【市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试题

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

绝密★启用前【市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高一（上)期末数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明外…………○…※内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合A ={0，1}，B ={1,2}，则A ∪B =______． 2．cos17π6=______．3．若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______． 4．若向量a ⃗=（1，2），b ⃗⃗=（3，m ），且a ⃗∥b ⃗⃗，则||a ⃗+b ⃗⃗|=______． 5．函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______． 6．计算：e ln3+log √525+(0.125)−23=______．7．已知圆心角是π3的扇形的面积是2π3cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ． 8．已知函数f （x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[−1，0]时，f （x ）=x ，则f （212）=______．9．将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =2π3时f （x ）取得最大值，则φ=______． 10．若cos2asin(a+π4)=√23，sinacosa =______．11．若f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x,x >1 ，且f （2−a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．12．在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 在边BC 上，4|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．13．函数f(x)={2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x >4，若0≤m <n ，且f(m)=f(n)，则mf(n)的取值范围是______．14．函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．……○…………订…______班级：___________考号：……○…………订…二、解答题 15．设集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}，B ={y|y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R}，全集U =R ． （1）若a =2，求（C U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16．在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（1，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（4，m ）（m ＞0） （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠ADC 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（7π12，π），β=π12，且点A 的坐标为A （−1，m ）．（1）若tan2α=−43，求实数m 的值； （2）若tan∠AOB =−34，若sin2α的值． 18．某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y ＝log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19．已知奇函数f(x)=3x+b2x 2+2，函数g （t ）=sin 2t +2cost −1，t ∈[m ，π3]，m ，b ∈R ．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20．已知向量a=（2sin（ωx+π4），−√3），b⃗=（sin（ωx+π4），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=a•b⃗−1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）−2n+1=0；在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4x1+4−x1+m（2x1-2−x1）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．{0,1,2}【解析】∵A={0，1}，B={1,2}∴A∪B={0,1,2}点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．−√32【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】cos17π6=cos（3π−π6)=−cosπ6=−√32．故答案为：−√32【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3．4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【详解】设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=12，∴y=f（x）=x12，∴f（16）=4，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4．4√5【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵a ||b⃗，∴m−6=0，解得m=6．∴a+b⃗=（4，8）．则|a+b⃗|=√42+82=4√5．故答案为：4√5．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．[−2，+∞）【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，f（x）=|ln（x+3）|={ln(x+3)x≥−2−ln(x+3),−3<x<−2，即当x≥−2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[−2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当−3＜x＜−2时，f（x）=−ln（x+3），令t=x+3，y=−lnt，在（−3，−2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=−lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[−2，+∞）；故答案为：[−2，+∞）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6．11 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可得出． 【详解】原式=3+4+[(12)3]−23=7+4 =11．故答案为：11． 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7．2π3【解析】 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：r 2=2S α=2×2π3π3=4．解得r =2，可得：扇形的弧长为l =rα=2×π3=2π3cm ．