期权定价培训

其中，dz 是一个标准布朗运动，a、b是变量 x 和 t的 函数，变量x的漂移率为 a ，方差率为 b2。
K.Ito(随机分析简介)
随机分析学是概率论的一个重要分支,它诞生于20世纪40 年代, 创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖.在对获奖工作的评价中写到: “他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.它提供的支配自然现 象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程。.……。 其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是 近代纯粹与应用概率论的基石.
假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管 这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于 投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
风险中性定价原理: 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益 率都可以等于无风险利率 r，所有现金流量都可以通过无风险利率 进行贴现求得现值。
3、几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而 不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。
在短时间 t后，证券价格比率的变化值 为S：
S t t
S
S
可见， S也具有正态分布特征，其均值为 S
差为 ，t 方差为 。2 t
，标t准
也就是说 S ~ (t, t )
S
其中 (m,表s)示均值为 m ，标准差为 s 的正态分布。
因此，z（T）- z（0）也具有正态分布特征，其均值为0， 方差为 N Δt =T，标准差 T 。
普通布朗运动
若变量 x 遵循普通布朗运动： dx adt bdz
其中：1、a和b均为常数，dz 遵循标准布朗运动。 2、a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量 z 均值的变化值。 3、b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率
为μS、方差率为 S22 的伊藤过程来表示：
dS Sdt Sdz
两边同除以S得： dS dt dz
S
该随机过程又可以称为几何布朗运动。其中 S 表示证券价格，μ
表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益
率）， 表示证2券收益率瞬间的方差， 表示证券收益率瞬间的
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中， 只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量 从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率 分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是 一致的。
布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对 完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。
2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、不存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
由于证券价格 S 遵循几何布朗运动，有： dS Sdt Sdz
对（8）右边求值是一种积分过程，结果为：
c SN (d1 ) Xe r(T t) N (d 2 ) （9）
其中，
d1
ln(S / X ) (r 2 T t
/ 2)(T t)
d2
ln(S
/
X ) (r 2 T t
/
2)(T
t)
d1
T t
时间的连续性 变量取值范围的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程 离散变量随机过程 连续变量随机过程
从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散 时间随机过程，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连 续时间的随机过程。
一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它 涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个 金融工程学科的重要基础。
期权价格的影响因素
期权价格的影响因素主要有六个: （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 （二）期权的有效期 （三）标的资产价格的波动率 （四）无风险利率 （五）标的资产的收益 （六）红利
f rS
f
1 2 S 2 2 f rf
t S 2
S 2
（7）
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方程，适用于其价格 取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。
风险中性定价原理
受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率（ ） 并未包括
在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态 如何，都不会对 f的值产生影响。
1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。
2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以 及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
标准正态分布
当 t0时，可以得到极限的标准布朗运动：
dz dt
1、为何定义 z= 而t非 ？ t
当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时， 独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具 有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时 间划分方法的影响。 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标的 资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。(相对定价 法)
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约 执行价格之间的预期差异变化。
证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场状况使所 有证券价格发生变化的基础和环境。
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率 市场假说。该假说认为，1）投资者都力图利用 可获得的信息获得更高的报酬；2）证券价格对 新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价 格能完全反应全部信息；3）市场竞争使证券价 格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与新信息相应的价格变动是相互独立的
在一个小的时间间隔 中t ，S 的变化值 为S ：
S St Sz （1）
设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和 t 的函
数，根据伊藤引理可得：
df ( f S f 1 2 f 2 S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
在一个小的时间间隔中，f 的变化值 为f ：
:
1、几何布朗运动中的期望收益率。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无
风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，2 / 小2
于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较
短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是 算术平均的结果。
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小的 时间间隔长度，z 代表变量 z 在 t 时间内的变化， 遵循标准布朗运动的 具有z 两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
z = t 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准 差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ，z 的值 相互独立。
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出： 若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循如下过 程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz 是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
在研究证券价格变化过程的时候，目标是尽量找到一个合适 的随机过程表达式，来准确地描述证券价格的变动过程，同时 尽量实现数学处理上的简单性。
3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获 得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信 息”）对挑选证券都没有用处。
从定性到定量 从规范到实证
效率市场假说是从定性的角度研究证券市场的，为进一步的
研究提供了基础和背景，但是它并不能告诉我们证券价格是怎样
变动的。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中
找到证券价格变动的规律。
人们在对证券的价格进行研究时发现，随机过程能够很好地
反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规
范研究到实证研究的转变。
随机过程（Stochastic Process）是指某变量的值以某种不 确定的方式随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做 如下的划分：
标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz 表示标准布
朗运动。
其中，μ和σ的时间度量单位一般都采用年。几何布朗运动的离
散形式运动表示？
1、市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”，而几何 布朗运动的随机项来源于标准布朗运动 dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式效率的假说。 2、投资者感兴趣的不是股票价格 S，而是独立于价格的收益率。 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票 价格以一定的增长率在增长。
f
f (
S
S f t
1 2
2 S
f
2
（ 22 S）2 )t
f S
Sz
构建一个包括一单位衍生证券空头和 f单位标的证券多头的
S
组合。令 代表该投资组合的价值，则：
f f S
(3)
x
在 t时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S