2017---2018学年第2学期 建筑材料 期末A卷

2017-2018学年最新⼈教版六年级数学第⼆学期期末测试卷（精选三套）2017-2018学年六年级第⼆学期期末检测试卷班级：姓名：⼀、填空题(每题2分，共24分)1．25吨黄⾖可榨油120吨，平均每榨⼀吨油要⽤( )吨黄⾖。

2.右图是我省地形图，全省⼟地总⾯积为166947平⽅千⽶。

横线上的数改写成⽤“万”作单位的数是( )万平⽅千⽶（保留⼀位⼩数）。

3. ⽤10以内的质数，组成⼀个三位数，它既含有约数3，⼜是5的倍数，这个三位数是( )。

4. 如右图所⽰，如果⼀个⼩正⽅形⽤“1”表⽰，空⽩部分占整个图形的百分⽐是( )。

5. 有⼀个正⽅体，其中三个⾯涂成红⾊，两个⾯涂成黄⾊，剩下⼀个⾯涂成蓝⾊，将其随意抛出，落地后蓝⾊的⼀⾯朝上的可能性为（）。

6. 今年六⽉的第⼀个星期，丽丽家每天买菜所⽤钱数的情况如下表。

从上表看出，丽丽家平均每天买菜⽤去( )元。

7．有三根绳⼦，长度分别是120cm、180cm、300 cm，现在要把它们剪成相等的⼩段，每根都不能有剩余，每⼩段最长是( )cm。

8．⼀个盒⼦⾥装了⿊⾊和灰⾊两种颜⾊的钢笔共60⽀，任意拿出两⽀钢笔⾄少有⼀⽀是灰⾊的，则灰⾊的钢笔⽐⿊⾊的多( )⽀。

9．体育委员带了500元去买篮球，已知⼀个篮球a元，则式⼦500-3a表⽰（）。

10．某商店今年销售21英⼨、25英⼨、29英⼨3种彩电共360台，它们的销售数量的⽐是1:7:4，则29英⼨彩电销售了( )台。

11．图中的6个数按⼀定的规律填⼊，后因不慎，⼀滴墨⽔涂掉了⼀个数，你认为这个数是（）。

12．⼩慧同学不但会学习，⽽且也很会安排时间⼲好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都⾏，⼩慧同学完成以上五项家务活，⾄少需要（）分钟。

