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湘教版数学九年级上册3.4《相似三角形的判定》（第2课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是湘教版数学九年级上册3.4的内容，这部分内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究并掌握相似三角形的判定方法，并通过大量的例题和练习题，使学生熟练掌握并应用这些方法。
教材中提供了丰富的教学资源，包括例题、练习题、探究题等，有助于提高学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、探究等活动，发现并总结相似三角形的判定方法。
同时，学生可能对一些复杂的问题感到困惑，需要教师给予适当的指导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，并能灵活运用。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：如何引导学生发现并总结相似三角形的判定方法。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考、探究，发现并总结相似三角形的判定方法。
2.例题教学法：教师通过讲解典型例题，使学生掌握相似三角形的判定方法。
3.练习法：教师布置适量的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.教材：湘教版数学九年级上册。
2.教学多媒体设备：用于展示教材内容、例题和练习题。
3.练习题：用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察、思考，发现相似三角形的判定方法。
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。
本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。
相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。
例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。
2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。
例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。
3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。
例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。
2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。
例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。
3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。
通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。
4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。
这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。
总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。
准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。
章节测试题1.【答题】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是______毫米．【答案】【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CA＝DE：AB，∴20：60＝DE：10，∴DE毫米，∴小管口径DE的长是毫米．故答案为.2.【答题】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是______米．【答案】54【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴，∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，∴，∴，解得BD＝52，∴，解得AB＝54，即建筑物的高是54m．故答案为54．3.【答题】如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC 与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为______cm．【答案】100【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB＝∠DBC．∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB．∴，∴BC2＝AC•BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，∴10BD＝1000．∴BD＝100（cm）．故答案为100．4.【题文】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE ＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【答案】4 m.【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，∴，解得x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．5.【题文】如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？【答案】矩形的长为cm，宽为cm．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N.∵∠BAC＝90°，∴∠BNA＝∠BAC，BC20（cm）.又∵∠B＝∠B，∴△ABN∽△CBA，∴，∴AN（cm）.∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥HG，∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C，∴△AHF∽△ABC，∴.设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x，，解得x，∴2x.答：截得的矩形的长为cm，宽为cm．6.【答题】如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为______米．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．∴小明的影长为5米．7.【答题】如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、在一条直线上，且直线与河垂直，在过点且与垂直的直线上选择适当的点，与过点且与垂直的直线的交点为，如果，，，则荆河的宽度为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度.由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度．【解答】由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，∴.设PQ=x，∴，解得x=120.故PQ=120m.选B．8.【答题】数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量这棵树的影长为米，则树高为______米．【答案】4【分析】本题考查了相似三角形的运用；熟记同一时刻的物高与影长成比例是解答此题的关键．设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．【解答】设这棵树的高度是x米，根据题意得1：0.8=x：3.2，解得x=4；即这棵树的高度为4米．故答案为4．9.【答题】如图，小明用2m长的标杆测量一棵树的高度．根据图示条件，树高为______m．【答案】7【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．【解答】这棵树高是x米，2：6=x：（6+15），6x=21×2，x=7．故答案是7．10.【题文】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．【答案】90m.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．【解答】根据题意得出QR∥ST，则△PQR∽△PST，故，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴，解得PQ=90（m），∴河宽度为90米．11.【题文】如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC 上．若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积．【答案】2000平方米或1920平方米.【分析】利用矩形的性质得出△ADG∽△ABC，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】∵矩形DEFG中DG∥EF，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∴．①若DE为宽，则，∴DG=50，此时矩形的面积是50×40=2000平方米；②若DG为宽，则，∴DE=48，此时矩形的面积是48×40=1920平方米．12.【答题】在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A. B. C. 2倍 D. 3倍【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【解答】如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的．故选A．13.【答题】如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是______米．【答案】24【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABP∽△CDP是解题关键．由已知得△ABP∽△CDP，根据相似形的性质可得=，解答即可．【解答】由反射的性质可得∠APB=∠CPD，又∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∴CD===24（米）．故答案为24．14.【题文】如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．【答案】30mm.【分析】【解答】作出示意图.连接AB，同时连结OC并延长交AB于E，∵夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，∴OE⊥ABAE＝BE，∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴，而，即，∴AB＝2AE＝30（mm）.答：AB两点间的距离为30mm．15.【题文】小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．【答案】10米．【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可【解答】过点C作CH⊥AB.设AH=x米，，解得x=8，AB=8+2=10米.答：AB的高度为10米．16.【题文】数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH ＝3米；③计算树的高度AB；【答案】15米．【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．【解答】设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，∴，∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，∴△ABF∽△GHF，∴，∴，∴，解得y＝20，把y＝20代入中，得x＝15，∴树的高度AB为15米．17.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．18.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．19.【题文】20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．【答案】30m．【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明△CAB∽△CPQ是本题的关键．通过证明△CAB∽△CPQ可得，可求解．【解答】设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为x m，21.6km/h＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．20.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．过点B 作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．。
