2013年高考真题文-重庆卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】{1,2,3}{2,2}{2}-=，故选B. 【提示】找出A 与B 的公共元素即可求出交集. 【考点】集合的交集. 2.【答案】D【解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A ，B ，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形. 【考点】三视图. 3.【答案】B【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<故应为B 点.【提示】直接利用共轭复数的定义，找出点A 表示复数z 的共轭复数的点即可. 【考点】复数，复数的代数表示法. 4.【答案】C【解析】命题p 是全称命题：x M ∀∈，()p x ，则p ⌝是特称命题：x M ∃∈，()p x ⌝，故选C. 【提示】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【解析】11π212T =图法可知当π12x =【提示】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的20y x x ⎪-≤⎪⎨≥⎪⎩（步骤1）由图知目标函数（步骤3）(),0, A a B∥又AB OPc==ea b【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=.（步骤+2AB AD AO ∴=. 又+AB AD AO λ=.=2.λ∴【提示】依题意，AB AD AC +=，而2AC AO =，从而可得答案【考点】平面向量. 4(a x a x =（步骤1）又由已知sin2α=π(,π2α∈又π(,π2α∈tan2tanα=坐标即可.cos BA B 解得1c =或7c =-（负值舍去），（步骤6向量BA 在BC 方向上的投影为cos BA B （Ⅱ）利用42a =，结合正弦定理，求出小，然后求解向量BA 在BC 方向上的投影112P =111AC AA=，所以111331 326A QCDE S==11AA 的值，1DE ，运算求【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积3)(3,)+∞(3,0)(0,3))∈-24)4-=得3>.3)(3,)+∞上，可设点M 22)k x +，（步骤3,0)(0,3).（步骤23155m =3,0)(0,3)).（步骤12)()x x -即221()x x -即221ln x x +-两切线重合的充要条件是122x =+11 / 11。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（重庆卷）一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)答案 C解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≠1，即x >2且x ≠3，故选C.4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6B ．4C ．3D ．2答案 B解析 由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.5．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5.6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为( )1 8 92 1 2 2 7 9 33A.0.2 B ．0.4答案 B解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.故选B.7．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52B.72C.154D.152答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240答案 D解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，底面梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，梯形的腰长为32＋42＝5，棱柱的四个侧面的面积之和为(2＋8＋5＋5)×10＝200.所以棱柱的表面积为200＋2×20＝240.9．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( ) A ．－5B ．－1C ．3D ．4答案 C解析 lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由双曲线的对称性知，直线A 1B 1与A 2B 2关于坐标轴对称，否则不会有|A 1B 1|＝|A 2B 2|，设双曲线的两条渐近线的夹角为2θ，由题意知2θ>(60°，120°]，否则，若2θ<60°，则不存在满足题意的直线对，若2θ>120°，则直线对不唯一．因此双曲线渐近线的斜率满足关系式tan 60°≥b a >tan 30°，即3≥b a >33，平方得：3≥e 2－1>13，解得e ∈⎝⎛⎦⎤233，2.二、填空题11．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案5解析 因为z ＝1＋2i ，所以|z |＝12＋22＝ 5.12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c －a ＝________. 答案 72解析 设等差数列2，a ，b ，c,9的公差为d ，则9－2＝4d ， ∴d ＝74，c －a ＝2d ＝2×74＝72.13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23解析 甲、乙、丙三人站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，其中甲、乙丙人相邻而站共4种情况，故P ＝46＝23. 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 答案 4解析 AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)， 因OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0， 即－3＋k －1＝0，所以k ＝4.15．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0， 化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.三、解答题16．设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.解 (1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ， 所以公差d ＝5，故T 20＝20·3＋20·192·5＝1 010.17．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝ i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc . (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 解 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积． (1)证明 因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC . 因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面P AC .(2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.20．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V (r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解 (1)由题意知A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8， 从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则 |QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|， 所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0| ＝2(4－x 20)x 20＝2－(x 20－2)2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为 (x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】{1,2}A =∵，{2,3}B ={1,2,3}AB =∴(){4}U A B =∴【提示】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】A【解析】根据全称命题的否定是特称命题可得:命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为“存在0x ∈R ，使得20x <”. 【提示】根据全称命题“()x M p x ∀∈，”的否定是特称命题“()x M p x ∃∈⌝，”，可直接写出. 【考点】全称与存在量词 3.【答案】C【解析】要使原函数有意义，则2log (2)020x x -≠⎧⎨->⎩，解得23x <<，或3x >，所以原函数的定义域为(2,3)(3,)+∞. 【提示】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可. 【考点】函数的定义域 4.【答案】B【解析】过圆心A 作AQ ⊥直线3x =-，与圆交于点P ，此时||PQ 最小，由圆的方程得到(3,1)A -，半径2r =，则||||624AQ Q r P =-==-.