线面平行的性质

4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， 点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为
．
D1 A1
C
Q
1
B1
P D
A
C B
6、在长方体ABCD - A1B1C1D1中,点 P BB（1 不与B、B1重合）, PA BA1 M, PC BC1 N,求证 : MN//平面ABCD
证明：∵AB∥平面 MNPQ， 平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN， 且 AB⊂平面 ABC， ∴由线面平行的性质定理，知 AB∥MN. ∴MN∥PQ.同理可得 MQ∥NP.
∴截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //,a，b ,
求证： b//
证明：过a作平面，且
例4.四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，Ｍ是PC的中点，在DM上取一点Ｇ，
过Ｇ和AP作平面交平面BDM于GH．
求证：ＡＰ//ＧＨ
Ｐ
Ｍ
Ｇ
提示：连结AC 交BD于O，连
Ｄ Ｈ
Ｃ
结OM
Ｏ
Ａ
Ｂ
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接 MO.∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点， ∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM，
D1
提示 : 连结AC、 A1C1 A1
C1 B1
M D
P N
C
A
B
解 : 连结AC、 A1C1 长方体中A1A//C1C A1C1//AC
AC 面A1C1B A1C1 面A1C1B
D1 A1
M D
C1
B1
P N C
A
B
AC // MN MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
例3：如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开， 应怎样画线？
解：⑴如图，在平面A'C'内，
过点P作直EF//B'C'，分别交 D'
F
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
P E
C'
连结BE、CF，
B'
D
C
下面证明EF、BE、 CF为应画的线．
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：⑵由⑴，得 EF//BC， EF//BC
D'
F
A'
P E
C'
EF//面AC D
B' C
BE、CF都与面AC相交．A
B
线面平行 线线平行 线面平行
变式1：如图所示的直三棱柱ABC－ A1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1 的平面与平面ABC的交线？并说明 理由．
直线a在平面内 a
a
直线a与平面α相交 A
直线a与平面α平行 a
aα
aα A
a //α
1. 定义: 直线与平面无公共点.
2. 判定定理: 线线平行 线面平行 若平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此平面
平行.
a
b
a /
b
a
//
a // b
探究：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
a // 性质定理
c
a
b
a
c
a // c b // c
c
a // b b b //
c
线面平行 线线平行 线面平判行定定理
变式 1， AB// ， AC// BD ， C ， D ，
求证： AC BD .
明：连结 CD ， ∵ AC// BD ， 直线 AC 和 BD可以确定一个平面，记为 ，
PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.
又∵平面BDM∩平面PAH＝GH，
PA⊂平面PAH，∴PA∥GH.
例5、如图所示,四边形EFGH为空间四边 形ABCD的一个截面,若截面为平行四边 形.(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面 EFGH. (2)若AB=4,CD=6,求四边形 EFGH周长的取值范围.
[变式] 用平行于四面体 ABCD 一组对棱 AB、CD 的平面截 此四面体(如图)
(1)求证：所得截面 MNPQ 是平行四边形； (2)如果 AB＝CD＝a.求证：四边形 MNPQ 的周长为定值； (3)如果 AB＝a，CD＝b，AB、CD 成 θ 角．求四边形 MNPQ 面积的最大值，并确定此时点 M 的位置．
作用：判定直线与直线平行的重要依据。
关键：寻找平面与平面的交线。
例1：过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面
CDD1C1于EE1，
D1 E1
C1
A1
B1
求证：BB1//EE1。
DE
C
A
B
变式：如图 ，用平行于四面体 ABCD 的一组 对棱AB，CD 的平面截此四面体．求证：截 面 MNPQ 是平行四边形．
(2)∵由(1)可知 MN∥AB.∴MABN＝MACC.
从而有AB－ABMN＝ACA－CMC＝AAMC .
又∵MQ∥CD，∴AAMC ＝MCDQ.从而有AB－ABMN＝MCDQ.
又∵AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a. ∴平行四边形 MNPQ 的周长为 2(MN＋MQ)＝2a 定值．
(3)设 AC＝c，AM＝x.由(1)得： MaN＝c－c x，MbQ＝cx， ∴S▱MNPQ＝MN·MQ·sinθ＝acb2 x(c－x)·sinθ ≤acb2 ·x＋2c－x2·sinθ＝14ab·sinθ， 此时 x＝2c，点 M 为 AC 中点．
直线和这个平面内的直线有怎样的位行
α
异面
(2)什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？
若“共面”必平行，换 句话说，若过直线 a的某一
平面与平面 相交，则直线 a就和这条交线平行 .
如果一条直线和一个平面平行，经过这 一条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行
符号表示：a// ，a，ba//b
课后作业： 1、课本P62 习题2.2
A组第5、6题
2．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面 ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交 DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
3、 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，P 为平面 ABC 外一点，E，F 分别是 PA，PC 的 中点．记平面 BEF 与平面 ABC 的交 线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位 置关系，并加以证明．
[解析] 在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l 即为平面BA1C1与平面ABC的交线．证明如下：
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平 面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1∥平面 ABC.又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面 ABC＝l，∴A1C1∥l.
C,D ， C, D ，∴ CD ， AB// ， AB ， CD AB // CD ， ∵ AC// BD ， 四边形 ACDB 为平行四边形， ∴ AC BD .
变式2.求证：如果一条直线和两个相交 平面都平行，那么这条直线和它们的交 线平行.
已知:α∩β=l,a∥α,a∥β.
求证:a∥l.
bl
提示：过a作两个辅助平面 α
β
c
δ γa
[解析] 已知直线a，l，平面α，β满足 α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l. 证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b， ∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c.则b∥c. 又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β. 又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l. 又∵a∥b，∴a∥l.
A
B
例3： 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
解：⑴
D' A'
F P
C'
BC//B'C' EF//B'C'
BC//EF D E
B' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
例3： 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
小结
（1）内容：直线和平面平行的性质定理 及其应用； （2）体现的思想：化归思想——线面平 行化归为线线平行；
直线和平面平行的判定定理:
直线与直线平行
直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理:
注意:
平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行； 但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面 内与它共面的直线平行．
又∵直线l过点B，且l⊂平面ABC. 根据线面平行的性质定理，l即为所求．
变式2：如图,三棱柱ABC-A′B′C′中,D是BC上
一点,且满足A′B∥平面AC′D，则D是BC
的
.
【解析】连接A′C交AC′于E,连接DE,在平行四边形AA′C′C 中,A′C与AC′互相平分. 所以A′E=EC. 又因为A′B∥平面AC′D, 平面A′BC∩平面AC′D=DE, 所以A′B∥DE. 在△A′BC中,A′E=EC,A′B∥DE, 所以BD=DC,所以D是BC的中点. 答案：中点
变式2：已知异面直线AB、CD都平行
于平面 且AB、CD在 两侧,若AC、