(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)

2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U =R ，集合M ={x|x +2a ≥0}，N ={x|log 2(x −1)<1}，若集合M ∩(∁U N)={x|x =1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A. a =12B. a ≤12C. a =−12D. a ≥12 2. 若a 、b 为实数，则ab(a −b)<0成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<1a <1bB. 0<1b <1aC. 1a <1bD. 1b <1a 3. 已知f(x)={(3−a)x +1 x <1a x (a >0且a ≠1) x ≥1，在(−∞,+∞)上是增函数，那么a 的取值范围是( ) A. (1,3)B. (1,2]C. [2,3)D. (1,+∞) 4. 若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=2cosxB. f(x)=x 3+x 2C. f(x)=sinx ⋅cosx +1D. f(x)=e x +x 5. 已知函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x 恰有两个零点，则实数的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−1,+∞)C. (−2,0)D. (−2,−1) 6. 在三角形ABC 中，∠B =π3，AB =1，BC =2，点D 在边AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则λ=( )A. 13B. 12C. √33D. 23 7. 已知函数，则( ) A.B. C. D. 8. 两人同时向一敌机射击，甲的命中率为15，乙的命中率为14，则两人中恰有一人击中敌机的概率为( )A. 720B. 1220C. 121D. 220 9. (2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5则a 3=( )A. 40B. 40C. 80D. −8010. 已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若a =f(log 47)，b =f(log 123)，c =f(0.20.4)则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c <b <a B. b <a <c C. c <a <b D. a <b <c二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为______ .(结果用数字表示)12. 命题“∃x ∈Q ，x 2−2=0”的否定是______ ．13. 曲线y =sinx 在点A 处的切线方程为________．14. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为______．15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD ，E 为BC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，并且f(x)在[α,β]上为减函数． (1)求a 的取值范围； (2)求证：2<α<4<β；(3)若函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的最大值为M ，求证：0<M <1． 17. (1)已知全集U =R ，集合A ={x|x <−4，或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}，求A ∩B 、(∁U A)∪(∁U B)；(2)求值：若x >0，求(2x 14+332)(2x 14−332)−4x −12(x −x 12)．18. 求二项式(1+2x)500的展开式中项系数最大的项．19. 彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张．计算至少抽中1张的概率．20. 已知函数f(x)=−x 3+x 2+x +a ，g(x)=2a −x 3(x ∈R,a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)求函数f(x)的极值．(3)若任意x∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由题意可知：∵log2(x−1)<1，∴x−1>0且x−1<2，即1<x<3，∴N={x|1<x<3}，∴C u N={x|x≤1或x≥3}又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥−2a}，而M∩(∁∪N)={x|x=1，或x≥3}，∴−2a=1，∴a=−12故选C．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的时，应先将集合的元素具体化，然后再逐一利用交并补运算即可获得参数的结果．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的过程当中充分体现了解不等式的知识、交并补运算的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．2.答案：B解析：解：当a−b<0，即a<b时，ab>0，此时a<b<0或0<a<b，当a−b>0，即a>b时，ab<0，此时b<0<a，即ab(a−b)<0的等价条件为a<b<0或0<a<b或b<0<a，A.由0<1a <1b得0<b<a为既不充分也不必要条件，B.由0<1b <1a得0<a<b，为充分不必要条件C.由1a <1b得0<b<a或b<a<0或a<0<b，为既不充分也不必要条件，D.由1b <1a得0<a<b或a<b<0或b<0<a，为既不充分也不必要条件，故选：B．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及倒数的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：当x<1时，f(x)=(3−a)x+1递增，则3−a>0，即a<3；当x≥1时，f(x)=a x递增，则a>1；由于f(x)在R上递增，则3−a+1≤a，解得a≥2，则有2≤a<3．故选C．运用一次函数和指数函数的单调性，注意x=1的情况，即3−a+1≤a，解出它们，再求交集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，考查一次函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=2cosx，其导数f′(x)=2sinx，其导数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f(x)=x3+x2，其导数f′(x)=3x2+2x，其导数不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=sinx⋅cosx+1，其导数f′(x)=cos2x，其导数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)=e x+x，其导数f′(x)=e x+1，其导数不是偶函数，不符合题意，故选：C．根据题意，依次计算选项中函数的导数，判定导函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式以函数奇偶性的判定，属于基础题．5.答案：A解析：解：由alnx+x2−(a+2)x=0得a=x2−2xx−lnx令g(x)=x2−2xx−lnx ，则g′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，g(x)=x2−2xx−lnx，在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以g(x)min=g(1)=−1，又当x∈(0,1)时，x2−2x<0，g(x)=x2−2xx−lnx<0，所以实数的取值范围是(−1,0)．故选：A ．通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力． 