（注：各项⼯作转接时间忽略不计）⼆、判断题、选择题(每题1分，共6分)1．判断题，对的在括号⾥打“√”，错的打“×”。

（3分）（1）⽤8个棱长1cm 的正⽅体拼成⼀个长⽅体，表⾯积可能是34cm 2，也可能是28cm 2。

2017~2018学年第二学期《线性代数及其应用》期末考试试卷（2018 年 6 月15日）A 卷一、填空题（共15分，每小题3分）1、设向量组[][][]T T T1231,2,5,3,3,1,4,1,7,1,2,k ==-=--ααα线性相关，则k =_________.2、设123,,ααα是n 元线性方程组=0AX 的一个基础解系，且1223,,t t ++αααα31t +αα也是=0AX 的一个基础解系，则t 的取值范围是___________________________ .3、设3阶方阵A 的特征值为1,2,3，*A 为A 的伴随矩阵，则2tr(+)*=A A _____________.4、设矩阵A 与2102B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦相似，则10.A =5、设A 为3阶实对称矩阵，且满足22+=A A O ，≠A O ，已知3k +A E 为正定矩阵，则实数k 的取值范围是_____________________.二、单项选择题（共15分，每小题3分）1、设向量组(I)含有非零向量，且向量组(II)是(I)的一个部分组，则下列说法中正确的是( ).(A) 若(I)线性相关，则(II)线性相关(B) 若(I)线性无关，则(II)线性无关(C) 若(II)线性无关，则(I)线性无关(D) 若(I)可由(II)线性表示，则(II)是(I)的极大无关组2、设W 是线性空间V 的子空间，则下列说法中错误的是( ).(A) V 中的零向量必然也在W 中(B) 若12,,,s ααα与12,,,t βββ均为W 的基，则s t = (C) 若12,,,s ααα是W 中线性无关的向量组，则dim s W ≤ (D) 若12,,,s ααα可以生成W ，则12,,,s ααα是W 的一个基3、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，且=AB C ，其中C 为可逆矩阵，则( ).(A) A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(B) A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关(C) A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(D) A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关4、设3元列向量[]T1,2,3α=，矩阵T αα=A , 则下列叙述中错误的是( ). (A) A 是实对称矩阵 (B) A 的特征值为14, 0, 0(C) α不是A 的特征向量 (D) A 与diag(1,0,0)合同5、设123,,ααα为矩阵A 的分别属于特征值1237,2,3λλλ===的特征向量，而[]2313,7,2=-αααS ，则1S AS -=( ).(A) 700020003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B) 700030002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 200030007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)60002100014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦三、 解答题 （共16分，每小题8分）1、设232321234()12,()12,()27,()56f x x x f x x x f x x x x f x x x =+-=++=+++=+- 39x +，求向量组1234(),(),(),()f x f x f x f x 的秩和一个极大无关组.2、 设011α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵1012213a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征向量，且A 可对角化，求参数,a b 的值. 四、（11分）设[]T 1,6,t =β可由向量组[][][]T T T 12341,2,4,1,1,5,1,4,2,αααα=== []T 1,5,1=线性表示. 求参数t 的值，并求出全部线性表示关系式.五、（11分）已知线性空间3的两个基 (I) [][][]T T T 1231,1,1,1,2,3,1,3,4ααα===；(II) [][][]T T T 1231,4,6,1,2,2,1,0,0βββ===.(1) 求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵S ；(2) 求3中满足在基123,,ααα和基123,,βββ下具有相同坐标的向量.六、（11分）设σ是线性空间3上的线性变换，规定()[][]T T 312323123,,,,,x x x x x x x x αα=+-∀=∈σ. (1) 求σ在标准基[][][]T T T1231,0,0,0,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵A ； (2) 求σ在基[][][]T T T 1231,0,0,0,2,1,0,5,3ααα===下的矩阵B .七、（15分）设实二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++---.(1) 求一个正交线性替换，将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出其标准形；(2) 求二次型123(,,)f x x x 的正惯性指数和秩.八、（6分）设123,,ααα是欧氏空间3的一个标准正交基，且111121231321212223233131232333,,,s s s s s s s s s βαααβαααβααα=++=++=++ 令33[]ij s ⨯=S . 证明：(1) 若S 为可逆矩阵， 则123,,βββ是3的一个基； (2) 若S 为正交矩阵， 则123,,βββ也是3的一个标准正交基.。

2017—2018学年度第二学期期末考试初一数学试题一、填空题（每空1分，共22分）1、如果下降5米，记作－5米，那么上升4米记作（）米；如果＋2千克表示增加2千克，那么－3千克表示（）。

