平行四边形和三角形的面积计算

学习好资料欢迎下载梳理知识（知识要点如下）：1、单位进率（1）长度单位换算：1千米 =1000 米 1 米=10分米 1 分米 =10 厘米 1 厘米 =10 毫米 1 米 =100 厘米（ 2）面积单位换算：1平方米 =100 平方分米 1 公顷 =10000 平方米 1 平方千米 =100 公顷1平方分米 =100 平方厘米 1 平方米 =10000 平方厘米（ 3）重量单位换算：1吨 =1000 千克 1 千克 =1000 克2、平行四边形面积公式推导过程：先画出平行四边形的底和高，沿平行四边形的高剪下，通过移拼，可以拼成一个长方形。

拼成长方形的长与平形四边形的底相等，长方形的宽与平形四边形的高相等，拼成长方形的面积与平形四边形面积相等，因为长方形面积等于长乘以宽，所以平行四边形等于底乘以高。

S =ahs=ah(平行四边形的面积 =底×高 )a=s÷h ( 平行四边形的底 =面积÷高 )h=s÷a ( 平行四边形的高 =面积÷底 )等底等高的平行四边形，面积也相等3、三角形面积公式推导过程：把两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成平行四边形的底与三角形的底相等，平行四边形的高与三角形的高相等，每个三角形的面积是拼成平形四边形面积的一半，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2 倍。

因为平形四边形的面积等于底乘以高，所以其中一个三角形面积等于底乘以高除以 2。

S =ah÷2。

S=ah÷ 2（三角形的面积=底×高÷ 2）a=s×2÷h (三角形的底=面积× 2÷底)h=s×2÷ a( 三角形的底 =面积×2÷高 )等底等高的三角形，面积也相等4、计算多边形面积时，底和高要对应，单位名称要统一。

达标测试 :1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来平行四边形的面积 ( ) ，这个长方形的长等于原平行四边形的 ( ) ，这个长方形的宽等于原平行四边形的 ( ) 。

三角形面积计算公式的推导
三角形面积计算公式可以通过多种方法推导出来，以下是其中三种常见方法:
方法一:倍拼法(又称为“镜像法")
将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形的底就是平行四边形的底，高即为平行四边形的高。

平行四边形的面积计算公式为底边长度乘以高，所以三角形的面积就是平行四边形面积的一半,即:面积= (底边长度x高)→2这种方法可以用来计算任何三角形的面积。

包括等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

方法二:中位线法
将三角形两边中点连线并剪下一个三角形.通过平移，可以拼成一个平行四边形。

平行四边形的高就是原三角形的高，底边长度是原三角形底边长度的一半。

平行四边形的面积计算公式为底边长度乘以高，所以三角形的面积就是平行四边形面积的一半，即: 面积= (底边长度x高)+2这种方法也可以用来计算任何三角形的面积。

方法三:以盈补虚法(来自中国古代数学名著《九章算术》)
用三角形底的一半乘三角形的高。

菩名数学家刘微将此法命名为“以盈补虚”法。

也可找到三角形两边的中点分别做垂线，并沿垂线剪下，得到两个小三角形，通过平移，可以得到一个长方形。

长方形的底是三角形底的一半(两条垂线分别为左右两个三角形的中垂线，由中垂线定理可得)。

高相同，可得三角形面积公式。

制定：审核：批准：。

平行四边形和三角形的底、高、面积之间的关系：1、当平行四边形和三角形等底等高时，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

S平= ɑh
S三= ɑh÷2
2、当平行四边和三角形面积相等，底也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍，平行四边形的高是三角形高的一半。

