九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质第1课时相似三角形对应线段的比教案北师大版

第四章图形的相似7相似三角形的性质第 1 课时相似三角形中的对应线段之比第 1 课时相似三角形中课题授课人的对应线段之比经历研究相似三角形中三条重要的线段的比与相似比知识技术的关系的过程，理解相似三角形的性质．数学思虑利用相似三角形的性质解决一些实责问题．教学目标问题解决研究相似三角形中三条重要的线段的比与相似比的关系，培养学生的研究精神和合作意识.经过运用相似三角形的性质，增强学生的应妄图识，培养学感神态度生独立思虑的习惯，在数学活动中获得成功的体验．授课重点运用相似三角形的性质解决实责问题．授课难点相似三角形的性质的运用．授课新授课课时种类教具多媒体课件（续表）授课活动授课步师生活动骤什么叫相似三角形？怎样判断两个三角形相似？相似回顾三角形有何性质？一个三角形有三条重要的线段，你们知道是哪三条吗？设计妄图学生回忆并回答，为本课的学习供应迁移或类比方法 .【课堂引入】1. 前面我们学习了相似三角形的相关知识.问题 1什么叫相似三角形？活动一：创立情境问题 2怎样判断两个三角形相似？问题 3相似三角形有何性质？问题 4 想一想：一个三角形有三条重要的线段，你们知道是哪三条吗？若是两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？2.在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图 4－ 7－ 7，小王依照图纸上的△ABC，以 1∶ 2 的比例建筑了模型房的房梁△ A′B′ C′，CD和 C′ D′分别是它们的立柱 .图 4－ 7－71.回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，经过设问，激发学生的学习兴趣，为学习新知识做准备，让学生明确本节课学习的内容．重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段——中线、高线和角均分线的特色 .导入新课活动二：问题 1 试写出△ ABC与△ A′ B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系．问题 2 △ ACD与△ A′ C′ D′相似吗？为什么？若是相似，指出它们的相似比．问题 3若是CD＝1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？问题 4据此，你能够发现相似三角形拥有怎样的性质？【研究 1】如图 4－ 7－ 8，已知△ ABC∽△ A′ B′ C′，相似比为 k，AD均分∠ BAC，A′ D′均分∠ B′ A′C′， E，E′分别为 BC，B′ C′的中点．试试究 AD与 A′ D′的比值关系． AE2.从生动幽默的问题情况出发，采用递进式的提问，经过已学的知识来解决，学生主动获得了部分知识，同时也激发了学生学习新知识的欲望 .实践与 A′ E′呢？研究交流新知图 4－ 7－8经过学生小组合作研究，类比前面的研究过程，在导教学设计上最少证明其中一个结论，完成后再显现说明，学生之间互相补充，教师合时议论．【研究 2】我们已经获得了相似三角形中特别线段的关系，若是把角均分线、中线变为对应角的三均分线、四均分线、、n 均分线，对应边的三均分线、四均分线、、均分线，那么它们也拥有特别关系吗？下面请同学们独立研究以下问题：1.经过学生小组合n作研究，类比前面的研究过程，惹起学生的主动研究意识，培养合作交流能力，发展学生的类比思想能力与归纳总结能力．图 4－ 7－9如图 4－ 7－ 9，已知△ ABC∽△ A′B′ C′，△ ABC与△A′ B′ C′的相似比为 k，点 D，E 在 BC边上，点 D′，E′在 B′ C′边上．(1)若∠ BAD＝1∠ BAC，∠ B′ A′ D′＝1∠ B′ A′ C′，3 3AD则A′D′等于多少？11AE(2)若 BE＝3BC，B′ E′＝3B′ C′，则A′E′等于多少？(3)你还能够提出哪些问题？与伙伴交流．学生能够依照二均分的证明过程很顺利地完成研究活动，并能够经过类比的思想总结出相关结论．相似三角形对应角的 n 均分线的比和对应边的 n 均分线的比等于相似比．让学生在练习本上完成后再显现说明．经过刚刚的研究，你能归纳一下相似三角形的相关性质吗？2．经过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力．