB Si m ulink ino rder to i m p lem ent the chao tic generato r.T h is schem e could ease the difficulties of the hardw are circuiti m p lem entati on of comp licated chao tic m ap.U sing R ap id P ro to typ ing techno logies,w e transfo r m ed the virtualsi m ulati on signal into physical electrical signal th rough Input O utput devices.In the given experi m ents,no t onlycan the generated chao tic signal have excellent statistics p roperties,but also real ti m e electrical signal can agreew ell w ith that generated by the digital si m ulati on model.Key words:chao tic generato r;info r m ati on source;m ulti p le scro lls;digital si m ulati on 随着来自不同领域的科学家们对非线性混沌理论研究的深入,人们越来越意识到混沌信号在工程(尤其是在电子通信工程)中应用具有巨大的潜力[1]。

基于主动自适应滑模控制的超混沌系统同步颜闽秀;郑小帆【摘要】针对一类带不确定性和外界扰动的超混沌系统的同步和反同步问题进行了研究.考虑到驱动系统与响应系统所受干扰和不确定性的上界未知的情形,将主动滑模与自适应控制相结合,利用参数自适应更新律对未知参数进行了估计.利用连续函数来替代控制律中的非连续符号函数,解决传统滑模控制器的抖动问题.利用Lyapunov稳定性理论证明了误差系统的渐近稳定性,数值仿真结果验证了设计的控制器的有效性.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2014(026)006【总页数】7页(P479-485)【关键词】主动自适应滑模;超混沌同步;反同步;消抖【作者】颜闽秀;郑小帆【作者单位】沈阳化工大学信息工程学院,辽宁沈阳 110142;沈阳化工大学信息工程学院,辽宁沈阳 110142【正文语种】中文【中图分类】TP391自从1990年Pecora和Carroll提出了混沌同步的定义[1]并在电路中实现以来,混沌同步及其应用一直是研究的热点.到目前为止,各种同步方案相继提出,如完全同步[2]、反同步[3]、投影同步[4]、相同步[5]、广义同步[6]等.同时,人们提出了多种实现混沌同步的方法,如观测器同步法[7]、主动控制法[8]、自适应同步法[9]、滑模变结构同步法[10]等.在这些方法中,滑模变结构控制器因为其具有很强的鲁棒性和抗干扰能力,受到了广泛的关注.目前,关于混沌同步的研究取得了一些研究成果.在文献[11]中,实现了具有参数不确定性、外部干扰以及非线性控制输入的混沌系统的完全同步.但是现有的研究成果大多是在混沌系统的不确定性和外部干扰的上界已知情况下实现的同步.但在实际工程应用中,上界值一般是很难或根本无法测量的[12].同时,之前大部分的研究都是针对低维数的混沌系统进行的,超混沌系统因为具有更复杂的动力学特性也受到了日益广泛的关注.本文针对一类带未知上界的不确定性和外界扰动的超混沌系统同步问题,提出了一种新的主动自适应滑模器和参数更新规则.该规则将系统中的未知参数估计至上界,在该控制器作用下实现了两个相同或不同超混沌系统的同步和反同步.利用连续函数来替代控制律中的非连续符号函数,消除了滑模控制器的抖动问题.利用Lyapunov稳定性理论和数值仿真证明了所设计的控制器的有效性.1 问题描述考虑如下n维混沌系统:式中,x,y∈Rn是系统的n维状态向量;A1,A2∈Rn×n表示系统的线性部分;f1(x),f2(y)∈Rn表示系统的非线性部分;ΔA1,ΔA2∈Rn×n描述的是系统的不确定性;u(t)是控制输入;δ1(t),δ2(t)∈Rn表示系统的外部干扰向量.若式(1)和式(2)中A1=A2,f1(x)=f2(y),则两个系统是一致的混沌系统,否则为不同的混沌系统.定义如下误差系统:e=y+βx.(3)当β=时,表示两个系统完全同步;当β=时,表示两个系统反同步.将式(1)、式(2)代入式(3),可得误差系统为令F(x,y)=f2(y)+βf1(x)+β(A1-A2)x,则式(4)可以表示为通过设计加在响应系统上的控制器,使得驱动系统和响应系统达到同步,也就是要满足如下条件:(6)本文中,‖·‖表示Euclidean范数.假设‖ΔA2y+βΔA1x‖<ψ,‖δ2+βδ1‖<η,其中,ψ,η 为未知的正常数.定理1 对任意的x和正数y,存在如下不等式:xtanh(xy)=|x||tanh(xy)|≥0.2 主动滑模控制器的设计根据主动控制的思想,可以如下设计控制器:u(t)=G(t)-F(x,y).(7)根据滑模控制律设计思想得G(t)=Kv(t).(8)式中,K=是一个确定的增益向量,v(t)满足如下条件:(9)式中,s=Ce表示所设计的滑模面.当系统在滑模面上运动时,误差系统满足如下条件:s=Ce=0.(10)为了使状态轨迹到达滑模面上,可以为运动点到达切换面设计各种趋近律.