故答案为：2π3．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8．12 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（212）=f（12+10）=f（12），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（12）=−f（−12）=−（−12）=12，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是周期为2的函数，则f（212）=f（12+10）=f（12），又由f（x）为奇函数，则f（12）=−f（12）=−（−12）=12，则f（212）=12；故答案为：12【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9．5π12【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．【详解】将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x−2φ），∵当x=2π3时f（x）取得最大值，则4π3−2φ=2kπ+π2，k∈Z．∴2φ=−2kπ+5π6，令k=0，可得φ=5π12，故答案为：5π12．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10．49【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cosα−sinα=13，两边平方得答案．∵cos2asin （a+π4)=√23， ∴22√22(sina+cosa)=√23，即√23(sina+cosa)=√23， ∴cosα−sinα=13，两边平方得：1−2sinacosa =19， ∴sinαcosα=49． 故答案为：49．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11．（−∞，12） 【解析】 【分析】讨论f （x ）在x ＞1和x ≤1的单调性，可得f （x ）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x ,x >1 ， 可得x ＞1时，f （x ）递减； x ≤1时，f （x ）递减， 且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2−a ）＜f （3a ），可得2−a ＞3a ， 解得a ＜12，故答案为：（−∞，12）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12．32 【解析】由向量加法及减法的三角形法则可得，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合已知即可求解AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【详解】 ∵4=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， =（14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）， =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =14−34×4+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32， 故答案为：32．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题． 13．(3,36] 【解析】 【分析】作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】作出函数f （x ）={2X +1,0≤x <41+log 2x,x >4的图象，可得f （n ）=f （m ）=1+2m ，1＜m ≤4，则mf （n ）=m （1+2m ）=2m 2+m 在（1，4]递增，可得 mf （n ）的范围是（3，36]． 故答案为：（3，36]． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题． 14．(3,4) 【解析】 【分析】根据题意，设t =|3x −1|，则y =mt 2−4t +1，作出t =|3x −1|的草图，据此分析可得方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得{16−4m >00<2m <1m −3>0 ，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1，设t =|3x −1|， 则y =mt 2−4t +1， t =|3x −1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点， 则方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个不同的根， 则有{16−4m >00<2m <1m −3>0，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）； 故答案为：（3，4） 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15．（1）（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）1≤a ＜3 【解析】 【分析】（1）求定义域得集合A ，求出a =2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B =A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}={x|{x −2≥032−x >0 }={x|2≤x ＜32}，a =2时，B ={y|y =2x ，2≤x ≤4}={y|4≤y ≤16}， 又全集U =R ，∴C U B ={x|x ＜4或x ＞16}， ∴（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}； （2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y|2a ≤y ≤2a +2}，A ={x|2≤x ＜32}， ∴{2a ≥22a+2<32，解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16．（1）m =12（2）−7√210【解析】 【分析】（1）由题意可知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，及向量夹角公式cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求. 【详解】（1）若∠ABC =90°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，m −2）， ∴3+2m −4=0， ∴m =12．（2）∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2， ∵√9+(m −2)2=3√2， ∵m ＞0， ∴m =5， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2）， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4）， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3，−4）， ∴cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=−7√210．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17．（1）m =12（2）7−24√350【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α−π12）和cos （α−π12）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α−π6）+π6]的值． 