人教版八下数学第十六章 二次根式化简求值的十种技巧

化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.解：原式==.二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方.例2.分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.解：原式2===.三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.分析：因为为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.解：原式2===.四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例4.. 分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得11322+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.解：原式==五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a 或2()m a ·b 的形式），然后再开方.例5.分析：由于3527x y 是一个单项式，因此应先将3527x y 分解为22223()3x y y ⨯⨯⨯的形式，然后再进行开方运算.解：原式3xy =六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例6.分析：由于5243412x y x y +是一个多项式，因此应先将5243412x y x y +分解因式后再开方，切莫直接各自开方得2222x x解：原式22x =七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例7.分析：由于2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将2512z x y的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简.解：原式==八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例8.. 分析：由于被开方数是2211a b+，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简.解：原式ab ==. 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.。

【精品】二次根式化简常用技巧全二次根式化简常用技巧是指当求解多项式拆分时，给定根式的一般解析式，利用技巧来把多项式拆分成几个已知的较小多项式。

它也是信息化数学教学和科学技术蓝图中最重要的内容之一。

一、求根式的一般解析式当给定一个多项式的解析式时，可以利用公式求根的方法，将多项式化简成一元二次根式，从而得到一般解析式。

这个一般解析式包括这个多项式的二次项系数、一次项系数以及常数项。

二、用分数式和根式相减约去如果多项式化简成一元二次根式后，可以用分数式和根式相减，来将多组根式归简成更小的一元二次根式，从而达到化简的目的。

三、分母为负值的根式分解法有时根式的分母为负值，这时，可以用根式分解法，用负号“-”将原有的根式去处后，根式的分母变为正值，然后再去归简多项式，这往往比用原来的根式化简要简单得多。

四、利用因式分解实现多项式化简在数学方面，因式分解是指将某个多项式或函数分解成两个或多个乘积因子，即将一个多项式拆分成几个较小的多项式。

当给定一个多项式，可以用因式分解法，根据乘积因子的集合归简多项式，从而实现多项式化简的目的。

五、运用互异线性方程类分解法互异线性方程类分解法又称列式分解法，是指将一个多项式拆分成几个已知较小多项式的方法，即将多项式拆分成几个等式，再将等式结合成一个线性方程组，分解出其中的系数。

利用这一方法，系数的计算可以详尽在少量的清晰的计算步骤中进行。

六、根式化简法根式化简法是指采用合并类方法，将原有多项式化简成根式，再将根式化简成若干个较小的多项式，从而实现一个多项式的化简。

根式化简法中包括了矩阵分解法、两两合并法，多项式的分解化简，以及多项式的正负性整体判定等等，是一种常用的二次根式化简常用技巧。

总之，为了更加有效地去解决多项式拆分中遇到的问题，上述二次根式化简常用技巧可以作为有效的求解和化简多项式过程的关键。

二次根式化简求值的解题技巧
1. 哇塞，要记住根号下的数字就像是一个神秘的盒子，我们得找到打开它的钥匙呀！比如化简$\sqrt{48}$，不就可以把 48 拆成16×3，然后不就可以轻松化简啦！
2. 嘿，看到那些可以化为平方的数，就像找到了宝藏的线索一样兴奋呢！像$\sqrt{81}$，那不是一眼就能看出是 9 嘛！
3. 哎呀呀，同类二次根式可要放在一起呀，这就好比整理玩具要把相同的放在一起一样！比如$\sqrt{12}+\sqrt{27}$，先化简再合并同类二次根式，多简单！
4. 哇哦，有时候把式子变形一下，就像给它变个魔法一样神奇呢！例如$\sqrt{\frac{1}{3}}$，分子分母同乘 3 不就好化简啦！
5. 嘿，碰到分母有根号的可别慌呀，就像遇到小怪兽，我们有办法打败它！比如$\frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化一下不就搞定啦！
6. 哎呀，化简的时候要细心呀，可不能像小马虎一样！就像
$\sqrt{25a^2}$，要注意 a 的正负呀！
7. 哇，二次根式化简求值也有小窍门呢，就像走小路更快到达目的地一样！比如知道了$\sqrt{x}=2$，那求$x$不就简单啦！
8. 嘿，有些式子看着复杂，其实就像纸老虎，一戳就破啦！像
$\sqrt{(x-3)^2}$，要考虑绝对值呀！
9. 哎呀呀，化简求值要多尝试几种方法呀，说不定就找到最简单的啦！比如$\sqrt{75}$，用不同方法试试呀！
10. 哇哦，二次根式化简求值真的很有趣呀，就像玩游戏一样！只要掌握了技巧，什么难题都能解决！
我的观点结论就是：只要用心去学，二次根式化简求值一点都不难，反而会很有趣呢！。

人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧1、被开放数是小数的二次根式化简例1、化简5.1分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。

解：5.1=26262223232==⨯⨯=。

评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。

2、被开放数是分数的二次根式化简例2、化简1251 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。

解：1251=255555551=⨯⨯⨯⨯。

评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。

3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简48分析：因为，48=16×3=42×3， 所以，根据公式b a ab ⨯=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。