6.答案：A解析：解：如图，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且∠B =π3，AB =1，BC =2，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1−λ)|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×2×12(1−λ)+4λ=2， 解得λ=13．故选：A ．利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，列式求得λ值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题． 7.答案：C解析：试题分析：因为，，所以，，，故选C ．考点：指数函数、对数函数，分段函数．8.答案：A解析：解：设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，∴两人中恰有一人击中敌机的概率：p =P(AB +AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=15×(1−14)+(1−15)×14=720．故选：A ．设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，由此能求出两人中恰有一人击中敌机的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率计算公式的求法． 9.答案：C解析：解：∵(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5，令x −1=t ，则x =t +1， ∴(2t +1)5=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 5t 5．(2t +1)5展开式的通项为：T r+1=C 5r (2t)5−r 1r ， 令5−r =3，求得r =2，所以，T 3=C 52(2t)3=80x 3，即a 3=80，故选：C ．由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a 3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10.答案：B解析：解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴在[0,+∞)上为减函数，3)=f(log23)，则f(log 12∵log23=log49>log47>1，0<0.20.4<1，∴log23>log47>0.20.4>0，∴f(log23)<f(log47)<f(0.20.4)，即b<a<c．故选：B．根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，根据对数的运算法则计算对数的大小是解决本题的关键．11.答案：1680解析：解：根据题意，先不考虑限制条件，将6人分为5组，安排到五个不同的岗位服务，有C62A55=1800种安排方法，若甲乙安排在同一岗位服务，有A55==120种安排方法，则有1800−120=1680种安排方法，故答案为：1680．根据题意，用间接法分析，先计算没有限制条件时的安排方法数目，再计算其中“甲乙安排在同一岗位服务”的安排方法数目，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，利用间接法分析，可以避免分类讨论，属于基础题．12.答案：∀x∈Q，x2−2≠0解析：解：“∃x∈Q，x2−2=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，即命题“∃x∈Q，x2−2=0”的否定是∀x∈Q，x2−2≠0．故答案为：∀x∈Q，x2−2≠0．因为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x)，即可得答案本题考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定的书写规则，本题主要是掌握住特称命题的否定是全称命题．13.答案：x−2y+−=0解析：y′=cosx，y′|x==，所以曲线在A点处的切线方程为y−=.即x−2y+−=0．14.答案：49 解析： 本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的基础知识，是基础题． 利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式直接求解．解：某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p =C 32(23)2(13)=49． 故答案为：49． 15.答案：54解析：由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想应用．解：由题意作图如右图，∵AB//CD ，AB =2CD ，∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E 为BC 中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =12，y =34， 故x +y =54故答案为54． 16.答案：解：(1)按题意得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，∴{α−2α+2>0α−1>0即α>2，又log aβ−2β+2=f(x)min=log a a(β−1)，∴关于x的方程log a x−2x+2=log a a(x−1)在(2,+∞)内有两个不等实根x=α、β，⇔关于x的二次方程ax2+(a−1)x+2(1−a)=0在(2,+∞)内有两个异根α、β，，解得0<a<19，故0<a<19.(2)令Φ(x)=ax2+(a−1)x+2(1−a)，则Φ(2)⋅Φ(4)=4a⋅(18a−2)=8a(9a−1)<0．∴2<α<4<β.(3)∵g(x)=log a(x−1)(x+2)x−2+1，g′(x)=1lna⋅x−2(x−1)(x+2)⋅(2x+1)(x−2)−(x2+x−2)(x−2)2=1lna ⋅x(x−4)(x+2)(x−1)(x−2)．∵lna<0，∴当x∈(α,4)时，g′(x)>0；当x∈(4,β)是g′(x)<0．又g(x)在[α,β]上连接，∴g(x)在[α,4]上递增，在[4,β]上递减．故M=g(4)=log a9+1=log a9a.∵0<a<19，∴0<9a<1．故M>0．若M≥1，则9a=a M．∴9=a M−1≤1，矛盾．故0<M<1.解析：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中(1)的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.并由此构造关于a 的不等式组，(2)的关键是构造函数Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，将问题转化为函数零点判断问题，(3)的关键是利用导数法，判断出M =g(4)．(1)由已知中f(x)在[α,β]上为减函数函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，我们可得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α>2，同理β>2，故关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.由此构造关于a 的不等式组，解不等式组即可求出a 的取值范围；(2)令Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，我们易得Φ(2)⋅Φ(4)<0，进而根据零点存在性定理，结合(1)中的结论，得到答案；(3)由已知中函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M =g(4)=log a 9+1，结合(1)中a 的取值范围，即可得到答案．17.