上海六年级第二学期数学知识点梳理

目录一、数的整除 (1)二、分数 (2)三、比和比例 (2)四、圆和扇形 (3)五、有理数 (4)六、一次方程（组）和一次不等式（组） (5)七、线段与角的画法 (5)八、长方体的再认识 (6)一、数的整除1.内容要目数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。

2．基本要求（1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。

（2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。

3．重点和难点重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。

难点是求两个正整数的最小公倍数。

4．知识结构数的整除两个整数间的关系一个整数公倍数公因数互素整数最小公倍数最大公因数倍数因数能被5整除的特征能被2整除的特征合数分解素因数素数偶数奇数二、分数2.内容要目分数与除法的关系、分数的基本性质、约分和通分、最简分数、真分数、假分数和带分数、倒数、分数的运算、分数与小数的关系、循环小数。

1．基本要求（1）理解分数与除法的关系;会用分数表示除法的商．理解约分、通分；（2）掌握异分母分数加减法的法则，能按异分母分数加减法的计算法则进行计算；（3）理解并掌握假分数和带分数互化的方法，掌握分数的加减乘除的混合运算；（4）有限小数化成分数的方法和分数化成小数的方法。

理解循环节的意义和循环小数的读写方法学会把分数化成循环小数。

3．重点和难点重点是会正确地运用分数的基本性质和运算法则进行分数的混合运算。

难点是分数的应用。

4．知识结构三、比和比例1.内容要目比与比例、比的基本性质、比和比例的有关性质、百分比、百分比和小数的关系、百分比的应用。

2.基本要求（1）知道什么是比和比例；（2）掌握比和比例的有关性质；（3） 知道百分比的概念，百分比和小数的互化； （4）掌握百分比的应用。

第02讲 有理数加减法（核心考点讲与练）一、有理数的加法1．有理数加法法则：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号． （3）一个数同零相加，仍得这个数． 2.运算律：有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b)+c ＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 二、有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即()a b a b -=+-． 三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点一：有理数的加法运算【例题1】计算：(1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．1223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．【变式训练1】计算： 【答案】【变式训练2】计算：（1） (+10)+(-11)； （2） 【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）考点二：有理数的减法运算【例题2】 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算． 【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.【变式训练1】若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ） A ． ﹣1 B ． 1 C ．5 D ．﹣5【答案】B ．12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113343⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算【例题3】计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) (4) （5） （6） 【答案与解析】（1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）→同分母的数先加 （4）→统一成加法→整数、小数、分数分别加（5） →统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132.25321.87584+-+1355354624618-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭132.25321.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++（6）→整数，分数分别加【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【变式训练1】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用【例题4】邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置； （2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm 表示1km ，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．0.55 4.5=-+=1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-182********-++-=+2936=【变式训练1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100 150 350 -400 -100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式训练2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用【例题5】（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y ）的值为±2或±8【变式训练1】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么? 【答案】解：当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0； 当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0； 当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．考点六：规律探索【例题6】将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律． 【答案】1200-【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1200-． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【例1】计算：()()()246898100-++-+++-+．【难度】★★★ 【答案】50．【解析】()()()246898100-++-+++-+()()()=24689810025-++-+++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦（共对）=222+++=225⨯ =50．【总结】考察有理数的加法．注意简便运算．【例2】 某单位一周中收支情况如下：524.5+元，274.3-元，490+元，100-元，29.7+元，123.6- 元，232.1-元．问该单位这一周，总共收入多少元？总共支出多少元？收支相抵后，余额是多少元？【难度】★★★【答案】共收入1044.2元，共支出730元，收支相抵后，余额为314.2元． 【解析】共收入为：()524.5++()490+()+29.7=1044.2+元， 共支出为：()274.3+-()100-()+123.6-()+232.1730-=-元 收支相抵为：()2.3147302.1044=-+元． 【总结】考察有理数的加法的实际应用．已知143a =-，566b =-，122c =-，求下列各式的值．（1）a b c --； （2）()b a c --； （3）a b c --； （4）a c b --．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）5-；（3）5-；（4）328．【解析】（1）1511511146246222536236222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()5115115564264261563263266b a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=---+=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）1511514624625362362a b c --=-----=--=-； （4）115115552426426168326326663a cb ⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减法运算和运算律的综合应用． 【例3】 已知143a =-，566b =-，122c =-，求下列各式的值．（1）a b c --； （2）()b a c --； （3）a b c --； （4）a c b --．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）5-；（3）5-；（4）328．【解析】（1）1511511146246222536236222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（5）()5115115564264261563263266b a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----=---+=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（6）1511514624625362362a b c --=-----=--=-； （7）115115552426426168326326663a cb ⎛⎫⎛⎫--=-----=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减法运算和运算律的综合应用．【例4】 如果2113x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么x 等于______．【难度】★★★【答案】322=x 或223x =-．【解析】因为2113x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2211233x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以322=x 或223x =-．【总结】考察有理数的加减法和绝对值运算． 【例5】 计算：135********-+-+-++-．【难度】★★★【答案】50-． 【解析】原式()()()()1357911979925=-+-+-++-（共对）()()()222=-+-++-()=252⨯- 50=-．【总结】考察有理数的加减法运算，注意找出规律进行简便运算．【例6】 计算：1234997998999999999999999999-+--+---+-． 【难度】★★★【答案】999499．【解析】原式1234997998999999999999999999=-+-+--+1234997998(499999999999999999999⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共对）111=+499999999999++（共个）499=999．【总结】考察有理数的加减法运算及与绝对值的综合计算，注意要简便运算．【例7】 如果规定运算()()23a b a b ⊗=---，求73124⎛⎫⊗- ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★【答案】1253-．【解析】7373795=2331241246412⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⊗--⨯--⨯-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【总结】本题主要考察新运算与有理数的加减法的综合运用．题组A 基础过关练一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列运算中正确的是（ ）分层提分A ．3.58( 1.58) 3.58( 1.58)2--=+-=B ．( 2.6)(4) 2.64 6.6---=+=C ．2727270()()()1555555-+-=+-=+-=-D ．3439571()858540-=+-=-【答案】D【分析】根据有理数的加减法法则进行分析解答即可.【详解】A 选项中，因为3.58-（-1.58）=3.58+1.58=5.16，所以A 中计算错误； B 选项中，因为（-2.6）-（-4）=-2.6+4=1.4，所以B 中计算错误；C 选项中，因为27279055555⎛⎫-+-=--=- ⎪⎝⎭，所以C 中计算错误；D 选项中，因为3439571858540⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭，所以D 中计算正确. 故选D.【点睛】熟知“有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数”是解答本题的关键.2．（2021·上海·九年级专题练习）若数轴上表示－1和－3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ） A ．-4 B ．－2 C ．2 D ．4【答案】C【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解． 【详解】解：AB=|-1-（-3）|=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及有理数的减法运算，正确表示数轴上两点间距离并准确计算是解题关键．二、填空题3．冬季某日，上海最低气温是3℃，北京最低气温是－5℃，这一天上海的最低气温比北京的最低气温高___________℃． 【答案】8【分析】求上海的最低气温比北京的最低气温高多少，即用上海的最低气温减去北京的最低气温．【详解】解：3-（-5）=8℃．∴这一天上海的最低气温比北京的最低气温高8℃． 故答案为：84．