较好的趋近律应该在离切换面远时,运动点向切换面运动的速度大,而接近切换面时,其速度渐近趋于零.现在运用最多的趋近律是指数趋近律:(11)式中,ε,λ均为正实数.在常规的滑模算法中存在严重的抖动现象,为了消除控制器输出的抖动,利用连续函数tanh来替代控制律中的非连续符号函数,则有(12)根据式(5)、式(8)和式(12)可得则由于系统中存在不确定项,且不确定项的上界值未知,控制器无法实现,因此,采用主动滑模控制与自适应控制相结合来设计控制器.定理2 对于同步误差系统(6),在控制器u(t)的作用下,能够实现同步或反同步.其中式中,为假设中ψ,η的估计,自适应律为证明选取如下正定的函数:(16)式中,对时间t求导得εtanh(s)+rs]+ΔA2y+βΔA1x+(17)这表明,V正定,负半定,根据Lyapunov稳定性可知系统是稳定的,从而实现了驱动系统(1)和响应系统(2)的同步或反同步.3 仿真分析与讨论为了验证所设计的修正投影同步控制器的有效性,本文选取超混沌Lorenz系统和Chen系统为例进行研究.超混沌Lorenz系统可以用如下方程来表示:(18)式中,超混沌Chen系统可以用如下方程来表示:(19)式中,a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5.3.1 超混沌Chen系统的同步假设(20)(21)则驱动系统为(22)响应系统可以写成(23)同步误差系统为(24)令ψ(0)=50,η(0)=50,C=(0,2,1,-1)T,K=(1,1,0,1),则滑模面为s=2e2+e3-e4.(25)假设驱动系统的初始值为(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(1,2,-1,2),响应系统的初始值为(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-2,5,-1,2).图1是在控制器作用下,驱动系统和响应系统的状态响应曲线.显然,响应系统能够跟随驱动系统并达到很好的同步效果.图2表示的是本文设计的控制器的输出,图3表示的是传统滑模控制器的输出.从仿真结果可知,所设计的控制器在达到很好的同步效果的同时还解决了传统滑模控制器的严重过抖动问题.图4和图5表示的是自适应律η和ψ随时间的变化曲线.图1 驱动系统和响应系统的状态响应曲线Fig.1 State response curve of drive system and response system(a)—x1和y1的状态响应曲线;(b)—x2和y2的状态响应曲线;(c)—x3和y3的状态响应曲线;(d)—x4和y4的状态响应曲线.图2 本文设计的控制器的输出Fig.2 Output of the designed controller(a)—控制器u1的输出;(b)—控制器u2的输出;(c)—控制器u3的输出;(d)—控制器u4的输出.图3 传统滑模控制器的输出Fig.3 Output of traditional sliding mode controller(a)—控制器u1的放大输出;(b)—控制器u2的放大输出;(c)—控制器u3的放大输出;(d)—控制器u4的输出.图4 自适应律η的时间响应曲线Fig.4 Time response curve of the adaptive law η图5 自适应律ψ的时间响应曲线Fig.5 Time response curve of the adaptive law ψ3.2 超混沌Lorenz系统和 Chen系统的反同步假设(26)(27)则驱动系统为(28)响应系统可以写成(29)同步误差系统为(30)令ψ(0)=50,η(0)=50,C=(0,2,1,-1),K=(1,1,0,1)T,则滑模面为s=2e2+e3-e4.(31)假设驱动系统的初始值为(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(1,2,-1,2) ,响应系统的初始值为(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-2,2,-1,2).图6为驱动系统和响应系统的状态响应曲线,图7为本文设计的控制器的输出,图8为传统滑模控制器的输出,图9为自适应律η的时间响应曲线,图10为自适应律ψ的时间响应曲线.从仿真结果可以看出,尽管超混沌系统受到了外部干扰,但在所设计的控制器作用下,误差状态曲线仍能渐近收敛到零.在达到同步的前提下,与传统滑模控制器相比,不存在严重的抖动问题.图6 驱动系统和响应系统的状态响应曲线Fig.6 State response curve of drive system and response system(a)—x1和y1的状态响应曲线;(b)—x2和y2的状态响应曲线;(c)—x3和y3的状态响应曲线;(d)—x4和y4的状态响应曲线.图7 本文设计的控制器的输出Fig.7 Output of the designed controller(a)—控制器u1的输出;(b)—控制器u2的输出;(c)—控制器u3的输出;(d)—控制器u4的输出.