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大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B.22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D.22(1)(1)2x y +++=[解析]圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径错误!即可. [答案]B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为〔A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 [解析]圆心(0,0)为到直线1y x =+,即10x y -+=的距离1222d ==,而2012<<,选B 。
[答案]B 3.圆心在y 轴上,半径为1,且过点〔1,2的圆的方程为〔A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1〔直接法：设圆心坐标为(0,)b ,则由题意知2(1)(2)1o b -+-=,解得2b =,故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2〔数形结合法：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为〔0,2,故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3〔验证法：将点〔1,2代入四个选择支,排除B,D,又由于圆心在y 轴上,排除C 。
[答案]A4.点P 〔4,－2与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是〔A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=[解析]设圆上任一点为Q 〔s,t,PQ 的中点为A 〔x,y,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2224t y s x ,解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ,代入圆方程,得〔2x －42＋〔2y ＋22＝4,整理,得：22(2)(1)1x y -++=[答案]A5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行,则k 得值是〔A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2 [解析]当k ＝3时,两直线平行,当k ≠3时,由两直线平行,斜率相等,得：kk --43＝k －3,解得：k ＝5,故选C 。
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
解析几何习题一、选择题(本大题共12个小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 平面上有两个定点A 、B 及动点P ，命题甲：“|P A |－|PB |是定值”，命题乙“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 3. 点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )4. 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1 5. 椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D.1925或21 6. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．127. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 8. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )． A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋129. 若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－2,2) D ．[－2,2]10. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.9211. 已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 的距离为m ＋n 2的点是( ) A ．(c ，±b 2a ) B ．(c ，±b a) C ．(0，±b ) D ．不存在12. A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫22，53，C (x 2，y 2)为椭圆x 29＋y 225＝1上三点，若F (0,4)与三点A 、B 、C 的距离为等差数列，则y 1＋y 2的值为( )A.43B.103C.163D.223二、填空题（本大题共4小题，将正确的答案填在题中横线上）13. 设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________．14. 平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．15. 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．16. 点P 是双曲线x 24－y 2＝1上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．三、解答题(本大题共5个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．18. 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．19. 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．20. 在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的双曲线方程．。
大一解析几何试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则直线AB与直线BC的交点坐标为（）。
A. (2,3)B. (4,5)C. (6,7)D. (7,8)答案：B解析：直线AB的斜率为(4-2)/(3-1)=1，直线BC的斜率为(6-4)/(5-3)=1，由于斜率相等，直线AB与直线BC平行，无交点。
因此，本题无正确答案。
2. 已知直线l的方程为2x+3y-6=0，点P(1,1)，则点P到直线l 的距离为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：点P到直线l的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A²+B²)，代入得d=|2*1+3*1-6|/√(2²+3²)=2。
3. 已知平面α的方程为x+y+z=1，平面β的方程为2x-y+z=3，两平面的交线方程为（）。
A. x-y+2z=4B. x+2y-z=2C. 3x-2y+z=4D. 3x+2y-z=2答案：C解析：联立平面α和平面β的方程，得到交线方程为3x-2y+z=4。
4. 已知椭圆的方程为x²/4+y²/3=1，焦点为F₁(-1,0)，F₂(1,0)，则椭圆的离心率为（）。
A. 1/2B. √2/2C. √3/2D. 2/3答案：C解析：椭圆的离心率公式为e=c/a，其中a为长半轴，c为焦距。
由椭圆方程可知a=2，c=1，代入得e=√3/2。
5. 已知双曲线的方程为x²/4-y²/3=1，焦点为F₁(-√7,0)，F₂(√7,0)，则双曲线的离心率为（）。