答案：解：(1)∵B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，集合A ={x|x <−4，或x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，∴∁U A ={|−4≤x ≤1}，∁U B ={x|x <−2，或x >3}，∴(C U A)∪(C U B)={x|x ≤1，或x >3}(2)原式=(4x 12−33)−4x 12+4=−23解析：(1)求出集合B ，然后直接求A ∩B ，通过(C U A)∪(C U B)C U (A ∩B)求解即可；(2)根据指数幂的运算性质即可求出．本题考查集合的基本运算，转化思想与分类讨论思想的应用，考查计算能力．18.答案：解：根据题意，(1+2x)500的展开式的通项为T r+1=C 500r (2x)r ，其系数为2r ×C 500r ， 设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1， 解可得：10003≤r ≤334，故当r =334时，展开式中项系数最大，则有T 335=C 500r 2334x 334；即系数最大的项为T 335=C 500r 2334x 334．解析：根据题意，求出(1+2x)500的展开式的通项，求出其系数，设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1，解可得n 的值，代入通项中计算可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19.答案：解：彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张，则每次抽取时的中奖概率都是13，则这三张都没有中奖的概率为(1−13)3=827，故至少抽中1张的概率为1−828=1927．解析：由题意根据相互独立事件的概率，等可能事件的概率求出这三张都没有中奖的概率，可得结论．本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件、对立事件的概率，属于基础题． 20.答案：解：(1)f (x )=−x 3+x 2+x +a ，f′(x )=−3x 2+2x +1，令f′(x )=−3x 2+2x +1=0，得x 1=−13 ，x 2=1．令f′(x )>0，得−13<x <1．.·.函数f(x)的单调递增区间为(−13,1)，令f ′(x )<0，得x <−13，或x >1．单调递减区间为(−∞,−13)与(1,+∞).(2)由(1)可知当x =−13时，函数f(x)取得极小值，函数的极小值为f (−13)=a −527当x =1时，函数f(x)取得极大值，函数的极大值为f(1)=a +1，(3)若任意x ∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，即对于任意x ∈[0,1]，不等式a ≥x 2+x 恒成立，设ℎ(x)=x 2+x ，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=2x +1，∵x ∈[0,1]，∴ℎ′(x)=2x +1>0恒成立，∴ℎ(x)=x 2+x 在区间[0,1]上单调递增，∴[ℎ(x )]max =ℎ(1)=2∴a≥2，∴a的取值范围是[2,+∞)解析：(1)利用导数来求出函数的单调区间．(2)利用导数来求出函数的极值，利用(1)的结论．(3)不等式g(x)≥f(x)恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，ℎ(x)=x2+x，x∈[0,1]，利用导数，求出ℎ(x)的最大值，问题得以解决．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等知识点，属于中档题．。

滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（共12小题） 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于( ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．“(2,)x ∀∈+∞，220x x ->”的否定是( )A ．0(2,)x ∃∈+∞，2020x x -≤ B ．(2,)x ∀∈+∞，220x x -≤C ．0(,2)x ∃∈-∞，2020x x -≤ D ．(,2)x ∀∈-∞，220x x ->3．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列结论一定成立的是( ) A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．a c b c ->-4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若312,12a S ==，则6a =( ) A ．8B ．10C ．12D ．145．已知等比数列{}n a 中，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S =( )A ．31B ．32C ．63D ．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为( ) A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里7．已知双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．53±B ．35±C ．54±D ．45±8．“b 是11b 是2与2( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是( )A ．2B ．4C ．D ．10．已知双曲线22221(0,0)y a x b a b-=>>，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．2211612x y -=D ．2211216x y -=11．若0a >，0b >，31a b +=，11a a b++则的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．512．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．2B ．4C D二．填空题（共8小题）13．已知复数(z i i =-为虚数单位），则||z = ．14．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =-r ，向量(3,2,1)v =-r与平面α平行，则z 等于 ． 15．不等式302x x -<+的解集为 ． 16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()n n a na n N +=∈，则34a a += ．17．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为 ．18．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标2，则p = ，直线l 的方程为 ．（本题第一空2分，第二空3分）19．已知{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，则a 的取值范围是 ． 20．给出下列四个命题①已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则12PF F ∆的周长是8；②已知M 是双曲线22145x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则||1MF …；③已知直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则121240x x y y +=；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，若静放在点1F 的小球（小球的半径忽略不计）从点1F 沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ．其中正确命题的序号为 （请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共4小题） 21．（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，74=9S a +且有1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，O 为AD 中点，1AB =，2AD =，5AC CD ==．