河北省唐山一中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学理试题Word版含答案

唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二年级 数学理科试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。

3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.） 1.抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是( ) A ．1B ．2C ．4D ．82.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）A.20x y +-=B.20x y -+=C.30x y +-=D.30x y -+=3．已知椭圆121022=-+-m y m x ，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )． A ．4 B ．5 C ．7 D ．84. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别为)0,4(-A 、)0,4(B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.)0(192522≠=+y y xB.)0(192522≠=+y x y C.)0(191622≠=+y y x D.)0(191622≠=+y x y5.已知圆()224x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为a 等于（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．6.在正方体1AC 中，E ，F 分别是线段BC ，1CD 的中点，则直线B A 1与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.14522=-y xB.15422=-y xC.16322=-y xD.13622=-y x 8．四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.552 B ．55C ．54D ．539.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13 B ．32 C ．12D ．1 10.已知),(y x P 为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.1 11.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.412.已知抛物线x y 22=上有两点),(),,(2211y x B y x A 关于直线m y x =+对称，且2121-=y y ，则m 的值等于（ ）A. 43B. 45C. 47D. 49二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，圆台的母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________cm .14．已知双曲线122=-y x ，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的15题图值为________．15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.16. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB ，则双曲线的离心率为_________________. 三．计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分）17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体侧面积S .18平面直角坐标系中有A （0，1），B （2，1），C （3，4）三点 （1）求经过A ，B ，C 三点的圆M 的标准方程； （2）求过点D （﹣1，2）的圆M 的切线方程.19.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形， 90=∠=∠FAB BAD ，，FA BE AD BC 21//21//M 分别为FD 的中点．(1)证明：CM //面ABEF ；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)设点）（y x ,在轨迹E 上，求y x 2+的取值范围. 21.已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于))(,(),(212211x x y x B y x A <，两点，且9=AB .(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值.22A.（普班和实验班做）已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：过点P⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,1，且离心率为23，左焦点为F ，左、右顶点分别为B A 、，过F 的直线l 与椭圆Γ相交于C 、D 两点. （1）求椭圆Γ的方程；（2）记ABD ABC ∆∆，的面积分别为21,S S ，求21S S -的取值范围.22B ．（英才班做）已知椭圆:C 12222=+by a x )0(>>b a ,圆()()22222=-+-y x 的圆心Q 在椭圆C 上，点()2,0P 到椭圆C的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,AB 两点，直线2l 交圆Q 于,CD 两点，且M 为C D 的中点，求MAB ∆的面积的取值范围.唐山一中2016—2017学年度第一学期期中考试高二年级 数学理科答案一、选择题二、填空题 13.34014.32 15.π50 16. 2 16.三、解答题17.由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，定点在底面的射影是矩形中心的四棱锥ABCD V -，如图所示. (1)64468(31=⨯⨯⨯=）V (2)该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为24)28(4221=+=h ，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为5)26(4222=+=h ，因此.22440)582124621(2+=⨯⨯+⨯⨯=S 18. 证明：（1）圆M 的方程为：5)3()1(22=-+-y x ， （2）02=+y x19. （1）证明：设G 为AF 的中点，连接BG ，GM ，CM 由已知GA FG =,MD FM =，可得AD GM 21//,AD BC 21//， BC GM //∴∴四边形BCMG 为平行四边形．BG CM //∴BG 在面ABEF ,CM 不在面ABEF 内， ABEF CM 面//∴(2)由，FA BE 21//G 为FA 中点知，，FG BE // ∴四边形BEFG 为平行四边形，BG EF //∴由(1)知CM BG //，CM EF //∴，EF ∴与CM 共面． 又FM D ∈，E F D C ,,,∴四点共面．21.解：（1）直线AB 的方程是)2(22p x y -=，与px y 22=联立，从而有05422=+-p px x ，所以4521p x x =+.由抛物线定义得：94521=+=++=p pp x x AB 所以4=p .抛物线的方程为x y 82=.(2)由于4=p ，05422=+-p px x 可简化为0452=+-x x ，从而11=x ，42=x ，221-=y ，242=y ，从而)22,1(-A ，)24,4(B ；设),(33y x C ，则)2224,14()24,4()22,1(,33-+=+-==λλλ）（y x ，又3238x y =，即)14(8)]12(22[2+=-λλ， 即141-22+=λλ）（，解得0=λ或2=λ. 22A.