2、从80减少到50，减少了（）%；从50增加到80，增加了（）%。

3、某班有60人，缺席6人，出勤率是（）%。

4、如果3a=5b（a、b≠0），那么a：b=（）。

5、一个圆锥的体积12dm3 ,高3dm，底面积是（）。

6、甲、乙两数的比是5:8，甲数是150，乙数是（）。

7、比较大小：－7○－5 1.5○5 20○－2.4 －3.1○3.18、某服装店一件休闲装现价200元，比原价降低了50元，相当于打（）折。

照这样的折扣，原价800元的西装，现价（）元。

9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是4米，圆锥的是高（）米。

10、一桶油连桶称7.5千克，用去一半油后，连桶称还重4.5千克。

桶重（）千克，油重（）千克。

11、13只鸡放进4个鸡笼里，至少有（）只鸡要放进同一个笼子里。

12、一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是（）平方厘米。

如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是（）立方厘米。

13、找出规律，填一填。

3，11，20，30，（），53,（）。

二、判断题：对的在括号打√，错的打×。

（每小题1分共5分）1、0是负数。

（）2、书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是不亏也不赚。

（）3、时间一定，路程和速度成正比例。

（）4、栽120棵树，都成活了，成活率是120%。

（）5、圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。

（）三、选择题（每题3分，共15分）1、规定10吨记为0吨，11吨记为＋1吨，则下列说法错误的是（）A、9吨记为－9吨B、12吨记为＋2吨C、6吨记为－4吨D、＋3吨表示重量为13吨2、在a12=13中，a的值是（）A、12B、4C、6D、83、把长1.2米的圆柱形钢材按2:3:7截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（）A、700立方厘米B、800立方厘米C、840立方厘米D、980立方厘米4、小刚把1000元钱按年利率2.4%存入银行，存期为两年，那么计算到期时她可以从银行取回多少钱（不计利息税），列式正确的是（）。

南京建筑工程学院2018-2019学年度第2学期试卷科目：《建筑工程经济与企业管理》试题(A卷)适用于建筑工程专业学号：姓名：班级：..........................................................密.......................................................封...........................................................线..........................................................专业年级班20 ~20 学年第学期建筑工程经济与企业管理课试卷试卷类型：A 卷南京建筑工程学院成教学院试卷纸共 4 页第 1 页试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须打印或用碳素笔楷书，以便誉印；5、考试前到指定地点领取试卷；6、各题之间应适当给学生留下答题的空间。

学号；姓名：班级：..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................学号；姓名：班级：..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................学号；姓名：班级：..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

2017-2018学年人教版初一(下学期)期末数学测试卷及答案2017-2018学年七年级（下学期）期末数学试卷一、选择题（每题2分）1.为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是（）A．这批电视机B．这批电视机的使用寿命C．所抽取的100台电视机的寿命D．1002.（-6）^2的平方根是（）A．-6B．36C．±6D．±3.已知a<b，则下列不等式中不正确的是（）A．4a<4bB．a+4<b+4C．-4a<-4bD．a-4<b-44.若点A（m，n），点B（n，m）表示同一点，则这一点一定在（）A．第二、四象限的角平分线上B．第一、三象限的角平分线上C．平行于x轴的直线上D．平行于y轴的直线上5.过点A（-3，2）和点B（-3，5）作直线，则直线AB（）A．平行于y轴B．平行于x轴C．与y轴相交D．与y轴垂直6.不等式组A．xB．-1<x<1C．x≥-1D．x≤1的解集是（）7.已知A．1B．2C．3D．4是二元一次方程组的解，则m-n的值是（）8.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（）A．30°B．60°C．80°D．120°9.如图，所提供的信息正确的是（）A．七年级学生最多B．九年级的男生是女生的两倍C．九年级学生女生比男生多D．八年级比九年级的学生多10.若a^2=4，b^2=9，且ab<0，则a-b的值为（）A．-2B．±5C．5D．-511.若|3x-2|=2-3x，则（）A．x=1B．x=2/3C．x≤1/3D．x≥2/312.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．3x+2y=52，x+y=20B．2x+3y=52，x+y=20C．3x+2y=20，x+y=52D．2x+3y=20，x+y=52二、填空题（每题3分）13.14.计算：2/3)^2÷(4/9) = ______．1/4)^-2×(1/2)^-3 = ______．15.(-5)的立方根是______．16.某校初中三年级共有学生400人，为了了解这些学生的视力情况，抽查20名学生的视力，对所得数据进行整理．在得到的条形统计图中，各小组的百分比之和等于100%，若某一小组的人数为4人，则该小组的百分比为20%．17.若方程mx+ny=6的两个解是(2,0)和(0,3)，则m=______，n=______．18.已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是什么？19.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（-1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，-1）的对应点D的坐标是什么？20.如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2=多少度？21.求下列式子中的x：28x²-63=0.22.求下列式子中的x：(x-1)³=125.23.解方程组：24.解方程组：25.已知方程组，当m为何值时，x>y？26.解不等式。

第1页共2页 第2页共4页2017--2018学年度第二学期室内设计2 班家居餐饮空间设计期末试卷_A 卷一、名词解释（每题2分，共10分）1.行政酒廊提供给客人的配套设施与服务有：放松、隐私、商务、社交、宾客服务、餐饮。

