人教【数学】数学 二次函数的专项 培优练习题附详细答案

【二次函数】一．选择题1．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+22．关于二次函数y＝﹣2（x+3）2+8的图象，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴x＝﹣3C．最小值是8D．顶点坐标（﹣3，8）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．44．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（）A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min5．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：x…﹣012…y…﹣1﹣m﹣﹣1n…则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最小值；②不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞；③方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是（）A．①②③B．②③C．①②D．①③④7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．其中正确的是（）A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④9．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向上B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．当x＜2时y随x的增大而增大10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2二．填空题11．若是二次函数，则k＝．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝12t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了m．14．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．15．已知抛物线y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，直线y2＝2x+b经过点（x1，0）．若函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（﹣1，﹣2a），Q（﹣4，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．17．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件．（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？18．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k的部分图象如图所示，A为抛物线顶点．（1）写出二次函数的解析式；（2）若抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1y2（用“＞”，“＜”或“＝”填空）；（3）观察图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．19．已知，二次三项式﹣x2+2x+3．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：x……﹣3﹣2﹣1012……y……m71﹣117……解答下列问题：（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）表格中m的值等于；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式．参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2．故选：D．2．解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+8，∴a＝﹣2，则抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，函数有最大值为：8，顶点坐标（﹣3，8）故选项A，B，D正确，不合题意，选项C错误，符合题意．故选：C．3．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c ＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；故选：B．4．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故选：B．5．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．6．解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝1，函数图象开口向上，该函数有最小值，故①正确；不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞，故②正确；方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间，故③正确；当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；故选：A．7．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．8．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE ＝∠COF ，∴∠EOF ＝∠BOC ＝90°， ∴△OEF 是等腰直角三角形； 故①正确；②∵当OE ⊥BC 时，OE 最小，此时OE ＝OF ＝BC ＝1，∴△OEF 面积的最小值是＝，故②正确； ③∵BE ＝CF ，∴CE +CF ＝CE +BE ＝BC ＝2， 设EC ＝x ，则BE ＝CF ＝2﹣x ， ∴EF ＝＝，∵0＜x ＜2， ∴≤EF ＜2， ∵＜＜2，∴存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2+，故③正确；④由①知：△OBE ≌△OCF ，∴S 四边形OECF ＝S △COE +S △OCF ＝S △COE +S △OBE ＝S △OBC ＝S 正方形ABCD ＝×2×2＝1， 故④正确； 故选：D ．9．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2+1，a＝3，∴该函数图象开口向上，故选项A正确；函数的最小值为1，故选项B错误；函数图象的对称轴为直线x＝2，故选项C错误；当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D错误；故选：A．10．解：∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0），∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，又∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），∴该函数图象过点（﹣4，0），∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2，故选：B．二．填空题11．解：∵是二次函数，∴k2+1＝2且k﹣1≠0，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．12．解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．13．解：∵s＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，∴当t＝1时，s取得最大值6，即当t＝1时，汽车刹车后行驶的距离s取得最大值6m，∴汽车刹车后到停下来前进了6m，故答案为：6．14．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．15．解：∵y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴交于A，B两点，而交点为（x1，0）、（x2，0），不妨设A（x1，0）、B（x2，0），∵直线y2＝2x+b经过点（x1，0），∴2x1+b＝0，∴x1＝﹣，A（﹣，0），∵函数w＝y1﹣y2的图象与x轴只有一个公共点，∴该公共点就是点A，∴设w＝＝x2+bx+，∴y1＝w+y2＝x2+bx++2x+b＝x2+（b+2）x++b．∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣（b+6），x1x2＝+3b，∴|AB|＝|x1﹣x2|＝＝＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5a与y轴交于点A，∴A（0，﹣5a），点A向左平移4个单位长度，得到点B（﹣4，﹣5a）；（2）∵A与B关于对称轴x＝﹣2对称，∴抛物线对称轴x＝﹣2；（3）∵对称轴x＝﹣2，∴b＝4a，∴y＝ax2+4ax﹣5a，①a＞0时，点A（0，﹣5a）在y轴负半轴上，此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ无交点；②当a＜0时，点A（0，﹣5a）在y轴正半轴，当Q点在抛物线上时，则2＝16a﹣16a﹣5a，解得a＝﹣，即当﹣≤a＜0时，（如图2），结合图象，抛物线与线段PQ有一个交点；综上，a的取值范围是﹣≤a＜0．