（1）证明：直线//AB 平面PCO ； （2）求二面角P CD A --的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点N ，使AN ⊥平面PCD ，若存在，求线段BN 的长度；若不存在，说明理由．23．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n n S n N +=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．24．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2，离心． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点． （ⅰ）若1k =，求OAB ∆面积的最大值；（ⅱ）若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值．滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二年级数学 参考答案一．选择题（共12小题）二．填空题（共8小题）13. 2 14. —9 15. (2,3)- 16. 817.18. 2；10x y +-= 19. 19(,)(,)44-∞-+∞U 20. ② ③ 三．解答题（共4小题） 21．【解答】（本小题满分12分）解：（1）{}n a 为公差d 不为零的等差数列，其中1a ，4a ，5a 成等比数列， 可得24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+，可得123d a =， 又74=9S a +，∴114669a d a d +=++，即1=3a∴2d =，即21n a n =+，*n N ∈；（2）由（1）可得(321)(2)2n n nS n n ++==+ ∴11111=()(2)22n S n n n n =-++， 前n 项和：111111111111(1)232435*********(1)22123123=42(1)(2)n T n n n n n n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++=+--+++-⋅++．22．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：在平面ABCD 中，AC CD =Q ，O 为AD 的中点， CO AD ∴⊥，由AB AD ⊥，//AB CO ∴，AB ⊂/Q 平面PCO ，CO ⊂平面PCO ，∴直线//AB 平面PCO ；（2）解：PA PD =Q ，PO AD ∴⊥．又PO ⊂Q 平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ． CO ⊂Q 平面ABCD ，PO CO ∴⊥．AC CD =Q ，CO AD ∴⊥，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)，(2C ，0，0)，(0D ，1-，0)，(0P ，0，1)． (0,1,1)PD =--u u u r ，(2,0,1)PC =-u u u r．设平面PCD 的法向量为(n x =r，y ，)z ，则020n PD y z n PC x z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，令2z =，则1x =，2y =-．∴(1n =r ，2-，2)． 又平面ABCD 的法向量为(0OP =u u u r，0，1)，22cos ,313||||n OP n OP n OP ∴<>===⨯u u u r r u u ur g r u u u r r g ． ∴二面角P CD A --的余弦值为23； （3）解：若存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ， 则存在[0λ∈，1]使得(1,1,1)(,,)BN BP λλλλλ==--=--u u u r u u u r，因此(1,0,0)(,,)(1,,)AN AB BN λλλλλλ=+=+--=--u u u r u u u r u u u r．AN ⊥Q 平面PCD ，由（2）得平面PCD 的法向量为(1n =r，2-，2)． ∴//AN n u u u r r ，即1122λλλ--==-．解得2[03λ=∈，1]，∴存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ，此时223||||3BN BP ==．23．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由2(*)2n n nS n N +=∈，得111a S ==．当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．11a =适合上式，n a n ∴=；（2）2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅，设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①则234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②①-②得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+． 所以2122(21)2n n n A +=+-；则2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+ 24．【解答】（本小题满分13分） 解：（1）由题设知2a =，c e a ==所以c 2431b =-=． 因此，2a =，1b =．⋯（2分）（2）()i 由（1）可得，椭圆C 的方程为2214x y +=．设点(P m ，0)(22)m -剟，点1(A x ，1)y ，点2(B x ，2)y ． 若1k =，则直线l 的方程为y x m =-． 联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x mx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩．将y 消去，化简得2252104x mx m -+-=．解得1x =，2x =从而有，1285m x x +=，2124(1)5m x x -=g ， 而11y x m =-，22y x m =-，因此，||AB=， 点O 到直线l的距离d所以，1||||2OAB S AB d m ∆=⨯⨯， 因此，24(25OAB S ∆= 22222455)()1252m m m m -+-⨯=g …． 又22m -剟，即2[0m ∈，4]．所以，当225m m -=，即252m =，m =OAB S ∆取得最大值1 （ⅱ）设直线l 的方程为()y k x m =-．将直线l 与椭圆C 的方程联立，即22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩． 将y 消去，化简得22222(14)84(1)0k x mk x k m +-+-=， 解得，2122814mk x x k +=+，221224(1)14k m x x k -=+g ． 所以2222221122()()PA PB x m y x m y +=-++-+22212123()2()224x x m x x m =+-+++ 2422222(862)(14)(88)(14)m k k k k k --++++=+ (*)．因为22PA PB +的值与点P 的位置无关，即(*)式取值与m 无关，所以有428620k k --+=，解得12k =±． 所以，k 的值为12±．。