图8 传统滑模控制器的输出Fig.8 Output of traditional sliding mode controller图9 自适应律η的时间响应曲线Fig.9 Time response curve of the adaptive law η图10 自适应律ψ的时间响应曲线Fig.10 Time response curve of the adaptive law ψ4 结语本文针对一类带未知上界的不确定性和外界扰动的超混沌系统同步问题,利用Lyapunov稳定理论,设计了主动自适应滑模控制器并给出了参数自适应律的表达式,并将这种混沌系统同步方法应用于超混沌Lorenz系统和Chen系统中,实现了超混沌系统的同步和反同步,通过数值仿真验证了所设计的控制器的实用有效性. 参考文献:【相关文献】[1] Pecora L M,Carroll A T L.Synchronization in Chaotic Systems[J].Physical Review Letters,1990,64(8):821-824.[2] 谭文,蒋逢灵,王耀南,等.一类混沌系统的滑动模态同步控制及其应用[J].计算机工程与应用,2013,49(7):232-234,257.(Tan Wen,Jiang Fengling,Wang Yaonan,et al.Synchronization for a Class of Chaotic Systems Using Sliding Mode Controller and Its Application[J].Computer Engineering and Applications,2013,49(7):232-234,257.)[3] 刘福才,贾亚飞,任丽娜.基于混沌粒子群优化算法的异结构混沌反同步自抗扰控制[J].物理学报,2013,62(12):120509(1-8).(Liu Fucai,Jia Yafei,Ren Lina.Anti-Synchronizing Different Chaotic Systems Using Active Disturbance Rejection Controller Based on the Chaos Particle Swarm Optimization Algorithm[J].Acta Physica Sinica,2013,62(12):120509(1-8).)[4] 颜闽秀,樊立萍.混沌系统的主动自适应滑模修正投影同步[J].自动化仪表,2013,34(2):23-25,29. 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(Gao Yuan,Weng Jiaqiang,Luo Xiaoshu,et al.Generalized Synchronization of Hyperchaotic Circuit[J].Journal of Electronics and Information Technology,2002,24(6):855-859.)[7] 姚利娜,高金峰,廖旎焕.实现混沌系统同步的非线性状态观测器方法[J].物理学报,2006,55(1):35-41.(Yao Lina,Gao Jinfeng,Liao Nihuan.Synchronization of a Class of Chaotic Systems Using Nonlinear Observers[J].Acta Physica Sinica,2006,55(1):35-41.)[8] Yassen M T.Chaos Synchronization between Two Different Chaotic Systems Using Active Control[J].Chaos,Solitons &Fractals,2005,23(1):131-140.[9] Li Xianfeng,Leung A C S,Han Xiuping,et plete (anti-) Synchronization of Chaotic Systems with Fully Uncertain Parameters by Adaptive Control[J].Nonlinear Dynamics,2011,63(1/2):263-275.[10] 高远,罗文广,戴喜生,等.不确定性超混沌系统的积分滑模同步控制研究[J].自动化仪表,2012,33(5):15-17,21.(Gao Yuan,Luo Wenguang,Dai Xisheng,et al.Research on the Integral Sliding Mode Synchronous Control of Uncertainty Hyper-Chaos System[J].Process Automation Instrumentation,2012,33(5):15-17,21.)[11] Li Wanglong,Chang Kuoming.Robust Synchronization of Drive-Response Chaotic Systems via Adaptive Sliding Mode Control[J].Chaos,Solitons &Fractals,2009,39(5):2086-2092.[12] 郭祥贵.一类连续非线性系统的动态输出反馈H∞控制器设计[J].沈阳大学学报:自然科学版,2012,24(5):62-68.(Guo Xianggui.Dynamic Output Feedback H∞ Controller Design for a Class ofContinuous-Time Nonlinear Systems[J].Journal of Shenyang University: Natural Science,2012,24(5):62-68.)。

