双曲线的简单几何性质(1)一案三单

双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标:(1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 .(2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 .(3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 .教学难点:双曲线的渐近线 .教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程:一、复习回顾,问题引入:问题 1:双曲线的定义及其标准方程?问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(12222>>=-b a by a x 研究它的几何性质 1. 范围:双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 .2. 对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 .3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0,它们叫做双曲线的顶点 .(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练:1. 若点 P (2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有(1 P (-2, 4 (2 P (-4, 2 (3 P(-2, -4 (4 P (2, -42. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 :4. 渐近线(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a by a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-by a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x (3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 . 具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .5. 离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=ac ,叫双曲线的离心率 .(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大 . 思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗? 三、学以致用,巩固双基:例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .练习 1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程 .思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ?练习 2 求渐近线为 x y 34±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程 .四、小结反思,总结提高:1. 双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线2. 比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同五、作业布置 :必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12x y 34±=x y 34±=六、教学反思渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。

解:依题意,双曲线的半实轴长为12m ，如图,建立平面
y 13
直角坐标系 xOy ,
C′
C
设双曲线的方程为 x2 122
y2 b2
1(b
>
0) ,
12 A′ 0 A x
如图,由题设点 C(13, m)(m > 0),则 B(25, m 55) B′ 25 B
132 m2
∴
122 252
122
PF1
1
PF2 32 ，则 cos F1PF2 =__0___. 40
的两条渐近线的夹角的正切值是___9_.
16 25
注:等轴双曲线 e 2
渐近线动画
y
图形
. .B2
F1
(c,
0A)1O
A2
F2
x
(c, 0)
B1
..
Ay2F2 (c, 0)
B2 A1O
B1 x
F1(c, 0)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
范围 x≥a 或 x ≤a，y R
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
9 16
94
且过点 (3, 2 3) 的双曲线方程为_______. 4
3.若过双曲线 x2
y2 3
1 的右焦点 F2 作直线与双曲线的两支都相交,
则直线 l 的斜率的范围为_(___3_,___3.)
4.已知双曲线16x2 9 y2 144 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，点 P 在
双曲线上，且 5.双曲线 x2 y2
y≥a 或 y ≤a，x R
对称性 关于原点 、x轴 、y轴对称 关于原点 、x轴 、y轴对称

双曲线的简单几何性质（一）教学目标：了解双曲线的简单几何性质，如范围，对称性，顶点，渐近线和离心率一.复习回顾椭圆的几何性质二.新课讲解Ⅰ.焦点在x 轴的双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 1. 范围：R y a x a x ∈≥-≤,或2.对称性：关于x 轴，y 轴，原点对称.3.顶点：（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.坐标)0,(a ±（2）线段21A A 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a 叫做实半轴长；线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.4.离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，ac e =叫做双曲线的离心率. （2）范围：1,0>∴>>e a c（3）e 的含义：e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大.5.渐近线： （1） 双曲线)0,0(,12222>>=-b a b y a x 的渐近线为x ab y ±=. Ⅱ. 焦点在y 轴的双曲线)0,0(,12222>>=-b a bx a y 1.范围： 2.对称性： 3.顶点：4.离心率：5.渐近线：Ⅲ.等轴双曲线中，2=e ，反过来，2=e 的双曲线是等轴双曲线.三.例题讲解例1：求双曲线14416922=-y x 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线.例2：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，34=e ，求双曲线的标准方程. 例3：求下列双曲线的渐近线方程. （1）14922=-y x （2）14922-=-y x注意：双曲线0)0(22222222=-⇔≠=-by a x b y a x 渐近线方程λλ. 例4：已知双曲线的渐近线是02=±y x ，且双曲线过点)3,4(M ，求方程.变形：已知双曲线的渐近线是02=+y x ，且双曲线过点)5,4(M ，求方程.注意：令双曲线为λ=-2222by a x ，若0>λ，则焦点在x 轴，0<λ，则焦点在y 轴. 课后练习：1. 求下列双曲线的渐近线方程.（1）32822=-y x （2）81922=-y x （3）422-=-y x （4）1254922-=-y x2. 求与1422=-y x 有相同的渐近线，且过)3,4(M 的双曲线方程.3.求与1422=-y x 有相同的渐近线，且焦点为)0,5(-的双曲线方程.4求渐近线为x y 21±=，且以椭圆1522=+y x 的焦点为顶点的双曲线方程双曲线的简单几何性质（二）教学目标：了解双曲线简单性质的应用椭圆与双曲线的比较：例1. 设双曲线22a x —22by =1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过（a,0）,(0,b)两点，且原点到直线l 的距离为43c,求双曲线的离心率 ,练习：1 双曲线22a x —22by =1（a>0,b>0）的左右焦点分别是F 1和F 2,过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支与M 点，若M F 2垂直于x 轴，求双曲线的离心率。

b
y
B2
o a A2 x
A1 -a
-b B 1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线
x 2 − y 2 = m (m ≠ 0)
4
4、渐近线 、
动画演示点在双曲线上情况
x2 y2 b ⑴双曲线 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) 的渐近线为 y = ± x a b a y
b = a c2 − a2 c 2 = ( ) − 1 = e2 − 1 a a
增大时,渐近线与实轴的夹角增大. ⇒ e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c , a 2 + b2 = c 2 ∵e = a
6
B2
. .
A2 B2
图形
. .
F1 A1 A2
O
y
y
F2 B1
F2(0,c) x F1(0,-c)
A1（0，-a）， 2（0，a） ），A ， ）， ， ）
y2 x2 − 2 = 1 (a > 0,b > 0 ) 2 a b
关于x轴 轴 关于 轴、y轴、原点对称
c e= a
(e > 1)
c e= a
(e > 1)
7
b y=± x a
a y=± x b
的半实轴长和半虚轴长、 例1 求双曲线 9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、 的半实轴长和半虚轴长 焦点坐标、离心率、渐近线方程. 焦点坐标、离心率、渐近线方程
F1 轴上，（ ）、（0， ）） （焦点在y轴上，（ ，-c）、（ ，c）） 焦点在 轴上，（0， ）、（ F2
其中 c = a + b 类似于椭圆几何性质的研究. 类似于椭圆几何性质的研究