解：（Ⅰ）由已知得221314a b += ① 又2214c b a a =⇒= ②联立①、②解出24a =，21b =所以椭圆的方程是 2214x y += （Ⅱ）当l的斜率不存在时，11(),()22C D -，此时120S S -=；当l 的斜率存在时，设:l (0)y k x k =≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立直线方程与椭圆方程消y得2222(41)(124)0k x x k +++-=，所以212214x x k+=-+，212212414k x x k -=+. 所以12121222S S y y y y -=-=+122()k x x =++=，由于0k ≠， 所以12S S-4k k=≤=+4k =1k时，即12k =±时，12S S -=12S S-⎡∈⎣22B 解：（1）因为椭圆C 的右焦点(),0,||2F c PF c =∴=．()2,3在椭圆C 上,22421a b ∴+=．由224a b -=得228,4,a b ==所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）由题意可得1l 的斜率不为零, 当1l 垂直x 轴时,MAB ∆的面积为14242⨯⨯=, 当1l 不垂直x 轴时, 设直线1l的方程为：y kx = 则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k=-+．由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x++-=,所以1212224,1212x x x x k k --+==++,则12|||AB x x =-=又圆心(Q 到2l的距离1d =<得21k >，又,MP AB QM CD ⊥⊥,所以M 点到AB 的距离Q 点到AB 的距离．设为2d ,即2d ==，所以MAB ∆面积2412k S AB d === 令()2213,t k =+∈+∞,则110,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,4S ⎫==⎪⎪⎝⎭, 综上, MAB ∆的面积的取值范围为43⎛⎤⎥ ⎝⎦.。

2018年河北省唐山市第一中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：D【考点】等差数列；基本不等式；等比数列．【分析】首先由等差数列和等比数列的性质可得a+b=x+y，cd=xy，然后利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，∴．当且仅当x=y时取“=”，故选D．【点评】本题在应用等差数列和等比数列的性质的同时，还用到了均值不等式，是一道综合性题目．2. “”是“函数在区间[1,+∞)单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得在区间上恒成立．解出，故选A 即可．详解：，∵若函数函数在单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.故选A.．点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．3. 若是以为焦点的椭圆上的一点，且,则此椭圆的离心率为（）A. B. C.D.参考答案：A略4. 已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）A．48 B．54 C．24D．36参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据三角形的面积最小求出m的最小值，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，则m≥2，则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，由得，即C（2，﹣6），由得，即A（2，12），由得，即B（﹣4，0），则三角形的面积S= [2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]= =54，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及三角形的面积的计算，根据图象求出m的最小值是解决本题的关键．5. 设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=（）A．B．6 C．5 D．参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的前n项和的性质，可得=，=，可得答案．【解答】解：根据等差数列的前n项和的性质，可得=，=，那么===5．故选C6. 下列说法中正确的是（）A．任何两个变量都具有相关关系 B．人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律 D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的参考答案：B7. 抛物线的准线方程为，则的值为（）A. B. C.8 D.-8参考答案：B8. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．2π B．4π C．8π D．16π参考答案：B9. （）A. πB. 2πC. 2D. 1参考答案：A【分析】根据定积分表示直线与曲线围成的图像面积，即可求出结果.【详解】因为定积分表示直线与曲线围成的图像面积，又表示圆的一半，其中；因此定积分表示圆的，其中，故.故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型. 10. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A.B.C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我们知道无限循环小数，现探究。

2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）9月调研数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n}中，设公差为d，若S10=4S5，则等于（）A．B．2 C．D．42．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．103．设x，y满足约束条件，则Z=3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．64．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下右上方的概率为（）A．B．C．D．5．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据的立方和为（）A．70 B．60 C．50 D．566．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣8．如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）9．若曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0（y≥1）与直线y=k（x+1）有2个公共点，则k的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．[，）D．[，1）10．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣1（x∈R）．则函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别是（）A．最大值为，最小值为﹣1B．最大值为，最小值为﹣C．最大值为2﹣1，最小值为﹣2﹣1D．最大值为1，最小值为﹣111．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，若，则实数k=（）A．1 B．C．D．212．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2﹣x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为．14．