2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】C【解析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2．在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】 解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】 解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．20里 B ．10里C ．5 里D ．2.5 里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =；111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ）A ．2B ．10C D ．【答案】D【解析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x =∴2p=p = 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6．已知函数2ln ()xf x x=,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A ．3ln xx B ．31xC ．31ln x x -D ．312ln x x - 【答案】D【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】 解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D . 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7．正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．15C ．14D ．13【答案】A【解析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8．曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．0x y -= C ．20x y +-= D ．210x y --=【答案】A【解析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可． 【详解】 解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ． 【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163-=x yD ．22184x y -=【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解. 【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=故选：B 【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-1,0] B ．[0,1) C ．(-1,1) D ．[-1,1]【答案】D【解析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可. 【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.二、填空题 11．i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】 解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+2131222i i i +∴=+==-故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12．已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____. 【答案】22e【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】 解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e 【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2【解析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】 解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14．已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞【解析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x <+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题 1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立， 令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<； 即()1g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增； ()()min11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15．设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4【解析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】 解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab abab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题16．已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间. 【详解】 解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b == （Ⅱ）22()323()3af x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x = . 因为0a >,所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞时，()0f x '> ；20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得. 【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =- 又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB n PB n PB n⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【解析】（Ⅰ）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和. 【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立, 所以*21()n a n n =-∈N 即1212b a =-=,44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2nn b =,有(21)2n n n a b n =-⨯ 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b +=的长轴长为4,.(I)求C 的方程；(II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =-计算出b 的值，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上. 【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==,又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=.（Ⅱ）由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2ky x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解,故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k =+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题. 20．已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥. 【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立. 【详解】 解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值.（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-= 由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-<故()f x 在()0,π存在唯一零点.设为0x ,则00()()0g x f x '== 当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<, 所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥. 故2sin cos x x x x -≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。