解：48=34343163162=⨯=⨯=⨯。

评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。

4、被开放数是多项式的二次根式化简例4、化简3)(y x +分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。

解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+⨯+=++)()()()(22。

评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。

否则，就失去意义。

5、被开放数是隐含条件的二次根式化简例5、化简a a1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a --分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。

而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。

因此，化简时要从被开方数入手。

解：∵a a 1-有意义∴a1-≥0，∴-a ＞0 ∴原式=a a a a a a a a a a a a a a a a--=--=--=--=---=-||)())(()()(12故选（C ）。

二次根式的化简技巧
以下是 6 条关于二次根式的化简技巧：
1. 嘿，你知道吗？完全平方数真是个好帮手啊！比如遇到根号下 16，
不就一下能想到 4 的平方是 16 嘛，那这化简起来多轻松呀！直接就是 4 啦，像这种明显是完全平方数的，一定要第一时间利用起来呀！
2. 哇塞，同类二次根式就像好兄弟一样呀！看见它们在一起，那就可以合并呀！比如说根号 3 加上 3 倍根号 3，这不就是 4 倍根号 3 嘛，是不是很有
意思呀？
3. 哎呀呀，分母有理化可太重要啦！就像解方程的时候要消除分母一样。

比如根号 2 除以 2，分子分母同乘根号 2，就变成 2 分之根号 4，也就是 1 啦，是不是很神奇呢？
4. 嘿，因式分解在二次根式化简里也是大功臣呐！像根号下 12 呀，分解成根号下4 乘3，那不就能化简成2 倍根号3 了嘛，这可是很实用的一招呀！
5. 哇哦，被开方数里要是有小数可别慌！可以把小数变成分数呀，然后再化简。

比如根号下，变成 1/4，那结果就是 1/2 呀，这招很妙吧！
6. 哈哈，二次根式的化简技巧还有很多很多呢！就像一个个宝藏等着我们去挖掘，只要我们用心去学，肯定能把它们都掌握啦！
我的观点结论就是：这些二次根式化简技巧真的超有用，大家一定要好好掌握呀！。

二次根式化简八种方法哇塞，二次根式化简超重要好不好！咱先说说最简二次根式法，就是把根式里的数或式子分解成完全平方数和其他数的乘积，然后把完全平方数开出来。

这就好比整理杂乱的房间，把有用的东西挑出来放好，没用的扔掉。

注意可别把不该开出来的也瞎开哦！那安全性和稳定性嘛，只要你认真按照步骤来，肯定不会出啥幺蛾子。

这种方法在数学作业和考试中那可老常用了，优势就是简单直接，让你的答案干净利落。

比如化简根号24，把24 分解成4×6，4 是完全平方数，开出来就是2 倍根号6。

再说说分母有理化法，把分母中的根式去掉，这就像给一个刺头穿上件柔软的外套，让它变得温顺。

哎呀，这可一定要小心，弄错一步就全完啦。

在工程计算中经常用到呢，好处就是让计算更顺畅。

比如1/根号2，分子分母同乘根号2，就变成根号2/2。

还有同类二次根式合并法，把相同的根式合并在一起，就像把一群志同道合的小伙伴聚在一起。

这多棒呀！要是弄错了可就乱套啦。

在实际问题求解中很有用，能让问题变得清晰明了。

比如2 倍根号3 加3 倍根号3 等于5 倍根号3。

平方差公式法也不错哦，利用平方差公式来化简。

这就如同找到了一把神奇的钥匙，能打开复杂问题的大门。

可别粗心大意用错公式哟。

在一些复杂的计算中能大显身手，让难题变得容易。

比如化简根号下（5+2 倍根号6），可以看成根号下（2+3+2 倍根号6），也就是根号下（（根号2）²+（根号3）²+2 倍根号6），正好是根号下（根号2+根号3）²，结果就是根号2+根号3。

完全平方公式法也厉害着呢，把式子变成完全平方的形式再化简。

这就好像给一个灰姑娘穿上水晶鞋，瞬间变得美丽动人。

但可得仔细观察式子，别搞错了。

在代数证明中经常用到，能让证明过程更简洁。

比如化简根号下（x²+2x+1），就是根号下（x+1）²，结果是|x+1|。

整体代入法也超好用，把一个复杂的式子看成一个整体进行化简。

二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。

初中数学的归纳与解析二次根式的化简与运算技巧数学是一门既有逻辑性又有创造性的学科，是培养学生思维能力和解决实际问题的重要工具。

在初中数学的学习过程中，归纳和解析技巧是培养学生数学思维和解决问题能力的重要方法之一。

本文将针对初中数学中涉及到的二次根式的化简和运算技巧进行论述，帮助学生更好地理解和掌握。

一、二次根式的化简技巧二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个正实数，也称为二次根式的被开方数。