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是．15．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则||•||的最大值为．16．△ABC的内角为A，B，C，点M为△ABC的重心，如果sinA+sinB+sinC=，则内角A的大小为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．个月的产量如表所示：（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x+；=，=﹣）21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH 的面积．（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l的方程．2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n}中，设公差为d，若S10=4S5，则等于（）A．B．2 C．D．4【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式化简S10=4S5，即可求出的比值．【解答】解：∵S10=4S5，∴10a1+45d=4（5a1+10）d，解得d=2a1，则=，故选：A．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．2．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8 C．4D．10【考点】两点间的距离公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．3．设x，y满足约束条件，则Z=3x﹣2y的最大值是（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z=3x﹣2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×0﹣2×（﹣2）=4．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下右上方的概率为（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：=（4+5+6+7+8+9）=，=（90+84+83+80+75+68）=80∵=﹣4x+a，∴a=106，∴回归直线方程=﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P==．故选：C．【点评】本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键5．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据的立方和为（）A．70 B．60 C．50 D．56【考点】众数、中位数、平均数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由设x1≤x2≤x3≤x4，由题意可知x1+x2+x3+x4=8，由标准差S==1，及中位数是2，即可求得x1，x2，x3，x4的值，求得这组数据的立方和．【解答】解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，x1，x2，x3，x4，∈N*，依题意得x1+x2+x3+x4=8，S==1，即（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2=4，∴（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，∴x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．∴这组数据的立方和2×1+2×33=56故答案选：D【点评】本题考查中位数，平均数，标准差的定义及相关计算，考查计算能力，属于中档题．6．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B．【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值7．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由S+a2=（b+c）2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解出即可．【解答】解：∵S+a2=（b+c）2，∴S=b2+c2﹣a2+2bc，∴=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解得cosA=﹣或cosA=﹣1．cosA=﹣1舍去．∴cosA=．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题．【分析】利用圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=1和圆x2+y2=4相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和即可．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2=1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2+y2=4与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2=1相交，∵|OC|=，由R﹣r＜|OC|＜R+r得：1＜＜3，∴，∴﹣2＜a＜0或0＜a＜2．故选A【点评】本题主要考查了圆方程的综合应用，难点在于将题意转化为两圆相交的问题，体现数形结合的数学思想，属于难题．9．若曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0（y≥1）与直线y=k（x+1）有2个公共点，则k的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．[，）D．[，1）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0（y≥1），可化为曲线（x﹣2）2+（y﹣1）2=1（y≥1），求出直线与圆弧相切时，k=或0；直线过点（1，1）时，k=，即可求出k的取值范围．【解答】解：曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0（y≥1），可化为曲线（x﹣2）2+（y﹣1）2=1（y≥1）直线与圆弧相切时，圆心到直线的距离d==1，∴k=或0；直线过点（1，1）时，k=，∴曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0（y≥1）与直线y=k（x+1）有2个公共点，则k的取值范围是[，）．故选：C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣1（x∈R）．则函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别是（）A．最大值为，最小值为﹣1B．最大值为，最小值为﹣C．最大值为2﹣1，最小值为﹣2﹣1D．最大值为1，最小值为﹣1【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】运用两角和的正弦公式和二倍角公式，化简f（x），再由x的范围，运用正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【解答】解：函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣1=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），由于x∈[﹣，]，即有2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，即x=﹣时，取得最小值，且为﹣1，x=时，取得最大值，且为．故选A．【点评】本题考查三角函数的化简和求最值，考查两角和的正弦公式和二倍角公式，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．