课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用(重点高中)

课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________ 元/件时，利润最大.解析：设单价为6 + X,日均销售量为100- 10X,则日利润y= （6 + X-4）（100 —10x）- 20=—10x2+ 80x + 180=-10（x —4）2+ 340（0V X V 10）.所以当x= 4 时，y m ax= 340.即单价为10元/件，禾U润最大.答案：102. （2018盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R = a.A（a为常数），广告效应为 D = R — A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_______ .（用常数a表示）解析：D = R— A = a A—A，令t= A（t>0），贝U A= t2,所以D = at—12=—[t—2a f + fa2.所以当t= ~a，即A = ：a2时，D取得最大值.答案：；a243. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了__________ k m.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，9, 0 V x w 3,贝U y= 8+ 2.15 x— 3 + 1, 3V x< 8,8+ 2.15 X 5+ 2.85 x —8 + 1, x> 8,由y= 22.6，解得x = 9.答案：94. （2019盐城调研）一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于km，那么这批物资全部运到B市，最快需要h（不计货车的身长）.解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y,因为不计货车的身长，所以设列车为一个点,当且仅当估=400即v = 100时等号成立，y min = 8. 25 v 答案：85. (2019南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩 形的面积最大，则隔墙的长度为 __________________ .x = 12x — 2x 2=— 2(x — 3)2+ 18,当x = 3时，S 有最大值18,所以隔墙的长度为 3.答案：3 6.有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数 f(m)=1.06X (0.5[m ] + 1)(元)决定，其中m >0, [m ]是大于或等于 m 的最小整数.则从北京到上海 通话时间为5.5分钟的电话费为 _________ 元.解析：因为 m = 5.5,所以[5.5] = 6.代入函数解析式, 得 f(5.5)= 1.06 X (0.5X 6+ 1) = 4.24. 答案：4.24二保咼考，全练题型做到咼考达标 1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租 0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话 150分钟时，这两种方式电话费相 差 ________ 元.解析：依题意可设 S A (t)= 20+ kt , S B (t) = mt , 又 S A (100) = S B (100), 所以 100k + 20= 100m ,得 k — m =— 0.2，于是 S A (150) — S B (150) = 20+ 150k — 150m = 20+ 150X (— 0.2)=— 10, 即两种方式电话费相差 10元. 答案：102•某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高 1元时销售量就减少 5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件 _________ 元.可知最前的点与最后的点之间距离最小值为则y =X 16+400解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x ,则长为 24 - 4x其面积24— 4x216X时，时间最快.解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y= (1 000 —5x)X (100 + x) —80 X 1 000 =—5x2 + 500x+ 20 000 = —5(x—50)2+ 32 500，故当x = 50 时，y max= 32 500，此时售价为每件150元.答案：1503. (2019海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2017 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 _____________ .(参考数据:lg 1.12~ 0.05, lg 1.3~ 0.11, lg 2~ 0.30)解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1 + 12%) n> 200,得1.12n>磊，两边取常用对数，得n > lg 2爲21.3~曙。

课时跟踪检测（十二） 函数模型及其应用(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，随x 的增大，y 的增大速度最快的是( )A ．y ＝0.001e xB ．y ＝1 000ln xC ．y ＝x 1 000D ．y ＝1 000·2x解析：选A 在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B 、C ；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：选A 设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．故选A.3．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 将x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；将x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则y x ≥2 x 10 ·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号， 因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ， 解得0<x ≤503. 因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909. 答案：1909 10．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k＝2ln 2，所以y＝e2t ln 2，当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.答案：1 024B级——中档题目练通抓牢1．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)()A．2[x＋1]B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}解析：选C如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4，排除A、B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.2．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n，由⎝⎛⎭⎫12n＜11 000得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.3.如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形． 因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 4．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表： 时间t60 100 180 种植成本Q 116 84 116Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.答案：(1)120 (2)805．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 3006．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7， (1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞7，10.5－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，解得3＜x ＜10.5. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5.而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．7．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250， 即L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．C 级——重难题目自主选做(2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，故f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)． (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282， 当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。