【提示】根据题意画出相应的图形，过圆心A 作AQ ⊥直线3x =-，与圆交于点P ，此时||PQ 最小，由圆的方程找出圆心A 坐标与半径r ，求出AQ 的长，由||AQ r -即可求出||PQ 的最小值【解析】画出矩形草图：由于(3,1)(2,OA OB k =-=-， 所以(1,AB OB OA k =-=，在矩形中，由0OA AB OA AB ⊥=得，所以2()(3,1)(2,)106OA OB OA OA OB OA k k -=-=---=+【提示】由题意可得OA AB ⊥，故有0OA AB =，即()0OA OB OA OA OB OA -=-==，解方程求得【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量的坐标运算5π,π6⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦【解析】由题意，要使28x -32cos 0α≤化简得18410nx y =-1sin sin 3sin 2sin a B a C A =π3cos A S B -=+，sin BC CD BCD ∠1132333BCD S PA ∆=⨯⨯111383BCD S PA ∆=⨯rh= 1002π2002-(3004r22220002(4)2(2)4x x x -=--+。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B = （ ）A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集.【参考答案】D【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.2．命题“对任意x ∈R ，都有20x ”的否定为 （ ）A.对任意x ∈R ，都有20x <B.不存在x ∈R ，都有20x <C.存在0x ∈R ，使得200x D.存在0x ∈R ，使得200x <【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定.【参考答案】D【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出",()"",()",x M p x x M p x ∀∈∃∈⌝的否定是故“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”3．函数21log (2)y x =-的定义域为 （ ） A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞ D.(2,4)(4,)+∞ 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域.【参考答案】C【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.2log (2)0,20,x x -≠⎧⎨->⎩23,x x >≠得且故选C 4．设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为 （ ）A.6B.4C.3D.2【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离.【参考答案】B【试题解析】圆心(3,1)M -与定直线3x =-的最短距离为3(3)6MQ =--=，又圆的半径为2，故所求最短距离为6-2=4.5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的k 的值是 （ ）A.3B.4C.5D.6【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环k 的值，输出k .【参考答案】C【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.第5题图6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为 （ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6【测试目标】茎叶图.【考查方式】题给出茎叶图，直接求解.【参考答案】B【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间[)22,30内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.47．关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A.52 B.72 C.154 D.152【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】给出不等式，给出两解集的范围差，利用因式分解求不等式中的未知数.【参考答案】利用因式分解法解一元二次不等式寻求a 的关系式后，带入求解.22280(0)(2)(4)0(0),x ax a a x a x a a --<>∴+-<>即24a x a -<<，故原不等式的解集为(2,4)a a -，215154(2)15,615,2x x a a a a -=∴--=∴=∴=（步骤2）8．某几何体的三视图如题8所示，则该几何体的表面积为 （ ）A.180B.200C.220D.240【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出几何体的三视图，直接求几何体的表面积.【参考答案】D【试题分析】利用三试图还原几何体，结合直观图直接运算求解.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以1=82)42402S ⨯+⨯⨯=底（， 9．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b =++∈R ，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f = （ ）A.5-B.1-C.3D.4【测量目标】对数函数性质、函数的奇偶性综合运用.【考查方式】给定函数式，给定某个函数值，用函数的奇偶性与对数的性质去求另一个函数值.【参考答案】C【试题分析】运用奇函数的性质，整体换元求解. 因为210log 10lg 2(log 2)与即互为倒数，2lg(log 10)∴lg(lg 2)与互为相反数，（步骤1）不妨令332lg(log 10),lg(lg 2),()()(sin 4)()sin()48x x f x f x ax b x a x b x ⎡⎤=∴=-+-=+++-+-+=⎣⎦故()8()853f x f x -=-=-=（步骤2）10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.(2]3B.[,2)3C.)+∞D.)+∞【测量目标】双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系.【考查方式】通过“有且只有一对”限定双曲线渐近线倾斜角的范围，求取离心率.【参考答案】A【试题分析】由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴（或y 轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即221tan 30tan 60, 3.3b b a a <∴<二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知复数12i z =+（i 是虚数单位），则z =．【测量目标】复数的模.【考查方式】给出复数的方程式，直接求解复数的模.【试题分析】利用求模公式直接求解.12．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】题给此数列为等差数列，求出公差，再进行求解数列中两项的差值. 【参考答案】72【试题分析】利用等差数列的有关知识先求出公差在运算求解. 由题意得该等差数列的公差927514d -==-， 所以722c ad -== 13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．【测量目标】古典概型.【考查方式】三个人随机站一排，把两人放在一起去求概率. 【参考答案】23【试题分析】首先写出甲，乙，丙三人站成一排的所有结果及甲乙相邻而站的所有结果，然后将两结果数相除可得.甲乙丙三人随机的站成一排有（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种排法，甲乙相邻而站有（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共4种排法，由概率计算公式得甲乙两人相邻而站的概率为4263= 14．OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)OA =-，(2,)OB k =-，则实数k = ．【测量目标】向量坐标形式的加减运算及数量积运算.【考查方式】平面向量的坐标运算，其未知数k .【参考答案】4【试题分析】画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.如图所示，由于(3,1),(2,),OA OB k =-=-所以(1,1),AB OB OA k =-=-（步骤1）在矩形中，由0,OA AB OA AB ⊥=得所以(3,1)(1,1)0,311(1)0k k --=-⨯+⨯-=即解得4k =（步骤2）15．设0πα，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．【测量目标】一元二次不等式.【考查方式】限定α的大范围，带入不等式中求解出α的范围.【参考答案】π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【试题分析】根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件(0)∆列式直接运算求解 由题意，要使28(8sin )cos 20x x αα-+对x ∈R 恒成立 需2=64sin 32cos 0αα∆-，化简得1cos 2.2α，（步骤1） π023α∴或5π22π,3α解得π06α或5ππ6α（步骤2） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n +∈N ．（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前n 项和公式.