有了前面研究的基础，学生完好有能力独立完成研究 2 的研究，在研究过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思虑的思维质量( 学生互相交流，尔后选代表回答，不足之处由教师补充)(1)相似三角形对应边的比等于相似比；(2)相似三角形的各对应角相等，各对应边成比率；(3)相似三角形对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比都等于相似比 .【应用举例】例 ( 教材例 1) 如图 4－ 7－ 10， AD是△ ABC的高， AD ＝h，点 R 在 AC边上，点 S 在 AB边上， SR⊥AD，垂足为 E.1 1当 SR＝ BC时，求 DE的长．若是SR＝ BC呢？2 3活动三：开放图 4－7－10[ 变式题 1]两个相似三角形中一组对应角均分线的长分别是 2 cm和 5 cm，求这两个三角形的相似比．在这两个三角形的一组对应中线中，若是较短的中线长是 3 cm，那么较长的中线是多长？[ 变式题 2] 钳工小王准备依照比率尺为 3∶ 4 的图纸制作三角形零件．如图 4－ 7－ 11，图纸上的△ ABC表示该零件的横断面△ A′ B′ C′， CD和 C′ D′分别是它们的高．AB BC AC(1)A′B′，B′C′，A′C′各等于多少？(2)△ ABC与△ A′ B′ C′相似吗？若是相似，请说明原由，并指出它们的相似比；(3)请在图中再找出一对相似三角形；CD(4)C′D′等于多少？你是怎样做的？训练用相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实责问题，增强学生的应妄图识．训练表现应用图 4－7－11【拓展提升】1．用相似求高度例 1 如图 4－ 7－ 12，为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m的竹竿作测量工具，搬动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m，与树相距15 m，则树的高度是多少米？图 4－7－ 12 2．运用相似三角形的性质计算1.引导学生依照垂直证明两三角形相似，再利用相似求高度．2．复杂的图形有部分学生看不懂，例 2如图4－7－13，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm. 他准备了一支长为甚至看见复杂的图20 cm的蜡烛，想要获得高度为 5 形就认为题目特别cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？难，不敢做了，这就要修业生具备着手能力和解决问题的能力．因此在授课中要培养学生的应变能力及相应基础知图 4－7－ 13 识的掌握能力，才能例3 如图4－ 7－ 14，△ ABC中，内接矩形解决生活与生产中DEFG的的实责问题 .一边 DE在 BC上， AH是 BC上的高， AH交 GF于点 K， BC＝48， EF＝ 10， DE＝ 18. 求 AK的长．图 4－7－ 14活动四：课堂总结反思活动【当堂训练】当堂检测，及时1．课本P107 中的随堂练习反响学习收效.2．课本P108 习题 4.11 中的T2、T3、T4【板书设计】第 1 课时相似三角形中的对应线段之比相似三角达标检投影大纲挈领，重点测情况突出 .例题：区形的性质：统计：学生活动区【授课反思】① [ 授课流程反思 ]教材可是为教师供应了最基本的授课素材，教师能够依照学生的本质情况进行合适的调整．学生在前面几节的学习过程中，已经学习了相似三角形的判断，也经历了比方测量旗杆高度的过程，而且宽泛掌握较好，因此，再以问题的形式渐渐总结认识，加深学生的印象；在授课中再将重点放在研究相似三角形的性质上，而且能让学生经过亲自感觉相似三角形性质在本质生产中的应用，领悟数学的合用价值.四：课堂总结反思② [ 解说收效反思 ]经过课堂考据“相似三角形对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比都等于相似比” ，为学生供应了显现自己的聪颖才干的机遇，而且在此过程中，教师要发现学生解析问题的独到见解以及思想的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生的学习热情和让学生获得学习的能力放在首位，经过应用各种启示和激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.③ [ 师生互动反思 ]______________________________________________________________________________________________④[ 习题反思 ]反思，更进一步提升 .好题题号 ______________________________________ 错题题号 ______________________________________。