（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）有理数____加上3-54所得的和是6.【答案】1134【分析】设有理数为a 则列式a+（3-54）=6，运用有理数的加减法计算求解即可. 【详解】设有理数为a 则a+（3-54）=6 ∴a=6+354=1134【点睛】此题考查了有理数加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.5．计算：｜23-｜+13=______． 【答案】1试题分析：解：原式=+=1，解本题时，要去掉绝对值符号后再进行运算．考点：绝对值的定义及分数运算．点评：熟知绝对值的定义，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值还是零．本题属于基础题．难度及小，易得．6.用字母a 、b 、c 表示有理数加法的交换律是________________，结合律是____________________．【难度】★【答案】交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++．【解析】考察有理数运算律的理解．7.计算：()31 1.24⎛⎫-++= ⎪⎝⎭_____，()31 1.24⎛⎫--+= ⎪⎝⎭_____，()31 1.24⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭_____．【难度】★【答案】0.55-； 2.95-； 2.95-．【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加：绝对值相等时和 为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】考察有理数的加减法法则的运用．8.计算：21131333⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，()()137 5.42⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭______．【难度】★ 【答案】31；9.9．【解析】同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加：绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】考察有理数的加减法法则的运用．三、判断9.判断下列算式是否正确：（1）()()220-+-=；（ ） （2）()()6410-++=-；（ ）（3）()033+-=+；（ ） （4）512663⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（ ） （5）337744⎛⎫⎛⎫--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（ ）【难度】★ 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√．【解析】（1）错误，正确答案为()()224-+-=-；（2）错误，正确答案为()()642-++=-；（3）错误，正确答案为()033+-=-．【总结】考察有理数的运算，注意法则的准确运用．四、解答题10．（2018·上海市娄山中学单元测试）3512+1-8-6.75412 【答案】1712-【分析】原式利用有理数加减混合运算计算即可求出值．【详解】原式=710127412+--412 =101727412-+（-）124 =10112512--=101712-=1712-【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是正确解此题的关键.11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）(2)(9)--- （2）011- （3）5.6( 4.8)-- （4）13(4)524-- 【答案】(1)7;(2)-11;(3)10.4;(4)1104-. 【分析】根据有理数的减法法则和加法法则进行分析解答即可.【详解】（1）()()29297---=-+= ；（2）()01101111-=+-=- ；（3）5.6-（-4.8）=5.6+4.8=10.4；（4）13231(4)5(45)1024444--=-+=-.【点睛】熟记“有理数的减法法则和加法法则”是解答本题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）23＋（－17）＋6＋（－22）（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）【答案】（1）－10（2）－3【分析】根据有理数的加法法则（1）、（2）进行计算【详解】（1）23＋（－17）＋6＋（－22）=29+（-39）=-（39-29）=-10（2）（－2）＋3＋1＋（－3）＋2＋（－4）=（-9）+6=-（9-6）=-3【点睛】本题考查的是有理数的加法，关键是要掌握加法法则．13．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）.10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？【答案】超重1.8千克，总重量是501.8（千克）【详解】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可．（+0.5）+（+0.3）+0+（-0.2）+（-0.3）+（+1.1）+（-0.7）+（-0.2）+（+0.6）+（+0.7）=1.8（千克），50×10+1.8=501.8（千克）． 题组B 能力提升练一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列各式可以写成a b c -+的是（ ）A ．()()a b c -+-+B ．()()a b c -+--C ．()()a b c +-+-D ．()()a b c +--+【答案】B【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．【详解】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，A的结果为a-b-c，B的结果为a-b+c，C的结果为a-b-c，D的结果为a-b-c，故选：B．【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，解题关键在于掌握去括号法则：+（+）=+，+（-）=-，-（+）=-，-（-）=+．2．（2019·上海·七年级课时练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a b+的值（）A．大于0B．小于0C．小于a D．大于b 【答案】A【分析】先根据数轴的特点判断出a，b的符号，再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小，然后根据有理数的加法法则得出结果．【详解】根据a，b两点在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，所以a+b＞0．故选A．【点睛】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．二、填空题3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：111111111=248163264128256++++++++__________．【答案】511 256【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，….依此规律可进行求解．【详解】解：由图及题意可得：12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，…； 依此规律可得：111111111=248163264128256++++++++511256； 故答案为：511256． 【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可．三、 解答题4．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）()()()7935------；（2） 4.2 5.78.410-+-+；（3）15214632-++-． 【答案】（1）-8；（2）3.1；（3）34. 【分析】根据有理数的加、减混合运算的相关法则进行计算即可.【详解】（1）()()()()()()793579351688⎡⎤------=-+-++=-+=-⎣⎦ ；（2）()()4.2 5.78.410 4.28.4 5.71012.615.7 3.1-+-+=--++=-+=；（3）15214632-++-=11523334263424⎛⎫⎛⎫--++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】熟悉“有理数加减混合运算的相关运算法则，能灵活的使用运算律把符号相同的数结合到一起先相加”是解答本题的关键.5．（2018·上海普陀·期中）510.474( 1.53)166----【答案】-4．【分析】先把减法运算转化为加法运算，再利用加分的交换结合律计算即可．【详解】解：原式=510.474+1.53166--=510.47 1.534166+--=2-6=-4． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）44413()()()13171317-+-++- （2）2111(4)(3)6(2)3324-+-++- 【答案】（1）－1；（2）334- 【分析】（1）利用有理数加法法则及加法运算律进行计算即可；（2）利用有理数加法法则及加法运算律进行计算即可．【详解】解：（1）原式44413=+13131717⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()=0+1-=1-；（2）原式211143623324⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1844=-+343=-． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则及加法运算律是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：1216.22[(3)]10.733-+-+--- 【答案】11.5【分析】根据有理数的加减混合运算法则，先计算出绝对值和相反数，再按照加法的交换律和结合律，将同类型数结合一起进行简便运算，得到结果．【详解】原式=1216.2+2310.733+- =()1216.210.7+2333⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =5.5+6=11.5．【点睛】考查有理数的加减混合运算法则，学生要熟练掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并结合运算律进行简便运算解出此题．8.计算：（1）515 6.54 3.4618--； （2）3492318.725.254⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （3）225103 1.2850.72376----． 【难度】★★【答案】（1）1855；（2）18.7；（3）4219-． 【解析】（1）()555515 6.54 3.4615 6.54 3.461510518181818--=-+=-=； （2）()33492318.725.254918.7+2325.25=4918.7+4918.744⎛⎫=-+-=+--+-= ⎪⎝⎭原式； （3）()()2252252319103 1.2850.72=1035 1.280.72123763764242------+--=+-=-． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．9.计算：（1）111113131354543--+-； （2）135154723464--++．【难度】★★【答案】（1）313-；（2）0． 【解析】（1）11111111111131313331130033545435544333⎛⎫⎛⎫--+-=-+-+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）1351153111547257422203464364422⎛⎫⎛⎫--++=-++-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．10.计算：（1）5353432 3.151********⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）15.3-；（2）436-． 【解析】（1）原式()55334231 3.1522 3.15 3.1512122222⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；（2）原式7111111134354854246882424244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+-=-++-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．11.计算：()9585 5.3753117817⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【难度】★★【答案】16． 【解析】原式9589855 5.3753151 5.375379161781717178⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】考察有理数的加减混合运算，注意能简便运算时要简便运算．12．（2019·上海黄浦·八年级课时练习）某红绿灯路口，以每天通过100辆小汽车为标准，超过的小汽车数记为正．测得某周通过该红绿灯路口的小汽车数量与标准量相比的情况如下表：最多，有多少辆？(2)这一周平均每天有多少辆小汽车通过这个红绿灯路口？【答案】(1)星期四经过该红绿灯路口的小汽车最少，为93辆；星期日经过该红绿灯路口的小汽车最多，为113辆；(2)故平均每天有103辆小汽车通过这个红绿灯路口．【分析】（1）分析统计表可得结论；（2）由(8＋5－2－7－6＋10＋13)÷7＋100可得结论..【详解】(1)从统计表格中得出星期四经过该红绿灯路口的小汽车最少，为93辆；星期日经过该红绿灯路口的小汽车最多，为113辆．(2)(8＋5－2－7－6＋10＋13)÷7＋100＝103(辆)，故平均每天有103辆小汽车通过这个红绿灯路口．【点睛】考核知识点：平均数.理解定义和题意是关键.13．（2019·上海·七年级课时练习）阅读下面的文字，并回答问题:1的相反数是﹣1，则1+（﹣1）=0；0的相反数是0，则0+0=0；2的相反数是﹣2，则2+（﹣2）=0，故a,b 互为相反数，则a+b=0;若a+b=0，则a,b 互为相反数。

