高等数学第三单元测试A卷

0
⎜⎝ 0
0 4k 0
⎜ 4k
0⎞ ⎜
0
⎟ ⎟
QT
=
⎜ ⎜
0
6k ⎟⎠
⎜ ⎜⎜⎝ 0
0 2k + 6k
2 −2k + 6k
2
0⎟
−2k
+
6k
⎟ ⎟
2⎟
2k + 6k 2
⎟ ⎟⎟⎠
13、解：二次型的矩阵为
各阶顺序主子式为
⎛ 2 2 −2⎞
⎜ ⎜
2
a
−4
⎟ ⎟
⎜⎝ −2 −4 5 ⎟⎠
2 2 −2 | 2 |= 2 ， 2 2 = 2a − 4 ， 2 a −4 = 2(3a −10) ，
。
10、从一批零件中，抽取 9 个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3
设零件直径服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，其中 μ 未知，σ = 0.21 （毫米）， Φ(1.96) = 0.975 ，
则这批零件平均直径 μ 的对应于置信度为 0.95 的置信区间为
⎛ 0 −1 1 ⎞
7、
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
2 0
−01⎟⎟⎟⎠
8、30
9、9
10、（19.77，20.05）
三、计算题（本大题共 4 小题，其中第 11 题和第 13 题各 10 分，第 12 题 14 分，第 14 题 12 分，共 46 分）
11、解：将第一行的-1 倍加到其余各行，得
x1
a2
a3
80
20
四、证明题（本大题共 2 小题，每题 12 分，共 24 分）

高三数学同步检测(十一)第三章单元检测(A)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分；请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内；第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分；考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题；每小题4分；共40分)f (x )在x =x 0处可导,则hx f h x f h )()(lim 000-+→( ) x 0、h 都有关x 0有关；而与h 无关h 有关,而与x 0无关x 0、h 均无关解析 本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.答案 By =f (x )在点(0,0)处的导数的值是-1,则过该点的切线一定( )Ox 轴Oy 轴C.平分第一、三象限D.平分第二、四象限分析 本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.解 因为f (x )在点(0,0)处的导数等于-1,即切线的斜率为-1.根据直线的点斜式方程,可得y -0=-1×(x -0),即y =-x .故它平分第二、四象限.答案 Ds =s (t )=21gt 2,g =9.8 m /s 2,若v =)/()1()1(lim 0s m g ts t s t =∆-∆+→∆,那么说法正确的是( ) A.9.8 m/s 是在0~1 s 这段时间内的速率B.9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的速率C.9.8 m/s 是物体在t =1 s 这一时刻的速率D.9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速率分析 本题考查导数的物理意义.s (t )在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.解 s ′=tgt t t g t ∆-∆+→∆22021)(21lim ,)(lim )(2)()(2lim 020gt t g gt t t g t gt t t =∆+=∆∆+∆=→∆→∆ ∴s ′|t =1=g ×1=g =9.8(m/s).答案 C4.设在［0,1］上函数f (x )的图象是连续的,且f ′(x )>0,则下列关系一定成立的是（ ）A.f (0)<0B.f (1)>0C.f (1)>f (0)D.f (1)<f (0)分析 本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解 因为f ′(x )>0,所以函数f (xf (x )的图象是连续的,所以f (1)>f (0).但f (0)、f (1)与0的大小是不确定的.答案 Cf ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如右图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（ ） 分析 本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解 函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案 C6.一点沿直线运动,若由始点起经过ts 后的路程是s=21t 2+t 1,则速度为0的时刻为 s 末.( )分析 本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度.解 s ′=t -21t ,令s ′=t -21t =0,得t =1. 答案 Dy =x 3-3x 上切线平行于x 轴的点为( )A.(0,0),(1,3)B.(-1,2),(1,-2)C.(-1,-2),(1,2)D.(-1,3),(1,3)x 轴平行的直线的斜率为零,构造方程f ′(x )=0解得x 的值,进一步求出交点的坐标即可. 解 y ′=3x 2-3,令3x 2-3=0,得x =±1.代入曲线方程得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.2,12,1y x y x 或 答案 By =x 3+x3在（0；+∞)上的最小值为（ ）分析 本题主要考查应用导数求函数的最值.解 y ′=3x 2-23x ,令y ′=3x 2-23x =0,即x 2-21x =0,解得x =±x >0,所以x =1.在（0,+∞)上；由于只有一个极小值；所以它也是最小值；从而函数在（0；+∞)上的最小值为y =f (1)=4. 答案 Ay =x ln x 在区间（0；1）上是（ ）C.在（0；e 1)上是减函数；在（e1,1)上是增函数 D.在（0；e 1)上是增函数；在（e 1,1)上是减函数分析 本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性解 y ′=ln x +1,当y ′>0时；解得x >e 1. 又x ∈(0,1), ∴e 1<x <1时；函数y =x ln x 为单调增函数.同理；由y ′<0且x ∈(0,1),得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案 Cy =x 3-3bx +3b 在（0；1）内有极小值；则（ ）A.0<b <1B.b <1C.b >0D.b <21 分析 本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解 对于可导函数而言；极值点是导数为零的点.∵函数在（0；1）内有极小值；∴极值点在（0；1）上.令y ′=3x 2-3b =0,得x 2=b ,显然b >0,∴x =±b .又∵x ∈(0,1),∴0<b <1.∴0<b<1.答案A第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上)y =e x 2的导数是 .分析 本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.解 设y =e μ,μ=x 2,则y x ′=y μ′·μx ′=(e u )′·(x 2)′=e μ·2x =2x e x 2.