基于滑模PID神经网络控制的混沌同步杨文光;高艳辉;隋丽丽【摘要】对于多输入多输出(multiple inputs multiple outputs,简称MIMO)混沌系统的同步问题,设计了基于误差比例-积分微分(proportional integral derivative,简称PID)改进下的滑模径向基函数神经网络(radial basis function,简称RBF)控制方法,实现了主从统一混沌系统的同步.设计自适应RBF滑模控制器,将其用于初值不同的不确定主从统一混沌系统的同步控制中,证明了控制的Lyapunov稳定性.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.%For the synchronization of multiple inputs multiple outputs (MIMO) chaotic systems,a sliding mode radial basis function neural network (RBF) control method based on error proportional integral derivative (PID) control was proposed,and the synchronization of master-slave unified chaotic system with the same and different structure was received.An adaptive RBF sliding mode controller was designed,which was used for the synchronization control of uncertain master-slave unified chaotic systems with different initial values,and the Lyapunov stability of the control wasproved.Finally,the feasibility and effcctiveness of the proposed method was verified by MATLAB simulation.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)002【总页数】5页(P72-76)【关键词】统一混沌系统;同步;PID;滑模控制;RBF【作者】杨文光;高艳辉;隋丽丽【作者单位】华北科技学院基础部,北京101601;北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京100191;华北科技学院基础部,北京101601;华北科技学院基础部,北京101601【正文语种】中文【中图分类】O415在混沌系统的研究初期，由于混沌系统具有极端的复杂性、初值的极端敏感性、运行的无规则性等特点，混沌同步被认为是十分困难的.直到1990年Pecora等[1]提出混沌同步方法，并在电路中首次观察到了混沌同步现象，才为混沌系统的开发利用带来了发展机遇.同年，参数微扰控制方法由Ott等[2]首次提出，驱动混沌系统控制同步从此成为混沌研究领域的热点问题.随着计算机技术与信息通信技术的交叉融合，混沌同步在混沌保密通信中发挥了越来越重要的作用[3-6].在混沌控制与混沌系统分析领域，吕金虎等[7]在2002年提出了统一混沌系统.由于统一混沌系统会受参数摄动而呈现出不同的混沌状态，于是成为不同混沌系统联系的纽带.统一混沌系统有机地连接了Lorenz吸引子和Chen吸引子，并使得Lü系统成为它的特例[8-9].在理论分析中，经典的控制方法通常采用直接或者间接抵消掉响应系统的非线性项来达到系统同步的目的，由于一些非线性项难于测量而不便应用于实际.RBF(radial basis function)神经网络作为一种具有良好逼近性能的神经网络得到了非常广泛的应用[10-11].滑模变结构控制因其有目的地迫使被控系统按照预定的滑模面运动，而表现出极强的快速响应、无需在线辨识与实现简单的特点，受到广泛关注[12-14].笔者为了实现多输入多输出混沌系统的同步，努力减弱受控系统的非线性动力学行为，利用PID(proportional integral derivative)控制思想设计滑模函数，结合RBF神经网络与滑模控制技术生成多个并行控制器，实现了在线优化RBF神经网络权值与同步跟踪性能.在同步跟踪中只需要知道不确定主从统一混沌系统的状态信息，而无需知道其他任何非线性不确定信息，就使得响应系统的动力学行为不受其影响.最后结合MATLAB仿真实验验证了所提方法的可行性与有效性.统一混沌系统既是一种经典的混沌系统，同时也是联系多个不同混沌系统的桥梁，实现主从统一混沌系统的同步，对于实现其他混沌系统的同步具有很好的借鉴意义.如果统一混沌系统中含有不确定项与非线性项，那么其混沌特性将更符合客观实际和应用需求.下面将从主从混沌系统描述与说明、滑模PID神经网络同步控制器的设计两个方面加以阐述.1.1 系统描述与说明选择统一混沌系统[7]的驱动系统(主系统)为选择统一混沌系统[7]的响应系统(从系统)为将公式(1)、(2)分别简记为其中：α,β为系统参数时系统呈现混沌状态.x,y为系统状态向量，且特别地，主从混沌系统:当α=β=0时，均为Lorenz系统；α=β=1时，均为Chen系统；α=β=0.8时，为Lü系统[7-9]；α,β∈[0,0.8)时，为广义的Lorenz系统；α,β∈(0.8,1]时，为广义的Chen系统.在考虑参数摄动与外部干扰的情况下，统一混沌系统就成为了不确定统一混沌系统.