测量学—6 测量误差的基本知识
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测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
测量学第5章测量误差的基本知识
果对函数f（Δ ）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标为：Δ 拐 ＝ ±σ 。由于曲线f（Δ ）横轴和直线Δ ＝－σ ，Δ ＝＋σ 之间的曲边梯形面
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。
《测量学》第5章 测量误差基本知识
4 180-00-01.5
5 180-00-02.6
S
m
244 .3 7.0秒 5
m2 3m2 m 3m
-10.3
+2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1
7.8 121 2.6 6.8 244.3
A BC
m m / 3 4.0秒
误差传播定律应用举例
1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超 过40秒； 2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的 限差； 3、两次仪器高法的高差限差。
24
130
中误差 m 1
2 2 .7 n
m2
2 3 .6
n
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关
用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
T m l
1 l
m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
x l1 l2 ln
已知：m1 =m2 =….=mn=m
n
求：mx
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
mx
(
1 n
)2
m12
(1)2 n
m22
(1)2 n
mn2
1m n
算例：用三角形闭合差求测角中误差
次序 观测值 l
Δ ΔΔ
1 180-00-10.3
2 179-59-57.2
3 179-59-49.0
误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D
08结63-测量学-章6-测量误差及数据处理的基本知识
加权算术平均值 相应观测值的权
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）
测量学课后习题答案完整版
测量学课后习题答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】《测量学》习题答案一、测量基本知识[题1-1] 测量学研究的对象和任务是什么？答：测量学是研究地球的形状与大小，确定地球表面各种物体的形状、大小和空间位置的科学。
测量学的主要任务是测定和测设。
测定——使用测量仪器和工具，通过测量与计算将地物和地貌的位置按一定比例尺、规定的符号缩小绘制成地形图，供科学研究和工程建设规划设计使用。
测设——将在地形图上设计出的建筑物和构筑物的位置在实地标定出来，作为施工的依据。
[题1-2] 熟悉和理解铅垂线、水准面、大地水准面、参考椭球面、法线的概念。
答：铅垂线——地表任意点万有引力与离心力的合力称重力，重力方向为铅垂线方向。
水准面——处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。
大地水准面——通过平均海水面的水准面。
参考椭球面——为了解决投影计算问题，通常选择一个与大地水准面非常接近的、能用数学方程表示的椭球面作为投影的基准面，这个椭球面是由长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆NESW 绕其短轴NS 旋转而成的旋转椭球面，旋转椭球又称为参考椭球，其表面称为参考椭球面。
法线——垂直于参考椭球面的直线。
[题1-3] 绝对高程和相对高程的基准面是什么？答：绝对高程的基准面——大地水准面。
相对高程的基准面——水准面。
[题1-4] “1956 年黄海高程系”使用的平均海水面与“1985 国家高程基准”使用的平均海水面有何关系？答：在青岛大港一号码头验潮站，“1985 国家高程基准”使用的平均海水面高出“1956 年黄海高程系”使用的平均海水面0.029m。
[题1-5] 测量中所使用的高斯平面坐标系与数学上使用的笛卡尔坐标系有何区别？答：x 与y 轴的位置互换，第Ⅰ象限位置相同，Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ象限顺指针编号，这样可以使在数学上使用的三角函数在高斯平面直角坐标系中照常使用。
第六章 测量误差
倾斜角度α＝15°00„00“，其中误差m
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12
1 n2
m22
1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
2 2
mx22
安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
测量误差基本知识5改(@@)
2 1 1 2 2 2 2 n n
k
1
k
2
k
n
k
顾及中误差的定义公式，并设Xi的中误差为mi，则可得：
m a m a m a m
2 2 2 2 2 Y 1 1 2 2 n
2
n
三、非线性函数的中误差传播定律
设有非线性函数Y = f（X1，X2，„，Xn），Xi（i =1,2, …,n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi， 为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函 数处理。