【详解】（1）由题意可得tan2α=2tanα1−tan 2α=−43，∴tanα=−12，或tanα=2．∵α∈（7π12，π），∴tanα=−12，即m−1=−12，∴m =12． （2）∵tan∠AOB =tan （α−β）=tan （α−π12）=sin(α−π12)cos(α−π12)=−34，sin 2(α−π12)+cos 2(α−π12)=1,α−π12∈[π2,11π12]，∴sin （α−π12）=35，cos （α−π12）=−45， ∴sin （2α−π6）=2sin （α−π12）cos （α−π12）=−2425，cos （2α−π6）=2cos 2（α−π12）−1=725， ∴sin2α=sin[（2α−π6）+π6]=sin （2α−π6）cos π6+cos （2α−π6）sin π6=7−24√350． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18．（1）y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64（2）32＜x ＜72【解析】 【分析】（1）由已知可得y =log a x +b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x ≥64时，y =18x −5，则函数解析式可求； （2）当0≤x ≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案． 【详解】（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多， ∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数． ∴{log a 16+b =1log a 64+b =3 ，解得{a =2b =−3 ． ∴8＜x ≤64时，y =−3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0）， 由题意可得：{64k +m =380k +m =5 ，解得{k =18m =−5 ．∴x ≥64时，y =18x −5．∴y 关于x 的函数解析式为y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64；（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜−3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128． ∴32＜x ≤64．当x ＞64时，18x −5<4，解得x ＜72， ∴64＜x ＜72． 综上，32＜x ＜72．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19．（1）0（2）f （x ）在[0，1]递增（3）−π3≤m ＜π3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=3x2x 2+2在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f （x ）=3x+b 2x 2+2，可得f （0）＝0，即b ＝0； （2）f （x ）=3x 2x 2+2在[0，1]单调递增，证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2， f （x 2）﹣f （x 1）=32（x 2x 22+1−x 1x 12+1）=32•(x 2−x 1)(1−x 1x 2)(1+x 22)(1+x 12)，由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0， 即有f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max ＝f （1）=34，可得g （t ）的最小值为34，令s ＝cos t ，所以s ＝﹣s 2+2s 的最小值为34，所以12≤s ≤32，即12≤cos t ≤1，t ∈[m ，π3]，由y ＝cos t 的图象可得−π3≤m ＜π3． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（1）[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z （2）1−√32≤n <12或n =12（3）存在，且m 取值范围为(−296，296)【解析】 【分析】（1）函数f （x ）=a •b ⃗ −1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，7π12]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1的最小值，即可求解m 的范围． 【详解】（1）函数f （x ）=a →•b →−1＝2sin 2（ωx +π4）−√3cos （2ωx ）﹣1＝sin （2ωx ）−√3cos （2ωx ） ＝2sin （2ωx −π3）∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0 ∴2π2ω=π，∴ω＝1．那么f （x ）的解析式f （x ）＝2sin （2x −π3）令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z 得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．（2）方程f （x ）﹣2n +1＝0；在[0，7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵x 在[0，7π12]上， ∴−π3≤（2x −π3）≤5π6那么函数y ＝f （x ）+1＝2sin （2x −π3）+1的值域为[1−√3，2]，结合图象可知 函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n ＜1或2n ＝2， 可得1−√32≤n ＜12或n ＝1．（3）由（1）可知f （x ）＝2sin （2x −π3） ∴f （x 2）min ＝﹣2．实数m 满足对任意x 1∈[﹣1，1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞f （x 2）成立． 即4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞﹣2成立令y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=（2x 1−2−x 1）2+2＝t 2+2 ∵x 1∈[﹣1，1]， ∴t ∈[−32，32]，可得t 2+mt +5＞0在t ∈[−32，32]上成立． 令g （t ）＝t 2+mt +5＞0， 其对称轴t =−m2∵t ∈[−32，32]上， ∴①当−m 2≤−32时，即m ≥3时，g （t ）min ＝g （−32）=294−3m 2＞0，解得3≤m ＜296；②当−32＜−m 2＜32，即﹣3＜m ＜3时，g （t ）min ＝g （−m2）=5−m 24＞0，解得﹣3＜m ＜3；③当32≤−m 2，即m ≤﹣3时，g （t ）min ＝g （32）=294+3m 2＞0＞0，解得−296＜m ≤﹣3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（−296，296）． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】∵，∴点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.______．【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.若幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案．