一元一次不等式1

一元一次不等式
【知识要点】
1. 不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。

2. 不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. 解不等式：把不等式变为x>a 或x<a 的形式。

4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

5. 解一元一次不等式的步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1
6. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分。

法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。

”
【教学内容】
一、不等式定义及列不等式
例1.下面式子中式不等式的有_____________________________________________________ (a)3>0 (b) 4x+3y>0 (c) x=2 (d)x-1 (e)x+y ≤5 （f ）x+3≠2
一般地，用符号“<”(或≤)“>”（或≥）、“≠”连接的式子叫做不等式。

例2．用不等式表示下列各式
a 、x 的3倍与5的差小于1 _________________________________
b 、m 与1的差的绝对值是非负数 _________________________________________
c 、a 是大于-1且不小于2的数 __________________________________________
注意：在列不等式时必须重视题目中的“非负数”（ ≥0）“至多”（ ≤）“不大于” （ ≤）“不小于” （ ≥）“最多” （ ≤）“不满” （ ≤）“比 少”（ <）“比 多”（ >）等字眼并正确将这些关键词转化为不等号。

注：“≥”等价于“>”或“=”、 “≤” 等价于“<”或“=”、“ ≠” 等价于“>”或“<”两者只要有一个成立不等式就成立。

二、不等式的基本性质
A ．不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。

B ．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

C ．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

例3．将下列各式化为“x>a ”或“x<a ”的形式
5x<3+4x ________ 2x>6 _________ 5x-1<24 __________ -3
1x<-3 ___________ 注意：a 应用不等式的基本性质3时，必须注意“两同”和“负数”的条件，及“不等号方向改变的结果”；
b 不等式2、3对不等号方向可总结为“负变正不变”；
例4．若a>b,且c 为有理数，则下列各式中正确的有
ac>bc ac<bc ac 22bc > ac 22bc ≥ c
b c a > 例5．已知方程组⎩⎨⎧-=-+=+,
12,132m y x m y x 试列出使x>y 成立的关于m 的不等式。

例6．写出一个不等式，使其化简后为x>-2的形式__________ 注：c 为有理数，只能得到c 02≥而不能得到c 02>.所以只有ac 22bc ≥正确。

不等式基本性质通常用来判断不等关系是否成立、化简不等式、解决不等式与方程组的综合应用题以及构造新不等式。

近年来中考还将不等式与天平蹊跷板结合出题。

这个以后会讲到。

三、 不等式的解集
1、不等式的解与解集
例7．由于小于6的每一个数都是不等式612
1<-x 的解，则这个不等式的解集是x<6.这种说法对吗？
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，具有不确定性，一般都有无数个解。

解集包含了含有未知数的不等式的所有解。

不等式每一个解都是不等式解集中一个具体的数值。

例8．在数轴上表示下列不等式的解集
x ≤-3 x ≥-3 x<-3 x>-3 x ≠-3
注：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

空心表示解集不包含这个点所表示的数，实心圆点表示解集中包含这个点所表示的数。

四、 不等式中字母的取值范围的几类题型
1、比较不等式解集求字母的取值范围
例9．如果关于x 的不等式（a+2）x>a+2的解集为x<1,那么a 的取值范围是_______
2、根据不等式解集相同，求字母的取值范围
例10． 如果不等式5x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的取值范围为________
五、由数轴得不等式的解集，求字母的取值范围
例11．关于x 的不等式x-m ≥-1的解集如图所示，则m 等于______
【练习】
一、基础训练部分：
1．用不等式表示下列数量关系。

①a 与b 的和大于a 的2倍。

②a 的12与b 的13
的差是负数。

③x 与y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数。

2．比较数与式的大小，并用不等式连结。

①67-
56- ②2x - 3x - ③33a - 43
a - ④223a a -+ 23a -+ ⑤当m>n 时，n －m 0
★⑥当a<b<0时，a - b -，3a 3b 3．已知x <y ，用“<”或“>”号填空。

（1）3x +1 3y+1 （2）－5x －5y （3）22x y - 0
4．下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．43a a >
B ．34x x -<-
C ．2a a ->-
D ．
32a a
> ★5．若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b c c
->-④22ac bc <中成立的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
★6．已知a 、b 、c 都是实数，并且a>b>c ，那么下列式子中正确的是（ ）
A ．ab bc >
B ．a b b c +>+
C ．a b b c ->-
D ．
a b c c
> 7．填空。

（1）．若a b >，则12
a -
12b -，21a + 21b + （2）．当a 0时，0b <时，0ab <
★（3）．若0,2x y x +<-则 2
y - （4）．若22ac bc >，则3a - 3b -
二、判断题：
1．0,0,0x x y y
><<则
（ ） 2．若10,()02
x y y x >>->则 （ ） ★3．若0,22
x y y x +><-则- （ ） 4．若,x y xz x yz z <+<+则 （ ）
★5．若2101,,x x x x x
<<><则 （ ） 6．若22,0,0a b c ac bc <<-<则 （ ） 7．若22,xz yz x y >>则 （ ）
8． 若22,x y xz yz >>则 （ ）
三、填空题：
9．若,0,ac+c a b c <>且则 b c c +
★10．若0,0,0,)a b c a b c ><<-则( 0
11．若,42
a b ->-则a 2b
★12．若0,b a >>1则-a
1b - ★13．若32,a a -≥则a 0
四、将下列不等式化成“m>a ”或“m<a ”的形式
14．46m +< 15．765m m <-
16． 133222
m m +<+ 17．3212m m -->-
五、解答题：
★18．若,a b <试比较2ac 与2bc 的大小，ac 与bc 的大小。

19．若a ba <且a 是负数，求b 的取值范围。