准确度（Accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反 映系统误差的大小。
精密度（ Precision ）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误 差的大小量。
二、衡量精度的指标
1. 中误差（root mean square error）
根据偶然误差概率分布规律，以标准差σ为标准衡量在一定观测 条件下观测结果的精度是比较合适的。 在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差， 用m表示，即
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的 误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。如：钢尺的尺长误差等。 系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响 也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其 影响：
计算改正数。 采用一定的观测方法。 2. 偶然误差（Accident Error，& Random Error）
由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：
1 f ( ) e 2
2 2 2
(1)
方差为偶然误差平方的理论平均值：
标准差为
k
1
k
2
k
n
k
顾及中误差的定义公式，并设Xi的中误差为mi，则可得：
m a m a m a m
2 2 2 2 2 Y 1 1 2 2 n
2
n
三、非线性函数的中误差传播定律
设有非线性函数Y = f（X1，X2，„，Xn），Xi（i =1,2, …,n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi， 为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函 数处理。
准确度（Accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反 映系统误差的大小。
精密度（ Precision ）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误 差的大小量。
二、衡量精度的指标
1. 中误差（root mean square error）
根据偶然误差概率分布规律，以标准差σ为标准衡量在一定观测 条件下观测结果的精度是比较合适的。 在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差， 用m表示，即
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的 误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。如：钢尺的尺长误差等。 系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响 也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其 影响：
计算改正数。 采用一定的观测方法。 2. 偶然误差（Accident Error，& Random Error）
由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：
1 f ( ) e 2
2 2 2
(1)
方差为偶然误差平方的理论平均值：
标准差为
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
园林测量——测量误差的基本知识
闭合水准 ∑h≠0
第一节 测量误差的概述
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响
观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
返回
第二节 误差的分类
一 、系统误差
误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现
Δn，则中误差m的定义为：
m
n
式中
21 22 23 ... 2n , i li x
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
m1
02 22 12 (3)2 42 32 (2)2 (1)2 22 (4)2 10
2.5
一般函数 Z f (x1, x2,xn )
mZ
f ( x1
)2
m12
f ( x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
返回
第五节 算术平均值的中误差
一 算术平均值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：
返回
三 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
D
1 D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
第一节 测量误差的概述
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响
观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
返回
第二节 误差的分类
一 、系统误差
误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现
Δn，则中误差m的定义为：
m
n
式中
21 22 23 ... 2n , i li x
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中 误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