【详解】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得：，，，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.若向量，，且，则|______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】，，解得．．则．故答案为：．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数的单调增区间是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，，即当时，，令，在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；当时，，令，在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，可得：扇形的弧长为cm．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，又由为奇函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．【答案】【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．【详解】，，即，，两边平方得：，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则______．【答案】【解析】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．【详解】，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出的图象，求得，m的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】作出函数的图象，可得，，则在递增，可得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1），或；（2）【解析】【分析】（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．【详解】（1）集合，时，，，又全集，或，，或；（2），又，，，解得实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）（1）若，求m的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式即可求. 【详解】（1）若，则，，，．（2），，，，，，，而，，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．（1）若，求实数m的值；（2）若，若的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．【详解】（1）由题意可得，，或．，，即，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k的方程组求解可得时，，则函数解析式可求；（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，在上是增函数．，解得．时，；又时，y是x的一次函数，设，由题意可得：，解得．时，．∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，不合题意；当时，，解得．．当时，，解得，．综上，．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.已知奇函数，函数，，，．（1）求b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）0（2）在递增（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，即b＝0；（2）f（x）在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）（）•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），可得g（t）的最小值为，令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，由y＝cos t的图象可得m．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知向量，，，，函数，的最小正周期为．（1）求的单调增区间；（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为【解析】【分析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1＝sin（2ωx）cos（2ωx）＝2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω＝1．那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）令2x，k∈Z得：x∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴（2x）那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．那么2n＜1或2n＝2，可得或n＝1．（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）∴f（x2）min＝﹣2．实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得m（）+1＞f（x2）成立．即m（）+1＞﹣2成立令y m（）+1设t，那么（）2+2＝t2+2∵x1∈[﹣1，1]，∴t∈[，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．令g（t）＝t2+mt+5＞0，其对称轴t∵t∈[，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

江苏省无锡市高级中学2018年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)参考答案：C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2. 求值sin164°sin224°+sin254°sin314°=( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式化简已知函数，再由两角和的余弦公式可得．解答：解：∵sin164°=sin（180°﹣16°）=sin16°，sin224°=sin（180°+44°）=﹣sin44°sin254°=sin（270°﹣16°）=﹣cos16°sin314°=sin（270°+44°）=﹣cos44°，∴sin164°sin224°+sin254°sin314°=﹣sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos（16°+44°）=cos60°=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．3. 图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．4. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2x+a，若﹣3＜a＜0，f（m）＜0，则f（m+3）的值为（）A．正数B．负数C．0 D．符号与a有关参考答案：D考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分类讨论当a=0时，f（x）=x2+2x，f（m+3）＞0，f（m+3）＞0，f（m+3）有正有负，判断即可．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+2x+a，∴①当a=0时，f（x）=x2+2x，∵f（m）＜0，∴﹣2＜m＜0，m+3＞1，∴f（m+3）＞0，②当a=﹣3时，f（x）=x2+2x﹣3，∵f（m）＜0，∴﹣3＜m＜1，即0＜m+3＜4，∴f（m+3）有正有负，故选：D点评：本题考查了函数的性质，分类讨论求解问题属于中档题，结合图象求解．