为了实现两个不确定统一混沌系统的同步，需要在统一混沌从系统中加入控制输入得到其中：A,B均为3阶的线性定常的方阵；△Ax,△By为线性干扰项；为非线性向量项；为非线性扰动项；为外部干扰项.控制输入向量假设与均是有界的.公式(3)表示不确定主统一混沌系统，公式(4)表示不确定从统一混沌系统.1.2 滑模PID神经网络控制器设计与稳定性分析为了实现主从统一混沌系统的同步，设计出3个单输入单输出的RBF神经网络，使用PID控制思想改进的滑模控制中的滑模函数，实现神经网络的在线学习能力与滑模变结构控制技术结合共同优化设计使得‖‖=0，其中为了减弱受控系统的非线性动力学行为，下面利用RBF神经网络与PID控制思想结合设计出动态滑模面其中：k1i,k2i,k3i>0，且k1i,k2i,k3i的选择取决于满足Hurwitz稳定的多项式：即的全部特征值都分布在复平面的左半平面内，i=1,2,3. 动态滑模面的设计集成了误差、误差变化率与误差的积分，体现了PID控制思想，同时充分兼顾了同步系统的过去、现在与未来的差异性.RBF神经网络是一种具有良好逼近性能且仅包含输入层、隐含层与输出层的简单神经网络，其中输入层包括1个神经元，隐含层包括m个神经元，输出层包括1个神经元. 论文将作为第i个RBF神经网络的输入，其输出为第i个状态变量的控制量则可表示为其中：pi是比例因子，pi>0,i=1,2,3.对于第i个状态变量xi与yi，选择误差函数表达式为当误差时，有则所以选择公式(7)作为RBF神经网络的误差函数，用于动态调整网络的隐含层到输出层权值wij，i=1,2,3，j=1,2,…,m.定理1 对于不确定的统一混沌系统(3)与(4)，若中的控制分量采用公式(6)的形式，RBF神经网络的误差函数选择为公式(7)的形式，则权值wij的在线调整律为且控制系统是渐进稳定的.证明由于RBF神经网络属于前向神经网络，所以学习算法采用误差反向传播算法，有其中：ηi为学习率；h为采样步长；i=1,2,3；j=1,2,…,m.对于第i个RBF滑模PID控制器取Lyapunov函数为有因为RBF神经网络采用的是误差反向传播学习算法，故误差函数的导数所以，有.由此可知控制系统是渐进稳定的.下面利用MATLAB编程进行仿真，利用上面建立的滑模PID神经网络控制，实现主从统一混沌系统的同步.仿真实验中，统一混沌系统同步时主从系统的参数取值分别为k12=1,k22=0.1,k32=0.1,k13=1,k23=0.1,k33=2,η1=η2=η3=100,同步时，主系统的初值为从系统的初值为神经网络的结构为1-7-1形式.统一混沌系统的同步结果见图1，各个状态输出与同步误差见图2～4，图5给出了同步的控制输入.论文利用PID控制思想设计了滑模函数，生成了多输入多输出(MIMO)混沌系统的多个RBF神经网络，每个RBF神经网络均为单输入单输出结构，以滑模函数作为输入，提高了滑模控制的控制精度，减弱了控制抖振.通过Lyapunov稳定性理论分析证明了所设计的滑模PID神经网络控制的渐进稳定性.最后，结合MATLAB 仿真，实现了初始值不同的两个不确定统一混沌系统同结构与异结构同步.仿真结果表明，论文所建立的控制器对于存在外部干扰与参数扰动的不确定的MIMO混沌系统的控制是有效的，控制器的设计仅仅依靠主从混沌系统的状态输出，便于实际应用.【相关文献】[1] PECORA L M, CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Phys Rev Lett，1990, 64 (8): 821-824.[2] OTT E, GREBOGI C, YORKE J A. Controlling chaos[J]. Phys Rev Lett, 1990, 64 (11): 1196-1199.[3] 王兴元. 混沌系统的同步及在保密通信中的应用[M]. 北京：科学出版社, 2012.[4] 李震波，唐驾时. 参数扰动下的混沌同步控制及其保密通信方案[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(5): 592-600.[5] 李雄杰，周东华. 一种基于强跟踪滤波的混沌保密通信方法[J]. 物理学报, 2015, 64 (14): 140501.[6] 于娜，丁群，陈红. 异结构系统混沌同步及其在保密通信中的应用[J]. 通信学报, 2007, 28 (10):73-78.[7] LUE J H, CHEN G, CHENG D, et al. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (12): 2917-2926.[8] LUE J, CHEN G. A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12 (3): 659-661.[9] LUE J, ZHOU T, CHEN G, et al. Generating chaos with a switching piecewise-linear controller[J]. Chaos, 2002, 12 (2): 344-349.[10] 郭会军, 刘丁, 赵光宙. 受扰统一混沌系统基于RBF网络的主动滑模控制[J]. 物理学报, 2011, 60 (1): 010510.[11] 任亚, 李萍. 基于RBF神经网络的中国CPI预测研究[J]. 西安财经学院学报, 2011, 24 (1): 62-65.[12] 潘光，魏静. 一种分数阶混沌系统同步的自适应滑模控制器设计[J]. 物理学报, 2015, 64 (4): 040505.[13] 李华青, 廖晓峰, 黄宏宇. 基于神经网络和滑模控制的不确定混沌系统的同步[J]. 物理学报, 2011, 60 (2): 020512.[14] 高为炳. 变结构控制的理论及设计方法[M]. 北京：科学出版社, 1998.。

毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文），是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已注明引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。

论文作者签名：日期：年月日摘要混沌在现代科学与工程学领域的应用十分广泛，混沌现象存在于自然界各个领域，包括通讯领域、气象学领域、生物学领域、医学诊断疾病等方面。

学习混沌理论在未来的发展过程对我们是很有帮助的。

在非线性的世界里，通过混沌理论洞察所有的非线性运动,对其进行控制和掌握。

通过非线性电路对混沌系统进行分析和理解，进而构造出符合二阶混沌系统的非线性电路和函数模型。

Duffing 方程就是典型的二阶非线性方程。

运用MATLAB/Simulink对其混沌系统进行仿真实现，验证混沌系统的基本特性。

关键词：混沌；非线性；Duffing方程; MATLAB/SimulinkABSTRACTChaos widely used in modern science and engineering and chaos phenomenon exists in various fields of nature, including the communications field, the field of meteorology, biology, medical diagnosis of diseases. Learning Chaos Theory is very helpful to us in the development of this course in the future. In a nonlinear world, insight into the chaos theory, We can control and master non-linear movement. We analyze and understand the chaotic system via nonlinear circuit, and then construct a second-order chaotic systems of nonlinear circuits and function model. Duffing equation is a typical second-order nonlinear equation. Using MATLAB/Simulink, we complete the chaotic system simulation and test the basic characteristics of chaotic systems.Key words：Chaos；nonlinear；Duffing equation；MATLAB/Simulink目录第一章绪论 (1)1.1混沌理论 (1)1.2混沌的应用 (2)第二章二阶混沌系统的仿真实现 (5)2.1混沌系统 (5)2.1.1混沌产生的数学模型 (5)2.1.2 奇异吸引子与分形 (6)2.1.3 混沌系统的特征 (7)2.1.4 研究混沌的主要方法 (8)2.2 二阶混沌系统的实现 (9)第三章二阶非线性电路仿真实现 (15)3.1 Simulink仿真 (17)3.2 MATLAB语句命令演示模拟 (19)第四章结论 (22)致谢 (25)参考文献 (26)附录A (27)第一章绪论1.1混沌理论什么是混沌？现代科学意义上是很难得出确切的定义，之所以这样是因为：到目前为止，还没有足够和统一数学定理可以将混沌理论完全表达出来，在数学理论的基础上通过混沌系统所表现出的普遍现象总结归纳出混沌的本质。