m1
02 22 12 (3)2 42 32 (2)2 (1)2 22 (4)2 10
2.5
一般函数 Z f (x1, x2,xn )
mZ
f ( x1
)2
m12
f ( x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
返回
第五节 算术平均值的中误差
一 算术平均值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n
次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、 m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真
值）L 为：
返回
三 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
D
1 D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
测量学之测量误差基本知识
所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，为了衡量 观测值的精度高低，可以用误差分布表、绘制直方图或画出误 差分布曲线的方法进行比较。 衡量精度的标准有以下几种：
中误差 允许误差（极限误差） 相对误差
m 21 22 2n
n
n
例 ：对某一距离进行五次丈量，其真误差分别为－6mm 、－5mm、－2mm、+1mm、+6mm，求观测值中误差。 根据上式可知
2. 观测值的和或差函数
函数 Z=x±y 的中误差：
mz2 mx2 my2
或mz
mx2
m
2 y
例2 在三角ABC中，观测了∠A和∠B，其中误差 分别为 mA 6" ， mB 8" ，求∠C的中误差？
解： ∵C=180－(A+B) ∴
mc mA2 mB2 62 82 10
2
3
4
5
);
m x2
m 5
3、结论：
Pi mi2 ; (i = 1,2, ……n)
式中:P为权，是任意常数。
水准测量与距离丈量中，各路线的权与该路线的测站数
或距离的公里数成反比。
即
1 pi Ni
或
1 pi Si
同精度观测值的算术平均值的权与观测次数成正比。 即
Pi=Ni
设对某量进行n次观测，其观测值中误差及权分别为： 观测值 l1 , l2 …… ln 中误差 m1, m2 …… mn 权 p1 ,p2 …… pn
则加权平均值为:
x加 p1l1 p2l2 pnln [ pl]
p1 p2 pn
《测量学》填空试题库及答案
填空题库及参考答案第1章绪论1-测量工作的基准线是铅垂线。
2-测量工作的基准面是水准面。
3-测量计算的基准面是参考椭球面。
4-水准面是处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。
5-通过平均海水面的水准面称为大地水准面。
6-地球的平均曲率半径为6371km。
7-在高斯平面直角坐标系中，中央子午线的投影为坐标x轴。
8-地面某点的经度为131°58′，该点所在统一6°带的中央子午线经度是129°。
9-为了使高斯平面直角坐标系的y坐标恒大于零，将x轴自中央子午线西移500km。
10-天文经纬度的基准是大地水准面，大地经纬度的基准是参考椭球面。
11-我国境内某点的高斯横坐标Y=22365759.13m，则该点坐标为高斯投影统一6°带坐标，带号为22 ，中央子午线经度为129°，横坐标的实际值为-134240.87m，该点位于其投影带的中央子午线以西。
12-地面点至大地水准面的垂直距离为该点的绝对高程，而至某假定水准面的垂直距离为它的相对高程。
第2章水准测量1.高程测量按采用的仪器和方法分为水准测量、三角高程测量和气压高程测量三种。
2.水准仪主要由基座、水准器、望远镜组成。
3.水准仪的圆水准器轴应与竖轴平行。
4.水准仪的操作步骤为粗平、照准标尺、精平、读数。
5.水准仪上圆水准器的作用是使竖轴铅垂，管水准器的作用是使望远镜视准轴水平。
6.望远镜产生视差的原因是物像没有准确成在十字丝分划板上。
7.水准测量中，转点TP的作用是传递高程。
8.某站水准测量时，由A点向B点进行测量，测得AB两点之间的高差为0.506m，且B点水准尺的读数为2.376m，则A点水准尺的读数为2.882 m。
9.水准测量测站检核可以采用变动仪器高或双面尺法测量两次高差。
10.水准测量中，调节圆水准气泡居中的目的是竖轴铅垂，调节管水准气泡居中的目的是使视准轴水平。
第3章角度测量1-经纬仪主要由基座、水平度盘、照准部组成。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
第六章 测量误差基本知识
0 . 05 m
，并测得倾斜角
m 3 0 ,
15 0 0 0 0
，
4其中误差 m 3 0s ，求相应水平距离D及其中误差。05 m .丈量倾斜距离 50 . 00 m , 其中误差 m s 0 .
15 0 0 0 0 ，其中误差
设某未知量的观测值为： l1 , l2 , , ln 该量的算术平均值为：
x l1 l2 ln n [l ] n
则该量的改正数： v i
[l ] n
li x li
[VV ] n 1
m
经推算：观测值的中误差
m
n
证明两式根号内相 等
1 l1 X
m1 L1 1 ,
2
1
,
m1
2
10000
L2
2000 L1
L2
即前者的精度比后者高。 有时，求得真误差和容许误差后，也用相对误差来表示。例如，在 本书以后要介绍的导线测量中，假设起算数据没有误差时，求出的全 长相对闭合差也就是相对真误差；而规范中规定全长相对闭合差不能 超过1／2000或1／15000，它就是相对容许误差。
x
Z x1 x 2
m
2 x1
m
2 x2
Z k 1 x 1 k 2 x 2 ... k n x n k m
2 2 2 x2
2 2 k1 m x1
... k m
2 n
2 xn
例
丈量了斜距S=50.00m，其中误差 m s
并测得倾斜角 求相应水平距离 解： D s cos D s D cos cos 15
测量学中的误差理论