17．解：（1）200+（60﹣58）×20＝240（件），故答案为：240；（2）设该品牌童装获得的利润为y元，根据题意得，y＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝﹣20x2+2200x﹣56000；（3）根据题意得57≤x≤60，y＝﹣20（x﹣55）2+4500，∵a＝﹣20＜0∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，∴当x＝57时，y有最大值为4420元，∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．18．解：（1）根据图示知，抛物线顶点坐标是（﹣1，2），则该抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2；（2）根据图示知，当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，所以抛物线上两点B（x1，y1），C（x2，y2）的横坐标满足﹣1＜x1＜x2，则y1＞y2；故答案是：＞；（3）由抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是直线x＝﹣1知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（1，0），所以当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．19．解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，∵m为整数，方程的根为有理数，∴m﹣4＝±3，∴m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），∵函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，当≤﹣3，n＜3时，∴n≤﹣6；当＞﹣3，n≥3时，∴n≥3；当＞3，n≤3时，n不存在；当＜3，n≥3时，3≤n＜6；当直线与抛物线y＝﹣x2+2x+3相切时，也满足条件，可得n＝7，综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6或7．20．解：（Ⅰ）由表格可知，该函数有最小值，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝﹣1和x＝1时的函数值相等，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣1），设二次函数为y＝ax2﹣1，把x＝1，y＝1代入得，1＝a﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣1；（Ⅱ）把x＝﹣3代入y＝2x2﹣1得，y＝17；∴m＝17，故答案为17；（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2．。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，3 22a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C 、D 两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标．（3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．【详解】解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2﹣2x ﹣3（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y ＝﹣x ﹣1∴D （0，﹣1）（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P 点纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2解得：x ＝1±2，∵x ＞0∴x ＝1+2．∴P （1+2，﹣2）【点睛】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a ++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．5．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252m m--，S的最大值是25 8，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M82秒．【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB ＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.【详解】（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴点B的坐标为（0，3），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴点C的坐标为（3，0），∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1，∴点A 的坐标（1，0），∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=， ∵A ′H +A ′C ≥HC ＝2218233⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴t ≥82， 即点M 在整个运动过程中用时最少是823秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2,23）55 4m-≤≤【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣32）2﹣54，然后根据n的取值得到最小值．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴103b cc--+=⎧⎨=⎩，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则330b k b ''=⎧⎨+=⎩， 解得：k=-1,b’=3故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3；∴设P （t ，3﹣t ），∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ，∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ，∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，∴∠CDP ＝45°，∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩∴D （1，4），此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，∴∠CDP ＝90°，∴CD ∥x 轴，∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝0或x ＝2，此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴＝﹣t 2+3t ，解得t ＝0或t ＝3，此时P （3）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴E （1，4），设N （1，n ），则0≤n ≤4，取CM 的中点Q （2m ，32）， ∵∠MNC ＝90°，∴NQ ＝12CM ， ∴4NQ 2＝CM 2， ∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣54， ∵0≤n ≤4，当n ＝32时，m 最小值＝﹣54，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣54≤m ≤5．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．7．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．（1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到， ∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+. 连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t=-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t=-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-，∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PBPJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.8．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.(1)求a 的值；(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-.