九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） 基本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比教案2（新版）北师大版第1课时 相似三角形中的对应线段之比教学目标1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力. 重点难点1、探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；2、利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题.教学过程一、情境创设：全等三角形的对应边上的高相等。

相似三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？二、探索活动：1、如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相比为k ，AD 与A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的高，说明：AD/A ′D ′=k 由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？3、小结相似三角形对应线段的关系。

三、例题教学例1. 课本P107例1例2. 如图△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是什么？A ’B C ’D ’A B C D D C B A四、课堂练习：1.课本P107随堂练习第1题和第2题.2.如图：已知梯形两条边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？五、小结与思考：(一)小结 本节课你有什么收获？（二）有一块三角形铁片ABC ，BC=12cm ，高AH=8cm ，按下面（1）、（2）两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG ，且要求矩形的长是宽的２倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些。

第四章 图形的相似4.7 相似三角形的性质第1课时 教学设计一、教学目标1．经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验．2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．二、教学重点及难点重点：1．探索相似三角形性质的过程；2．利用相似三角形的性质解决实际问题． 难点：相似三角形的性质的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似的性质》动画，《相似三角形的性质》微课.五、教学过程【复习引入】我们知道，边、角是三角形中重要的几何要素．如果△ABC ∽△A'B'C'，由相似的定义，我们可以得到它们的边、角之间存在什么样的关系？师生活动：学生分别从边和角两个方面给出“对应边成比例，对应角相等”．教师板书：如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，那么，∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'．教师进一步提出：三角形中有各种各样的几何量，除边、角之外还有高、中线、角平分线的长度以及周长与面积等，那么相似三角形的这些几何量之间有什么关系呢？这就是我们这节课要探究的问题．设计意图：由旧知导入要探究的问题，激发学生的探究欲望，而回顾相似三角形的相关性质是为下一步探究在知识上作铺垫．【探究新知】 AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===练一练 如图，小王依据图纸上的△ABC ，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD 和C'D'分别是它们的立柱．（1）△ACD 与△A'C'D'相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．（2）如果CD =1.5 cm ，那么模型房的房梁立柱有多高？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成解题过程．解：（1）△ACD 与△A'C'D'相似； 理由：∵AC AB BC A'C'A'B'B'C'==，∴△ABC ∽△A'B'C'．∴∠A =∠C'A'D'． 又∵CD ⊥AB ，∴C'D'⊥A'B'．∴∠ADC =∠A'D'C'=90°．∴△ACD ∽△A'C'D'，且相似比为1∶2．（2）∵△ACD ∽△A'C'D'，∴12CD C'D'=，即1.512C'D'=．∴C'D'=3． 答：模型房的房梁立柱高3 cm ．设计意图：从具体、特殊的相似三角形入手，研究相似三角形对应高的比与相似比的关系．想一想 已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、猜想并完成证明过程．解：（1）由上面的“练一练”可得它们对应高的比是k ．猜想：相似三角形对应高的比等于相似比．证明：如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应高AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'．又∵△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，D'C'B'A'D C B A∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应高的比等于相似比．（2）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应角平分线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，∠BAC =∠B'A'C'．∵AD 和A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线，∴∠BAD =∠BAC =∠B'A'C'=∠B'A'D'． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应角平分线的比等于相似比．（3）如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的对应中线AD 和A'D'．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B =∠B'，． ∴△ABD ∽△A'B'D'．∴． 所以相似三角形对应中线的比等于相似比．归纳 定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 设计意图：把问题由具体推广到一般，由研究三角形的高推广到研究三角形的角平分AD AB k A'D'A'B'==AB C A'B'C'D D'1212AD AB k A'D'A'B'==D'D C'B'A'C B A1212BC AB BD k A'B'B'D'B'C'===AD AB k A'D'A'B'==线、中线，从而得出结论．议一议如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在BC 边上，点D'，E'在B'C'边上．（1）若∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，则ADA'D'等于多少？（2）若BE=13BC，B'E'=13B'C'，则AEA'E'等于多少？（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，最后师生共同得出结论．解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'．又∵∠BAD=13∠BAC，∠B'A'D'=13∠B'A'C'，∴∠BAD=∠B'A'D'．∴△ABD∽△A'B'D'．∴AD ABkA'D'A'B'==．（2）∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，AB BCA'B'B'C'=．又∵BE=13BC，B'E'=13B'C'，∴AB BEA'B'B'E'=．∴△ABE∽△A'B'E'．∴AE ABkA'E'A'B'==．（3）答案不唯一，例如：将问题（1）中的13换成14，15，结论还成立吗？若换成1k(k≠0)呢？说说你的理由；将问题（2）中的13也进行这样的变化，结论还成立吗？结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．设计意图：将上述相似三角形的性质定理推广到更一般的情况得出结论．【典例精析】例如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR=12BC时，求DE的长．如果SR=13BC呢？师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC．∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C．∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．∴AE SRAD BC=（相似三角形对应高的比等于相似比），即AD DE SRAD BC-=．当SR=12BC时，得12h DEh-=．解得DE=12h．当SR=13BC时，得13h DEh-=．解得DE=23h．【课堂练习】1．若△ABC与△A1B1C1的对应角平分线的比为7︰5，△ABC的最短边长为20 cm，则△A1B1C1的最短边长为_________cm．2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm．他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？3．如图，在△ABC中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，DE=2，求AD·BC的值．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD．已知AB =4，AC =6，BC =5，BD =5.5，求DE 的长．参考答案1．．2．蜡烛应放在距离纸筒60 cm 的地方．3．10．4．DE =136． 师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.7 相似三角形的性质（1）1．相似三角形的性质1007。