A. 2/3B. √2/2C. √3/2D. 2答案：D解析：双曲线的离心率公式为e=c/a，其中a为实半轴，c为焦距。
由双曲线方程可知a=2，c=√7，代入得e=2。
二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知直线l的方程为3x-4y+5=0，求直线l的斜率k=________。
大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。
专升本高等数学(一)-空间解析几何(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：16，分数：35.00)1.______∙ A.过原点，且垂直于x轴∙ B.过原点，且平行于x轴∙ C.不过原点，且垂直于x轴∙ D.不过原点，且平行于x轴（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 直线的方向向量为s={0，4，-3}，x轴上的方向向量为i={1，0，0}，由于0×1+4×0+(-3)×0=0，所以已知直线垂直于x轴．又原点(0，0，0)代入直线方程[*]，等式成立，所以直线又过原点．(答案为A)2.平面π1：2x+3y+4z+4=0与平面π2：2x-3y+4z-4=0的位置关系是______∙ A.相交且垂直∙ B.相交但不重合，不垂直∙ C.平行∙ D.重合（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意有，平面π1的法向量n1={2，3，4}，平面π2的法向量n2={2，-3，4}，因为n1与n2的对应分量不成比例，且2×2+3×(-3)+4×4=11≠0，所以给定两平面π1与π2相交但不重合，不垂直．(答案为B)3.平面π：x+2y-z+3=0与直线l______∙ A.互相垂直∙ B.互相平行但直线不在平面上∙ C.即不平行也不垂直∙ D.直线在平面上（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 平面π的法向量n={1，2，-1}，直线l的方向向量s={3，-1，1}，因为1×3+2×(-1)-1×1=0[*]n⊥s，即直线l与平面π平行．又直线l上取点M0(1，-1，2)代入平面π的方程，有1+2×(1)-2+3=0，即点M0在平面π上，则直线l在平面π上．(答案为D)4.过点M(0，2，-1)，且与平面π：x-y+3z+4=0垂直的直线方程为______ A． B． C．D（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 依题意，已知平面π的法向量n={1，-1，3}即为所求直线l的方向向量，所以所求直线方程为[*]，即为[*](答案为A)5.______∙ A.过原点，且垂直于y轴∙ B.过原点，且平行于y轴∙ C.不过原点，且垂直于y轴∙ D.不过原点，且平行于y轴（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：6.平面π1：x+3y-2z+5=0与平面π2：2x+6y-4z-3=0的位置关系是______∙ A.相交且垂直∙ B.相交但不重合，不垂直∙ C.平行但不重合∙ D.重合（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.平面π：2x-3y+5z+1=0与直线l______∙ A.互相垂直∙ B.互相平行但直线不在平面上∙ C.即不平行也不垂直∙ D.直线在平面上（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：8.已知直线l1：；l2______∙ A.垂直∙ B.平行但不重合∙ C.重合∙ D.相交（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：9.方程z=x2+y2表示的二次曲面是______∙ A.椭球面∙ B.柱面∙ C.圆锥面∙ D.抛物面（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 参看常用的二次曲面标准方程及相应图形表，可知，方程z=x2+y2表示旋转抛物面．(答案为D)10.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是______∙ A.球面∙ B.旋转抛物面∙ C.圆锥面∙ D.圆柱面（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 参看常用的二次曲面标准方程及相应图形表，可知，方程x2+y2-z2=0表示正圆锥面．(答案为C)11.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示______∙ A.两个平面∙ B.双曲柱面∙ C.椭圆柱面∙ D.圆柱面（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 方程x2-4(y-1)2=0中不含z，所以其方程为柱面方程．又由于x2-4(y-1)2=0[*]x=±2(y-1)，即等价于x=2(y-1)与x=-2(y-1)，亦即x-2y+2=0与x+2y-2=0，表示两个相交的平面．(答案为A)．12.方程z=x2+2y2表示的二次曲面是______∙ A.椭球面∙ B.旋转抛物面∙ C.圆锥面∙ D.椭圆抛物面（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：13.方程z2=x2+y2表示的二次曲面是______∙ A.椭球面∙ B.柱面∙ C.圆锥面∙ D.抛物面（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：14.方程x2+4y2+9z2=9表示的二次曲面是______∙ A.球面∙ B.椭球面∙ C.圆锥面∙ D.圆柱面（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：15.在空间直角坐标系中，表示圆柱面的方程是______∙ A.x2-4y2=0∙ B.x2+4y2=0∙ C.x2+4y2=z∙ D.4x2+4y2=1（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：16.在空间直角坐标系中，方程x2-2y2=-1表示的二次曲面是______∙ A.两个平面∙ B.抛物柱面∙ C.双曲柱面∙ D.椭圆抛物面（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：16，分数：40.00)17.过点(1，0，0)且以向量n={2，-3，1}为法向量的平面方程为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x-3y+z-2=0）解析：[解析] 因为有直线经过的已知点坐标和平面的法向量，用点法式平面方程解之得2(x-1)-3(y-0)+(z-0)=0，即2x-3y+z-2=0为所求平面的方程．18.过原点且与平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x-y+3z=0）解析：[解析] 由两个平面平行的充分必要条件可知，已知平面的法向量{2，-1，3}就是所求平面的法向量．又所求平面过原点(0，0，0)，由点法式平面方程有 2(x-0)-(y-0)+3(z-0)=0，即2x-y+3z=0为所求平面的方程．19.过点(1，2，0)且与向量a={-1，-3，2}垂直的平面方程为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x+3y-2z-7=0）解析：[解析] 依题意，已知向量就是所求平面方程的法向量，用点法式平面方程解之得-(x-1)-3(y-2)+2(z-0)=0，即x+3y-2z-7=0为所求平面的方程．20.过点A(1，3，-2)和B(1，0，-4)的直线方程为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 因为向量[*]=(0，-3，-2)就是所求直线的方向向量，用标准式直线方程解之得 [*]，即为所求的直线方程．21.