【解析】【分析】（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可【详解】(1)解：由题意得()()1y x x a =---由图知：0a ＜所以A (,0a )，()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0)，()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为：3yx AC 中点坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∴AC 的垂直平分线为：y x =-又∵AB 的垂直平分线为：1x =-∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴由题意得：PD =d ，∴12ABP S PD AB ∆=⋅ =2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B∴1y x =-∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠易得：ABQ QPA ∆∆≌∴BQ =AP =26设Q (m ，-1)(0m ＜)∴()221126m -+= 4m =-∴Q ()4,1-.【点睛】本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式9．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析.【解析】【分析】（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】（1）设AD=x 米，则AB=1002x 米 依题意得，(100)2x x -＝450 解得x 1=10，x 2=90∵a=20，且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得： S=2(100)1(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大 当x=a 时，S 最大=50a-12a 2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2a 当a ＜25+4a ＜50时，即0＜a ＜1003时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=21000020016a a ++， 当25+4a ≤a ，即1003≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -， 综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2(3100)16a -＞0 21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米 当1003≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜1003时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米；当1003≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502a a -）平方米． 【点睛】 本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．10．如图1,抛物线2112y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直l 的抛物线2y ．(1)求抛物线2y 的解析式；(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ∆是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ∆全等,求直线PR 的解析式．【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111424y x x =-+-；（2）T 点的坐标为13137(1,4T +,23137(1,4T -,377(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或1124y x =--. 【解析】分析：（1）把()1,0B 和30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入2112y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点T 作TE y ⊥轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可； （3）设2113,424P m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭,根据对称性得21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等求解即可.详解:(1)由题意知，34102c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得14a =-， 所以,抛物线y 的解析式为21113424y x x =--+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()22114y x =--， 即： 22111424y x x =-+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,则22221TC TE CE =+=+ 2233254216t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 222TA TB AB =+= ()2221316t t ++=+， 215316AC =， 当TC AC =时，即232515321616t t -+=，解得131374t+=或231374t-=；当TC AC=时,得21531616t+=，无解；当TC AC=时,得2232516216t t t-+=+,解得3778t=-;综上可知,在抛物线2y的对称轴l上存在点T使TAC∆是等腰三角形,此时T点的坐标为131371,4T⎛⎫+⎪⎪⎝⎭,231371,4T⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,3771,8T⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)设2113,424P m m m⎛⎫--+⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m⎛⎫-+-⎪⎝⎭,因为,Q R关于1x=对称,所以21112,424R m m m⎛⎫--+-⎪⎝⎭,情况一:当点P在直线的左侧时,2113424PQ m m=--+-21111424m m m⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭,22QR m=-,又因为以,,P Q R构成的三角形与AMG∆全等,当PQ GM=且QR AM=时,0m=,可求得30,4P⎛⎫⎪⎝⎭,即点P与点C重合所以12,4R⎛⎫-⎪⎝⎭,设PR的解析式y kx b=+,则有3,412.4bk b⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得12k =-, 即PR 的解析式为1324y x =-+, 当PQ AM =且QR GM =时,无解, 情况二:当点P 在直线l 右侧时,2111424P Q m m '=-+-'- 21131424m m m ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭, 22Q R m ='-', 同理可得512,,0,44P R ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭' P R ''的解析式为1124y x =--, 综上所述, PR 的解析式为1324y x =-+或1124y x =--. 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a 、c 的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．。

3 假设存在这样的点，过点 P 作 PE x 轴于点 E ，交 AC 于点 F ．
设
E
x,
0
，则
P
x,
1 4
x2
x
3
，
设直线 AC 的解析式为 y kx b ，
∵ 直线 AC 过点 A6,0 ， C 0, 3 ，
∴
6k b
3 b
0
，
解得
k
1 2
，
b 3
∴ 直线 AC 的解析式为 y 1 x 3， 2
∴
点
F
的坐标为
F
x,
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
x
3
，
则
PF
1 2
x
3
1 4
x2
x
3
1 4
x2
3 2
x
，
∴
S
APC
S
APF
S
CPF
1 2
PF
AE
1 2
PF
OE
1 2
PF
OA
1 2
1 4
x2
3 2
x
6
3 4
x2
9 2
x
3 (x 3)2 4
27 4
，
∴ 当 x 3 时， S
APC
有最大值
27 4
，
此时点
P
∴ m= 5 或 5 （舍弃）， ∴ Q（ 5 ， 4 5 ）．
（Ⅲ）如图，作 MK⊥对称轴 x=2 于 K．
①当 MK=OA，NK=OC=5 时，四边形 ACNM 是平行四边形． ∵ 此时点 M 的横坐标为 1， ∴ y=8， ∴ M（1，8），N（2，13）， ②当 M′K=OA=1，KN′=OC=5 时，四边形 ACM′N′是平行四边形， 此时 M′的横坐标为 3，可得 M′（3，8），N′（2，3）． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，第 3 问中理解通过平移 AC 可应用“一组对边平行且相等” 得到平行四边形.