5.1有理数的意义1.什么是正数？大于0的数是正数，像6,2.5，，1.2%等数叫做正数。

2.什么是负数？小于0的数是负数，（在正数前加上“-”号的数叫做负数），比如：-6，-2.5，-，-1.2%等数。

3.0既不是正数也不是负数4.正数和负数可以表示具有相反意义的量。

比如：盈利50元记作50元，那么亏损50元记作-50元。

5.什么是有理数？整数和分数统称为有理数。

6.判断有理数的方法：可以写成分数形式的数都是有理数。

在我们目前学过的数中，只有无限不循环小数不是有理数。

7．一般有理数有如下两种分类：（1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．（2）5.2数轴1.什么是数轴？规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2.所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴上表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边。

3.什么是互为相反数？只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数。

0的相反数等于它本身。

4.如何表示一个数的相反数？表示一个数的相反数，可以在这个数前添加一个“-”号，比如3的相反数是-3；-3的相反数是-（-3）=3.一般地，数a的相反数表示为-a.5.相反数的特征：（1）一个数相反数的相反数等于这个数本身。

（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

（3）如果两个数互为相反数，它们只是符号不同，它们的和等于0.6.带负号的不一定是负数。

比如-（-2）=2是正数5.3绝对值1.什么是一个数的绝对值？一个数在数轴上所对应的点的距离，叫做这个数的绝对值。

2.如何表示一个数的绝对值？以数a为例，用符号|a|表示数a的绝对值。

3.正数和0的绝对值等于它本身，负数和0的绝对值是它的相反数.4.互为相反数的两个数的绝对值相等。

5.任何一个有理数的绝对值都是非负数。

6.若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等也可能互为相反数。

第01讲 有理数（核心考点讲与练）有理数1．整数和分数统称为有理数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零．7．两个负数，绝对值大的那个数反而小．考点一：正数和负数【例题1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）向东行进–30米表示的意义是（ ） A ．向东行进30米 B ．向东行进–30米 C ．向西行进30米 D ．向西行进–30米【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（ ） A．零是正数不是负数B．零既不是正数也不是负数C．零既是正数也是负数D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数【变式训练2】（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）把收入100记作+100元，则-70元表示_______.【变式训练3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有________________，负数有________________．考点二：有理数的初步认识【例题2】（2018·上海普陀·期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中，错误的有（）①427-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对【变式训练3】（2021·上海·九年级专题练习）在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．【变式训练4】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：13147,3.5, 3.1415,0,,0.03,3,10,1722----自然数集合｛…｝；整数集合｛…｝；正分数集合｛…｝；非正数集合｛…｝；考点三：数轴的画法【例题3】如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0【变式训练】（2021春•金山区期末）数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是．考点四：数轴的实际应用【例题4】如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为．【变式训练】某天检修小组乘坐新能源电动汽车从A地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：km）如下：+10 ﹣4 +3 +2 +3 ﹣8 ﹣2 ﹣12 ﹣8 +5 （1）问收工时检修小组在A地的东面还是西面？距离A地多少千米？（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？考点五：相反数【例题5】若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为．【变式训练】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．考点六：绝对值【例题6】（2021春•杨浦区校级期中）已知|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【变式训练1】已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．【变式训练2】若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值．考点七：非负数的性质【例题7】下列说法正确的是（）A．|x|＜xB．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1【变式训练1】若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．考点八：化简绝对值的结果是（）【例题8】数a和数b在数轴上的位置如图，化简a bA ．-a bB ．b a -C ．a b --D ．+a b【变式训练1】若a ＜0，b ＞0，化简|a|+|2b|﹣|a ﹣b|得（ ） A ．bB ．﹣bC ．﹣3bD ．2a+b【变式训练2】化简：34ππ-+-=________．【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________．【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b －c 0，a ＋b 0，c －a 0. (2)化简：| b －c|＋|a ＋b|－|c －a|考点七：有理数大小比较【例题9】把-（-1）， 23-，45--，0用“>”连接正确的是（ ） A ．0>-（-1）> 45-->23- B ．0>-（-1）> 23->45-- C ．-（-1）>0> 23->45--D ．-（-1）>0> 45-->23- 【变式训练1】如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式训练2】a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是（ ）A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a 【变式训练3】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把各数连接起来：﹣（+4），+（﹣1），|﹣3.5|，﹣2.5．【例1】 a -表示的数一定是（ ） A ．负数B ．正数C ．正数或负数D ．正数或负数或0【例2】 按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）． 【例3】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有 满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【例4】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--， 求它们的大小关系．（用“>”连接）【例5】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数 轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？【例6】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【例7】若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等B ．异号C ．互为倒数D ．0a b ==【例8】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对 值用“<”联结起来．题组A 基础过关练一、单选题1.关于2.2-，下面说法正确的是（ ） A ．是负数，不是有理数 B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数2．（2022·黑龙江龙江·七年级期末）有理数52-的相反数是（ ）A ．52-B ．25-C ．25D ．523．（四川省南充市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）下列有理数中，最小的是（ ）分层提分A ．1100B ．0C ．0.12-D ．2-4．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）在112-，4--， 1.2，2-，0 ，()1--，—60%中，非正数的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．（2022·广东汕尾·七年级期末）下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：A ．哈尔滨B ．大连C ．长春D ．沈阳二、填空题6.3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 7．（2022·河南·无七年级期中）若|m |＝2021，则m ＝______．8．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）23-的相反数是__________，23-的绝对值是________．9．（2021·江苏如东·七年级期中）如果收入2元记为+2，那么支出3元记为________． 10．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）绝对值小于3.14的所有整数是_________；若|a |=2，|b |=5，则|a +b |=______．三、解答题11．（2022·甘肃西峰·七年级期末）在数轴上表示下列各数，并用“<”符号将它们连结起来．-4， 2.5-，3-，112-，()1--，012．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）3225,,0, 3.14, 2.4,,2018, 1.9947-----，(6)--，|12|--（1）正数集合：{ … }； （2）负数集合：{ …}； （3）整数集合；{ …}； （4）分数集合：{ …}．13.把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________．题组B 能力提升练1.若x < 0，则23x x x-=______．2.比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．3.绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______．4.填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 5.如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---．第01讲 有理数（核心考点讲与练）有理数1．整数和分数统称为有理数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零．8．两个负数，绝对值大的那个数反而小．考点一：正数和负数【例题1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）向东行进–30米表示的意义是（ ） A ．向东行进30米 B ．向东行进–30米 C ．向西行进30米 D ．向西行进–30米【答案】C【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答. 【详解】根据题意规定：向东走为 “+”，向西走为“-”，∴向东行进-30米表示的意义是向西行进30米． 故选C【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．零是正数不是负数 B ．零既不是正数也不是负数 C ．零既是正数也是负数D ．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 【答案】B【详解】本题考查的是正、负数的意义根据正、负数的定义即可解答，零既不是正数也不是负数，故A 、C 错误，B 正确，而不是正数的数是0和负数，不是负数的数是0和正数，故D 错误，故选B ．【变式训练2】（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）把收入100记作+100元，则-70元表示_______. 【答案】亏损70元【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:盈利记为正,则亏损就记为负,直接得出结论即可.【详解】商店把盈利100元记作100+元,那么-70元表示:亏损70元. 故答案为:亏损70元.【点睛】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.【变式训练3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有________________，负数有________________．【答案】42.5,,1063+ 621, 1.732, 3.14,,175-----【分析】根据正数与负数的定义判断即可．【详解】根据正负数的定义得：4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有42.5,,1063+，负数有621, 1.732, 3.14,,175-----，0既不是正数也不是负数．故答案为： 正数有42.5,,1063+；负数有621, 1.732, 3.14,,175-----．【点睛】本题主要考查正负数的定义，关键是熟记定义判断即可．考点二：有理数的初步认识【例题2】（2018·上海普陀·期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【答案】D试题分析：整数包括正整数、零、负整数，故A错误；负整数的相反数是正整数，故B错误；有理数除了负数、正数外，还有零，故C错误；故选D．考点：1．有理数的分类；2．相反数．【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中，错误的有（）①427-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题根据有理数的基本定义，对各项进行判定即可求得答案．【详解】①427-是负分数；正确；②1.5不是整数；正确，是分数；③非负有理数不包括0；错误，0也为有理数且为非负；④整数和分数统称为有理数；正确；⑤0是最小的有理数；错误，负数也为有理数；⑥-1是最小的负整数，错误，-1为最大的负整数；∴③⑤⑥三项错误．故选C．【点睛】本题考查了有理数，注意没有最小的有理数．【变式训练2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对【答案】B【解析】本题考查的是有理数的分类根据有理数的定义即可得到结果，正有理数、0、负有理数统称为有理数，故A、C错误，分数和整数统称为有理数，正确，故选B．【变式训练3】（2021·上海·九年级专题练习）在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．【答案】+0.01，120.【分析】根据正有理数的定义解答即可．【详解】正有理数有：+0.01，120.故答案为+0.01，120.【点睛】此题考查有理数，解题关键在于掌握其性质.【变式训练4】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：13147,3.5, 3.1415,0,,0.03,3,10,1722----自然数集合｛…｝；整数集合｛…｝；正分数集合｛…｝；非正数集合｛…｝；【答案】0，10；－7，0，10，42 -；3.5，1317，0.03；－7，－3.1415，0，132－，42-.【分析】先化简，再根据自然数，整数，正分数，非正数的定义可得出答案．【详解】自然数集合：0，10；整数集合：－7，0，10，42 -；正分数集合：3.5，1317，0.03；非正数集合：－7，－3.1415，0，132－，42-.