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同济大学第六版高数第3章课件第二节

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高数同济六版课件D31微分中值定理共29页

高数同济六版课件D31微分中值定理共29页

02.10.2019
高数同济六版
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例3. 证明不等式 xln 1 (x)x(x0). 1x
证: 设 f(t)ln 1 t(), 中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
02.10.2019
高数同济六版
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三、柯西(Cauchy)中值定理
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f()0. y
注意:
yf(x)
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a
bx
成立. 例如,
y
O
02.10.2019
1x
y
y
1 O
高数同济六版
1x O 1 x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
备用题
1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，(0 ,1) 可导，且 f(1)0,
求证存在 (0,1),使 证: 设辅助函数 (x)xnf(x)
显然 (x) 在 [ 0 ,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1), 使得
() nn1f()nf() 0
limf(x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
02.10.2019
高数同济六版
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例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f(x)x55x1,则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且

高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)

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它们都单调递增, 其图形关于直线 y x 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链
xg D
u
f
Rg D f
y
y f (u), u Df
①
u g(x), x D, 且 Rg D f
②
则
y f [g(x)] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
f 1 : f (D) D, 使 y f (D), f 1( y) x , 其中f (x) y, 称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 y f 1(x) 存在,
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(
1 2
)
2
1 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
1
x
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2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 f (x) f (x), 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f (x) f (x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当

同济大学第六版高数第3章

同济大学第六版高数第3章
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
预备知识
y
① f () lim f ( x) f ()
x0
x
② f ()表示曲线y f ( x)
在x 处切线的斜率 o
y=f(x)
x
中值定理与导数的应用
1
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理
若函数 f(x)满足
y
1在闭区间 [a,b] 上连续
A
2在开区间 (a,b)内可导
x
f()
lim f ( x) f () 0;
x0
x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0;
x
f()
lim x0
f
(
x) x
f ()
0;
f ()存在,
f() f() f (),
f () 0.
中值定理与导数的应用
4
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
中值定理与导数的应用
16
注： 当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F(b) F(a) F()
(a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a),
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f () M.
f ( x) f () 0,
中值定理与导数的应用
3
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0;
柯西定理 如果函数 f (x)、F(x)满足

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

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具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2

《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2
(或 x )
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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结束
例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘

高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学

高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学

代入⑹式, 得
ex 1 x 1 x2 2!
1 n!
xn
e x
n 1!
xn1
0 1.
因而相应的近似表达式为
ex 1 x 1 x2 2!
1 xn. n!
当 x 0 时, 相应的误差估计式为
Rn x
e x xn1
n 1!
ex xn1,
n 1!
如果取 x 1, 即得到 e的近似表达式:
2!
f n 0 xn.
⑺
n!
上式称为函数 f x的n阶麦克劳林多项式. 而相应的误
差估计式为
Rn x
M
n 1!
x
n1 .
⑻
例2 求出函数 f x ex 的n 阶麦克劳林展开式.
解 因 f x f x f x f n x ex ,
所以: f 0 f 0 f 0 f n 0 1,
来近似表示 f x 并给出误差的具体表达式.
为了使所求出的多项式与函数 f x在数值与性质方 面吻合得更好, 进一步要求 Pn x 在点 x0处的函数值以 及它的n 阶导数值与 f x在 x0处的函数值以及它的n
阶导数值分别相等. 即
Pnk x0 f k x0 k 0,1, ,n.
e 11 1 1 . 2! n!
例3
求
y
x
x
1
在
x0
2 处的三阶泰勒展开式.
解因
y x 1 1 , y2 2,
x 1 x 1
y
x
1
12
,
y2 1, y2 2,
y
2
6,
y4
x
x
4!
15
,
y4 2 24 4!

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式



Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
目录
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返回
结束
例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !

高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课件共52页文档

只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
{(1)n1}
14 n(1)n1
n (1)n1
2, , ,,
,; {
}
23
n
n
2, 22,L, 22L2,L
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
问 当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一 题 确定的数值?如果是,如何确定?
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 L n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )

同济大学第六版高数第3章课件第二节


lim cos x sin x x
0
2
2
lim(sin x)tan x lim eln y lim e0 1
x
x
x
2
2
2
中值定理与导数的应用
15
例9
求
ax lim(
bx
cx
1
)x
x0
3
(a 0,b 0,c 0)
解
设
y
ax (
bx
cx 1 )x
3
设
ln
y
1
ax ln
bx
cx
ln(a x bx c x ) ln 3
lim(a x
bx
cx
1
)x
lim eln y 3 abc
x0
3
x0
中值定理与导数的应用
16
1
例10 求 lim (cot x)ln x . ( 0 1
x)ln x
1 ln(cot x )
e ln x
,
11
lim 1 ln(cot x0 ln x
x)
lim
x0
cot
x
xka x ln k1 a
x 时 , x是ln x的高阶无穷大， ( 0,a 1) a x是x的高阶无穷大.
中值定理与导数的应用
8
练习题
求极限 : (1)lim tan x 1 1 (2) lim sin x x cos x 1
x sin 4 x 2
x0 x sin 2 x
3
4
ln sin x
g( x)
g( x)
中值定理与导数的应用
11
二、其它未定式
1. 0 型

高等数学(同济第六版)课件 第三章 4.单调性与凹凸性ppt课件


ppt课件
16
小结
一、曲线凹凸的定义：
二、判断凹凸性求拐点的方法：
1.确定f(x)的定义域，并求出二阶导数。
2.找出f(x)的二阶导数不存在点、二阶导数为零 的点，并用这些点分割定义域为多个子区间。
3.在这些子区间上判断二阶导数的符号，确定 凹凸性、求出拐点。
ppt课件
17
练习题
1.若在(,)上 f ( x) esin x 1 cos2(2 x) 3
1 cos(2 x 1)d(2x 1) 1 d sin( 2x 1)
2
2
当x>1时，
1 dx x(ln x 2)
1 d ln x ln x 2
1 d(ln x 2) d ln(ln x 2) ln x 2
ppt课件
20
将下列表达式凑微分
1. e3x2dx
1.确定f(x)的定义域，并求出导数。
2.找出f(x)的不可导点、导数为零的点，并用这些点 分割定义域为多个子区间。
3.在这些子区间上判断导数的符号，确定单调性。 三、不等式的证明：
1.设出合适的辅助函数f(x) 2.由f(x)导数的符号判断单调性，进而证出不等式。
ppt课件
9
二、曲线的凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向?
yy y f ( x) C B
y
y f (x)
A
o
o x1
x
x2 x
图形上任意弧段
位于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段
位于所张弦的上方
ppt课件
10
定义：设 f (x)在区间I上连续，若对任意x1, x2∈I，
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第二节 洛必达法则
0 ∞ 一、 型、 型未定式 0 ∞
定义 如果当 x → a
时，
函数 f (x)、 F (x)都趋于零 或都趋于无穷大， 、 都趋于零 或都趋于无穷大， f (x) 0 ∞ (x 称极限lim 为 或 型未定式。 型未定式。 x→a F( x) → 0 ∞
tan x 0 ,( ) 例如, x→0 例如 lim → x 0
1 a x + bx + cx 1 = ln abc ∴ lim( ) x = lim e ln y = 3 abc x →0 3 x →0 3
例10 求 lim+ (cot x )
x →0
1 ln x
.
( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
f ′( x ) Q lim = A, x → a F ′( x )
f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
tan x e x − e− x 例1 求 (1) lim . ( 2) lim x→0 → x x → 0 sin x x − sin x ( 3) lim x→0 x3 sec 2 x (tan x )′ = lim = 1. 解 (1)原式 = lim x→ 0 → x → 0 ( x )′ 1
2
2
∴ lim (sin x )tan x = lim e ln y = lim e 0 = 1
x→ π 2 x→ π 2 x→ π 2
a x + bx + cx 1 例9 求 lim( )x ( a > 0, b > 0, c > 0 ) x →0 3 a x + bx + cx 1 解 设 y=( )x 3 1 a x + bx + cx ln( a x + b x + c x ) − ln 3 设 ln y = ln = x 3 3x ln( a x + b x + c x ) − ln 3 ∴ lim lny = lim x →0 x→0 3x ( a x + b x + c x )′ a x ln a + b x ln b + c x ln c = lim = lim x x x x → 0 3( a + b + c ) x →0 3(a x + b x + c x )
f ( x ), 证 设 f1 ( x ) = 0, x≠a F ( x ), , F1 ( x ) = x=a 0, x≠a x=a ,
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x ,
在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
a
ξ
x
a+δ
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
=0
x → +∞时, xα是ln x的高阶无穷大， 的高阶无穷大， α > 0, a > 1) ( ax是xα的高阶无穷大 .
练习题
tan x − 1 1 sin x − x cos x 1 求极限 : (1) lim − ( 2) lim π sin 4 x x →0 2 x sin 2 x 3 x→
x→ 2
( 2) lim (tan x )tan 2 x .
π x→ 4 1 1− x