h平= s÷ɑ
h三= 2s÷ɑ
3、当平行四边形和三角形面积相等，高也相等时，三角形的底是平行四边形底的2倍，平行四边形的底是三角形底的一半。

Ɑ平= s÷h
Ɑ三= 2s÷h
(注意：1、抄写时把老师带红色的字用红笔抄
2、理解公式中除以2或乘2从而理解结论中它们之
间的相互的关系。

3、注意中的内容不用抄到课本上。

)。

三角形和平行四边形面积计算专题导航三角形、平行四边形面积计算需要在掌握面积计算公式的基础上，灵活应用公式求相应的底和高。

根据底、高与面积的变化关系求出相应量。

第一组：⒈三角形底扩大2倍高不变，面积扩大倍。

平行四边形底扩大2倍高不变面积扩大倍。

⒉三角形高扩大3倍底不变，面积扩大倍。

平行四边形高扩大2倍底不变面积扩大倍。

⒊三角形底缩小2倍高不变，面积缩小倍。

平行四边形底缩小2倍高不变面积缩小倍。

⒋三角形高缩小3倍底缩小2倍，面积缩小倍。

平行四边形底缩小2倍高缩小2倍面积缩小倍。

第二组：⒈一个三角形和一个平行四边形底和高都相等，如果平行四边形的面积是30平方米，那么三角形的面积是平方米。

如果三角形的面积是30平方米，那么平行四边形的面积是平方米。

⒉一个三角形和一个平行四边形面积和高都相等，如果平行四边形的底是6米，那么三角形的底是米；如果三角形的底是6米，那么平行四边形的底是米。

⒊一个三角形和一个平行四边形面积和底都相等，如果平行四边形的高是6米，那么三角形的高是米；如果三角形的高是6米，那么平行四边形的高是米。

第三组：⒈一个直角三角形，三条边分别为8厘米、6厘米和10厘米。

求它的面积。

⒉一个平行四边形两条邻边分别是5厘米和3厘米，其中一条高为4厘米，求这个平行四边形的面积。

第四组：⒈一个三角形面积是24平方米，高是12米，求它的底是多少米？⒉一个三角形面积是24平方米，底是12米，求它的高是多少米？⒊一个平行四边形面积是24平方米，底是6米，求它的高是多少米？第五组：⒈一个三角形和一个平行四边形，三角形的底是平行四边形的2倍，平行四边形的高是三角形的2倍。

如果平行四边形的面积是20平方米，那么三角形的面积是多少平方米？⒉一个平行四边形比与它等底等高的三角形面积大15平方米。

那么平行四边形的面积是多少平方米？第六组：⒈如下图，已知等腰直角三角形的斜边AB长10厘米，求这个三角形的面积。

⒉一块三角形的菜地，面积是200平方米，另一块平行四边形果园地与菜地底和高都相等。

北师大五年级上册灵活运用面积公式
一、长方形面积公式
长方形面积 = 长× 宽
这个公式表示长方形的面积是其长和宽的乘积。

通过这个公式，我们可以计算任何长方形的面积。

二、正方形面积公式
正方形面积 = 边长× 边长
这个公式表示正方形的面积是其边长的平方。

这个公式也可以用来计算长方形的面积，只要将长方形的长或宽视为正方形的边长。

三、平行四边形面积公式
平行四边形面积 = 底× 高
这个公式表示平行四边形的面积是其底和高的乘积。

如果平行四边形的一个角为直角，我们可以将其转化为长方形，然后使用长方形面积公式计算其面积。

四、三角形面积公式
三角形面积 = 底× 高÷ 2
这个公式表示三角形的面积是其底和高的乘积的一半。

通过这个公式，我们可以计算任何三角形的面积。

五、梯形面积公式
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高÷ 2
这个公式表示梯形的面积是其上底、下底和高的一半的乘积。

通过这个公式，我们可以计算任何梯形的面积。

一个平行四边形和一个三角形等底等高
填空题：一个平行四边形与一个三角形等底等高，它们的面积之和是15平方厘米。

平行四边形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米。

根据等底等高的平行四边形面积是三角形的面积的2倍，把三角形的面积看作1份，则平行四边形的面积是2份，由此用45平方分米除以3求出1份，即三角形的面积；进而求出平行四边形的面积。

三角形的面积：15/(1+2)=15/3=5（平方厘米），平行四边形面积：5*2＝10（平方厘米），平行四边形的面积是等底等高的三角形面积的2倍。

解析：三角形的面积是：15÷（1+2）=5（平方米），
平行四边形的面积：5×2=10（平方米），
答：平行四边形的面积是10平方米，三角形的面积是5平方米；答案：10，5。