天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量)0,1,1(-=，)1,1,(-=m ，若⊥，则实数=m(A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件(C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为(A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里5.若抛物线0)>2px (p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A) 2 (B) 10 (C)7(D) 72 6.已知函数2ln )(x x x f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A) 3ln x x (B) 31x (C) 3ln 1x x - （D)3ln 21x x - 7.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A) 0 (B) 51 (C) 41 （D) 31 8.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A) 012=+-y x (B) 0=-y x (C) 02=-+y x (D) 012=--y x9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A) 1222=-y x (B) 12422=-y x (C) 13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1]第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.i 是虚数单位，则|12|i i -+的值为 . 12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为. 13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为 . 15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则ab b a )1)(4(22++的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.17.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为 PC 的中点.(I) 证明：DE ∥平面PAB;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22. (I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M, 连结心并延长交C 于点N.求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20.(本小题满分、12分）已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.。

天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可判断函数的极值情况。

天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀∈R，2+1≥0，则￢p为（）A．B．C．D．∀∈R，2+1＜02．（4分）抛物线y2=﹣4的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（+1）2+（y+1）2=1 C．（+1）2+（y+1）2=2 D．（﹣1）2+（y ﹣1）2=25．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．36．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=2的准线方程为．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=．11．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=．12．（4分）抛物线y2=8的焦点到直线﹣y=0的距离是．13．（4分）若抛物线y2=4上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：2+y2﹣2﹣4y=0，直线l：3﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀∈R，2+1≥0，则￢p为（）A．B．C．D．∀∈R，2+1＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀∈R，2+1≥0，则￢p为：．故选：C．2．（4分）抛物线y2=﹣4的焦点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）【解答】解：抛物线y2=﹣4的开口向左，p=2，焦点坐标是：（﹣1，0）．故选：B，3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为4，短轴为2，可得a=2，b=1，则c==．可得e==．故选：A．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（+1）2+（y+1）2=1 C．（+1）2+（y+1）2=2 D．（﹣1）2+（y ﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．5．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．3【解答】解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：B．6．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题，所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题，则“p∨q”真，其余为假，故选：D7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＞b，c=0时，ac2＞bc2不成立，即充分性不成立，当ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选：B8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，故选C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=2的准线方程为．【解答】解：抛物线y=2的开口向上，p=，所以抛物线的准线方程：．故答案为：．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：211．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=1．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得：，解得a=1．故答案为：1．12．（4分）抛物线y2=8的焦点到直线﹣y=0的距离是1．