4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm22.如图所示，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式中，一定成立的是(D).（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B).A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶14.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC 的面积为1，则△BCD的面积为(C).A.1B.2C.3D.45.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF∶S△ABC的值为 2 ．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=x k (x<0)的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 -16 ．7.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，点M 为垂足，AM=31AB.若四边形ABCD 的面积为715，则四边形AMCD 的面积是 1 . 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm 和14cm.（1）若它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若它们的面积相差588cm 2，求这两个三角形的面积．【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm 2，较小的三角形的面积为112cm 2.9.如图所示，△ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与△ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，则ABB A 11= 2 ． （2）在图2中画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2的面积是△ABC 的面积的2倍，则AB B A 22= 2 ．（第9题）【答案】(1)图略 2(2)图略2 10.如图所示，在△ABC 中，P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上.已知BC=2，S △ABC =1.设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA.∴△BFP ∽△BAC.∴.∵S△ABC =1，∴S △BFP =42x .同理S △PEC =,∴y=. (2)上述函数有最大值，最大值为21.理由如下：∵y=-22x +x=-21（x -1）2+21，-21＜0， ∴y 有最大值.又∵0<x<2,∴当x=1时，y 有最大值，最大值为21.11.如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA =1∶9，则S ，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B ).A.1∶3B.1∶2C.1∶4D.1∶9（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D ，E ，F ，G 为△ABC 两边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，若DE ，FG 将△ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是(C ).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG=42，则△EFC 的周长为(D ).A.11B.10C.9D.814.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，则△ABD 的面积为 13 ．15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 1211 . （第15题） （第16题）16.如图所示，M 是△ABC 内-点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则△ABC 的面积是 36 ．17.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点.过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED.（1）求证：ED ∥AC.（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S 21-16S 2+4=0，求△ABC 的面积.（第17题）【答案】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD ，∴∠E=∠DAC. ∵BE ∥AD ，∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED ∥AC.(2)∵BE ∥AD ，∴∠EBD=∠ADC.又∵∠E=∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=DC BD =2.∴21S S =k 2=4，即S1=4S2.∵S12-16S 2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.∴S 2=21. ∵=3，∴S △ABC =23. 18.如图1所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系并加以证明．（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，为使S 1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论．（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．（第18题） 【答案】设直角三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，则c 2=a 2+b 2.(1)S 1=S 2+S 3.(2)S1=S2+S3.证明:∵S1=43c 2，S2=43a 2，S3=43b 2，∴S2+S3=43 (a 2+b 2)= 43c 2=S 1.∴S 1=S 2+S 3. (3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3.证明：∵所作的三个三角形相似，∴, ∴=1.∴S 1=S 2+S 3.(4)分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1=S 2+S 3.19.【镇江】点E ，F 分别在ABCD 的边BC ，AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ∶PB=1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3，S 4的两部分（如图所示）.有下列四个等式：①S 1∶S 3=1∶n ；②S 1∶S 4=1∶（2n+1）；③（S 1+S 4）∶（S 2+S 3）=1∶n ；④（S 3-S 1）∶（S 2-S 4）=n ∶（n+1）.其中成立的是(B ).A.①②④B.②③C.②③④D.③④（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 78 .【解析】∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=22AC AB =25，S △ABC =21AB ·AC=21×15×20=150.∵AD=5，∴CD=AC -AD=15.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠BAC=90°.又∵∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CBA.∴AC CE =CB CD ，即20CE =2515，解得CE=12.∴BE=BC -CE=13.∵S △ABE ∶S △ABC =BE ∶BC=13∶25，∴S △ABE =2513×150=78.21.如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿点B 到点C 方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：△ABE ∽△ECM ．（2）在△DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．（第21题）【答案】(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠AEF=∠B.∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE ∽△ECM.(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C ，∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF.∴AE ≠AM.①当AE=EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE=AB=5.∴BE=BC -EC=1.②当AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA ，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，即∠CAB=∠CEA.∵∠C=∠C ，∴△CAE ∽△CBA.∴AC CE =CB AC .∴CE=CB AC 2=625.∴BE=611.∴BE=1或611. (3)设BE=x.∵△ABE ∽△ECM ，∴.∴CM=-51（x -3）2+59.∴AM=5-CM=51（x -3）2+516.∴当x=3时，AM 最短为516.此时BE=21BC ，∴E 为BC 的中点.∴AE ⊥BC.∴AE=22BE AB =4.EF ⊥AC.∴EM=AE 2-AM 2=512.∴S △AEM =21×516×512=2596.。