三角形平行四边形梯形的面积推导过程由于您提供的信息较为简单，我会尽量用通俗易懂的方式阐述文章的主要内容。

我们知道，三角形、平行四边形和梯形都是具有各自独特特征的几何图形。

要计算它们的面积，我们需要知道各个图形的底和高。

而平行四边形和梯形都可以通过简单运算得到底和高。

但在讨论三角形和平行四边形梯形的面积之前，我们需要先了解一个重要的概念——面积公式的变形式。

面积公式的变形式是：平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=底×高÷2，梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

这里需要注意的是，在推导这些公式时，我们需要将图形分割成若干个小矩形、正方形或三角形等简单的图形，然后将这些简单的图形组合成一个完整的图形。

而在这个过程中，我们需要确保每一个图形都被正确地划分和组合。

接下来，我们逐一讨论如何通过变形式推导出各种图形的面积公式。

首先是推导平行四边形的面积公式。

我们将平行四边形分割成一个底为a、高为h的矩形和一个底为a、高为2h的矩形。

然后我们将这两个矩形组合成一个完整的平行四边形，使得它的底和高分别为a和h。

这样，我们可以得到平行四边形的面积公式：面积=底×高=a×h接下来是推导三角形的面积公式。

我们将一个三角形分割成一个底为a、高为h的矩形和一个底为a、高为2h的矩形。

然后我们将这两个矩形组合成一个完整的三角形，使得它的底和高分别为a和h。

这样，我们可以得到三角形的面积公式：面积=底×高÷2=a×h÷2最后是推导梯形的面积公式。

我们将一个梯形分割成一个上底为a、下底为b、高为h的梯形和一个上底为a、下底为2h、高为h的梯形。

然后我们将这两个梯形组合成一个完整的梯形，使得它的上底和高分别为a和h，下底和高分别为b和h。

这样，我们可以得到梯形的面积公式：面积=(上底+下底)×高÷2=(a+b)×h÷2通过以上推导过程，我们可以得到各种图形的面积公式。

多边形的面积计算公式1、长方形的面积=长×宽字母表示：S=ab长方形的长=面积÷宽 a=S÷b长方形的宽=面积÷长b=S÷a2、正方形的面积=边长×边长字母表示: S= a²3平行四边形的面积=底×高字母表示: S=ah平行四边形的高=面积÷底 h=S÷a平行四边形的底=面积÷高 a=S÷h4、三角形的面积=底×高÷2字母表示: S=ah÷2三角形的高= 2×面积÷底h=2S÷a三角形的底= 2×面积÷高a=2S÷h5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母表示：S=(a+b)·h ÷2梯形的高=2×面积÷（上底+下底） h=2S÷(a+b)梯形的上底=2×面积÷高—下底 a=2S÷h-b梯形的下底=2×面积÷高—上底 b=2S÷h-a1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方米=10000平方厘米1米==10分米=100厘米《多边形的面积》同步试题一、填空1．完成下表。

考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。

答案：解析：直接利用公式计算这三种图形的面积，对于学生来说完成的难度不大。

对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习，可引导学生进行比较，理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知识点。

2．下图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个空白三角形的面积分别是15平方厘米和25平方厘米。

中间涂色三角形的面积是（）。

考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。

学科教师辅导讲义学生姓名：年级： 5 课时数：3辅导科目：数学辅导教师：辅导内容：平行四边形、三角形的面积辅导日期：教学目标： 1.了解平行四边形与长方形面积的关系，2.了解三角形与平行四边形面积的关系。