【解答】解：由抛物线y2=8得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线﹣y=0的距离d==1．故答案为：1．13．（4分）若抛物线y2=4上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．【解答】解：∵抛物线y2=4=2p，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=+=+1，∴=3，代入抛物线方程可得y=±2．则点P的坐标为：．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：2+y2﹣2﹣4y=0，直线l：3﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．【解答】解：（1）圆C：2+y2﹣2﹣4y=0整理得（﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心（1，2），半径为．（2）圆心（1，2）到直线l：3﹣y﹣6=0的距离==，弦AB的长度==．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．【解答】解：（Ⅰ）因为的渐近线方程，，所以，解得离心率，则，与椭圆有相同的焦点（5，0），即c=5，a=4，双曲线c2=a2+b2，得b=3，双曲线方程．（Ⅱ）因为离心率，所以．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，，且a2=b2+c2，所以a=2，，则椭圆方程．（Ⅱ）解：因为，=，直线QF1：，可得，整理得：，解得：，则，所以==．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．【解答】（Ⅰ）解：椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，所以c=1，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．所以，，c=1且a2=b2+c2，得b=1，则椭圆方程：．（Ⅱ）解：设A（1，y1），B（2，y2）当AB垂直于轴时，直线l的方程=1，不符合题意；当AB不垂直于轴时，设直线l的方程为y=（﹣1），得（1+22）2﹣42+2（2﹣1）=0，，=因为，所以，则，1•2+y1•y2=0，得，直线l的方程为．。

天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市西青区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】．故选D．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．2 “”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B【分析】根据与互相推出的结果判断出是的何种条件.【详解】因为时，，所以不一定成立，又因为时，，所以一定成立，所以是的必要非充分条件.故选B.【点睛】根据若则的形式，如果，则是的充分条件，反之则是非充分条件；如果，则则是的必要条件，反之则是非必要条件.3 .已知空间向量1，，，且，则A. －3B. －1C. 1D. 2【答案解析】 C【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4 设等差数列{an}的前n项之和为Sn，已知，则（）A. 12B. 20C. 40D. 100【答案解析】 B分析：由等差数列的通项公式可得，由可得，从而可得结果.详解：由等差数列的前项和的公式得：，即，从而，故选B.点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5 抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案解析】 B焦点坐标是 ,选B.6 数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】将数列的通项公式化简变形,结合裂项法即可求得.【详解】数列的前项和为,若则所以故选:C 【点睛】本题考查了裂项求和法的应用,属于基础题.7 设.若是与的等比中项，则的最小值为（）A. B. 3 C. D.【答案解析】 A【分析】根据等比中项定义,可得等量关系.结合基本不等式中“1”的代换,即可求得的最小值.【详解】根据等比中项定义,可知化简可得所以因为.则当且仅当时取等号,即故选:A【点睛】本题考查了等比中项定义简单应用,基本不等式求最值,属于中档题.8 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，双曲线C1、C2的离心率相同.若M是双曲线C2一条渐近线上的点，且（O为原点），若，则双曲线C2的方程为（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】根据双曲线可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线中的关系;由双曲线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得,表示出,再根据求得的关系,结合双曲线中解方程组即可求得,进而得双曲线的方程.【详解】双曲线则其离心率为设,双曲线的一条渐近线方程为,即则由可得,所以又因为双曲线、的离心率相同则, 解方程组可得所以双曲线的方程为故选:D【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法,属于中档题.9 命题：. 则为_____________．【答案解析】【分析】根据全称量词的否定,即可得解.【详解】命题：由全称量词的否定可得命题:故答案为:【点睛】本题考查了全称命题的否定形式,属于基础题.10 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为．【答案解析】或试题分析：当双曲线焦点在x轴上时，可设标准方程为（a＞0，b＞0），此时渐近线方程是，与已知条件中的渐近线方程比较可得b=2a，最后用平方关系可得c= a，用公式可得离心率e==；当双曲线焦点在y轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为．由此可得正确答案．解：（1）当双曲线焦点x轴上时，设它的标准方程为（a＞0，b＞0）∵双曲线的一条渐近线方程是2x﹣y=0，∴双曲线渐近线方程是，即y=±2x∴⇒b=2a∵c2=a2+b2∴== a所以双曲线的离心率为e==（2）当双曲线焦点在y轴上时，设它的标准方程为（a＞0，b＞0）采用类似（1）的方法，可得⇒∴==所以双曲线的离心率为e==综上所述，该双曲线的离心率为或故答案为或考点：双曲线的简单性质．11 已知等比数列{an}中，，则_________.【答案解析】【分析】先将式子通分化简，结合等比数列通项公式化简，可得关于的一元二次方程.解得的值，代入中检验值是否符合要求，舍去不符合要求的解.【详解】等比数列中，，通分可得，即，所以由等比数列通项公式可知，化简可得，解得或，当时，与矛盾，当时，，解得，综上可知，，故答案为: .【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，注意检验所求的公比是否符合题意，属于基础题.12 以下五个命题中：①若，则的取值范围是；②不等式，对一切x恒成立，则实数a的取值范围为；③若椭圆的两焦点为、，且弦AB过F1点，则的周长为16；④若常数，a、b、c成等差数列，则，，成等比数列；⑤数列{an}的前n项和为Sn =+2n－1，则这个数列一定是等差数列.所有正确命题的序号是_____________.【答案解析】④【分析】对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当和两种情况,即可判断;对于③根据椭圆方程求得,求得的周长, 即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质,即可判断;对于⑤根据数列中,结合首项即可判断数列是否为等差数列.【详解】对于①,,则,所以,故①错误; 对于②,当时,不等式变为,对一切x恒成立,所以成立;当时,由二次函数的性质可知,解得.综上可知,故②错误;对于③,椭圆.则.弦过点,则的周长为,故③错误;对于④,,,成等差数列则.常数,则,所以,,成等比数列,故④正确;对于⑤,数列的前项和为,当时,代入解得.当时,由可得,化简可得.