2.关于食品服务区的规划，影响到厨房大小与配套设施的因素有：市场、地理位置、可用产品、薪资。

3.功能空间的墙面以 什么材料设计可以减少消除回音：漫射、吸音4.为食品服务设施提供耐用的设备时，主要考虑的因素有：合适的工作流程使用周期的价值、低维修、易使用、清洁与卫生、安全5. 厨房烟罩和烟道消防系统的设计在启动后执行的功能有：送报警信号至消防报警屏，关闭烟罩的补风机、排风机触动燃料切断装置以关掉烟罩下的燃气 二、填 空（每题4分，共20分）1. 由于老年人肌肉力量的退化，伸手够东西的能力不如年轻人，因此我们在给老年人设计空间时应使宽松舒适空间2.厨房开间尺寸适宜的是2700mm3. 半封闭型是封闭型在基础上，利用透明或半透明材料、可折叠移动材料进行隔断划分独立空间。

4. 室内环境不论是物质技术上，还是精神文化上都具有历史延续性5. 对于肢体作业域而言，需要频繁使用或操作的物件、仪表装置应放在正常作业域 三、选 择（每题2分，共10分）1. 对食品给排水管要求描述正确的有 （ ABD ）。

A 、给排水管应置于墙内；B 、如果隐藏管道不可行，则在食品准备与生产区使用不锈钢或镀铬盖板；C 、如果必须延伸较长水平管与设备连接，水平管的安装高度不能低于离地平145MM 以考虑清洁；D 、排气通风扇的排水管应隐藏在墙内并与建筑的排水管连接。

2．平面图（包括家具），常用比例为 （ A ）A 1：50，1：100B 1：100，1：1000C 1：50，1：1000 D 1：100，1：5003. 人体测量学是通过测量人体 （ D ）的尺寸来确定个人之间和群体之间在尺寸上的差别的学科A 、头部尺寸B 、足部尺寸C 、上肢尺寸D 、各个部分 4．人体工程学的宗旨是以达到 （ A ）舒适和高效为目的。

装………. ………. ……….…………….….订………. ………. ……….…………….…. ………. ………. ……….…………….….线………. ………. ……….…………….….《工程制图》第 1 页共 2 页此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写《工程制图》期末试卷（A 卷）班级名称：学号：姓名：题号 一 二 三 四 五 总分 分数得 分一、填空题（每小题1分，共20分）1.三视图之间的位置关系：以主视图为基准，俯视图在它的__________方，左视图在它的__________。

三视图的“三等”关系：主、俯视图__________，主、左视图__________，左、俯视图__________。

2.正等轴测图的轴间角为__________，轴向变形系数为0.82为了计算方便，一般用__________代替。

3. 按剖开机件的范围不同，剖视图可分为__________，__________和__________。

4.普通螺纹M16x1.5LH-5g6g-S 的公称直径为__________mm ，旋向为__________（左、右）；导程为__________。

5. 零件的内容包括__________，__________，__________，__________。

6. 暖通空调工程图包括__________，__________，__________。

得 分二、根据立体图画三视图（10分）得 分三、已知水平线AB 与铅垂线MN 相交于M 点，试完成两直线的三面投影图（10分）得 分四、补画第三视图（10分）装………. ………. ……….…………….….订………. ………. ……….…………….…. ………. ………. ……….…………….….线………. ………. ……….…………….….《工程制图》第 2 页共 2 页此处不能书写此处不能书写此处不能书写 此处不能书写得 分五、标注尺寸（尺寸数字从图中量取，取整数）（20分）得 分六、根据物体的三视图，画出正等轴测图（10分）得 分七、将下列主视图改画全剖视图（20分）山东科技大学2008-2009学年第2学期《工程制图》期末试卷（A卷）答案一、填空题（每小题1分，共20分）1、中心投影法，平行投影法2、平面立体，曲面立体3、尺寸界线，尺寸线，尺寸数字4、粗实线，细实线，细实线，粗实线，外螺纹5、一组图形，必要的尺寸，技术要求，标题栏、零件序号和明细栏6、一、二级泵房，输水管网，给水处理厂，配忆管网二、根据立体图画三视图（10分）三、已知水平线AB与铅垂线MN相交于M点，试完成两直线的三面投影图（10分）四、补画第三视图（10分）五、标注尺寸（尺寸数字从图中量取，取整数）（20分）六、根据物体的三视图，画出正等轴测图（10分）七、将下列主视图改画全剖视图（20分）。