故答案为0，10；－7，0，10，42 -；3.5，1317，0.03；－7，－3.1415，0，132－，42-.【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、自然数、整数、分数、正数、负数、非正数的定义与特点，注意整数和自然数的区别，注意0是整数，但不是正数．考点三：数轴的画法【例题3】如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0【完整解答】﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；故选：C．【变式训练】（2021春•金山区期末）数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是．【完整解答】∵数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，∴点B表示的数小于5．∵5﹣6＝﹣1，∴点B所表示的数是：﹣1．故答案为：﹣1．考点四：数轴的实际应用【例题4】如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为或4 ．【完整解答】设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．所以t+1＝3﹣2t，解得t＝，符合题意．综上所述，t的值为或4．故答案为：或4．【变式训练】某天检修小组乘坐新能源电动汽车从A地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：km）如下：+10 ﹣4 +3 +2 +3 ﹣8 ﹣2 ﹣12 ﹣8 +5 （1）问收工时检修小组在A地的东面还是西面？距离A地多少千米？（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？【完整解答】（1）+10+（﹣4）+3+2+3+（﹣8）+（﹣2）+（﹣12）+（﹣8）+5＝﹣11（km），∴收工时检修小组在A地的西面，距离A地11千米；（2）（10+4+3+2+3+8+2+12+8+5）×0.2＝11.4（度），∴这天共耗电11.4度．考点五：相反数【例题5】若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为．【完整解答】∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，当a+b＝0时，原式＝a+b﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式训练】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．【完整解答】（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；（3）如图所示：故答案为：B；C．考点六：绝对值【例题6】（2021春•杨浦区校级期中）已知|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【完整解答】∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a≤0，b≤0，c≥0，∴a+b≤0，c﹣b≥0，a﹣c≤0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．【变式训练1】已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．【完整解答】令2x+6＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，解得：x＝﹣3，x＝1，x＝﹣1．当x＜﹣3时，则y＝﹣2x﹣6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣7x﹣9，则没有最小值；当﹣3≤x≤﹣1时，则y＝2x+6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣3x+3，则最小值为6；当﹣1≤x＜1时，则y＝2x+6﹣x+1+4x+4＝5x+11，则最小值为6；当x≥1时，则y＝2x+6+x﹣1+4x+4＝7x+9，则最小值为16；故y的最小值为6．【变式训练2】若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值．【完整解答】∵|a﹣3|+|b﹣2|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2．考点七：非负数的性质【例题7】下列说法正确的是（ ） A ．|x |＜xB ．若|x ﹣1|+2取最小值，则x ＝0C ．若x ＞1＞y ＞﹣1，则|x |＜|y |D ．若|x +1|≤0，则x ＝﹣1【完整解答】A 、当x ＝0时，|x |＝x ，故此选项错误，不符合题意；B 、∵|x ﹣1|≥0，∴当x ＝1时，|x ﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C 、∵x ＞1＞y ＞﹣1，∴|x |＞1，|y |＜1，∴|x |＞|y |，故此选项错误，不符合题意；D 、∵|x +1|≤0，|x +1|≥0，∴x +1＝0，∴x ＝﹣1，故此选项正确，符合题意． 故选：D ．【变式训练1】若|x ﹣1|+|y +2|＝0，求（x ﹣1）（y +2）的值． 【完整解答】∵|x ﹣1|+|y +2|＝0， ∴x ﹣1＝0，y +2＝0， ∴（x ﹣1）（y +2） ＝0．考点八：化简绝对值【例题8】数a 和数b 在数轴上的位置如图，化简a b -的结果是（ ）A ．-a bB ．b a -C ．a b --D ．+a b【答案】B【分析】由数a 和数b 在数轴上的位置可知00a b ，，可得0a b -<，利用绝对值定义a b -化去绝对值符号，再去括号即可．【详解】解：数a 和数b 在数轴上的位置可知00a b ，， ∴0a b -<，∴()a b a b b a -=--=-． 故选择：B ．【变式训练1】若a ＜0，b ＞0，化简|a|+|2b|﹣|a ﹣b|得（ ） A ．b B ．﹣b C ．﹣3b D ．2a+b【答案】A【解析】a ＜0, b ＞0, a ﹣b<0，∴|a |+|2b |﹣|a ﹣b |=-a +2b +(a-b )=b,选A.【变式训练2】化简：34ππ-+-=________． 【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1， 故答案为：1．【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________．【答案】a －b ＋c【详解】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可，即可由图可知，c ＜b ＜0＜a ，可求c+b ＜0，b-a ＜0，因此原式=-b+c+b+a-b=a+c-b. 故答案为a+c-b.【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b －c 0，a ＋b 0，c －a 0. (2)化简：| b －c|＋|a ＋b|－|c －a| 【答案】（1）<,<, >;（2）-2b【分析】（1）根据数轴得出a<0<b<c ，|b|<|a|<|c|，即可求出答案； （2）去掉绝对值符号，合并同类项即可．【详解】(1)∵从数轴可知：a<0<b<c ，|b|<|a|<|c|， ∴b −c<0，a+b<0，c −a>0， (2)∵b −c<0，a+b<0，c −a>0，∴|b −c|+|a+b|−|c −a|=c −b+(−a −b)−(c −a)=c −b −a −b −c+a=−2b.考点七：有理数大小比较【例题9】把-（-1）， 23-，45--，0用“>”连接正确的是（ ） A ．0>-（-1）> 45-->23- B ．0>-（-1）> 23->45-- C ．-（-1）>0> 23->45-- D ．-（-1）>0> 45-->23- 【答案】C【分析】先化简各个式子，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：∵-（-1）=1，4455--=-，2233-=，4455-=， ∴-（-1）>0> 23->45--． 故选：C ．【变式训练1】如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C【分析】根据数轴上的各数右边的数总比左边的大进行比较即可． 【详解】因为数轴上的数右边的总比左边的大， 所以从左到右把各字母用“＜”连接为：b<a<c ． 故选C ．【变式训练2】a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是（ ）A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a 【答案】B【分析】根据a 、b 在数轴上的位置，可对a 、b 赋值，然后即可用“＜”连接． 【详解】解：令a ＝﹣0.8，b ＝1.5，则﹣a ＝0.8，﹣b ＝﹣1.5， 则可得：﹣b ＜a ＜﹣a ＜b ． 故选：B ．【变式训练3】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把各数连接起来：﹣（+4），+（﹣1），|﹣3.5|，﹣2.5． 【答案】﹣（+4）＜﹣2.5＜+（﹣1）＜|﹣3.5|试题分析：先把每个数化为最简，画数轴，描点,比较大小. 试题解析：﹣（+4）=-4，+（﹣1）=-1，|﹣3.5|=3.5，﹣2.5. 在数轴上表示为：，﹣（+4）＜﹣2.5＜+（﹣1）＜|﹣3.5|.【例9】 a -表示的数一定是（ ） A ．负数B ．正数C ．正数或负数D ．正数或负数或0【难度】★★★ 【答案】D【解析】因为a 有可能为正数、负数、0，则a -可能是正数或负数或0． 【总结】考察正负数的意义．【例10】 按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数 个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．【例11】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有 满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ． 因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例12】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--， 求它们的大小关系．（用“>”连接）【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．【例13】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数 轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？【难度】★★★ 【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例14】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．【例15】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等B ．异号C ．互为倒数D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例16】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对 值用“<”联结起来．【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．题组A 基础过关练一、单选题1.关于2.2-，下面说法正确的是（ ） A ．是负数，不是有理数 B ．不是分数，是有理数 C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．2．（2022·黑龙江龙江·七年级期末）有理数52-的相反数是（ ） A ．52-B ．25-C ．25D ．52【答案】D【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可； 【详解】解：有理数52-的相反数是52；故选：D【点睛】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．分层提分3．（四川省南充市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）下列有理数中，最小的是（）A．1100B．0 C．0.12-D．2-【答案】D【分析】正数0>>负数；其中1100>，而0.122--、为负值；并且0.120.12-=，22-=；20.12>，故有0.122->-；将四个有理数进行排序，进而可得最小值．【详解】解：由题意知1100>，0.122--、为负值；0.120.12-=，22-=且20.12>0.122∴->-100.122100∴>>->-故选D．【点睛】本题考察了有理数的大小比较．解题的关键在于判断有理数的正负、负数绝对值的大小．有理数大小比较的法则：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小．4．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）在112-，4--， 1.2，2-，0，()1--，—60%中，非正数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】根据有理数的分类以及正负数的意义判断即可．【详解】112-，4--， 1.2，2-，0，()1--，—60%中非正数有112-，4--，2-，0，—60%，共5个．故选：D．【点睛】本题考查了正负数的定义以及非正数的概念，将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“-”，如果有“-”就是负数，否则是正数；非正数指的是负数和0．5．（2022·广东汕尾·七年级期末）下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：A ．哈尔滨B ．大连C ．长春D ．沈阳【答案】A【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 +7℃＞4℃＞0℃＞-3℃， ∴平均气温最低的城市是哈尔滨． 故选：A ．【点睛】本题考查有理数大小的比较，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 二、填空题6.3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______．【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．7．（2022·河南·无七年级期中）若|m |＝2021，则m ＝______． 【答案】±2021【分析】根据绝对值的意义可直接进行求解． 【详解】解：因为|m |=2021， 所以m =±2021． 故答案为：±2021．【点睛】本题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 8．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）23-的相反数是__________，23-的绝对值是________．【答案】23-23【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个负数的绝对值.【详解】解：2233-=，23的相反数是23-，23-的绝对值是23．故答案为（1）23-；（2）23．【点睛】本题考查了相反数、绝对值的定义.a的相反数是a-，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．9．（2021·江苏如东·七年级期中）如果收入2元记为+2，那么支出3元记为________．【答案】-3【分析】根据负数的意义，可得收入记为“+”，则支出记为“-”，所以支出3元记为-3．【详解】解：如果收入2元记为+2，那么支出3元记为-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了负数的意义及其应用，要熟练掌握，解题的关键是要明确：收入记为“+”，则支出记为“-”．10．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）绝对值小于3.14的所有整数是_________；若|a|=2，|b|=5，则|a+b|=______．【答案】3±，2±，±1，0 3或7【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得到答案．【详解】解：绝对值小于3.14的所有整数是：±3，±2，±1，0；∵|a|=2，|b|=5，∴a=±2，b=±5，当a=2，b=5时，|a+b|=|2+5|=7，当a=2，b=-5时，|a+b|=|2+（-5）|=3，当a=-2，b=5时，|a+b|=|-2+5|=3，当a=-2，b=-5时，|a+b|=|-2+（-5）|=7，故答案为：±3，±2，±1，0；3或7．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟知绝对值的意义是解题的关键：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．三、解答题。