3.熟练掌握平行四边形与三角形的面积公式。

【课前知识点回顾】把一个平行四边形沿着它的一条高剪开，然后平移可以拼成一个形，这个长方形的长是原来平行四边形的，长方形的宽是平行四边形的．拼成后的长方形面积和平行四边形的面积．所以平行四边形的面积等于．平方米．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答．变式：1.一个平行四边形的底是12.5cm，高是2.4cm，它的面积是．【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可解答．2．有一块形如平行四边形的白菜地，它的底为36米，高为15米，如果每棵白菜占地9分米2，这块地能栽棵白菜．【分析】首先根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出这块菜地的面积，然后用菜地的面积除以每棵白菜的占地面积即可．3．一块平行四边形菜地，底是32分米，高是15分米．如果每平方米能收8千克青菜．这块菜地一共可以收千克青菜．【分析】首先根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出菜地的面积，然后根据单产量×数量＝总产量，据此列式解答．4．在一个底为40米，高为50米的平行四边形地里种上柚子树，每棵柚子树占地20平方米．这块地里一共能种棵柚子树．【分析】首先根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出这块地的面积，然后用这块地的面积除以每棵树的占地面积即可．题型三：通过面积求高或底例1：一个平行四边形的面积是27平方厘米，底边上的高是3cm，它的底是厘米．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么a＝S÷h，把数据代入公式解答．变式：1．一个平行四边形的面积是60平方米，已知它的高是3米，底是米．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么a＝S÷h，把数据代入公式解答．2．一个平行四边形的面积是75m2，它的底是15m，对应的高是m．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，把数据代入公式解答．3．如图，平行四边形的周长是分米．【分析】根据平行四边形的面积公式S＝ah，用底12乘高10求出平行四边形的面积，再用平行四边形的【分析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以用三角形的面积乘2即可求出平行四边形的面积．3．如图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个白三角形的面积15平方厘米和25平方厘米，中间涂色的三角形面积是平方厘米．【分析】由题意可知：涂色部分的面积和空白部分的面积相等，都等于平行四边形的面积的一半，据此解答即可．4．图中阴影的面积是12平方厘米，平行四边形的高是厘米．【分析】根据观察图形可知：阴影部分三角形与平行四边形等底等高，等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法求出平行四边形的面积，再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么h＝S÷a，把数据代入公式解答．题型三：三角形的面积计算例1：一个三角形的苗圃，底边长200米，高约160米．这个苗圃的面积大约是平方米？【分析】利用三角形的面积＝底×高÷2，即可求出这个三角形的面积即可．变式：1．一块三角形铁皮，底是5分米，高是40厘米，这块铁皮的面积是平方厘米．【分析】三角形的面积公式是：三角形的面积＝底×高÷2，将数据代入公式即可求得结果．2．三角形的底是4.2分米，高是3分米，面积是．【分析】根据三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2，直接列式求解即可．3．有一种三角形锦旗的底是25厘米，高是30厘米．做16面这样的锦旗至少需要平方厘米的红丝绸．【分析】先根据三角形面积＝底×高÷2，求出制作一面锦旗需要红丝绸多少平方厘米，再乘16即可求解．题型四：根据面积计算三角形的底或高例1：三角形的面积是18平方厘米，底边长是6厘米，它的底边上的高是厘米【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，把数据代入公式解答即可．变式：1．一个三角形的面积是30cm2，底是5cm，它的高是．【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2可知，要求三角形的高，先用三角形的面积乘上2，再除以它的底即可．2．一个三角形的面积是16cm2，其中一个底是8cm，这个底上的高是cm，用两个这样的三角形拼成的平行四边形的面积是cm2．【分析】三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形的高＝三角形的面积×2÷底，由此代入求出这个三角形的高；用两个这样的三角形拼成的平行四边形的面积就是一个三角形面积的2倍，用三角形的面积乘2即可求解．3．一个三角形的面积是200平方米，高是20米，底是米，与它等底等高的平行四边形面积是平方米．【分析】（1）根据三角形的面积公式S＝ah÷2，可知面积×2÷高＝底，代入数值解答即可；（2）根据等底等高的平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，用三角形的面积乘2就是平行四边形的面积．