【考查方式】给定1a ，n a 与1n a +的关系，去求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ，再根据{}n b 与n a 的关系，求n T .【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前n 项和公式直接求解.解：（1）由题设知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11313,(31)132n n n n n a S --∴===--.（步骤1） 5,d ∴=故202019203510102T ⨯=⨯+⨯=（步骤2） 17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑． （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+；（2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-， 其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+．【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解：（1）由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑（步骤1） 2221172010880,184108224,n xx i i n xy i i i l x nx l x y nx y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑又（步骤2）故所求线性回归方程为0.30.4.y x =-（步骤3）（2）由于变量y 的值随x 值的增加而增加(0.30)b =>，故x 与y 之间是正相关.（步骤4）（3）将7x =带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）（步骤5）18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且222a b c =++．（1）求A ；（2）设a =S 为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值．【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解（1）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===（步骤1） 又因为5π0π,6A A <<∴=（步骤2）（2）由（1）得1sin .2A =又由正弦定理及3a = 11sin sin sin 3sin sin ,22sin aB S abC a C B C A===（步骤3） 当ππ,,3cos cos 212A B C B S B C -===+取最大值3（步骤4） 19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =2BC CD ==，π3ACB ACD ∠=∠=． （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解.【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积.【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明BD ⊥平面,PAC 利用割补法求三棱锥体积.（1） 证明：因为,BC CD =所以BCD △为等腰三角形.（步骤1）又,ACB ACD BD AC ∠=∠∴⊥.（步骤2）因为PA ⊥底面,ABCD PA BD ∴⊥.（步骤3）从而BD 与平面PAC 内两条相交直线,PA AC 都垂直,BD ∴⊥平面PAC （步骤4）（2）解三棱锥-P BCD 的底面BCD 的面积112πsin 22sin 3.223BCD S BC CD BCD =∠=⨯⨯⨯=△（步骤5） PA ⊥平面ABCD-11323233P BCD BCD V S PA ==⨯=△（步骤6） 由7PF FC =，得三棱锥-F BCD 的高为18PA ，故 -11111323,38384F BCD BCD V S PA ==⨯⨯=△（步骤7） 所以---172.44P BDF P BCD F BCD V V V =-=-=（步骤8） 20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。

2013年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0D．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有考点：命题的否定；全称命题．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．3．（5分）（2013•重庆）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．故选C．点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．4．（5分）（2013•重庆）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6B．4C．3D．2考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据题意画出相应的图形，过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程找出圆心A坐标与半径r，求出|AQ|的长，由|AQ|﹣r即可求出|PQ|的最小值．解答：解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选B点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．5．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：s=1+（1﹣1）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，s=1+（2﹣1）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，s=2+（3﹣1）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，s=6+（4﹣1）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，s=15+（5﹣1）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5故选C．点评：本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．6．（5分）（2013•重庆）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．故选B．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．7．（5分）（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．解答：解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．8．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．240考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．∴S表面积=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．故选D．点评：本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．（5分）（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（）A．﹣5 B．﹣1 C．3D．4考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题；压轴题；方程思想；函数的性质及应用．分析：由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值解答：解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m），∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．故选C．点评：本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要10．（5分）（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．解答：解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．解答：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．13．（5分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解解答：解：记甲、乙两人相邻而站为事件A甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法∴=故答案为：点评：本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．14．（5分）（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=4．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由题意可得OA⊥AB，故有=0，即==0，解方程求得k的值．解答：解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为4．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题．15．（5分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[0，]∪[，π]．