六年级下学期数学主要包括以下几个章节：1.简便计算2.运算的应用3.数据的处理4.图形的认识与探索5.分数的认识和计算6.面积的认识和计算7.算式变形下面，我们逐个章节来进行知识点梳理。

1.简便计算：-用乘法算除法，如：13÷4×5=(13×5)÷4=65÷4=16余1-整数相乘、相除，如：(-6)×(-4)=24，(-6)÷(-3)=2-倍数与因数，如：42是6的倍数，6是42的因数-正数与负数的计算，如：6+(-4)=6-4=22.运算的应用：-解决问题，运用运算法则，如：小猴子爬树问题，分步运算得出结果-利用运算法则推理解决问题，如：通过已知的关系和条件推理出未知的数量3.数据的处理：-数据分类，如：按时间、地点、物品等对数据进行分类整理-数据统计，如：制作表格、条形图、折线图等对数据进行统计和表示-数据分析，如：观察数据图形，分析和推理相关情况4.图形的认识与探索：-图形特征，如：线段、角、面，通过观察和分析图形特点进行认识-图形的分类，如：三角形、四边形、多边形等-图形的运动，如：平移、旋转、翻转等-图形的坐标，如：直角坐标系中的点的坐标表示方法5.分数的认识和计算：-分数的基本概念，如：分数的比较大小、分数的读法、分数的意义等-分数的计算，如：分数的加减乘除运算，分数与整数的四则运算-分数的应用问题解决，如：比较分数大小、分数的约分与通分、分数的四则混合运算6.面积的认识和计算：-面积的基本概念-面积的计算，如：长方形的面积公式、平行四边形、三角形的面积公式-面积的应用问题解决，如：图形组合的面积计算、面积的单位转换7.算式变形：-翻倍法则，如：(20+15)×4=((10+10)+15)×4=(10×4)+(10×4)+(15×4)=40+40+60=140 -分配律，如：9×(43+62)=9×43+9×62=387+558=945。