广州城建职业学院20１1至２012学年第2学期《建筑材料与检测》试卷(A)适用专业:工程监理考试时间:100分钟共6页１、根据组成分类,下列材料中不属于有机材料的是( B ) A:沥青Ｂ:水泥 C：涂料Ｄ:塑料2、强度等级为4２.５Ｒ的普通水泥，若其体积安定性不合格，则应（Ｄ)A:按42.5强度等级应用 B:按实际强度应用C:按３2。

５强度等级应用 D：按废品处理３、下面不是混凝土配合比设计的基本参数的是(Ｄ )A:水灰比 B：砂率 C:单位用水量 D:强度４、当材料的润湿角θ为( A ）时,称为憎水性材料.A:﹥90º B：≤90ºＣ:＝0º D：都不是5、不是混凝土配合比设计必须满足的要求的是（Ｃ )A:和易性Ｂ：耐久性 C:降低水灰比Ｄ:强度6、经过试配和调整，最终选用符合强度要求和（ D ）的配合比作为砂浆配合比。

A：水泥用量最少Ｂ:水泥用量最多 C：流动性最好 D:和易性最好7、含水率是表示材料( A ）大小的指标.A：吸湿性 B:耐水性Ｃ：吸水性Ｄ：抗渗性8、下面对混凝土的外加剂作用描述不正确的是 ( B )A：改善流变性能B:调节强度C:调节凝结时间Ｄ:改善其他性能9、加气混凝土主要用于( Ｃ )A：承重结构 B:承重结构和非承重结构C：非承重保温结构 D:承重保温结构１0、与沥青油毡比较，三元乙丙橡胶防水卷材( Ｄ )A耐老化性好,拉伸强度低 B耐热性好，低温柔性差c耐老化性差,拉伸强度高 D耐热性好,低温柔性好11、下列项目中不属于混凝土和易性内容的是 ( C ）A：粘聚性B：流动性 C:抗碳化性 D:保水性１2、多孔结构的材料具有的特性是（ A )A:体积密度小、导热系数小B：体积密度大、强度高Ｃ:保温性差、抗渗性差Ｄ：体积密度小、导热性高13、混凝土抗渗等级P 8中8的含义是材料能承受( C )的水压力而不被渗透.A:8ＭPa B:8Pａ C:０。