11．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，若，则实数k=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用向量关系，得出圆心到直线的距离d=||，由勾股定理，建立方程，即可求出k．【解答】解：∵，∴圆心到直线的距离d=||，圆心到直线的距离d=，由勾股定理可得（）2+（•）2=4，∵k＞0，∴k=．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2﹣x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25） C．（13，49）D．（9，49）【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由f（2﹣x）+f（x）=0，得f（2﹣x）=﹣f（x），从而f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0可化为f（m2﹣6m+23）＜﹣f（n2﹣8n）=f（2﹣n2+8n），根据f（x）在R上单调递增，可得m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n，整理得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，由此可画出不等式组所表示的点（m，n）对应的区域，根据m2+n2的几何意义可求得答案．【解答】解：∵f（2﹣x）+f（x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），∴f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，可化为f（m2﹣6m+23）＜﹣f（n2﹣8n）=f（2﹣n2+8n），又f（x）在R上单调递增，∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n，即m2﹣6m+23+n2﹣8n﹣2＜0，∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，∴不等式组’即为，点（m，n）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（不含边界），如图阴影部分所示：易知m2+n2表示点（m，n）到点（0，0）的距离的平方，由图知，|OA|2＜m2+n2＜|OB|2，可得点A（3，2），∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=（5+2）2=49，∴13＜m2+n2＜49，即m2+n2的取值范围为（13，49）．故选C．【点评】本题考查函数恒成立问题、线性规划问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．已知{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a1a7+2a3a7+a3a9的值为100．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】题目给出了等比数列，运用等比中项的概念，把要求的和式转化为a4+a6，则答案可求．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，由等比中项的概念有，a3a7=a4a6，所以a1a7+2a3a7+a3a9==100．故答案为：100．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了数学转化思想，该题是基础题．14．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．故答案为：．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．15．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则||•||的最大值为5．【考点】恒过定点的直线．【专题】计算题；转化法；直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出||•||的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故||•||≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故答案为：5．【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．16．△ABC的内角为A，B，C，点M为△ABC的重心，如果sinA+sinB+sinC=，则内角A的大小为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】sinA+sinB+sinC=，由正弦定理可得：．由点M为△ABC的重心，可得．可得a=b=1，c=1，即c=．即可得出．【解答】解：∵sinA+sinB+sinC=，由正弦定理可得：．∵点M为△ABC的重心，∴．∴a=b=1，c=1，即c=．∴=，．∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量的基本定理、三角形的重心性质、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosA 的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）由a与sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，c（acosB﹣b）=a2﹣b2，∴a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2，即a2=b2+c2﹣bc，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴cosA=，则A=；（Ⅱ）由正弦定理得====2，∴b=2sinB ，c=2sinC ，∴b +c=2sinB +2sinC=2sinB +2sin （A +B ）=2sinB +2sinAcosB +2cosAsinB=3sinB +cosB=2sin （B +），∵B ∈（0，），∴B +∈（，），∴sin （B +）∈（，1]，则b +c ∈（，2]．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足=1﹣，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列递推式；等差数列的前n 项和；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得到关于a 1与d 的方程组，解之即可求得数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n =2n ﹣1，继而可求得b n =，n ∈N *，于是T n =+++…+，利用错位相减法即可求得T n ．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得：，解得a 1=1，d=2． ∴a n =2n ﹣1，n ∈N *．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n ∈N *，得：当n=1时， =，当n ≥2时， =（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．19．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．个月的产量如表所示：（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x+；=，=﹣）【考点】线性回归方程．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．