课时跟踪检测（四） 函数及其表示(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12. 3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74. 4．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，2x ，x ≥1，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝2⎝⎛⎭⎫32＋n ＋n ＝2， 解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4， 解得n ＝52，符合题意，故选D.5．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.6.(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，12x ，x ＞1，则f (f (4))＝________.解析：依题意得f (4)＝log 124＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147.函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．解析：要使原函数有意义，则{2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜2，且x ≠1.所以函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2)8.已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)9.如图，已知点A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为点B (1,4)在反比例函数y ＝mx 上，所以m ＝4. 又因为点A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 上，所以n ＝－2.又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，则{ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得{k ＝2，b ＝2，即y ＝2x ＋2，所以反比例函数的解析式为y ＝4x ，一次函数的解析式为y ＝2x ＋2. (2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.10．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{－x ＋1，x ＜0，x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f (f (x ))＝f (lg(1－x ))＝lg [1－lg(1－x )]，则{1－x ＞0，－lg (1－x )＞0⇒－9＜x ＜1.2．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 3．设函数f (x )＝{ 3x －1，x ＜1，x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1， 所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫23，＋∞4．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：则f (3,5)＝． 解析：由题表得f (x ，y )＝{x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x －x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x ≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x ≤x ＋4成立；当x ≥3(x ∈N *)时，2x ＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x (吨)，3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x ＞4，45<x ≤43时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8； 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，x >43时，y ＝2×4×1.8＋3(5x －4)＋3(3x －4)＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎨⎧14.4x ，0≤x ≤45，x －4.8，45＜x ≤43，x －9.6，x ＞43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45＜26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43＜26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．6.已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f (x )，若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f (m )＝f ([m ])，则称函数f (x )是Ω函数．(1)判断函数f (x )＝x 2－13x ，g (x )＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)；(2)已知f (x )＝x ＋ax ，请写出a 的一个值，使得f (x )为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f (x )＝x 2－13x 是Ω函数，g (x )＝sin πx 不是Ω函数．(2)法一：取k ＝1，a ＝32∈(1,2)，则令[m ]＝1，m ＝a 1＝32，此时f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤32＝f (1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2，k 2＋k )，令[m ]＝k ，m ＝a k ，则一定有m －[m ]＝ak －k ＝a －k 2k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．法二：取k ＝1，a ＝12∈(0,1)，则令[m ]＝－1，m ＝－12，此时f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤－12＝f (－1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2－k ，k 2)，令[m ]＝－k ，m ＝－a k ，则一定有m －[m ]＝－ak －(－k )＝k 2－ak∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．。

课时跟踪检测（十二） 函数的表示法A 级——学考合格性考试达标练1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g(x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f (g(2))的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g(x )的图象知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f (1)＝2.2．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0，1时，f (x )等于( )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x－1 解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1，故选B.3．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧2（2a ＋b ）－3（a ＋b ）＝5，2（0·a ＋b ）－（－a ＋b ）＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B . 4．设f (x )＝2x ＋3，g(x )＝f (x －2)，则g(x )＝( )A ．2x ＋1D ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g(x )＝2x －1，故选B .5．若f (1－2x )＝1－x 2x2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．1D ．3 C ．15 D ．30解析：选C 令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)， ∴f (t )＝4（t －1）2－1(t ≠1)， 即f (x )＝4（x －1）2－1(x ≠1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝16－1＝15.6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5，4)，则实数m 的值为________． 解析：将点(5，4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 答案：57．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23， 则f (x )＝2x －23. 答案：2x －238．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________． 解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：29．已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求：(1)函数p ＝f (m )的定义域；(2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，只有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由图知值域为[－2，2]．(3)由图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应．10．已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( )A ．1D ．2 C ．0或1 D ．1或2解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．2．若一次函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，5B ．⎝⎛⎭⎫14，4C ．(－1，3)D ．(－2，1)解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝k x ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A(1，6)和B(2，8)，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.3．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( )A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9D ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9 D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5，所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.4．设f (x )＝2x ＋a ，g(x )＝14(x 2＋3)，且g(f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( ) A ．1 D ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B 因为g(x )＝14(x 2＋3)，所以g(f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.5．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________．解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73. 答案：736．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________________．解析：由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝⎛⎭⎫1x －2f (x )＝3x ，联立方程得⎩⎨⎧f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，f ⎝⎛⎭⎫1x －2f （x ）＝3x ，解得f (x )＝－x －2x(x ≠0)． 答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)7．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4a c |a |＝22， 所以b 2－4a c ＝8a 2；②又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，c ＝1， 所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1. 法二：因为y ＝f (x )的图象有对称轴x ＝－2，又|x 1－x 2|＝22，所以y ＝f (x )的图象与x 轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)，故可设f (x )＝a (x ＋2＋2)(x ＋2－2)． 因为f (0)＝1，所以a ＝12.所以f(x)＝12[(x＋2)2－2]＝12x2＋2x＋1.C级——拓展探索性题目应用练某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式．(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝k x＋b(k≠0)．由题意，得16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。