考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．解答：解：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0，得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0∴sin2α≤，﹣≤sinα≤，∵0≤α≤π∴α∈[0，]∪[，π]．故答案为：[0，]∪[，π]．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=，则，又②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b；（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q 的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，左焦点F1（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=，所以①，②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，，所以椭圆方程为：；（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，由得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0，由△=0，即16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8，①把x=m代入，得，所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）2+y2=r2，得，②由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0，即m=2t，=×（m﹣t）=×t=≤×=2，当且仅当4﹣t2=t2即t=时取等号，此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，所以△PP'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP'Q的面积S的最大值仍为为．点评：本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．16．（13分）（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得a n=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得S n==；（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{b n}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．17．（13分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．18．（13分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA===﹣，∵A为三角形的内角，∴A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C），则当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD 的高的．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P﹣BDF的体积V=V P﹣BCD﹣V F﹣BCD=﹣，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．∴三棱锥P﹣BDF的体积V=V P﹣BCD﹣V F﹣BCD=﹣=×==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．20．（12分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．解答：解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元即200•πrh+160πr2=12000π∴h=（300﹣4r2）∴V（r）=πr2h=πr2•（300﹣4r2）=（300r﹣4r3）又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5）（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r3），（0＜r＜5）可得V′（r）=（300﹣12r2），（0＜r＜5）∵令V′（r）=（300﹣12r2）=0，则r=5∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大点评：本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U A B = ð（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} 【答案】D ．（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x < （C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <【答案】A ．（3）函数21lo g (2)y x =-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞（C ）(2,3)(3,)+∞ （D ）(2,4)(4,)+∞【答案】C ．（4）设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则P Q 的最小值为（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B ．（5）执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的k 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C ．（6）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为（A ）0.2 （B ）0.4（C ）0.5 （D ）0.6【答案】B ．1 8 92 1 2 2 7 93 0 0 3题（6）图（7）关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（A ）52（B ）72（C ）154（D ）152【答案】A ．（8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）240 【答案】D ．（9）已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =（A ）5- （B ）1- （C ）3 （D ）4 【答案】C ．（10）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（A ）2]3（B 2)3（C ）)3+∞ （D )3+∞【答案】A ．二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．（12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【答案】72．（13）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．【答案】23．（14）O A 为边，O B 为对角线的矩形中，(3,1)O A =-，(2,)O B k =- ，则实数k = ．【答案】4．（15）设0απ≤≤，不等式28(8sin )co s 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为 ．【答案】5[0,][,]66πππ ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 【答案】（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）、（Ⅲ）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y b x a =+； （Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y b x a =+中，1221ni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，a y b x =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y b x a =+ ．（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）在△A B C中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且222=++．a b c（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=S为△A B C的面积，求3cos cos+的最大值，并指出此时B的S B C值．（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（19）图，四棱锥P A B C D-中，P A⊥底面A B C D，P A=2B C C D ==，3A CB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：B D ⊥平面P A C ；（Ⅱ）若侧棱P C 上的点F 满足7P F F C =，求三棱锥P B D F -的体积．（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4A A '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求P P Q '∆的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．。