将x=6代入可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52=10种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种∴P（A）==；（Ⅱ）由数据求得=3，=72，x i y i=1200，=55，故===12，∴=﹣=36，∴y关于x的线性回归方程为=12x+36，当x=6，=108（件），即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（n∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a﹣）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）根据题意可列出10（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围．【解答】解：（1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则（1+0.2x%）所以，所以ax≤，即a≤恒成立，因为，当且仅当，即x=500时等号成立．所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过A （2，﹣2），B （1，1）两点，且圆心在直线x ﹣2y ﹣2=0上．（1）求圆C 的标准方程； （2）过圆C 内一点P （1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF ，GH ，当EF=GH 时，求四边形EGFH 的面积．（3）设直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，PQ=4，且△POQ 的面积为，求直线l 的方程． 【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想；直线与圆． 【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线的方程，与直线x ﹣2y ﹣2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆C 的标准方程；（2）C 到直线EF ，GH 的距离相等，设为d ，求出d 后，进而求出EF=GH ，进而得到答案．（3）求出PQ=4，分类讨论，利用坐标原点O 到直线l 的距离为，即可求直线l 的方程 【解答】解：（1）因为A （2，﹣2），B （1，1），所以k AB ==﹣3，AB 的中点为（，﹣），故线段AB 的垂直平分线的方程为y +=（x ﹣），即x ﹣3y ﹣3=0，…由，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…所以半径r 满足r 2=12+（﹣1﹣1）2=5．…故圆C 的标准方程为x 2+（y +1）2=5．… （2）∵EF=GH ，∴C 到直线EF ，GH 的距离相等，设为d …则=1，即d=…∴EF=GH=2=3…∴四边形EGFH 的面积S=×=9…（3）设坐标原点O 到直线l 的距离为h ，因为△POQ 的面积S==，∴h=．①当直线l 与x 轴垂直时，由坐标原点O 到直线l 的距离为知，直线l 的方程为x=或x=﹣，经验证，此时PQ ≠4，不适合题意； … ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx +b ，由坐标原点到直线l的距离为h==，得k2+1=25b2（*），…又圆心到直线l的距离为c=，所以PQ=2=4，即k2+1=（1+b）2（**），…由（*），（**）解得．…综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣1=0或3x﹣4y+1=0．…【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2018年10月26日。

专题6.4 数列求和【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】易知S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92×1＝75.2．数列32，94，258，6516，…，n ·2n＋12n的前n 项和为____________． 【解析】易知a n ＝n ·2n＋12n＝n ＋12n ，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝ (1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2－12n＋1.3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________．【解析】易知该数列的通项公式为a n ＝2n （n ＋1），分裂为两项差的形式，即a n ＝21n －1n ＋1，则数列的前n 项和S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.4． 1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝____________(x ≠0且x ≠1)．题组二 常错题5．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝________．【解析】因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120.6．数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项和为________．【解析】设S n ＝22＋422＋623＋...＋2n 2n ，①则12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，②①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1，∴S n ＝4－n ＋22.题组三 常考题7． 等差数列{a n }的公差是3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】由题意，得a 2，a 2＋6，a 2＋18成等比数列，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋18)，解得a 2＝6，故a 1＝3，所以S n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝32n(n ＋1)．8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n .9． 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n＋1－1(n ∈N *)．记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝______________.【解析】由a n ＋1＝2a n 可得a n ＋1a n＝2，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n }的通项【知识清单】数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-= 2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，nmm n n m m n S S q S S q S +=+=+.【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 数列求和 【题组全面展示】【1-1】数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S = . 【答案】1008-【解析】由数列的通项公式可知,数列的项依次为0,2,0,4,0,6,0,8,-- ，数列每四项和为2，故201450342=⨯+，所以()2014503220141008S =⨯+-=-． 【1-2】已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1,n a f n f n =++则123100a a a a +++⋅⋅⋅+= .【答案】-100【1-3】已知数列{}n a 的通项公式为n a =*()n N ∈，其前n 项和为n S ，则在数列122014S S 、S 、中，有理数项的项数为 . 