四川大学期末考试试题（闭卷）（2017——2018 学年第 2 学期） A 卷课程号：201138040 课序号：课程名称：微积分（I）-2 任课教师：成绩：⎩ 2 2 a b 1 - α 2 - β x 2 y 22 1 - - a 2 b2x 2 y 2⎧ 3 x 2 y 4 ⎪ , ( x , y ) ≠ (0, 0) ∂f ∂f5. f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2, (1)求 ∂x (0, 0) 和 ∂y (0, 0) ;⎪0, ( x , y ) = (0, 0) (2)判断 （f x , y ）在点 0, 0）处是否可微; (3)设向量l = ( , -2 2) , 求∂f (0, 0).∂l三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)1. 求圆 x 2 + y 2 = 1 上一点, 使得该点到 A (0, 0) 、 B (3, 0) 、C (0, 4) 的距离的平方之和最小.2. 设函数 y = f ( x ) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点x , y ）处的切线与 y 轴的交点为(0, u ( x )) , 若u - u ' = y + 2 x 2 , 并且 f (1) = f '(1) + 4 = e , 求函数 y = f ( x ) .四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分)1. 设可微函数 f ( x , y , z ) 满足: f (t a x , t b y , t c z ) = t a + b + c f ( x , y , z ), ∀t > 0 , 其中 a , b , c 都是正整数. 求证: ax∂f ( x , y , z ) ∂x + by ∂f ( x , y , z ) ∂y + cz ∂f ( x , y , z )∂z= (a + b + c ) f ( x , y , z ).x 2 y 2 z 2c 2 c 22. 设∑ 为曲面 a 2 + b 2 + c2 = 1 (a , b , c > 0) ,I = ⎰⎰ d S , ∑α = 1 - , β = 1 - .a 2b 2(1) 求证: I = 2⎰⎰d x d y , D xy其中 D xy = {( x , y ) ∈ 2| x a2 + y 2b 21}.1 (2) 上述积分很难直接计算, 试用你的想法给出 πI的估算公式, 并给出该公式在a = 1,b = 2,c = 3 时的结果. (保留两位小数, 合理的估值均可得分)2f 1 02018 微积分（1）-2 参考解答一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t 上点(1, 0, 0)处的切线方程褮解褺 对曲线方程关于t 求导可得切向量为(− sin t, cos t , cos t − t sin t ) ······························ 3分代入点(1, 0, 0)对应的参数t = 0可得点(1, 0, 0)处的切向量为(0, 1, 1). 于是褬切线方程为x − 1 = y = z ······································· 2分褲、求曲面z = xy 在点(−2, −3, 6)处的切平面方程褮 解褺 曲面z = xy 的法向量是(−z x , −z y , 1) = (−y, −x, 1), ········································ 3分于是在点(−2, −3, 6)处的法向量为(3, 2, 1). 因此，所求切平面方程为3(x + 2) + 2(y + 3) + z − 6 = 0，即3x + 2y + z + 6 = 0 ································ 2分褳、设D = {(x, y ) ∈ R 2| x + y :( 1, x ;;? 0, y ;;? 0}，求FFx d x d y.解褺ffx d x d y = d x f 11−x 0x d y ······································ 3分1 11 =2 −3 = 6 ·······························2分褱0 = D 011D(x − x 2)d x ff f f f1−( ) =x x2 x Ω褴、设Ω是曲面z = ✓x 2 + y 2与平面z = 1围成的区域褬求FFF(z +x 2y 3 sin z 4)d x d y d z 褮解褺 由Ω的对称性褬fffx 2y 3 sin z 4d x d y d z = 0 ····························· 1分由截面法褬 注意到 D z = {(x, y ) ∈ R 2| x 2 +y 2 :( z 2} ············· 1分1 ∴ 原式 =d z 0D zf 1z d x d y=πz 3d zπ=4 ······························3分褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、 终点为(0, 1, 1)的有向线段褬 求F(y 2 + z − x )d y.