5. 下列各组函数中和相同的是A. B.C、 D.参考答案：B6. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．参考答案：A∵函数是增函数，令，必有，为增函数．∴a＞1，∴，∵当x=0时，，∴．又∵=，∴，∴．故选A．7. 在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)参考答案：D8. 设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数有，则的值为A.1B.2C.4D.5参考答案：D9. 函数的值域是( )A.[0,1]B.[-1,1]C.[0, ]D.[ ,1]参考答案：A10. 函数在R上的部分图象如图所示，则的值为（）．A. 5B.C.D.参考答案：C【分析】由图象的最值和周期可求得A和，代入(2,5)可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.【详解】由图象可得：，代入(2,5)可得：本题正确选项：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为▲ .参考答案：设正方形的边长为，由已知可得.12. 满足条件{1，3}∪M＝{1，3，5}的一个可能的集合M是▲。

无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高一数学第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为 ．2.等比数列{}n a 中，若21a =，58a =，则7a = ．3.在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠= ．4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为 ．5.已知某人连续5次射击的环数分别是8，9，10，x ，8，若这组数据的平均数是9，则这组数据的方差为 ．6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 ．7.已知实数x ，y 满足,2,0,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则93x y z =⋅的最大值是 ．8.在等差数列{}n a 中，0n a >，45a =，则2619a a +的最小值为 ． 9.设()()11111223341n S n N n n *=++++∈⨯⨯⨯+，且156n n S S +=，则n = ． 10.如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为2a 的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 ．11.在ABC ∆中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且a ，b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为 ．12.在R 上定义运算a ※()1b a b =+，若存在[]1,2x ∈，使不等式()m x -※()4m x +<成立，则实数m 的取值范围为 ．13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()22n n n S n N *-=∈，若对任意实数[]0,1λ∈，总存在自然数k ，使得当n k ≥时，不等式()()2123243n n n a a λλλ+-≥-++恒成立，则k 的最小值是 ．14.已知0x >，0y >，则2222629xy xy x y x y+++的最大值是 ． 第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出n 名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：。

2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=．10．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣co sθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（x）=x﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴0≤cosx≤1，∴1≤3cosx+1≤4，∴0≤log2（3cosx+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin （4x+）．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）故答案为：sin（4x+）．11．（5分）若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），则f（x）=4x+x2，x＜0，则函数f（x）=，则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+，kπ+π]，k∈z，由题意可得区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，即ω•π+≥kπ+，且ω•+≤kπ+π，k∈z．解得k+≤ω≤（k+），k∈z．求得：当k=0时，≤ω≤，不符合题意；当k=1时，≤ω≤；当k=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．【解答】解：（1）=+k=（﹣3+k，1﹣2k），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）=0，解得k=．（2）k+=（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）=0，解得k=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos （α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣x2+ax+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N，+y=﹣（x﹣5）2+245，∴x=5，y max=245万元．18．（15分）已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2x＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2x=，所以x=﹣2…6分（2）因为f（﹣x）=﹣2﹣x=2x﹣=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ） (8)分，又f（x）=（）x﹣2x在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2 (16)分19．（15分）已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，∴log a（a﹣x+1）+kx=log a（a x+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，∴2kx=log a（a x+1）﹣log a（a﹣x+1）=log a（）=x∴k=，（2）由题意设h（x）=f（x）﹣g（x）=2log a（2x+t﹣2）﹣log a x＜0在x∈[1，4]恒成立，∴2log a（2x+t﹣2）＜log a x，∵0＜a＜1，x∈[1，4]，∴只需要2x+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2x++2恒成立，∴t＞（﹣2x++2）max，令y=﹣2x++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，x∈[1，4]，∴（﹣2x++2）max=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（x）|=|2log a（2x+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2x+2）|=2，得x=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。