【答案】43 【解析】n a ===， ∴3815,,,S S S 为有理项，∴212014n -<且2n ≥，∴有理数项的项数为43项. 【1-4】已知数列{},n a 若)(,1221+-∈+-=N n n a n n ，求10S =_______.（用数字作答）【答案】923【解析】()11221221n n n a n n --=-+=--，210102101222(13519)211010241100923S =++++-++++=--=--= ．【1-5】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 .【答案】1422n n n S ++=-综合点评：这些题都是数列求和，做这一类数列求和的题，，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 【方法规律技巧】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++ ，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++ 两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++- ()()()100999897215050=++++++= .7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为12n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【新题变式探究】【变式一】对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++ 的值为 .【答案】7549【变式二】若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为 . 【答案】2【解析】由221n n a a p ++=得2212n n a a p +++=，两等式相减得：222n n a a +=.又“公方和”为1，首项11a =，所以2222223520132420141,0a a a a a a ========.所以2014S 的最大值为1007，最小值为-1005，其和为2.【综合点评】这两个题都是数列求和,第一题是函数与数列相结合,解题突破口为根据函数数据,找出数列满足的规律,然后利用合项法求和,第二个题是根据新定义求和,紧扣定义找出实质是解本题的关键.考点2数列综合 【题组全面展示】【1-1】已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值正负为 .【答案】正 【解析】021********>=+a a a ⇒20131a a ->⇒)()()(201320131a f a f a f -=->⇒0)()(20131>+a f a f同理，0)()(20122>+a f a f ，0)()(20113>+a f a f ，…，0)()(10081006>+a f a f ，又01007>a ⇒0)0()(1007=>f a f ，以上各式相加，得0)()()()()(20132012321>+++++a f a f a f a f a f . 【1-2】设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k的取值范围为 . 【答案】7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7(,)4-∞.【1-3】已知()[]23,0,31xf x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++= ，则122010()()()f a f a f a +++ 最大值为 .【答案】6030【1-4】已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈ ，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________. 【答案】11n- 【解析】已知()()()()()2[13]f x x x x x n =++++ ，则有()()()()()()()()()2[13]2[13]f x x x x x n x x x x n '''=+++++++++ ， 所以()()(2)112322!f n n '-=-⋅⋅⋅⋅-=-- ，(0)!f n =， 所以()2!111!(1)1n n a n n n n n -=-=-=---，所以1111111111232431S n n n=-+-+-++-=-- . 【1-5】对于每一个正整数n ，设曲线1n y x+=在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令n a lg n x =，则1299a a a +++= . 【答案】2-.【解析】利用导数求得曲线1n y x+=在点()1,1处的切线方程为()()111y n x =+-+，即()1y n x n =+-，它与x 轴交于点(),0n x ，则有()101n n nn x n x n +-=⇒=+，()lg lglg lg 11n n na x n n n ∴===-++，()()()1299lg1lg2lg2lg3lg99lg100lg1lg1002a a a ∴+++=-+-++-=-=- .综合点评：这些题都是数列与函数综合问题，解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【方法规律技巧】1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围． 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点：(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．【新题变式探究】【变式一】设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*n N ∈,函数12()()n n n f x a a a x ++=-++1cos n a x +-2sin n a x +满足'()02f π=，若n a n n a c 21+=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为 . 【答案】n n n 21222-++【变式二】在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n )，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．【答案】23(4n －1) 【解析】P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k )，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝2 1－4n1－4＝23(4n －1)． 【综合点评】第一题是函数与数列结合，此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．第二题是数列与新背景、新定义的综合问题，解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．【易错试题常警惕】易错典例：已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 易错分析：未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．错解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·q n －1， ∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＋n ·q n ＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n 1－q 2＋n ·q n 1－q. 正确解析：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{a n}及一个等比数列{b n}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列．。