二次函数培优试题〔30道解答题〕注：全是2021年各地市中考题，不少是压轴题一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．9．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A〔0，3〕，B〔﹣1，0〕，请解答以下问题：〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A〔0，﹣2〕，B〔3，4〕．〔1〕求抛物线的表达式及对称轴；〔2〕设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的局部为图象G〔包含A，B两点〕．假设直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕和B〔1，0〕两点，交y轴于点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．〔1〕请直接写出D点的坐标．〔2〕求二次函数的解析式．〔3〕根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．12．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕试说明x1＜0，x2＜0；〔3〕假设抛物线y=x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．13．二次函数y=x2﹣4x+3．〔1〕用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；〔2〕求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．14．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根〔精确到0.1〕．15．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．16．九〔1〕班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x〔1≤x≤90〕天的售价与销量的相关信息如下表：时间x〔天〕1≤x＜50 50≤x≤90售价〔元/件〕x+40 90每天销量〔件〕200﹣2x该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．〔1〕求出y与x的函数关系式；〔2〕问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？〔3〕该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．17．某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量〔件〕与每件的销售价x〔元/件〕如下表：x〔元/件〕38 36 34 32 30 28 26t〔件〕 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售量t〔件〕与销售价x〔元/件〕之间满足一次函数．〔1〕试求t与x之间的函数关系式；〔2〕在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？〔注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价〕18．“丹棱冻粑〞是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；假设每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．〔1〕现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？〔2〕假设该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？19．某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕的关系大致满足如图的函数，销售本钱y2〔元/件〕与销售月份x〔月〕满足y2=，月销售量y3〔件〕与销售月份x〔月〕满足y3=﹣10x+20．〔1〕根据图象求出销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕之间的函数关系式；〔6≤x≤12且x为整数〕〔2〕求出该服装月销售利润W〔元〕与月份x〔月〕之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？〔6≤x≤12且x为整数〕20．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．〔1〕求出每天所得的销售利润w〔元〕与每件涨价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；〔3〕商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比拟哪种方案的最大利润更高，并说明理由．21．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2〔单位：件/时〕，y1、y2与工作时间x〔小时〕之间大致满足如下图的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一局部．〔1〕根据图象答复：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x〔小时〕的取值范围是_________； 说明线段AB的实际意义是_________．〔2〕求出调试过程中，当6≤x≤8〔3〕时，生产甲种产品的效率y1〔件/时〕与工作时间x〔小时〕之间的函数关系式．〔3〕调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z〔件〕与生产甲所用时间m〔小时〕之间的函数关系式．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温比照实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，〔1〕分别求y A、y B关于x的函数关系式；〔2〕当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？〔3〕在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x〔元/人〕〔x＞20〕，日接待游客的人数为y〔人〕．〔1〕求y与x〔x＞20〕的函数关系式；〔2〕景点每日的接待本钱为z〔元〕，z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？〔利润=门票收入﹣接待本钱〕24．某企业设计了一款工艺品，每件的本钱是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于本钱．〔1〕求出每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总本钱不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？〔每天的总本钱=每件的本钱×每天的销售量〕25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次〔最低档次〕的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．〔1〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕，求出y关于x的函数关系式；〔2〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．26．某商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1〔元/台〕与采购数量x1〔台〕满足y1=﹣20x1+1500〔0＜x1≤20，x1为整数〕；冰箱的采购单价y2〔元/台〕与采购数量x2〔台〕满足y2=﹣10x2+1300〔0＜x2≤20，x2为整数〕．〔1〕经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？〔2〕该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在〔1〕的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．27．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀〞栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润归还债务〔所有债务均不计利息〕．该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的关系可用图中的一条折线〔实线〕来表示．该店应支付职工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元〔不包含债务〕．〔1〕求日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系式；〔2〕假设该店暂不考虑归还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡〔收人=支出〕，求该店职工的人数；〔3〕假设该店只有2名职工，那么该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？28．在2021年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x〔x≥60〕元，销售量为y套．〔1〕求出y与x的函数关系式．〔2〕当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；〔3〕当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是]．29．某经销商销售一种产品，这种产品的本钱价为10元/千克，销售价不低于本钱价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系如下图：〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕求每天的销售利润W〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？30．