2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，，且，则A. B. C. D.2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A. B.C. D.3．下列函数中，值域为的偶函数是A. B. C. D.4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A. B. C. D.5．设，则的大小关系是A. B. C. D.6．函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.7．设函数A. B. C. D.8．函数的图象的大致形状是A B C D9．直线与圆交点的个数为A. 2个B. 1个C. 0个D. 不确定10．圆与圆的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切11. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则12．某几何体的三视图如图所示，它的体积为A.B.C.D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算 .14．经过，两点的直线的倾斜角是 .15．若函数在区间上的最大值比最小值大,则 . 16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.EDBA CC1 A1第12题图求证：（1）；（2）.19. （本小题满分12分）已知函数.（1）根据定义证明：函数在上是增函数；（2）根据定义证明：函数是奇函数.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.第20题图21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．22. （本小题满分12分）已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R 且，，求证：方程在区间上有实数根.2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112答案 A C Ｄ B Ａ B C D A D B C二、填空题．16.；15.；14.；113.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．）17．（本小题满分10分）已知的三个顶点⑴求边上高所在直线的方程；⑵求的面积．解(1)设边上高所在直线为，由于直线的斜率…………………….…2分所以直线的斜率.…………………….…3分又直线经过点，所以直线的方程为，…………….…4分即…………………………………………..…4分⑵边所在直线方程为：,即…………………….…5分点到直线的距离,…………………………………7分又………………………9分…………….…10分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：⑴； ⑵.证明：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，………....................……….….................…1分 为的中点，……………….….................................................…2分 又为的中点，，………………….………………3分 又平面，平面，……………..……4分平面.……………………………………………….…5分⑵在直三棱柱中，平面,平面,.………………6分又，平面，平面，，….....7分平面，………………………………………....................................…8分 平面，.…………………....…..................................…9分 矩形是正方形，，……………………...............................…10分 平面，，平面.…….............…11分又平面，.…………………….….................................…12分19.（本小题满分12分）已知函数.⑴根据定义证明：函数在上是增函数；⑵根据定义证明：函数是奇函数.EDBACC 1B 1A 1证明：⑴设任意的，且，…………1分则…………………………2分………………………3分……………………………………………4分，，即，……….…5分又，………………………………….…6分，即，………………7分在上是增函数.……………………………8分⑵，……………………9分,……………………………………………10分…………………………………………11分，即所以函数是奇函数. ……………………………………12分20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.⑴画出二面角的平面角，并求它的度数；⑵求三棱锥的体积.解：⑴取中点，连接、，……....................................……....1分，，，…...….........2分且平面，平面，….............................................…...3分是二面角的平面角. ….....................................……....4分在直角三角形中，…...5分在直角三角形中，…...6分是等边三角形，………………….7分…...………………………...8分⑵解法1：，......................9分又平面， 平面平面，且平面平面.............10分 在平面内作于，则平面，..................11分即是三棱锥的高.在等边中，，三棱锥的体积.....................................12分解法2：平面.........9分在等边中，的面积，.......................10分三棱锥的体积...................12分21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点． ⑴求圆的方程； ⑵若圆与直线交于两点，且求的值．解：⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，所以可设圆的圆心为，………………………….….……1分则有解得…………………2分则圆C 的半径为……………………………3分ODSCBA所以圆C的方程为……………………4分⑵设，其坐标满足方程组：............5分消去，得到方程….....................................…....6分由根与系数的关系可得，…………......8分由于可得,…………………….....................................….....10分又所以………........11分由①，②得，满足故……......................................……………12分22.（本小题满分12分）已知函数.⑴若，判断函数零点个数；⑵若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；⑶已知且，，求证：方程在区间上有实数根.解:⑴……………………………………………………1分,………………………………………………2分当时，，函数有一个零点；……………………………3分当时，，函数有两个零点.………………………….…4分⑵已知，则对于恒成立,…………………….…...…6分即恒成立；…………………………………………...…6分所以,……………………………………………………7分从而解得.……………………………………………………...……8分⑶设，则……….…9分……….…10分,……………………………11分在区间上有实数根，……………………………….…12分即方程在区间上有实数根. ……..…12分。