推广形式： ①当Z为一组观测值x1，x2，…，xn代数和形式：
Z x1 x2 xn 则：mZ2 mx21 mx22 mx2n
②当观测值xi为等精度时形式：
mZ nm
③多个独立观测误差时形式：
1＋2＋ ＋n m2＝m12＋m22 mn2
Surveying
测量学基础
七、误差传播定律
f () 1 ,为最大值。
2
Surveying
测量学基础
六、评定精度的指标
(2)比较 不同精度的两组观测值情况：
曲线Ⅰ：
误差小，
精度高。
曲线Ⅱ：
误差分散，
精度低。
∴选择标准差σ
为指标合适。
Surveying
测量学基础
六、评定精度的指标
(3)定义：
按有限次观测的偶然误差求出的标准差即为中误 差：
K m 1/ D Dm
（2）适用 距离测量。
Surveying
测量学基础
六、评定精度的指标
4、容许误差
1.根据
在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过
一定限值。2. 定义 有限观源自次数容 m; m : 32%
中取2倍或3倍中 误差作为 偶然误
容 2m; 2m : 5%
差绝对值的极限 值，称为容许误
Surveying
测量学基础
七、误差、传播定律
Surveying
测量学基础
七、误差传播定律
（2）和差函数
基本形式：Z＝x±y
则
Z F x F y,
x y
其中：f x
F x
1,
fy
F y
1
mZ2
f
2 x
mx2
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测量学
第六章测量误差的基本知识
第一节测量误差概述
一、测量误差分类
测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
二、观测误差产生的原因主要有以下三个方面:
1．观测者
由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器
每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和偶然误差两种。
三、系统误差
在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：
1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。
四、偶然误差
在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。
例如用经纬仪测角时，测角误差实际上是许多微小误差项的总和，而每项微小误差随着偶然因素影响不断变化，因而测角误差也表现出偶然性。
对同一角度的若干次观测，其值不尽相同，观测结果中不可避免地存在着偶然误差的影响。
除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记错等。
这主要是由于粗心大意而引起。
一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。
因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。
五、偶然误差特性
偶然误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地存在偶然误差，因而偶然误差是误差理论主要研究的对象。
由上节知，就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言
却呈现出一定的统计规律性，并且是服从正态分布的随机变量。
即在相同观测条件下，大量偶然误差分布表现出一定的统计规律性。
1．在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；
2．绝对值较小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；
4．同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋近于零，即
第二节衡量精度的指标
一、方差（D）和中误差
方差
标准偏差（中误差）
中误差估值
不同精度的误差分布曲线
二、相对误差
相对误差K是中误差的绝对值与相应观测值之比。
三、极限误差
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差。
常以两倍或三倍的中误差为作为偶然误差的容许值。
第三节误差传播定律
在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。
阐述这种关系的定律称为误差传播定律。
简单函数中误差传播公式
设有一般函数
其分微分为
可写成
其相应的函数中误差式为
即
第四节等精度直接观测值的最可靠值
设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X，观测值分别为，相应的真误差为
，则
．．．．．．．．．
将上式取和再除以观测次数n，得
由于真误差不知道，在实际应用中，等精度直接观测平差计算
本章小结
1．观测误差是客观存在，不可避免的。
产生误差的原因有属于观测者方面的因素；有属于测量的仪器和工具方面的因素；也有外界条件的影响，如温度、湿度、风力、大气折光等等。
这三个方面综合起来称观测条件。
在同样的观测条件下所进行的观测称等精度观测，否则就是非等精度观测。
研究误差的目的在于确定最可靠的结果，评定成果的优劣，预先估计测量精度，以便拟定合理的工作方案。
2．弄清系统误差和偶然误差的概念。
系统误差可以通过一定的方法加以消除或减弱，而偶然误差不可能用测量的方法加以消除；所以测量中主要是研究偶然误差。
油然误差从表面上看无一定的规律性，但通过对同一量进行多次观测，发现其中有内在的规律性，所以偶然误差的四个特性必须掌握，通过这些特性，我们可以论证许多问题。
如可以证明算术平均值是最可靠的数值等。
3．测量中评定精度的标准：
(1)中误差即在等精度观测时取各次观测值真误差平方的平均值再开方。
以公式表示为。
未知量的真值在测量中往往难以知道，一般用改正数求等精度观测值的中误差；以公式表示为。