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装本钱为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y〔单位：万元/吨〕与销售数量x〔x≥2〕之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s〔单位：万元〕与加工数量t〔单位：吨〕之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．〔1〕直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；〔2〕第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元〔毛利润=销售总收入﹣经营总本钱〕．①求w关于x的函数关系式；②假设该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？〔3〕第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．专题：代数综合题．分析：〔1〕首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；〔2〕把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4〔m﹣2〕2﹣4〔m2﹣3m+3〕=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．〔1〕∵x1+x2=﹣2〔m﹣2〕，x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=〔不合题意，舍去〕∴=﹣2．〔2〕+﹣m2=﹣m2=﹣2〔m﹣1〕﹣m2=﹣〔m+1〕2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．专题：几何图形问题．分析：〔1〕根据矩形的面积公式进行列式；〔2〕、〔3〕把y的值代入〔1〕中的函数关系，求得相应的x值即可．解答：解：〔1〕设围成的矩形一边长为x米，那么矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x〔32÷2﹣x〕=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；〔2〕由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即〔x﹣6〕〔x﹣10〕=0．解得x1=6，x2=10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；〔3〕不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=〔﹣16〕2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．点评：此题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为〔1，2〕，那么AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，那么OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为〔0，﹣1〕，于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为〔t，t﹣1〕，那么MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△OMN=•t•〔﹣t+1〕，再进行配方得到S=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，最后根据二次函数的最值问题求解．解答：解：〔1〕把A〔2，1〕代入y=得k=2×1=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，把B〔1，a〕代入反比例函数解析式y=得a=2，∴B点坐标为〔1，2〕，∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=；∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为〔0，﹣1〕，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A〔2，1〕、C〔0，﹣1〕代入得，解，∴直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为〔t，t﹣1〕，∴MN=﹣〔t﹣1〕=﹣t+1，∴S△OMN=•t•〔﹣t+1〕=﹣t2+t+=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：〔1〕由于抛物线过点O〔0，0〕，A〔2，0〕，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，那么A′点的坐标为〔1，〕，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．解答：解：〔1〕∵二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为〔1，〕，∴点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标为〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数综合题；新定义．分析：〔1〕只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数〞的函数表达式即可．〔2〕由y1的图象经过点A〔1，1〕可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数〞就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：〔1〕设顶点为〔h，k〕的二次函数的关系式为y=a〔x﹣h〕2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2〔x﹣3〕2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3〔x﹣3〕2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4是“同簇二次函数〞．∴符合要求的两个“同簇二次函数〞可以为：y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4．〔2〕∵y1的图象经过点A〔1，1〕，∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2〔x﹣1〕2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=〔a+2〕x2+〔b﹣4〕x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，∴y1+y2=〔a+2〕〔x﹣1〕2+1=〔a+2〕x2﹣2〔a+2〕x+〔a+2〕+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5〔x﹣1〕2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5〔0﹣1〕2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5〔3﹣1〕2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质〔开口方向、增减性〕，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．专题：新定义．分析：〔1〕根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；〔2〕①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．解答：解：〔1〕由题意可得出：y=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴此函数图象的顶点坐标为：〔1，0〕；〔2〕①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=〔x+2〕2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=〔x++2﹣1〕2﹣5+1=〔x+1〕2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=〔x+1〕2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=〔x+〕2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：〔1〕直接把A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；〔2〕根据〔1〕中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；〔3〕根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．解答：解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵由〔1〕知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M〔﹣1，4〕．〔3〕由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．点评：此题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第〔3〕问需要分类讨论，防止漏解．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式〔组〕．专题：代数综合题．分析：〔1〕根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；〔2〕令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；〔3〕画出图象，再根据图象直接得出答案．解答：解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，。