江苏省无锡市高一〔上〕期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．〔5分〕设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，那么〔?UA〕∪B= ．2．〔5分〕函数的最小正周期为．3．〔5分〕假设函数f〔x〕= ，那么f〔f〔﹣2〕〕= ．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为〔1，m〕，那么实数m的值为．5．〔5分〕幂函数y=f〔x〕的图象过点〔，〕，那么f〔〕=．6．〔5分〕向量与满足||=2，||=3，且?=﹣3，那么与的夹角为．7．〔5分〕sin〔α+π〕=﹣，那么sin〔2α+〕=．8．〔5分〕函数y=log2〔3cosx+1〕，x∈[﹣，]的值域为．9．〔5分〕在△ABC中，E是边AC的中点，=4，假设=x+y ，那么x+y=．10．〔5分〕将函数y=sin〔2x﹣〕的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得图象的解析式为y=．11．〔5分〕假设函数f〔x〕=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间〔﹣2，0〕内，另一个零点在区间〔1，3〕内，那么实数a的取值范围是．12．〔5分〕假设=1，tan〔α﹣β〕=，那么tanβ=．13．〔5分〕f〔x〕是定义在〔﹣∞，+∞〕上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕=4x﹣x2，假设函数f〔x〕在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，那么实数t的取值范围是．14．〔5分〕假设函数f〔x〕=|sin〔ωx+〕|〔ω＞1〕在区间[π，π]上单调递减，那么实数ω的取值范围是．第1页〔共13页〕二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔15分〕向量=〔﹣3，1〕，=〔1，﹣2〕，=+k〔k∈R〕．1〕假设与向量2﹣垂直，求实数k的值；2〕假设向量=〔1，﹣1〕，且与向量k+平行，求实数k的值．16．〔15分〕设α∈〔0，〕，满足sinα+cosα=．1〕求cos〔α+〕的值；2〕求cos〔2α+π〕的值．17．〔15分〕某机构通过对某企业2021年的生产经营情况的调查，得到每月利润y〔单位：万元〕与相应月份数x的局部数据如表：x14712y229244241196〔1〕根据如表数据，请从以下三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a?b x．〔2〕利用〔1〕中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．〔15分〕函数f〔x〕=〔〕x﹣2x．〔1〕假设f〔x〕=，求x的值；〔2〕假设不等式f〔2m﹣mcosθ〕+f〔﹣1﹣cosθ〕＜f〔0〕对所有θ∈[0，]都（成立，求实数m的取值范围．（19．〔15分〕t为实数，函数f〔x〕=2log a〔2x+t﹣2〕，g〔x〕=log a x，其中0（a＜1．x+1〕﹣kx是偶函数，求实数k的值；（1〕假设函数y=g〔a（2〕当x∈[1，4]时，f〔x〕的图象始终在g〔x〕的图象的下方，求t的取值范围；第2页〔共13页〕3〕设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f〔x〕|的值域为[0，2]，假设n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．〔15分〕向量=〔cos，sin〕，=〔cos，﹣sin〕，函数f〔x〕=?﹣m| +|+1，x∈[﹣，]，m∈R．〔1〕当m=0时，求f〔〕的值；〔2〕假设f〔x〕的最小值为﹣1，求实数m的值；〔3〕是否存在实数m，使函数g〔x〕=f〔x〕+ m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，说明理由．第3页〔共13页〕江苏省无锡市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分〕.1．〔5分〕设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，那么〔?U A〕∪B= {0，2，3}．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，那么?U A={0，3}，所以〔?U A〕∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．〔5分〕函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．〔5分〕假设函数f〔x〕=，那么f〔f〔﹣2〕〕=5．【解答】解：∵函数f〔x〕=，2∴f〔﹣2〕=〔﹣2〕﹣1=3，故答案为：5．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为〔1，m〕，那么实数m的值为﹣．第4页〔共13页〕【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为〔1，m〕，∴tan300°=tan〔360°﹣60°〕=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．〔5分〕幂函数y=f〔x〕的图象过点〔，〕，那么f〔〕=4．【解答】解：∵幂函数y=f〔x〕=xα的图象过点〔，〕，∴=，解得：α=﹣2，故f〔x〕=x﹣2，f〔〕==4，故答案为：4．6．〔5分〕向量与满足||=2，| |=3，且?=﹣3，那么与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，| |=3，且?=﹣3，设与的夹角为θ，那么cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．〔5分〕sin〔α+π〕=﹣，那么sin〔2α+〕=．【解答】解：∵sin〔α+π〕=﹣，sinα=，sin〔2α+〕=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．第5页〔共13页〕8．〔5分〕函数y=log2〔3cosx+1〕，x∈[﹣，]的值域为[0，2]．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴0≤cosx≤1，1≤3cosx+1≤4，0≤log2〔3cosx+1〕≤2，故答案为[0，2]．9．〔5分〕在△ABC中，E是边AC的中点，=4，假设=x +y，那么x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点， =4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．10．〔5分〕将函数y=sin〔2x﹣〕的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得图象的解析式为y=sin〔4x+〕．【解答】解：将函数y=sin〔2x﹣〕的图象先向左平移，得到函数y=sin[2〔x+〕﹣]=sin〔2x+〕的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin〔4x+〕故答案为：sin〔4x+〕．11．〔5分〕假设函数f〔x〕=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间〔﹣2，0〕内，另一个零点在区间〔1，3〕内，那么实数a的取值范围是〔0，2〕．第6页〔共13页〕【解答】解：∵函数f〔x〕=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间〔﹣2，0〕内，另一个零点在区间〔1，3〕内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：〔0，2〕．12．