在化简二次根式时，常常要运用一些技巧。

下面我们将介绍一些常见的化简技巧。

1. 合并同类项在化简含有二次根式的表达式时，我们可以利用合并同类项的方法进行化简。

同类项是指具有相同根号下数的项。

例如，化简表达式√2 + 2√2，合并同类项得到3√2。

2. 因式分解当二次根式中的被开方数是一个完全平方数时，我们可以考虑对其进行因式分解。

例如，化简√12，我们可以将12分解为2 × 2 × 3，然后利用根号的乘法法则得到√12 = √(2 × 2 × 3) = 2√3。

3. 有理化分母当二次根式的分母中包含二次根式时，我们可以利用有理化分母的方法进行化简。

有理化分母的思路是寻找一个合适的有理数，使得有理数与二次根式的乘积仍然是一个有理数。

例如，化简表达式1/(√2 +√3)，我们可以将分母有理化得到1/[(√2 + √3) × (√2 - √3)]，然后利用(a+ b)(a - b) = a^2 - b^2的公式进行化简。

二、二次根式的运算技巧在进行二次根式的运算时，我们也需要掌握一些技巧。

下面将介绍常见的二次根式运算技巧。

1. 二次根式的加减运算对于二次根式的加减运算，我们需要先判断二次根式中根号下的数是否相同。

如果相同，则可以合并同类项；如果不同，则无法进行加减运算，只能保持原样。

2. 二次根式的乘法运算对于二次根式的乘法运算，我们可以利用根号的乘法法则进行化简。

二次根式化简计算的七种基本方法二次根式是初中数学的重要内容之一，二次根式的化简是二次根式运算能力的基础，如何熟练、准确有效地进行二次根式的化简，下面给同学们归纳几种方法，供学习时借鉴.1.用二次根式的乘法公式化简b ab =例1 计算：11354273. 分析：计算前同学们要理清计算的思路：分两步走：二次根式前面的有理数相乘，二次根式下面的有理数相乘，约分，开方是计算的技术要领，要准而快.解：113543=（-5×1×3. 点评：解答二次根式的乘法计算时，要把握好两个要领：一是会确定二次根式前面的系数：的系数是1，-1；二是按照推广公式计算：(b c d a c =⨯，注意：遇分数必须化成假分数， 化简时能约分的，必须先约分.2.乘除混合统一到乘法上计算例2 (÷. 分析：乘除混合时，按照自左到右的顺序依次计算，且利用除以一个数等于乘以这个数的倒数的思想，把除法内化成乘法，统一计算.解(÷=[2b ×（-32）×13]）=-1b）=-2a b 点评：计算时，要走好两步：计算的顺序要走对；除法蜕变成乘法要变对，是解题的基础所在，熟练进行开方也是化简的关键，是数学基本功扎实与否的重要体现.3.化“÷”形为“-”形，计算也花明例3 分析：计算时，除了上述所说的统一法外，同学们也可以根据题目的特点，灵活进行变形，是计算变的有创意，有趣味，敢于打破常规，才能展现创新，使得创新不再是一个概念，而是一种可控可用可见的计算方法，增强自身的创意意识，激发自己的创新动力.解6236232632733==. 点评：用课堂上数学方法的创新，提高教学效率，更重要的是点燃学生创新思维的火花，培养学生创新思维的好习惯，将来学生才会有创新的思维品质，才会有可能成为国家建设所需要的创新型人才.4.同字母穿行于无理与有理，带来化简的变革例4.分析：当a ≥0时，有理数a 就可以穿上一件漂亮的无理数的外衣，a=2,这件有魔力的外衣，不仅是外观魅力，更重要的是能使得计算变通途，提高了计算能力.解x y=2 . 点评：换上无理数的外衣，美丽的光环使得化简套上公式，计算更顺畅，更便捷.5.遇平方巧分解因数例5 分析：分解因数：45=5×9,27=3×9，后用公式222()ab a b =，使得运算绕考了复杂的计算，提高了计算的效率.解点评：选择了正确的方法，选择了正确的思维，等于把自己的运算能力放在了火箭上，速速飙升.6.整体换元，另辟新径例6. 分析：直接分母有理化是化简的一种基本方法，化简过程中需要多大的细心，可想而知，观察式子的构造特点，分数的分子和分母，互为相反，于是不妨采用一种新方法---换元法，设原式变成了y x x y+=222()2x y x y xy xy xy ++-=，于是问题转化成求x+y 和xy ，这样计算要比直接进行化简计算要方便快捷多了.解：设xy=4，y x x y+=222()2x y x y xy xy xy ++-==2244-⨯=a. 点评：换元的思想打开了思维的新途径，迎来了解题的新方法，实现了思维变革，计算变革，提高了数学的运算能力.7.平方，让无理的一端有理化例7 已知求247a a --的值.分析：初看此题，相信大多数同学选择的方法是直接代入计算法，当然这种方法不是不可取，只是计算要复杂些，一不小心就会掉进错误的陷阱，于是推荐给同学们一种新方法，希望熟练掌握，并能灵活运用.解：因为22(2)(a -=，所以24a a -+4=3，所以24a a -=-1，所以247a a --=-1-7=-8.点评：遇到有理，无理混合式，不妨有理一端，无理一端，平方把无理转化成有理加以解决，当然转化时，无理一端必须是一个根号才有.。