答案 2x e x 2.12.有一长为16 m 的篱笆；要围成一个矩形场地；则矩形场地的最大面积是 m 2. 分析 本题考查如何求函数的最值问题；其关键是建立目标函数解 设场地的长为x m ；则宽为(8-x ) m,有S =x (8-x )=-x 2+8x ,x ∈(0,8).令S ′=-2x +8=0,得x =4.∵S 在(0,8)上只有一个极值点,∴它必是最值点,即S max =16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案 1613.★过原点作曲线y =2x 的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 . 分析 本题考查指数函数的导数及导数的几何意义.解 ∵y =2x ,∴y ′=2x ln2.设切点坐标为(x 0,02x ),则过该切点的直线的斜率为02x ln2,直线的方程为y -02x =02xln2(x -x 0). ∵直线过原点,∴0-02x =02x ln2(0-x 0).∴02x =x 0·02x ln2.∴x 0=log 2e,即切点坐标为(log 2e,e),斜率为eln2.答案 (log 2e,e) eln2.f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f (x )g ′(x )+f ′(x )g (x )>0且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 .f (x )g (x )构造一个新函数φ(x )=f (x )g (x ),利用φ(x )的性质解决问题.解 设φ(x )=f (x )g (x ),则φ′(x )=f (x )g ′(x )+f ′(x )g (x )>0.∴φ(x )在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.又∵f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,∴φ(x )=f (x )g (x )为奇函数.∴φ(x )在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.当x <-3时,φ(x )<φ(-3)=0,即f (x )g (x )<0;当-3<x <0时,φ(x )>φ(-3)=0,即f (x )g (x )>0.同理,当0<x <3时,f (x )g (x )<0;当x >3时,f (x )g (x )>0.∴f (x )g (x )<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).答案 (-∞,-3)∪(0,3)三、解答题(本大题共5小题；共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)过曲线y =x -e x 上某点的切线平行于x 轴,求这点的坐标及切线方程. 分析 利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.解∵y ′=1-e x , 2分又切线与x 轴平行,∴切线的斜率k =0. 3分∴令y ′=1-e x =0,得x =0. 5分∴切点坐标为(0,-1). 6分∴切线方程为y =-1. 8分16.★(本小题满分8分)已知导函数f ′(x )的下列信息:当1<x <4时,f ′(x )>0;当x >4或x <1时,f ′(x )<0;当x =4或x =1时,f ′(x )=0.试画出函数f (x )图象的大致形状.分析 本题考查函数的单调性、极值与导函数的关系.解 当1<x <4时,f ′(x )>0,可知f (x )在此区间内单调递增; 2分当x >4或x <1时,f ′(x )<0,可知f(x)在这两个区间内单调递减; 4分当x =4或x =1时,f ′(x )=0,是两个极值点. 6分综上,函数f (x )的图象的大致形状如下图所示(注:图象不唯一,只要符合题设条件即可).8分17.(本小题满分8分)设f (x )在x =1处连续,且,21)(lim 1=-→x x f x 求f ′(1). f (x )在某点连续的定义及导数的定义求解.解 ∵f (x )在x =1处连续,∴1lim →x f (x )=f (1). 2分又1lim →x f (x )=1lim →x ［(x -1)·1)(-x x f ］ =1lim →x (x -1)·1lim →x 1)(-x x f =0·2=0. ∴f (1)=0. 5分根据导数的定义；得f ′(1)=.2)1(lim )1()1(lim 00=∆∆+=∆-∆+→∆→∆xx f x f x f x x 8分 18.(本小题满分10分)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等的实根且f ′(x )=2x +2,求f (x )的表达式.分析 本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解. 解 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 2分∴f ′(x )=2ax +b . 3分由条件f ′(x )=2x +2,得a =1,b =2.∴f (x )=x 2+2x +c . 5分∵方程f (x )=0有两个相等实根,∴Δ=4-4c =0,即c =1. 8分∴函数解析式为f (x )=x 2+2x +1. 10分19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C 1:y =x 3(x ≥0)与曲线C 2:y =-2x 3+3x (x ≥0)交于点O 、A ,直线x =t (0<t <1)与曲线C 1、C 2分别相交于点B 、D.(1)写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系S =f (t );(2)讨论f (t )的单调性,并求f (t )的最大值.分析 本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解 (1)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==,32,33x x y x y 得交点O 、A 的坐标分别为(0,0)、(1,1). 2分f (t )=S △ABD +S △OBD =21|BD |·|1-0|=21|BD |=21(-2t 3+3t -t 3)=21(-3t 3+3t ), 即f (t )=-23(t 3-t )(0<t <1). 4分 (2)f ′(t )=-29t 2+23. 6分 令f ′(t)=-29t 2+23=0,得t =33,t=-33(舍去). 当0<t <33时,f ′(t )>0,从而f (t )在区间(0,33)上是增函数; 8分 当33<t <1时,f ′(t )<0,从而f (t )在区间(33,1)上是减函数.所以当33时,f (t )有最大值f (33)=33. 10分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合素能检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为( ) A.150 B.110 C.15 D.142．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次性取出2个球,则下列事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”,其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件M ＝“一次正面向上，一次反面向上”，事件N ＝“至少一次正面向上”．