第11讲线段的相等与和、差、倍（核心考点讲与练）一．线段的性质：两点之间线段最短线段公理两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．二．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．三．比较线段的长短（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．一．线段的性质：两点之间线段最短（共3小题）1．（2022•石家庄模拟）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线l1、l2、l3、l4，如图所示，则从家到书店的最短路线是（）A．l1B．l2C．l3D．l4【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：∵两点之间线段最短，∴从家到书店的最短路线是l2，故选：B．【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．2．（2021秋•霸州市期末）如图，下列说法不正确的是（）A．直线m，n相交于点P B．直线m不经过点QC．PA+PB＜QA+QB D．直线m上共有三个点【分析】根据三角形的三边关系、结合图形判断即可．【解答】解：A、直线m与直线n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；B、直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意；C、在△ABQ中，AB＜QA+QB，∴PA+PB＜QA+QB，本选项说法正确，不符合题意；D、直线m上有无数个点，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是点与直线的位置关系、三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（2021秋•两江新区期末）下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②倒数等于它本身的数是﹣1、0、1；③不能作射线OA的延长线；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝±3．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义进行判断即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，符合题意；②倒数等于它本身的数是﹣1、1，不符合题意；③不能做射线OA的延长线，只能做射线OA的反向延长线，符合题意；④若|a|＝|b|，则a＝±b，不符合题意；⑤方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，则m＝﹣3，不符合题意，正确的个数有2个．故选：A．【点评】本题考查了线段公理、倒数的定义、绝对值的定义，一元一次方程的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．二．两点间的距离（共6小题）4．（2021秋•沂水县期末）已知射线OP，在射线OP上截取OC＝10cm，在射线CO上截取CD＝6cm，如果点A、点B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于2cm．【分析】根据OC、CD和中点A、B求出AC和BC，利用AB＝AC﹣BC即可．【解答】解：如图所示，∵OC＝10cm，CD＝6cm，点A、点B分别是线段OC、CD的中点，∴AC＝5，BC＝3，∴AB＝AC﹣BC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线段的和差计算，能准确画出对应的图形是解题的关键．5．（2021秋•和平县期末）在直线MN上取A、B两点，使AB＝10cm，再在线段AB上取一点C，使AC＝2cm，P、Q分别是AB、AC的中点，则PQ＝4cm．【分析】画出大致示意图进行解题即可【解答】解：如图，∵AB＝10cm，P为AB的中点∴AP＝PB＝5cm∵AC＝2cm，∴CP＝3cm∵Q为AC的中点∴QC＝AQ＝1cm∴PQ＝QC+CP＝1+3＝4cm故答案为：4【点评】此题主要考查两点间的距离（线段长度）计算，此类题目，通常利用图形结合进行解题．6．（2019秋•阳谷县期中）已知在数轴上的点A、B、C分别代表﹣2、﹣1.5、2.1这三个数，原点为O．（1）分别求线段OA、BC的长度；（2）求BC的中点D对应的数；（3）求点B关于点C的对称点E对应的数．【分析】（1）根据两点间的距离即可得到结论；（2）根据线段中点的定义即可得到结论；（3）根据中心对称的性质即可得到结论．【解答】解：（1）OA＝|﹣2﹣0|＝2；BC＝|2.1﹣（﹣1.5）|＝3.6；（2）BC中点D对应的数为＝0.3；（3）点B关于点C的对称点E对应的数2.1+[2.1﹣（﹣1.5）]＝5.7．【点评】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键．7．（2021春•浦东新区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．请把下面的解题过程补充完整：解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：因为点D是线段AB的中点，所以DB＝AB；因为点E是线段BC的中点，所以BE＝BC；因为DE＝DB﹣BE，所以DE＝AB﹣BC＝AC；因为AC＝6，所以DE＝3．故答案为：AB，BC，AB，BC，AC，3．【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．8．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．9．（2021秋•南丹县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上一点，DB＝BC，若线段AC＝6，则CD＝4．【分析】根据中点的定义可求线段BC＝AC＝6，再根据DB＝BC可求DB，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴BC＝AC＝6，∵DB＝BC，∴DB＝2，∴CD＝BC﹣DB＝6﹣2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．三．比较线段的长短（共4小题）10．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．11．（2020秋•丹阳市期末）点A、B、C在直线l上，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，EF＝5cm或1cm．【分析】因为A、B、C三点位置不明确，分点B在A、C之间和点A在B、C之间两种情况讨论，①根据中点定义先求出BE、BF的长，BE+BF＝EF；②根据中点定义先求出BE、BF的长，BF﹣BE＝EF．【解答】解：如图，∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是AB中点，点F是BC的中点，∴BE＝AB＝2cm，BF＝BC＝3cm，①点B在A、C之间时，EF＝BE+BF＝2+3＝5cm；②点A在B、C之间时，EF＝BF﹣BE＝3﹣2＝1cm．∴EF的长等于5cm或1cm．故答案为：5cm或1cm．【点评】本题利用线段中点定义，需要分两种情况讨论．12．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．13．（2010秋•瑞金市期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置；（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC∵PD＝2AC，∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ＝PQ，∴AQ＝PQ+BQ；又AQ＝AP+PQ，∴AP＝BQ，∴，∴．当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP＝PQ'所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB所以＝1；（3）②．理由：当CD＝AB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30①如图，当M，N在点P的同侧时MN＝PN﹣PM＝PD﹣（PD﹣MD）＝MD﹣PD＝CD ﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝②如图，当M，N在点P的异侧时MN＝PM+PN＝MD﹣PD+PD＝MD﹣PD＝CD﹣PD＝（CD﹣PD）＝CP＝∴＝＝当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，＝．【点评】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．四．线段的和差（共4小题）14．（2020秋•柳南区校级期末）如图，已知线段AC＝7cm，AD＝2cm，C为线段DB的中点，则线段AB＝12cm．【分析】根据线段的和差和，线段中点的定义，即可得到结论．【解答】解：∵AC＝7cm，AD＝2cm，∴CD＝AC﹣AD＝5cm，∵C为线段DB的中点，∴BC＝CD＝5cm，∴AB＝AC+BC＝7+5＝12（cm），答：线段AB＝12cm，故答案为：12．【点评】本题主要考查了线段的和差，线段的中点的定义，掌握中点的定义是解本题的关键．15．（2020秋•虎林市期末）如图，C是线段AB上的一点，M是AB的中点，N是CB的中点，若AB ＝16，CB＝6．线段MN的长．【分析】根据已知条件M是AB的中点，N是CB 的中点，可得MB和BN的长度，根据MN＝MB﹣BN，代入计算即可得出答案．【解答】解：因为M是AB的中点，N是CB的中点，若AB＝16，CB＝6，所以MB＝＝，BN＝，所以MN＝MB﹣BN＝8﹣3＝5．【点评】本题主要考查了两点的距离，熟练应用两点间的距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．16．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．（1）若BC＝8，求DC的长；（2）若DE＝6，求AC的长．【分析】（1）根据线段之间的和差关系及线段中点的性质求解即可；（2）结合图形易得AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，再根据线段中点的性质推出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，进而根据线段之间的和差关系求解即可．【解答】解：（1）∵BC＝8，∴AB＝BC＝×8＝6，∴AC＝AB+BC＝6+8＝14，∵点D是线段AC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×14＝7；（2）∵AB＝BC，∴AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，∴DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣BC＝BC＝6，解得BC＝16，∴AC＝×16＝28．【点评】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找各线段之间的和差关系．17．（2021秋•汝阳县期末）已知在数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧．线段BC的长度为2个单位，线段BC在数轴上移动．（1）如图在（1）中图BC位置情况下，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b的值．【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，联立方程求得b的数值即可；（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣OB＝AB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）由题意得：9﹣（b+2）＝b，解得：b＝3.5．答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．（2）由题意得：①9﹣（b+2）﹣b＝（9﹣b），解得：b＝．②9﹣（b+2）+b＝（9﹣b），解得：b＝﹣5，答：若AC﹣OB＝AB，满足条件的b值是或﹣5．【点评】本题考查了线段的和差，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共7小题）1．（2019春•虹口区期末）已知线段AB，反向延长AB到C，使AC＝AB，AC＝2cm，则BC等于（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：如图，∵AC＝AB，AC＝2cm，∴AB＝6cm，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8（cm），故选：C．【点评】本题考查了两点之间的距离，解决本题的关键是画出图形．2．（2019春•松江区期末）如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（）A．AC＝CB B．BC＝2CD C．AD＝2CD D．CD＝AB【分析】根据线段的中点定义可得到线段之间的关系，对各选项分析后即选出答案．【解答】解；∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB＝AB，故A正确；∵点D是CB的中点，∴BC＝2CD＝2DB，故B正确；∵CB＝AB，BC＝2CD∴CD＝AB，故D正确；∴只有C错误；故选：C．【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是正确理解中点的定义．3．（2020秋•罗湖区校级期末）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么点A与点C之间的距离是（）A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm【分析】由于点A、B、C都是直线l上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC＝AB+BC，代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．【解答】解：∵点A、B、C都是直线l上的点，∴有两种情况：①如图，当B在AC之间时，AC＝AB+BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB+BC＝8cm；②如图，当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，而AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝AB﹣BC＝2cm．点A与点C之间的距离是8或2cm．故选：C．【点评】在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．4．