混沌系统的有限时间滑模同步控制高俊山;于世萌;宋歌【摘要】A sliding mode control method is presented for investigating chaos synchronization between two different chaotic systems with uncertainties and external disturbances. Based on Lyapunov stability theory and finite-time sliding mode con-trol technique, a terminal sliding mode controller is designed to realize chaos synchronization. A new nonsingular terminal sliding mode surface is introduced and it can convergence to the zero equilibrium in finite-time. Finally, simulation results show the effectiveness of the proposed scheme.%采用滑模控制的方法,研究了两个不同的带有不确定性和外部扰动的混沌系统之间的同步问题.基于Lyapunov稳定性理论和有限时间滑模控制方法,设计了终端滑模控制器来实现两个混沌系统的同步.在设计控制器过程中提出了一个新的非奇异的终端滑模面,并证明它能在有限时间内收敛于零平衡点.通过数值仿真验证了所设计的控制器的有效性.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(000)010【总页数】6页(P43-47,89)【关键词】滑模控制;有限时间控制;混沌同步;李雅普诺夫稳定性理论【作者】高俊山;于世萌;宋歌【作者单位】哈尔滨理工大学自动化学院,哈尔滨 150080;哈尔滨理工大学自动化学院,哈尔滨 150080;哈尔滨理工大学自动化学院,哈尔滨 150080【正文语种】中文【中图分类】O415.5近年来，在非线性领域中，混沌同步已经成为研究的热门课题。

第6章连续时间混沌系统本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法，主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。

6.1 混沌数值仿真和硬件实验方法简介混沌的数值仿真主要包括MA TLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法，从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。

混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件（FPGA）、数字信号处理器（DSP）等硬件实现方法来产生混沌信号。

本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。

1）混沌系统的MA TLAB数值仿真该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MA TLAB程序。

现举二例来说明这种编程方法。

（1）已知Lorenz系统的状态方程为dx/dt=-a(x-y)dy/dt=bx-xz-ydz/dt=-cz+xy式中a=10,b=30,c=8/3。

MA TLAB仿真程序如下：>> %**************************************************Function dxdt=lorenz(t,x)%除符号dxdt外，还可用其他编程者习惯的有意义的符号A=10;B=30;C=8/3;dxdt=zeros(3,1);dxdt(1)=-A*(x(1)-x(2));dxdt(2)=B*x(1)-x(1).*x(3)-x(2);dxdt(3)=x(1)*x(2)-C*x(3);%*************************************************options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[ 1e-6 1e-6 1e-6]);t0=[0 200];x0=[0.02,0.01,0.03];[t,x]=ode45('lorenz',t0,x0,options);%**************************************************n=length(t)n1=round(n/2)%n1=1;%**************************************************figure(1);plot(t(n1:n,1),x(n1:n,1));xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');ylabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');figure(2);plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3));xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');ylabel('z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');%*******************************************************************根据上述MA TLAB程序，得Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-1所示。

创新前沿科技创新与应用Technology Innovation and Application2021年12期基于Simulink 软件的组合滑模控制仿真实验赵海滨1，田亚男2（1.东北大学机械工程与自动化学院，辽宁沈阳110819；2.东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110819）滑模控制器具有响应速度快、对参数变化及扰动不灵敏和物理实现简单等优点，广泛用于非线性系统控制[1]。

传统的滑模控制器，稳态误差不能在有限时间内收敛到零，从而提出了终端滑模控制的概念。

终端滑模控制器能够在有限时间内收敛到零，而且对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

快速终端滑模控制器的收敛速度非常快，但是在接近平衡状态时存在奇异问题[2]。

本文将快速终端滑模控制器和线性滑模控制器相结合，设计了组合滑模控制器，并采用组合滑模控制器进行二阶Duffing 混沌系统的平衡控制。

本文以二阶Duffing 混沌系统为研究对象，采用组合滑模控制器进行系统的平衡控制，状态变量快速收敛到零。

采用Simulink 软件建立仿真实验系统进行仿真实验，并对仿真结果进行分析。

组合滑模控制器能够进行不同初始状态Duffing 混沌系统的平衡控制，能够避免奇异问题，具有非常快的收敛速度。

1二阶非线性系统二阶Duffing 混沌系统常用于微弱信号的检测[3]，是典型的二阶非线性系统。

对于Duffing 混沌系统的控制，已经提出很多方法[4-5]。

Duffing 混沌系统的状态方程表示为（1）其中，x 1和x 2为系统的状态变量，t 为时间，a 、b 、d 和ω为常数。

当a=0.4，b=-1.1，d=1.5，ω=1.7时，该系统处于混沌状态。

根据Duffing 混沌系统的状态方程，采用Simulink 软件进行仿真，采用变步长的ode45算法，最大步长为0.001秒。

Duffing 混沌系统的初始状态设定为x 1（0）=0.2，x 2（0）=0.3，系统的仿真时间设定为300秒。