解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1， ········· 2分原式 = 0 5 (t 2+ t )d t褶、求微分方程初值问题= 6 ······························3分xy Iy = x 2的解褮y (1) = 2018解褺 由 y I xy I − y = 1，可得褺 y= x + C ······································· 2分代入初始条件褬 可得C = 2017.于是方程的解为y = x 2 + 2017x ······································· 3分褲Γ Ω0 x 3F 0 0F fff ff F ffff1 − 9 x2 + y 2二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）褱、交换二次积分I = F 1 d x F 1 ✓3 y 2e y d y 的积分次序并计算I .解：画出积分区域：褲 分y I = F 1d yF √3 y ✓3y 2e y d x=1 ye y d y 3分 = ye y 11 − F 1 e y d yx 2 + y 2 + z 2 = 1褲、设曲线Γ的方程为x + y + z = 0 解褺 由Γ的轮换对称性褬 可得褬 求(x + 1)2d s 褮 Γx 2d s =ΓΓy 2d s =Γz 2d s= 1 (x 2+ y 2 + z 2)d s 3Γ1 2π = d s = .4分33Γ再由Γ关于原点的对称性褬 可得x d s = 0.2分 Γ(x + 1)2d s =ΓΓ(x 2+ 2x + 1)d s =Γx 2d s +Γ8πd s = .2分3褳、设平面曲线L 为y I x 2褬起点为 褬终点为 褬求F x d y − y d x 褮解褺 首先褬∂ −y−(x 2+ y 2) + 2y 2y 2 − x 2P y =( ∂y x 2+ y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 , ∂ x (x 2 + y 2) − 2x 2 y 2 − x 2Q x =( ∂x x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )2 = (x 2 + y 2 )2 . 既然 P y = Q x 褬 于是曲线积分与路径无关褻 褳分褳Lx 0 0 0 = e − (e − 1) = 1.3分= 2 (3, 0) (−3, 0)(9 s in 2 θ + 9 c os 2 θ)d θ = π.3分✓ ✓−−Ω f √r cos ϕ · r 2 sin ϕd r4分∂x d x∂y d y取新的路径 L I : y =√9 − x 2褬 起点为(3, 0)褬 终点为(−3, 0)褮 L I 的参数方程x = 3 c os θ, y = 3 s in θ褬 其中θ从褰变化到π褮 褲分代入曲线积分可得1f π褴、设曲面Σ是球面z = 2 x 2 y 2与锥面z = x 2 + y 2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬 求FF x 2d y d z + y 2d z d x + z 2d x d y 褮解褺 由高斯公式褬原式 =fff(2x + 2y + 2z )d x d y d z.2分由Ω的对称性褬 可得FFFx d x d y d z =FFFy d x d y d z = 0.∴ 原式 = 2ffff 2πΩz d x d y d z fπ/4Ωf 2= 4ππ/4cos ϕ sin ϕd ϕ = π.2分✓ 3x 2y 4褵、设f (x, y ) =✓x 2 + y2, (x, y ) (0, 0) 褬 褨褱褩求∂f (0, 0)和∂f(0, 0)褻0, (x, y ) = (0, 0)∂x ∂y √2 √2 ∂f褨褲褩判断f (x, y )在点(0, 0)处是否可微褻 褨褳褩设向量l = ( 2, − )褬 求 (0, 0)褮 2 ∂l 解褺 褨褱褩因为f (x, 0) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (x, 0)| = 0.同理褬 因为f (0, y ) = 0褬 ∂f (0, 0) = df (0, y )|= 0. 2分褴0 d θ 0= 2 Ω 0 9 Σ原式 =d ϕx =0 y =0t5 5 5 5褨褲褩 令∆y = k ∆x 褬 通过计算下列极限褬发现其与k 有关褬 从而极限不存在褮f (0 + ∆x, 0 + ∆y ) − f (0, 0) − f x (0, 0)∆x − f y (0, 0)∆ylim∆x →0∆y →0✓(∆x )2 + (∆y )2✓ 3(∆x )2(∆y )4✓ 3(∆x )2(k ∆x )4 k 4/3= lim ∆x →0(∆x )2 ∆y →0+ (∆y ) = lim ∆x →0(∆x )2 + (k ∆x )2 = 1 + k 2 .