（2017秋•洪山区期末）已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB，那么线段AC是线段DB的（）倍．A．B．C．D．【分析】熟悉线段的概念和定义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．【解答】解：根据题意：AC＝2BC，得：AB＝BC，又DA＝2AB，则DB＝DA+AB＝3AB，又AC ＝2BC＝2AB．则AC是线段DB的倍．故选：A．【点评】能用同一条线段表示两条线段，从而找到它们的关系．5．（2015春•浦东新区校级月考）下列说法错误的有（）（1）两点之间，直线最短；（2）延长线段AB到C，使得BC＝2AC；（3）画射线AB＝2厘米；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据两点间的距离，即可解答．【解答】解：（1）应为两点之间，线段最短，故错误；（2）应为延长线段AB到C，使得AC＝2BC，故错误；（3）应为画线段AB＝2厘米，故错误；（4）在射线AC上截取线段BC＝2厘米，正确；错误的有3个，故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟记两点间的距离．6．（2021秋•江油市期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（）A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，故选：D．【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．7．（2021秋•八公山区期末）已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（）A．20B．30C．40D．20或40【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD或CD＝BC+BD，可得出答案．【解答】解：∵AB＝60，C是AB的中点，∴BC＝AB＝30，又∵E为BD的中点，EB＝5，∴BD＝2EB＝10，∴CD＝CB﹣BD＝30﹣10＝20，或CD＝CB+BD＝30+10＝40．故选：D．【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．二．填空题（共13小题）8．（2021秋•太康县期末）如图，AC＝12cm，AB＝5cm，点D是BC的中点，那么CD＝cm．【分析】首先根据线段的和差求出BC的长，再利用线段的中点可得CD．【解答】解：∵AC＝12cm，AB＝5cm，∴BC＝AC﹣AB＝7cm，∵点D是BC的中点，∴CD＝BC＝cm．故答案为：．【点评】本题考查线段的和差，掌握线段中点的定义是解题关键．9．（2021春•杨浦区期末）若线段AB＝6cm，反向延长AB到C，使BC＝4AC．则AC＝2cm．【分析】先设出AC的长度，然后列出关于AC长度的方程，求出AC即可．【解答】解：设AC的长为x，则：x+6＝4x，解得x＝2，∴AC的长度为2cm，故答案为2．【点评】本题主要考查线段的知识，我们清楚的知道什么是延长，什么是反向延长，还有理解线段的和与差的含义．10．（2019春•黄浦区期末）延长线段AB到C，使BC＝AB＝2cm，则AC＝6cm．【分析】根据BC与AB的关系，可得BC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由BC＝AB，若AB＝4cm，由线段的和差，得AC＝AB+BC＝2+4＝6cm；故答案为：6．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段BC与AB的关系得出BC的长是解题关键，又利用了线段的和差．11．（2021春•宝山区期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且AD＝CB，如果AB＝5cm，CD＝1cm，那么BD的长等于2cm．【分析】根据AD＝CB，得出AC＝BD，再根据AB＝5cm，CD＝1cm求出BD．【解答】解：∵AD＝CB，∴AD﹣CD＝CB﹣CD，即AC＝BD，∵AB＝5cm，CD＝1cm，∴BD＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键．12．（2020春•浦东新区期末）如图，C、D两点是线段AB的三等分点，点M、N分别是线段AC、BD的中点，则MN＝AB．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．13．（2019秋•崇明区期末）已知线段AB＝8cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，那么线段AC 的长4﹣4cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．14．（2020春•嘉定区期末）如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．【解答】解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，∴MN：AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．15．（2019秋•东阳市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝4，则BD长度是2．【分析】先根据AB＝4，BC＝2AB求出BC的长，故可得出AC的长，再根据D是AC的中点求出AD的长度，由BD＝AD﹣AB即可得出结论．【解答】解：∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8．∴AC＝AB+BC＝12．∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝6．∴BD＝AD﹣AB＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．16．（2010秋•闵行区期末）已知点P在线段AB上，AP＝4PB，那么PB：AB＝1：5．【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题．【解答】解：如图，∵AP＝4PB，那么PB：AB＝PB：（AP+PB）＝PB：5PB，∴那么PB：AB＝1：5．故答案为1：5．【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．17．（2010春•黄浦区校级期末）如图，M是AC的中点，N是BC的中点，则＝2．【分析】根据M是AC的中点，求MC，N是BC的中点，求CN，由MN＝MC+CN求MN与AB的关系，再求比值．【解答】解：∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MC＝AC，CN＝CB，∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝AB，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了比较线段的长短．关键是由中点求MC与AC，CN与CB的大小关系．18．（2021秋•大同期末）如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点．若AD＝8，则CE的长为2．【分析】根据线段中点的定义，可得AC＝CD＝DB＝4，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后CE＝AE﹣AC．【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段AB的中点，∴AD＝AC+CD＝8．AC＝CD＝DB＝4，∴AB＝12，AE＝AB＝6，则CE＝AE﹣AC＝6﹣4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．19．（2021秋•滨城区期末）如图，点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是两点之间，线段最短．【分析】依据线段的性质，即可得出结论．【解答】解：点A、B在直线l上，点C是直线l外一点，可知CA+CB＞AB，其依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．20．（2021春•虹口区校级期末）已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，如果AB＝3cm，则BC＝3cm 或9cm．【分析】已知直线AB上有一点C，AC＝2AB，有两种可能，一种是C在与B在A的两侧，此时BC ＝AB+AC，由于AC＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，据此可求出BC；一种是C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于AC＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，据此可求出BC．【解答】解：如图，有两种情况：C在与B在A的两侧时，BC＝AB+AC，由于A＝2AB，因此，BC＝3AB，AB＝3cm，因此BC＝3AB＝3×3＝9（cm）．C在与B在A的同侧，此时BC＝AC﹣AB，由于A＝2AB，因此，BC＝AB，AB＝3cm，因此BC＝AB＝3（cm）．故答案为：9cm或3cm．【点评】本题考查了线段的计算，注意，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共3小题）21．（2020秋•丘北县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC：CB＝2：5，AB＝28，若点D是线段AC的中点，求线段BD的长．【分析】根据按比例分配，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得CD的长，最后BD＝CD+BC解答即可．【解答】解：设AC＝2x，BC＝5x，则2x+5x＝28，解得：x＝4，∴AC＝8，BC＝20，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∴BD＝CD+BC＝4+20＝24．【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，一元一次方程的应用，利用按比例分配得出BC和CD的长是解题关键．22．（2021春•杨浦区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段AB上一点，且CD＝，若AD＝4，求AB长度．【分析】设CD＝x，则BD＝3x，根据线段中点的性质表示AD的长（分两种情况），列方程进行计算可得结论．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵点D是线段AB上一点，且CD＝，∴设CD＝x，则BD＝3x，∴AD＝4x+x＝5x或AD＝3x﹣x﹣x＝x，∵AD＝4，∴5x＝4或x＝4，∴x＝或4，∴AB＝或16．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．23．（2021春•浦东新区月考）如图，已知B、C在线段AD上．（1）图中共有6条线段；（2）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC＝BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6．（2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故答案为：＝．②∵BD＝4AB，AB＝CD，∴BC＝3AB，∵BC＝12，∴AB＝4，∴AD＝AB+BD＝4+4×4＝20（cm），【点评】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．题组B 能力提升练一．填空题（共8小题）1．（2021春•虹口区校级期末）线段AB被点M分成了1：2两段，同时又被点N分成了3：2两段，MN＝4cm，则线段AB的长为15或60cm．【分析】根据题意M的位置是有两种可能性的，N的位置也有两种可能性，因此需要分4种情况每种情况具体分析才能得出最后的结果．【解答】解：①AM：BM＝1：2，AN：BN＝3：2时（图1），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．②AM：BM＝1：2，AN：BN＝2：3时（图2），设AM＝x，则BM＝2x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，x＝20cm，∴AB＝3x＝60cm．③AM：BM＝2：1，AN：BN＝2：3时（图3），设AM＝2x，则BM＝x，则AB＝3x，∵AN：BN＝2：3，∴，∴，∴x＝5cm，∴AB＝15cm．④AM：BM＝2：1，AN：BN＝3：2时（图4），设AM＝2x，则BM＝x，∴AB＝3x，∵AN：BN＝3：2，∴，∴，∴x＝20cm，∴AB＝60cm，综上，AB＝15或60cm．故答案为：15或60．【点评】本题难点是分类讨论，对于此类题目在进行分类讨论时要做到不重不漏，才能得出正确结果．2．（2021春•奉贤区期末）如图，已知BD＝16cm，BD＝AB，点C是线段BD的中点，那么AC＝32cm．【分析】先由BD＝16cm，BD＝AB知AB＝BD＝40cm，再由点C是线段BD的中点知BC＝BD＝8cm，根据AC＝AB﹣BC求解可得答案．【解答】解：∵BD＝16cm，BD＝AB，∴AB＝BD＝×16＝40（cm），又∵点C是线段BD的中点，∴BC＝BD＝8cm，则AC＝AB﹣BC＝40﹣8＝32（cm），故答案为：32．【点评】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差计算及线段的中点的性质．3．（2021春•浦东新区期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝5cm．【分析】由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝15cm，BC＝AB 代入即可得AB的值，根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：∵AB＝15cm，BC＝AB＝5cm，∴AC＝AB+BC＝15+5＝20（cm）；∵点O是线段AC的中点，∴CO＝AC＝×20＝10（cm），∴OB＝CO﹣BC＝10﹣5＝5（cm）．故答案为：5cm．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．4．（2020秋•工业园区期末）已知点A、B、C在同一直线上，AB＝12cm，BC＝AC．若点P为AB 的中点，点Q为BC的中点，则PQ＝ 4.5或9cm．【分析】分类讨论点C在AB上，点C在AB的延长线上，根据线段的中点的性质，可得BP、BQ 的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点C在线段AB上，如图1：∵AB＝AC+BC，BC＝AC，∴AB＝3BC+BC＝4BC又∵AB＝12cm，∴BC＝3cm，∵点P是线段AB的中点，点Q是线段BC的中点，∴PB＝AB＝6cm，QB＝CB＝1.5cm，∴PQ＝BP﹣BQ＝6﹣1.5＝4.5cm；（2）点C在线段AB的延长线上，如：∵AB＝AC﹣BC，BC＝AC，。

