当前位置：文档之家 › 矩阵理论

矩阵理论

  • 格式：doc
  • 大小：784.00 KB
  • 文档页数：13

1. 在R 22⨯中求矩阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=3021A 在基123111111,,,111000E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
下的坐标。

2. 试证：在R 22⨯中矩阵
123411111110,,,11011011αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性无关，并求⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。

3. 在R 22⨯空间中，线性变换T ：
()221240,2114T X X X R ⨯-⎡⎤⎡⎤=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 求T 在基123101111,,,000010ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦41111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
下的矩阵表示。

4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换，它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512301321A （1）求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示；
（2）求T 在基123,,ααα下的核与值域。

5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P
（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----211212112 , （2）⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2000120010201012 . 6. 已知矩阵
310121013A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。

7. 已知3阶矩阵
1114335A x y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量
（1）求,x y ；
（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵；
（3）求A 的谱分解表达式。

8. 已知矩阵
011101110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
验证A 是正规矩阵，并求A 的谱分解表达式。

9. 已知矩阵
024*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
验证A 是单纯矩阵，并求A 的谱分解表达式。

10. 设
000a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
问a 取何值时，有lim 0k k A →∞
=。

11. 判断矩阵幂级数01
1634136k k ∞=⎡⎤-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦∑的敛散性。

12. 已知 13553
155A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，。

合集下载

矩阵理论(第三章矩阵的标准型)

矩阵理论(第三章矩阵的标准型)


100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵理论

矩阵理论


由基1， 2， 3， 4到1， 2， 3， 4的过渡矩阵为 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
设 =(x1,x2 ,x3 ,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标为y1,y2 ,y3 ,y4 ,则
x1 y1 x2 y2 , =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 y3 x4 y4
i 1 m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi , 则
i 1
m
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无 限维空间，记dim V= ∞.
k1 +k2 +k3 +k4 =1 k +k -k -k =2 5 1 1 1 1 2 3 4 于是有 解之得k1 = ,k2 = ,k3 =- ,k4 =- . 4 4 4 4 k1 -k2 +k3 -k4 =1 k1 -k2 -k3 +k4 =1
1 2 1 1 1 1 练习 : 在R 中求向量A= 在基 ， 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ， 下的坐标. 0 1 1 1
其中1, 2 ,3 , 4为R 4中的标准基.
x1 2 x2 1 即 =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 0 x4 1
0 -2 1 y1 1 1 3 y2 , 2 1 1 y3 2 2 2 y4
矩阵理论-第二章内积空间

矩阵理论-第二章内积空间

2
因此有 即
( , )
2

( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当

( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵理论

矩阵理论

矩阵理论通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。

一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。

本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。

一 线性方程组对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。

由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。

对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。

所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。

判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。

但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。

对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：23(1)(log )()(log )()()(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。

LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。

这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。

但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。

但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。