则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝34C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝124．下列命题不正确的是( )A ．根据古典概型概率计算公式P (A )＝n A n 求出的值是事件A 发生的概率的精确值B ．根据几何概型概率计算公式P (A )＝μA μΩ求出的值是事件A 发生的概率的精确值 C ．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N 是P (A )的近似值D ．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N 和事件A 发生次数N 1，得到的值N 1N 是P (A )的精确值5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.36．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.157.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积均为( ) A.43 B.83 C.23D ．无法计算 8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.349．设一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0，若b 、c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112B.736C.1336D.193610．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，12]上为减函数的概率是( ) A.14 B.34 C.16 D.5611．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿．可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A.9π4B.94πC.4π9D.49π12．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110B.715C.815D.1315二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，甲排在乙之前的概率是________．14．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只作过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中作过标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚________只．15．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为，其中青年教师有120人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．16．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，若在区间[12，2]上随机取一点，则使得f (x 0)≥0的概率为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．18．(本小题满分12分)某种日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动如右图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，按照指针所指区域的数字购买商品的件数，每人只能参加一次这个活动．(1)某顾客参加活动，求购买到不少于5件该产品的概率；(2)甲、乙两位顾客参加活动，求购买该产品件数之和为10的概率．19．(本小题满分12分)沙糖橘是柑橘类的名优品种，因其味甜如砂糖故名．某果农选取一片山地种植沙糖橘，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的43倍． (1)求a ，b 的值；(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．20．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手数(1)为了调查评委对7B组抽取了6(2)在(1)中，若A，B1人，求这2人都支持1号歌手的概率．21．(本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值茎叶图如图(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天，(1)求恰有一天空气质量超标的概率；(2)求至多有一天空气质量超标的概率．22．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽以20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的20的恰有2件，求a、b、c的值．(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1、x2、x3，等级系数为5的2件日用品记为y1、y2购买者往往从x1、x2、x3、y1、y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．。

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高中数学第三章概率章末测试新人教A版必修3(时间：90分钟满分:100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列事件是随机事件的是（)A．方程x－1＝2x有实数根B．若x∈(－1，1）,则x＞2C．x∈R,x2＋3＞1D．从分别标有1，2,3，4，5，6，7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到1号签2．12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是( )A．抽得3件正品B．抽得至少有一件正品C．抽得至少有一件次品D．抽得3件正品或2件次品1件正品3．下列说法正确的是( )A．由生物学知道生男生女的概率均约为错误!,一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为错误!,则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大D．10张票中有1张有奖,10人去摸，无论谁先摸,摸到有奖票的概率都是错误!4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（)A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定5．下列命题不正确的是( )A．根据古典概型概率计算公式P(A）＝错误!求出的值是事件A发生的概率的精确值B．根据几何概型概率计算公式P（A)＝错误!求出的值是事件A发生的概率的精确值C．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值错误!是P(A）的近似值D．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生次数N1,得到的值错误!是P（A）的精确值6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( ）A．0。