因此褬由定义可知函数 f (x, y )在点(0, 0)处不可微褮 褳分褨褳褩因为 l = ( √2 2, − √2 ) = (cos α, cos β)褬 由方向导数的定义可得2∂f (0, 0) = limf (0 + t cos α, 0 + t cos β) − f (0, 0)∂l t →0+ 1✓ 3 t 6 cos 2 α cos 4 β1 分= lim t →0+t· ✓t 2cos 2 α +t 2 cos 2= .3β 2三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）褱、求圆x 2 + y 2 = 1上一点褬 使得该点到A (0, 0)、B (3, 0)、C (0, 4)的距离的平方之和最小褮解褺 令f (x, y, λ) = x 2 + y 2 + (x − 3)2 + y 2 + x 2 + (y − 4)2 + λ(x 2 + y 2 − 1)褮褳分由方程组f x = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0f y = 4y + 2(y − 4) + 2λy = 0 3分f λ = x 2 + y 2 − 1 = 0可解得驻点为(x, y ) = (± 3 , ± 4 )褻 由题意可知所求的点为( 3 , 4)褮褳分褲、设函数y = f (x )处处二阶可导，并且f (1) = f I (1) + 4 = e ，其函数图像上任意一点(x, y )处的切线与y 轴的交点为(0, u (x ))，若u − u I = y + 2x 2，求函数y = f (x )褮解褺 u (x ) − y = y I (0 − x )褬 u (x ) = y − xy I 褬 u I (x ) = y I − y I − xy II = −xy II 褮褵2∂u ∂v ∂wa 2 +b 2 +c 2= 1 (a, b, c > 0)I =d S α = 1 − a2 I 1 − αa 2 − β b 2因为u − u I = y − xy I + x y II = y + 2x 2，则当x0时褬 y II − y I = 2x.4分解方程y II − y I = 2x ，可得y = C 1e x + C 2 − x 2 − 2x.3分再由 f (1) = f I (1) + 4 = e ，可得y = e x − x 2 − 2x + 3.2分四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）褱、设可微函数f (x, y, z )满足褺 f (t a x, t b y, t c z ) = t a +b +c f (x, y, z ), ∀t > 0褬 其 中 a, b, c 都是正整数褮 求证褺∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f (x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).证明褺 令u = t a x 褬 v = t b y 褬 w = t c z 褬 k = a + b + c 褮 对f (u, v, w ) = t k f (x, y, z )关于t 求导可得褺∂f (u, v, w )·at a −1x + ∂f (u, v, w )·bt b −1y + ∂f(u, v, w )·ct c −1z = k t k −1f (u, v, w ).褴分上述表达式中令t = 1褬 即有∂f ∂f ax (x, y, z ) + by ∂x ∂y ∂f(x, y, z ) + cz ∂z(x, y, z ) = (a + b + c )f (x, y, z ).褲、设为曲面x 2 y 2 z 2褲分褬FF褬c 2 褬β = 1 − b2 褮 褨褱褩 求证褺ff「Ix 2 y 2Ux 2 y 2a 2b 2褨褲褩 上述积分很难直接计算褬 试用你的想法给出1I 的估算公式褬 并给出该公π式在a = 1, b = 2, c = 3时的结果褮 褨保留两位小数褬 合理的估值均可得分褩褶1 − a2 − b 2D xy y 2 + x 2 d x d y, D xy : Σ c 2 Σ I = 2 :( 1.)∂x = − a 2 z 1 − a 2 − b 2 ∂y = − b 2 z , )y 2x 2 y 21 − a2 − b 2 − −2 2 a 1 α β I d x d y, 2分I ππ（ 22 b1 − αa2 − β b 2 I证褺 褨褱褩 I x 2y 2 褬 ∂z c 2 x 褬 ∂z c 2 y褱分d S = ！1 +c 2x 2−a 2 zc 2 y 2 + − b 2 zd x d y= 「I U 1 +x 2 c a 4 y 2 c 4 + d x d y「I 1 − (1 − c 2 a 2 ) x 2 a 2− (1 − c 2 y 2 b 2 ) b 2 d x d yU x 2 y 2I 「 x 21 − a2 − b 2 y 2U x 2 y 2 1 − a 2 − b2 由曲面Σ的对称性褬 只需要计算上半椭球面积的褲倍褻 因此褬ff 「Ix 2 y 2U x 2 y2a 2 b2褨褲褩 合理估值范围褺 4min {a 2, b 2, c 2} :( 1I :( 4max {a 2, b 2, c 2}. 参考估值公式褺1 I ≈ 4(a 2 + b 2 + c 2), π 314π I ≈ 3(ab + bc + ac ), 1 p πI ≈ 4a pb p + b pc p + a p c p, p > 0. 3当a = 1, b = 2, c = 3时褬 合理范围是 4 :( 1I :( 36 褮 事实上I ≈ 15.57褻 估值结果在[10, 20]上给褲分褻 估值结果在[4, 10) ∪ (20, 36]上给褱分褮褷1 − a2 − b 2D xy x 2 d x d y, D xy : = 1 − a 2 − b 2x 2 z = cI = 2 :( （ = y 21. 1分+。