〔5分〕假设=1，tan〔α﹣β〕=，那么tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan〔α﹣β〕=，那么tanβ=tan[α﹣〔α﹣β〕]===，故答案为：．13．〔5分〕f〔x〕是定义在〔﹣∞，+∞〕上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕=4x﹣x2，假设函数f〔x〕在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，那么实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]．【解答】解：如x＜0，那么﹣x＞0，∵当x＞0时，f〔x〕=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f〔﹣x〕=﹣4x+x2，∵函数f〔x〕是奇函数，f〔0〕=0，且f〔﹣x〕=﹣4x+x2=﹣f〔x〕，那么f〔x〕=4x+x2，x＜0，那么函数f〔x〕=，那么当x＞0，f〔x〕=4x﹣x2=﹣〔x﹣2〕2+4≤4，当x＜0，f〔x〕=4x+x2=〔x+2〕2﹣4≥﹣4，当x＜0时，由4x+x2，即x 2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2，〔正值舍掉〕，=4第7页〔共13页〕假设函数f〔x〕在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，那么﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．〔5分〕假设函数f〔x〕=|sin〔ωx+〕|〔ω＞1〕在区间[π，π]上单调递减，那么实数ω的取值范围是[，]．【解答】解：∵函数f〔x〕=|sin〔ωx+〕|〔ω＞0〕在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+，kπ+π]，k∈z，由题意可得区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，即ω?π+≥kπ+，且ω?+≤kπ+π，k∈z．解得k+≤ω≤〔k+〕，k∈z．求得：当k=0时，≤ω≤，不符合题意；当k=1时，≤ω≤；当k=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．第8页〔共13页〕二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．〔15分〕向量=〔﹣3，1〕，=〔1，﹣2〕，=+k〔k∈R〕．1〕假设与向量2﹣垂直，求实数k的值；2〕假设向量=〔1，﹣1〕，且与向量k+平行，求实数k的值．【解答】解：〔1〕=+k=〔﹣3+k，1﹣2k〕，2﹣=〔﹣7，4〕．∵与向量2﹣垂直，∴?〔2﹣〕=﹣7〔﹣3+k〕+4〔1﹣2k〕=0，解得k=．〔2〕k+=〔k+1，﹣2k﹣1〕，∵与向量k+平行，∴〔﹣2k﹣1〕〔﹣3+k〕﹣〔1﹣2k〕〔k+1〕=0，解得k=．16．〔15分〕设α∈〔0，〕，满足sinα+cosα=．1〕求cos〔α+〕的值；2〕求cos〔2α+π〕的值．【解答】解：〔1〕∵α∈〔0，〕，满足sinα+cosα==2sin〔α+〕，∴sin 〔α+〕=．∴cos〔α+〕==．〔2〕∵cos〔2α+〕=2﹣1=，sin〔2α+〕=2sin〔α+〕cos〔α+〕=2??=，∴cos〔2α+π〕=cos[〔2α+〕+]=cos〔2α+〕cos﹣sin〔2α+〕sin=﹣=．17．〔15分〕某机构通过对某企业2021年的生产经营情况的调查，得到每月利润y〔单位：万元〕与相应月份数x的局部数据如表：第9页〔共13页〕x14712y229244241196〔1〕根据如表数据，从以下三个函数中取一个恰当的函数描述y与x的化关系，并明理由，y=ax3+b，y=x2+ax+b，y=a?b x．〔2〕利用〔1〕中的函数，估月利最大的是第几个月，并求出月的利．【解答】解：〔1〕由目中的数据知，描述每月利y〔位：万元〕与相月份数x的化关系函数不可能是常数函数，也不是函数；所以，取二次函数y=x2+ax+b行描述；2〕将〔1，229〕，〔4，244〕代入y=x2+ax+b，解得a=10，b=220，∴y=x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N+，y=〔x 5〕2+245，∴x=5，y max=245万元．18．〔15分〕函数f〔x〕=〔〕x2x．〔1〕假设f〔x〕=，求x的；〔2〕假设不等式f〔2m mcosθ〕+f〔1 cosθ〕＜f〔0〕所有θ∈[0，]都成立，求数m的取范．【解答】解：〔1〕令t=2x＞0，t=，解得t=4〔舍〕或t=，⋯3分，即2x=，所以x=2⋯6分〔2〕因f〔x〕=2﹣x=2x= f〔x〕，所以f〔x〕是定在R上的奇函数，⋯7故f〔0〕=0，由f〔2mmcosθ〕+f〔1cosθ〕＜f〔0〕=0得：f〔2mmcosθ〕＜f〔1+cosθ〕⋯8分，又f〔x〕=〔〕x2x在R上减，⋯9分，所以2m mcosθ＞1+cosθ所有θ∈[0，]都成立，⋯10分，所以m＞，θ∈[0，]，⋯12分，第10页〔共13页〕令μ=cos，θθ∈[0，]，μ∈[0，1]，y== 1+，μ∈[0，1]的最大2，所以m的取范是m＞2⋯16分19．〔15分〕t数，函数f〔x〕=2log a〔2x+t 2〕，g〔x〕=log a x，其中0a＜1．1〕假设函数y=g〔a x+1〕kx是偶函数，求数k的；2〕当x∈[1，4]，f〔x〕的象始在g〔x〕的象的下方，求t的取范；3〕t=4，当x∈[m，n]，函数y=|f〔x〕|的域[0，2]，假设nm的最小，求数a的．【解答】解：〔1〕∵函数y=g〔a x+1〕kx是偶函数，log a〔a﹣x+1〕+kx=log a〔a x+1〕kx，任意x∈R恒成立，∴2kx=log a〔a x+1〕log a〔a﹣x+1〕=log a〔〕=xk=，2〕由意h〔x〕=f〔x〕g〔x〕=2log a〔2x+t2〕log a x＜0在x∈[1，4]恒成立，2log a〔2x+t2〕＜log a x，∵0＜a＜1，x∈[1，4]，∴只需要2x+t2＞恒成立，即t＞2x+ +2恒成立，∴t＞〔2x+ +2〕max，令y=2x++2=2〔〕2++2=2〔〕2+，x∈[1，4]，∴〔2x++2〕max，=1∴t的取范是t＞1，〔3〕∵t=4，0＜a＜1，第11页〔共13页〕∴函数y=|f〔x〕|=|2log a〔2x+2〕|在〔﹣1，﹣〕上单调递减，在〔﹣，+∞〕上单调递增，∵当x∈[m，n]时，函数y=|f〔x〕|的值域为[0，2]，且f〔﹣〕=0，∴﹣1＜m≤≤n〔等号不同时取到〕，令|2log a〔2x+2〕|=2，得x=或，又[﹣〔﹣〕]﹣[〔﹣〕﹣]=＞0，∴﹣〔﹣〕＞〔﹣〕﹣，∴n﹣m的最小值为〔﹣〕﹣=，a=．20．〔15分〕向量=〔cos，sin〕，=〔cos，﹣sin〕，函数f〔x〕=?﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．〔1〕当m=0时，求f〔〕的值；〔2〕假设f〔x〕的最小值为﹣1，求实数m的值；〔3〕是否存在实数m，使函数g〔x〕=f〔x〕+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，说明理由．【解答】解：〔1〕?=〔cos，sin〕?〔cos，﹣sin〕=cos cos﹣sinsin=cos〔+〕=cos2x，当m=0时，f〔x〕=?+1=cos2x+1，那么f〔〕=cos〔2×〕+1=cos+1=；〔2〕∵x∈[﹣，]，∴| +|===2cosx，那么f〔x〕=?﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，第12页〔共13页〕令t=cosx，那么≤t≤1，那么y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=〔舍〕，②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=〔舍〕，综上假设f〔x〕的最小值为﹣1，那么实数m=．3〕令g〔x〕=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，那么，得，那么≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．第13页〔共13页〕。