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四、两种特殊情况的处理. 第一种特殊情况是在计算各行各列元素值的过程中 出现某一行第一列的元素值为零, 而这一行其它各列的 元素值不全为零. 例3: 设系统的特征方程为 D( s ) = s 4 + 2s 3 + s 2 + 2s + 1 = 0 解: s 4 1 1 1 用一大于零的无穷小量 3
s s2 s1 s0
2 0(ε ) 2ε − 2 ε 1 2 0 1 0 0 0 ⇒ 2− 2 ε 0 0
ε
代替第三行第一列的零 参与以下各行各列元素 值的计算.
因为 ε 是大于零的无穷小量, 所以 (2 − 2 / ε ) < 0 系统不稳定, 且有两个根在s的右半平面上. 教材 介绍了处理第一种特殊情况的另一种方法,也可行，不 再介绍.
s1 1 3 0 0 0
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 = ± j 2 , s3, 4 = ± j 2 ( s 2 + 2)( s 2 + 4) = 0 , 纯虚根，此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定 的。
其系统稳定的必要条件是：上式中各项系数为正数。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
三、 劳斯稳定性判据 设线性系统的特征方程为
D ( s ) = a0 s + a1s
n
n −1
+ + an −1s + an = 0
式中 a0 > 0 , 构造如下劳斯行列表:
s1 − 6 0 0 s0 5 0 0
[例]系统的特征方程为： s 5 + 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 + 23s + 46 = 0 该 系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 [解]：劳斯阵如下
s 5 1 24 23 s 4 2 48 46 s3 0 0 0
s 3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：
c43 c44 c45
c1, n +1 c2 , n +1 c3, n +1 c4 , n +1
则线性系统稳定的充要条件是 劳斯表中第一列各值均大于零. 如劳斯表第一列中出现小 于零的数值, 系统就不稳定, 且第一列各数值符号的改变次数, 就是系统特征方程的正实部根的数目, 即系统在极点平面的右 半平面上的极点个数.
[
][
]
r α js + β j B( s) B(s） k ci =∑ +∑ C (s) = R( s) = D( s) D(s ） i =1 s − pi j =1 [s − (σ j + jω j )][s − (σ j − jω j )]
对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出：
c(t ) = ∑ ci e
Q( s ) = 2 s 4 + 48s 2 + 46 或 Q( s ) = s 4 + 24 s 2 + 23 ( s ) = 4 s 3 + 48s 将 4,48 或 1,12 代替 Q 其导数为：
s5 1 s4 1 s3 1
24 23 24 23 0 0 0 0
行，可继续排列劳斯阵如下： s3 ai > 0, (i = 0 ~ 5) 求解如下：
五、劳斯稳定性判据的应用 判定控制系统的稳定性
例：系统的特征方程为：s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0， 试判断系统的稳定性
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 s3 2 s2 1 3 5 4 0 5 0
因为劳斯阵第一列不全为正，所 以，系统不稳定。 由于劳斯阵第一列有两次符号变 化，所以系统在s右半平面有两个极点。
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。 如果特征方程中有一个零根(1/s项)，拉氏反变换对应于一 个常系数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭 虚根，它的对应于等幅的周期振 荡，称为临界平衡状态（或临界 稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界 稳定状态和随遇平衡状态属于不 稳定。
Im
稳 临 定 界 区 稳 定
S平面
不 稳 Re 定 区
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构 参数有关，表现在传递函数中就只与特征根有关，即只与极点有 关，与零点无关，也与输入输出信号无关；
a0 a0 , a1 都大于零， 对于一阶系统， a1s + a0 = 0, s = − 只要 , a1 系统是稳定的。
sn
n−2
a0
a2 a3
a4 a5
a6 a7
表中, 最左边一列和最上 面两行构成劳思行列表的
表头, 表中其它各行各列 s c13 c23 c33 c43 的元素值按如下公式计算: a0 a2 s n −3 c14 c24 c34 c44 a1 a3 a1a2 − a0 a3 n−4 = s c15 c25 c35 c45 c13 = − a1 a1 a0 a4 s 0 c1,n +1 c2 ,n +1 c3,n +1 c4 ,n +1 c = − a1 a5 = a1a4 − a0 a5 23 a1 a1 a1 a3 a0 a6 c13 c23 c13a3 − a1c23 a1 a7 a1a6 − a0 a7 , c14 = − = c33 = − = c13 c13 a1 a1
第五节 线性系统的稳定性分析
一、稳定的基本概念 如果一个稳定的系统在外作用的影响下，离开了初始的稳 定状态，但是当外作用消失后，系统经过足够长的时间它还能 回复到原来的稳定状态，则称这样的系统为稳定的系统 。否则 为不稳定的系统。 或定义为：设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉 冲函数 δ (t )，即R(S）=1。当作用时间t>0时，δ (t ) =0，这相当 给系统一个扰动。如果系统的输出脉冲响应
第二种特殊情况是劳斯阵某行系数全为零。表明特征方程具 有大小相等而位置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出 现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根， 或对称于虚轴的两对共轭复根，或是对称于实轴的两对共轭复 根。 例如: ∆1 = ( s 2 − 4)( s 2 + 25)( s + 2) = s 5 + 2 s 4 + 24 s 3 + 48s 2 − 25s − 50
2 − a ± a 1 1 − 4 a 2 a0 2 a2 s + a1s + a0 = 0, s1, 2 = 对于二阶系统， 2a2 只有 a0 , a1 , a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
对于高阶系统特征方程：
D ( s ) = a0 s n + a1s n −1 + + an −1s + an = 0
∆ 2 = ( s + 4)
2
其根为
s = ±2
s = ± j5
s = −2
s = ± j2
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程， 对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。 再通过辅助方程求解大小相等，位置径向相反的根，辅助方程 应为偶次数的，从而判断系统的稳定情况。
[例]： s 6 + 2 s 5 + 8s 4 + 12 s 3 + 20 s 2 + 16 s + 16 = 0
[例1]：特征方程为： a3 s 3 + a2 s 2 + a1s + a0 = 0 ，试判断稳定性。 [解]：劳斯阵为： s3
a3 a2 a2 a1 − a3a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s1 s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零 且 a1a2 − a3 a0 > 0 此题说明四阶系统的判断也简单，只要各阶系数>0， 以及它们的乘积之差>0就行了
( m ≤ n)
设 p i (i = 1,2,, n ) 为系统特征方程D( s) = 0 不等。则系统的脉冲响应可写为：
C ( s) =
k
的根，而且彼此
B( s) B( s) R( s) = D( s) D( s)
r α js + β j ci =∑ +∑ i =1 s − p i j =1 s − (σ j + jω j ) s − (σ j − jω j )
D( s ) = a0 s + a1s
n
n −1
+ + an −1s + an = 0
a6 a7
劳斯行列表:
sn s s s
0 n−2 n −3
a0
a2 a3
a4 a5
s n −1 a1
c13 c23 c33 c43 c14 c24 c34 c44
s n − 4 c15 c25 c35 c45 c1,n +1 c2 ,n +1 c3,n +1 c4 ,n +1
s n −3 c14 c24 c34 c44
n−4
s0
以下各行各列的元素值可依上几式的规律依次算得.
sn
a0
a2 a3 c23 c24 c25
a4 a5 c33 c34 c35
a6 a7
s n −1 a1 s n − 2 c13 s n −3 c14 s n − 4 c15 s0