且,所数列是从第二项开始的等差数列.故⑤错误.综上可知,正确的为④.故答案为: ④【点睛】本题考查了不等式性质的简单应用,一元二次不等式恒成立问题,椭圆中焦点三角形的周长求法,等差中项与等比中项的简单应用,根据求通项公式及等差数列的判断,综合性强,属于中档题.13 《张丘建算经》卷上第22题中“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加______________尺.【答案解析】【分析】由题意可知,该女子每天织布的量成等差数列,由等差数列的前n项和公式即可求得解. 【详解】由题意可知, 该女子每天织布的量成等差数列,设该女子每天织布增加尺.由等差数列的前n项和公式代入可得解得所以该女子织布每天增加尺故答案为:【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用,属于基础题.14 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是________.【答案解析】【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，① ，② ，③ 将代入得，代入得，再代入得，得，故答案为.15 已知递增的等比数列{an}满足且是的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若是数列{bn}的前n项和，求的值．【答案解析】（1）（2）【分析】（1）根据等差中项性质,结合等比数列通项公式,解方程组即可求得公比.由等比数列为递增数列舍去不符合要求的.将符合要求的代入方程可得,进而得数列的通项公式;（2）根据对数运算化简即可求得数列的通项公式,结合等差数列的前n项和公式即可求得的值.【详解】（1）等比数列为递增数列,等差中项性质可得结合等比数列通项公式可得解方程组可得或当数列为递减数列,不符合题意所以,代入可得所以即（2）由（1）可得则为数列的前项和所以由等差数列前n项和公式可得即【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,等差中项的应用,等差数列前n项和的简单应用,属于基础题.16 解关于不等式：【答案解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，试题分析：当时，；当时，当时，；当时，；当时，考点：解不等式点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小17 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线：交于点，抛物线的准线过双曲线的左焦点.（1）求抛物线与双曲线的标准方程；（2）若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.【答案解析】（1）抛物线方程为;双曲线的方程为.（2）直线的方程为或【分析】（1）根据抛物线的准线过双曲线的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为,代入即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方程,进而得双曲线的,由双曲线中的关系及代入,解方程可求得,即可得双曲线的标准方程.（2）讨论直线的斜率和两种情况:当时一定成立,由所过定点坐标可得直线方程;当时,联立直线与抛物线方程,由判别式即可求得斜率,再由点斜式可得直线方程.【详解】（1）因为抛物线的准线过双曲线的左焦点,设抛物线方程为由抛物线过,代入可得解得,所以抛物线方程为抛物线的准线方程为,所以双曲线的同时将代入双曲线方程,即解方程组可得所以双曲线的标准方程为（2）斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点当时,直线方程为,满足题意当时,直线可设为则,化简可得由与直线抛物线只有一个公共点可得解得,所以直线的方程为综上可得直线的方程为或【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的应用,直线与抛物线位置关系的应用,属于基础题.18 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，是矩形，平面平面.，，且点E为AB的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点P，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案解析】（1）证明见解析;（2）（3）不存在,理由见解析【分析】（1）根据菱形与矩形性质,可得,,因而.所以可知四边形为平行四边形.由中位线定理可证明,即可由线面平行判断定理证明平面;（2）根据题意建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得和平面的法向量,即可求得与夹角的余弦值,即为与平面所成角的正弦值;（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设出点的坐标,并求得平面和平面的法向量,根据夹角为及向量数量积运算,求得的值,再判断是否符合在线段上,即可说明.【详解】（1）证明:因为四边形是菱形,是矩形,所以,所以所以四边形为平行四边形设对角线的交点为,连接由点为的中点,点为的中点根据中位线定理可得,又因为平面,平面,所以平面.（2）因为是矩形,且平面平面.所以平面.又因为所以则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系因为且点为的中点则则,设平面的法向量为则,代入可得令,解得所以设直线与平面所成角为则即直线与平面所成角的正弦值为（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设则设平面的法向量为则,代入可得令,则又因为平面的法向量为所以由二面角大小为可得解得因为,所以不合题意所以线段上不存在点,使二面角的大小为【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的应用,根据面面夹角判断是否满足某种条件的点是否存在,属于中档题.19 已知数列{an}的前n项和为Sn，，，数列{bn}中，，满足.（1）求出{an}，{bn}的通项公式；（2）设，数列{cn}的前n项和为，求使得时，对所有的恒成立的最大正整数值.【答案解析】（1）,（2）6【分析】（1）根据,结合递推公式作差,即可证明为等比数列,结合即可得的通项公式;将变形,结合累乘法即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得数列的通项公式.由错位相减法可求得数列的前项和.根据的单调性可求得的最小值,代入解不等式即可求得最大正整数值.【详解】（1）由题意则,（）两式相减可得化简可得由所以数列是以为首项,以为公比的等比数列则数列中,,满足.即等式左右两边分别相乘可得而所以（2）,由（1）可得数列的前项和为则两式相减可得所以即因为为递增数列,所以故只需变形可得所以即最大正整数值为【点睛】本题考查了根据递推公式求数列的通项公式,累乘法在求数列通项公式中的应用,错位相减法求数列的前n项和,不等式中的恒成立问题,综合性强,属于中档题.20 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．【答案解析】 (1)＋＝1. (2)【详解】试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.因为椭圆C的离心率为，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(Ⅱ)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1＋x2＝.所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－.在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.当k时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.所以－≤y0或0y0≤.综上，y0的取值范围是.考点：本试题考查了椭圆的知识．点评：对于椭圆方程的求解主要是根据其性质满足的的a,b,c的关系式来解得，同时对于直线与椭圆的相交问题，一般采用联立方程组的思想，结合韦达定理和判别式来分析参数的范围等等，或者研究最值，属于中档题．。