设平面π过点(1，0，-1)且与平面4x-y+2z-8=0平行，则平面π的方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：4x-y+2z-2=0）解析：22.点(1，-1，0)到平面x-2y+3z-2=0的距离为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：23.过x轴和点(2，-4，1)的平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y+4z=0）解析：24.过点(1，-2，0)且与向量{1，-1，2}垂直的平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x-y+2z-3=0）解析：25.在直角坐标系O-xyz中，xOz平面上的抛物线z=4x2绕z轴旋转一周所生成的曲面方程为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：z=4(x2+y2)）解析：[解析] 在xOz平面上的曲线[*]以Oz轴为旋转轴的旋转曲面方程为[*]，于是可得z=4(x2+y2)为旋转曲面方程．26.空间直角坐标系中，方程y=x2表示的二次曲面是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：母线平行于Oz轴的抛物柱面）解析：[解析] 空间直角坐标系中，方程y=x2表示的二次曲面是母线平行于Oz轴的抛物柱面．27.空间直角坐标系中，方程y2+z2=4表示的二次曲面是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：以Ox轴为轴的圆柱面）解析：[解析] 空间直角坐标系中，方程y2+z2=4表示的二次曲面是以Ox轴为轴的圆柱面．28.球面方程为x2+y2+z2-2x+4y-6z=0，则球心为______，半径为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，-2，3)，[*]）解析：[解析] 用配方法，将球面方程变形为球面的标准方程(x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2-6z+9)=1+4+9，即(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=[*]，所以球心为(1，-2，3)，半径R=[*]29.在直角坐标系O-xyz中，yOz平面上的抛物线z2=2y绕y轴旋转一周所生成的曲面方程为 1．（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：30.空间直角坐标系中，方程y2+4z2=4表示的二次曲面是 1．（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：椭圆柱面）解析：31.空间直角坐标系中，方程x2-z2=0表示的二次曲面是 1．（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：两个平面）解析：32.球心为点(1，2，3) 1．（分数：4.00）填空项1:__________________ （正确答案：(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=8）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：10，分数：25.00)33.求过点M0(1，-1，2)且垂直于直线l（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(依题意，直线l的方向向量s={2，3，1}即为所求平面的法向量，又平面过点M0(1，-1，2)，由平面的点法式方程可得2(x-1)+3(y+1)+(z-2)=0，即所求平面方程为2x+3y+z-1=0．)解析：34.求过两点A(1，1，1)，B(0，1，-1)且垂直于平面x+y+z=0的平面方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所求平面的法向量为n={A，B，C}，因所求平面通过点A(1，1，1)，则平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0．又所求平面过点B(0，1，-1)，则有A(0-1)+B(1-1)+C(-1-1)=0，即A+2C=0．由两平面垂直的充要条件，则有A+B+C=0．解方程组得A:B:C=2:-1:-1，即所求平面的法向量为{2，-1，-1}，所求平面方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0，即2x-y-z=0．)解析：35.求过点A(1，-2，1)，B(5，4，3)的直线方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求直线的方向向量[*]，则[*]={(5-1)，(4+2)，(3-1)}={4，6，2}，直线的标准式方程为[*]．)解析：36.求过点M1(1，-1，-2)，M2(-1，2，0)，M3(1，3，1)的平面方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所求的平面方程为 Ax+By+Cz+D=0，将已知三点坐标代入方程，得 [*] 解得[*]，所求的平面方程为[*]，即为x+6y-8z-11=0．)解析：37.求过点M0(1，2，-3)，与直线l（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所求的直线方向向量为s，s∥l，平面π1的法向量为n1={1，1，-2}，平面π2的法向量为n2={1，2，-1}，则[*]，得s={3，-1，1}，所求的直线方程为[*]．)解析：38.已知直线lπ过点M(2，1，-5)且与l垂直，求平面π的方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线l的方向向量s={3，2，-1}即为所求平面的法向量，平面π过点M(2，1，-5)，所求平面方程为3(x-2)+2(y-1)-(z+5)=0，即3x+2y-z-13=0．)解析：39.求过点M0(2，1，3)且垂直于直线l（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线l的方向向量{3，2，-1}，为所求平面的法向量，又平面过点M0(2，1，3)，由平面的点法式方程可得3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即所求平面方程为3x+2y-z-5=0．)解析：40.求过两点A(0，1，1)，B(1，2，1)（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所求平面的法向量为n={A，B，C}，因平面过点A(0，1，1)，则平面方程为A(x-0)+B(y-1)+C(z-1)=0．又平面过点B(1，2，1)，则有A(1-0)+B(2-1)+C(1-1)=0，即A+B=0．由于n 与向量(1，-2，1)垂直，则有A-2B+C=0，解方程组得A:B:C=-1:1:3，即平面的法向量为{-1，1，3}，所求平面方程为-(x-0)+(y-1)+3(z-1)=0，即x-y-3z+4=0．)解析：41.求过点A(1，3，-2)，B(2，-4，3)的直线方程．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求直线的方向向量[*]，则[*]={(2-1)，(-4-3)，(3+2)}={1，-7，5}，直线的标准式方程为[*]．)解析：42.求过点M0(1，-2，1)且与直线l（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于所求直线与已知直线平行，所以已知直线的方向向量即为所求直线的方向向量．平面π1的法向量为n1={1，-1，2}，平面π2的法向量为n2={4，1，-1}，则[*]，得s={-1，9，5}，所求的直线方程为[*]．)解析：。