-1
e−1
( 3) lim x
x →1
.
三、小结
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
00 ,1∞ , ∞0 型
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
sec2 x − 1 tan x − x = lim (4)原式 = lim 3 x →0 x →0 3 x2 x
tan 2 x 1 = . = lim x→0 3 x 2 → 3
x − sin2 x (5) lim x→+∞ 2x + sin2 x
0 ∞ 注意： 使用洛必达法则， (1 注意：)使用洛必达法则，必须 检验是否为 或 型 0 ∞ f ′( x) f ( x) (2)当lim 不存在时， 不存在时，不能断言 lim 不存在 g′( x) g( x)
例8 求 lim (sin x )tan x .
π x→ 2
(1 )
∞
解
设 y = (sin x )tan x . 则 lny = tan x ln sin x
ln sin x ∴ lim lny = lim tan x ln sin x = lim π cot x π π x→ x→ x→ 2 2 2 cos x sin x = lim = − lim cos x sin x = 0 2 π − csc x π x→ x→
,
1 1 − ⋅ 2 1 Q lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x →0 x → 0 ln x x −x = lim+ = −1, ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
练习 求极限 lim （1） (sec x − tan x ). 0 π
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim = 3. π − 2 cos x sin x π sin 2 x 3 x→ x→
2 2
ln x ( α > 0) 例3 求极限 lim α x → +∞ x 1 ln x x = lim 1 =0 lim α = lim 解： 1 x → +∞ α x α x → +∞ x x → +∞ α x α −
2. ∞ − ∞ 型
1 1 0−0 步骤: 步骤 ∞ − ∞ ⇒ − ⇒ . 0 0 0⋅ 0
例6
1 1 求 lim( − ). x → 0 sin x x
( ∞− ∞ )
x − sin x x − sin x = lim 解 原式 = lim x → 0 x ⋅ sin x x →0 x2 1 2 x 1 − cos x = 0. = lim = lim 2 x →0 x →0 2 x 2x
4
ln sin x ( 3) lim x →0 ln x
+
1
tan x − x (4) lim 2 x → 0 x tan x
sin x − x cos x ( 2)原式 = lim x→0 x3 cos x − (cos x − x sin x ) sin x 1 = lim = lim = 2 x →0 x →0 3 x 3x 3
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 例7 解
取对数⇒ 0 ⋅ ∞.
求 lim+ x x . ( 00 )
x →0
原式 = lim+ e
x →0
x ln x
=e
x →0+
lim x ln x
=e
ln x lim x →0+ 1 x
=e
1 lim x 1 x →0+ − 2 x
= e 0 = 1.
(2) 在a 点的某去心邻域内 f ′( x)及 F′( x) , 都存在且 F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim 存在 或为无穷大); ( x→a F′( x) f ( x) f ′( x) 那么lim = lim . x→a F( x) x→a F′( x)
ln sin ax . 例2 (1) lim x → 0 ln sin bx
ln sin ax ∞ lim ,( ) x → 0 ln sin bx ∞
+
洛必达法则1： 洛必达法则 ：
设 1) 当x → a时,函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于零 ( ;
(2) 在a 点的某去心邻域内 f ′( x)及 F′( x) , 都存在且 F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim 存在 或为无穷大); ( x→a F′( x) f ( x) f ′( x) 那么lim = lim . x→a F( x) x→a F′( x)
f ( x) f1 ( x ) − f1 (a ) f 1′( ξ ) f ′(ξ) = = = (ξ在x与a之间) F( x) F1 ( x ) − F1 (a ) F1′( ξ ) F′(ξ) (x (ξ
当x → a时,ξ → a ,
f ′(ξ ) ∴ lim = A, ξ → a F ′(ξ )
+
tan x ( 2) lim . π x → tan 3 x
2
(ln sin ax )′ 解 (1) 原式＝ lim 原式＝ = lim x → 0 (ln sin bx )′ x →0
+
(sin ax )′ sin ax (sin bx )′ sin bx
+
a cos ax ⋅ sin bx a ⋅ cos bx ⋅ bx = lim = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 b ⋅ cos ax ⋅ ax
(e x − e − x )′ e x + e− x ( 2)原式 = lim =2 = lim x →1 (sin x )′ x →1 cos x
( x − sin x )′ 1 − cos x 1 ( 3)原式 = lim = lim = 3 ′ 2 x →0 x →0 (x ) 3x 6
洛必达法则1： 洛必达法则2： 洛必达法则 ： 洛必达法则 ： 都是无穷大 设 1) 当x → a时,函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于零 ( ;