4．一块三角形草坪面积是96平方米，底是16米，高是米．【分析】根据三角形的面积公式可知，三角形的高＝面积×2÷底，由此代入数据计算即可求解．5．一个三角形的底是6cm，高是5cm，它的面积是cm2，与它等底等高的平行四边形的面积是cm2．【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，和平行四边形的面积＝底×高，直接计算即可．知识点三：计算面积例1：计算下面图形的面积．（单位：cm）【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答即可．变式：1．看图计算面积（单位：dm）【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答．2．计算下面图形的面积（单位：dm）【分析】根据平行四边形面积＝底×高，找准底是10，高是9，代入公式计算．3．计算如图的面积．【分析】根据平行四边形的面积＝底×高求解即可．4．求平行四边形中长是10米的底边上的高．【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积，再根据平行四边形的高＝面积÷底，列出算式计算即可求解．例2：计算下面三角形的面积．（1）（2）【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据解答即可．变式：1．乙三角形的面积比甲三角形的面积大多少平方厘米？【分析】由图意可知：乙三角形的面积比甲三角形面积大的面积也就是乙加上空白部分与甲加上空白部分的差，根据三角形的面积公式求出甲加上空白部分的面积和乙加上空白部分的面积，从而可以求出甲与乙的面积差．2．求下列各三角形的面积．【分析】三个三角形的都告诉了底和高，根据三角形面积计算公式“S＝ah÷2”即可分别求出各三角形的面积．各图中有有用条件和干扰条件．（1）25、12是有用条件，13是干扰条件；（2）35、8是有用条件，10是干扰条件；（3）10、18是有用条件，28是干扰条件．3.如图，求图示三角形的面积．（单位：cm）【分析】三角形的底和高已知，依据三角形的面积S＝ah，代入数据即可求解．4．计算下列图形的面积：（单位：厘米）【分析】根据三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答即可．【课堂同步知识训练】1．一种三角巾的形状是等腰直角三角形，直角边长8分米．现有一块长4米，宽16分米的长方形白布，用它最多可以剪出块这样的三角巾．2．计算下面这块地的面积是．（单位：米）3．一个平行四边形框架相邻两条边的长分别是5cm和10cm．它的一条高是6cm，它的面积是cm2；沿对角拉成长方形后的周长是cm．4．一块平行四边形绿地底是30米，高是底的1.5倍，这块绿地的面积是平方米．5．如图，阴影三角形的面积是69平方厘米，平行四边形的面积是平方厘米．【知识能力训练】1．一个平行四边形的面积为15平方厘米，底扩大3倍，高扩大2倍，这时平行四边形的面积是平方厘米．【解答】解：15×（3×2）＝15×6＝90（平方厘米），答：这时平行四边形的面积是90平方厘米．故答案为：90．2．平行四边的面积是15m2，将它的高扩大到原来的3倍，底不变，这时平行四边形的面积是m2．【解答】解：15×3＝45（平方厘米）答：面这时平行四边形的面积是 45m2．故答案为：45．3．甲乙两个三角形的面积相等，如果甲三角形的底是乙三角形底的二分之一，那么乙三角形的高就是甲三角形高的______.【解答】解：设甲的底是a，高是b，S△甲＝ab÷2S△乙＝2a×高÷2又因S△甲＝S△乙则2a×高÷2＝ab÷2即2a高＝ab高＝b所以乙三角形的高就是甲三角形高的．故答案为：．4．把一个三角形放大三倍，原来三角形的底是5厘米，高是4厘米，放大后的底是厘米，高是_____ 厘米．面积是平方厘米．【解答】解：5×3＝15（厘米）4×3＝12（厘米）×15×12＝90（平方厘米）答：放大后的底是15厘米，高是12厘米，面积是90平方厘米．故答案为：15，12，90．【课后知识应用】1．一块平行四边形地的底为100米，高为24米，按照每株占地2平方分米的标准种大豆．如果每株收大豆0.5千克，这块地大约可收大豆多少千克？2．一块平行四边形菜地的高是26m，底是高的3倍．这块菜地的面积是多少平方米？3．一块长方形的萝卜地，长4米，宽2米，王大爷在这块地里一共收萝卜120千克，平均每平方米收萝卜多少千克？4．一块平行四边形的菜地，它的底是24米，高是5米，共收蔬菜360千克，这块地平均每平方米收蔬菜多少千克？审核人：尹王冠。

比一比下面的平行四边形三角形和梯形谁的面积大
1. 平行四边形的面积大于三角形和梯形。

1. 平行四边形：根据三角形的面积公式S=1/2ab，可知，当四点均不在一条直线上时，可以将其分割成两个三角形，则平行四边形的面积等于两个三角形的面积之和，两个三角形的面积总和等于“平行四边形的面积”，即S = a*b（a,b分别为四边形的两条边），它的面积比三角形和梯形的面积要大。

2. 三角形：根据三角形面积公式S=1/2ab，可知，当三点不在一条直线上时，三角形的面积等于“a*b”（a,b分别为三角形的两条边）的一半（即1/2ab），它的面积比平行四边形的面积要小。

3. 梯形：梯形的面积等于高乘以底的一半（即1/2h*a），它的面积比平行四边形的面积要小。

【结论】
以上，根据上面分析比较，可以看出，平行四边形的面积大于三角形和梯形。