沪教数学六年级下册知识点沪教版数学六年级下册的知识点涵盖了多个数学领域，包括但不限于以下几个主要部分：1. 数与代数- 整数的认识：理解整数的概念，掌握整数的比较大小和基本运算。

- 分数的加减法：学习分数的基本概念，掌握分数的加减运算规则。

- 比例：理解比例的意义，学习比例的基本性质和应用。

2. 几何与图形- 平面图形：认识和理解常见的平面图形，如三角形、四边形、圆等。

- 图形的对称性：学习图形的对称轴，掌握对称图形的识别和绘制。

- 面积的计算：学习不同图形的面积计算方法，如三角形、平行四边形、圆等。

3. 统计与概率- 数据的收集与整理：学习如何收集数据，并对数据进行分类和整理。

- 条形统计图：理解条形统计图的绘制方法和意义。

- 可能性：初步了解概率的概念，学习可能性的计算方法。

4. 实践与应用- 解决实际问题：将数学知识应用到实际生活中，解决相关问题。

- 数学建模：初步了解数学建模的概念，尝试用数学方法解决实际问题。

5. 数学思维与方法- 逻辑推理：培养逻辑思维能力，学习如何通过推理解决问题。

- 问题解决策略：学习不同的问题解决策略，如画图、列表等。

6. 数学文化与历史- 数学在日常生活中的应用：了解数学在日常生活中的重要性和应用。

- 数学史上的重要人物和事件：了解一些数学史上的重要人物和事件，增加对数学的兴趣。

通过这些知识点的学习，学生不仅能够掌握数学的基础知识，还能培养解决问题的能力，提高数学思维和创新能力。

数学是一门基础学科，对于学生未来的学习和生活都有着重要的影响。

希望每位学生都能在数学的学习中找到乐趣，不断进步。

有理数（一）知识储备1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

2.有理数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3.数轴：（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。

（2）意义：任意有理数都可以用数轴上的点来表示； 任意数轴上的点都可以用来表示有理数；（3）用数轴比较有理数的大小：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。

4.相反数（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

（2）性质：任何一个数都有相反数，并且只有一个相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

互为相反数的两个数的和为0. a 与b 互为相反数，则a+b=0.（3）几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

5.绝对值在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫这个数的绝对值。

0)(a a - 0)(a 0 0)(a a ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=a 不论有理数a 取何值，它的绝对值总是非负，即0≥a6.倒数乘积为1的两个数互为倒数。

a 与b 互为倒数，则ab=1. 注意：倒数是它本身的数有1和-1. 7.有理数大小比较正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

8.有理数的加减交换律 a b b a +=+ a b b a +-=- 结合律 ()()c b a c b a ++=++ 9.理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘法交换律:ab=ba; 乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc). 乘法分配律:a(b+c)=ab+ac; 几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数. 10.有理数的除法除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数:a ÷b=a ×b1(b 为不等于0的数). 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0. 11.乘方的有关概念．(1)求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方， a n读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．(2)乘方的意义：a n表示n 个a 相乘．nan a a a a a =⨯⨯⨯⨯个12 .a n 与－a n的区别．(1)a n表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．(2)－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 13.乘方运算的符号规律．(1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0． 14.有理数混合运算法则(1) 先乘方，再乘除，最后加减。

一、有理数1.有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，可以表示为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。

2.有理数的大小比较：可以利用数轴、相反数、绝对值等概念比较大小。

3.有理数的加减法：有理数的加法和减法可以转化为同号数的加减法计算，异号数的加减法则转化为同号数的减法。

4.有理数的乘法和除法：有理数的乘法和除法可以转化为分数乘法和除法的运算，要注意数的正负性和零的处理。

5.小数的运算：包括加减乘除四则运算，实际问题和解决办法。

6.有理数的乘方：有理数的乘方运算，可以利用数轴、数表以及乘法规则进行计算。

二、图形与空间1.三角形：认识三角形的定义、分类和性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形等；通过已知条件判断三角形的形状和性质。

2.四边形：认识四边形的分类和性质，包括矩形、平行四边形、菱形等；通过已知条件判断四边形的形状和性质。

3.圆形与圆环：了解圆周率π的概念和计算方法，掌握圆形和圆环的求周长和面积的公式。

4.三维图形：了解三维图形的概念和表示方法，掌握长方体、正方体的计算方法和表达方式。

三、数据与概率1.数据的收集和整理：学习如何收集和整理数据，如制表、统计等概念和方法。

2.数据的分析与表示：学习如何从数据中找出规律和趋势，可以通过柱状图、折线图等图表进行数据的可视化表示和分析。

3.排列组合：学习排列和组合的基本概念和计算方法，应用于实际问题中，如计算选择、组队等。

4.概率的认识和计算：了解概率的基本概念和计算方法，包括事件发生的可能性和计算百分比。

四、应用题解决思路1.阅读理解：通过阅读理解题目中的信息，理解问题的要求以及解题的思路和方法。

2.口算技巧：通过一些简便的口算技巧，快速解决一些运算问题。

3.逻辑推理：通过分析问题的条件和要求，采用逻辑推理思维解决问题。

4.转化问题：通过转化问题的方式，将复杂的问题简化为简单的问题，然后逐步解决。

5.实际问题解决：将数学知识运用到实际生活中的问题解决，培养数学思维和创造力。