《等腰三角形》同步练习及答案1
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2.2 等腰三角形 1.(1)等腰三角形的两边长分别是3和5,则它的周长为11或13;(2)等腰三角形的两边长分别为1和3,则它的周长为7.2.(1)等腰三角形的周长为10 cm ,腰比底边长2 cm ,则腰长为4cm ;(2)等腰三角形的周长为21 cm ,其中一边长为9 cm ,则它的底边长为9或3cm.3.等腰三角形的两边长是两个连续的偶数,周长为20,则该等腰三角形的腰长为6.4.等腰三角形的腰长与底边的比为2∶3,其周长为28,则底边长为12.5.等腰三角形的一边长是8,周长是18,那么它的腰长是(D )A .8B .5C .2D .8或56.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是(C )A .过顶点的直线B .底角的角平分线所在直线C .顶角平分线所在的直线D .腰上的高所在的直线7.等腰三角形的周长为8,其中两边的差为1,则它的腰长为(D )A. 2B. 2或73C. 73D. 3或738.等腰三角形的周长为13,各边长均为自然数,这样的三角形有(D )A .0个B .1个C .2个D .3个(第9题)9.如图,AB ,AC 是等腰△ABC 的两腰,AD 平分∠BAC ,△BCD 是等腰三角形吗?试说明理由.【解】 △BCD 是等腰三角形.理由如下:∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD.∵AB ,AC 是等腰△ABC 的两腰,∴AB =AC.在△ABD 与△ACD 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠BAD =∠CAD ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD(SAS ),∴BD =CD.∴△BCD 是等腰三角形.10.已知等腰三角形的底边长和一腰长是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =4,3x +y =7的解,求这个三角形的各边长. 【解】 解⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =4,3x +y =7,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1.∴边长分别为2,1,1或2,2,1.∵2,1,1不能构成三角形,∴各边长分别为2,2,1.11.如图,直线l 1,l 2交于点B ,点A 是直线l 1上的点,在直线l 2上寻找一点C ,使△ABC 是等腰三角形,请画出所有等腰三角形.(第11题)【解】 分类讨论:若AB 为腰,B 为顶角顶点,可作出点C 1,C 2;若AB 为腰,A 为顶角顶点,可作出C3;若AB为底边,可作AB的中垂线交l2于点C4.故共有4个等腰△ABC(如图).(第12题)12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高线,点E,F是AD的三等分点.若△ABC 的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是__6__cm2.【解】把△ACD沿AD向左边翻折,则阴影部分的面积即为△ABD的面积,S△ABD=12S△ABC=6 cm2.(第13题)13.如图,已知正方形ABCD,在正方形ABCD所在的平面内找一点P,使△PAB,△PAD,△PCD,△PBC均为等腰三角形,则这样的点P有__9__个.【解】分类讨论:当点P在正方形ABCD内时,满足条件的点P有5个;当点P在正方形ABCD外时,满足条件的点P有4个.故满足条件的点P有9个.14.一个等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长.【解】当3x-2=4x-3,即x=1时,三边长分别为1,1,4,由于1+1<4,故不能构成三角形;当3x-2=6-2x,即x=1.6时,三边长分别为2.8,3.4,2.8,由于2.8+2.8>3.4,故能构成三角形,此时周长为9;当4x-3=6-2x,即x=1.5时,三角形三边长分别为2.5,3,3,由于2.5+3>3,故能构成三角形,此时周长为8.5.综上所述,三角形的周长为9或8.5. 15.已知等腰三角形ABC 中,AB =AC ,AC 边上的中线BD 将它的周长分成9 cm 和8 cm 的两部分,求其一腰长.【解】 若AB +AD =9 cm ,则BC +CD =8 cm.如解图①,设AD =x (cm),则AB =AC =2x (cm),∴2x +x =9,解得x =3.∴AB =AC =6 cm ,BC =5 cm.∵5+6>6,∴能构成三角形,此时腰长为6 cm.(第15题解)若AB +AD =8 cm ,则BC +CD =9 cm.如解图②,设AD =y (cm),则AB =AC =2y (cm),∴2y +y =8,解得y =83. ∴AB =AC =163 cm ,BC =193cm. ∵163+163>193, ∴能构成三角形,此时腰长为163cm. 综上所述,这个三角形的腰长为6 cm 或163cm.。
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题(附答案)1.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,点D在AC上,BC=BD,DE∥BC交AB 于点E,则图中等腰三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个2.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ABD的度数为()A.30°B.40°C.20°D.25°3.以下列各组数据为边长,可以构成等腰三角形的是()A.1,1,2B.1,1,3C.2,2,1D.2,2,54.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,下列叙述结论错误的是()A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BCC.点D是线段AC的中点D.AD=BD=BC5.若(a﹣2)2+|b﹣3|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为()A.6B.7C.8D.7或86.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.7.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=cm.8.如图,△ABC中.点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B为度.9.如图,P、M、N分别是△ABC三边上的点,BM=BP,CP=CN,∠MPN=40°,则∠A =.10.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别为AB、AC上的点,∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G,EG∥AB.若∠BGE=110°,则∠BDF的度数为11.如图,在△ABC中,若AB=AC,∠A=40°,O点是△ABC的角平分线BD及高线CE 的交点,则∠DOC的度数为.12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE =∠BAD.13.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F.求证:AF平分∠BAC.14.如图所示,△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数;(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD=∠B.15.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.16.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O (1)求证:OB=OC;(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.17.如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.18.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.19.如图,△ABC中,AC=BC,点D在BC上,作∠ADF=∠B,DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.(1)求证:CF∥AB;(2)若∠CAD=20°,求∠CFD的度数.20.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,∠BAD=30°,AD=AE,求∠EDC的度数.参考答案1.解:在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=∠C==72°,∴△ABC是等腰三角形,∴∠DBC=36°,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,∴AD=BD,EB=ED,即△ABD和△EBD是等腰三角形,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,即△BCD是等腰三角形,∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.故选:C.2.解:∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=20°.故选:C.3.解:A、∵1+1=2,∴本组数据不可以构成等腰三角形;故本选项不符合题意;B、∵1+1<3,∴本组数据不可以构成等腰三角形;故本选项不符合题意;C、∵1+2>2,且有两边相等,∴本组数据可以构成等腰三角形;故本选项符合题意;D、∵2+2<5,∴本组数据不可以构成等腰三角形;故本选项不符合题意;故选:C.4.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C==72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=36°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD,∴BD平分∠ABC,故A正确;∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故B正确;∵∠DBC=36°,∠C=72°,∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC,故D正确;∵BD>CD,∴AD>CD,∴点D不是线段AC的中点,故C错误.故选:C.5.解:∵(a﹣2)2+|b﹣3|=0,∴a﹣2=0,b﹣3=0,解得a=2,b=3,①当腰是2,底边是3时,三边长是2,2,3,此时符合三角形的三边关系定理,即等腰三角形的周长是2+2+3=7;②当腰是3,底边是2时,三边长是3,3,2,此时符合三角形的三边关系定理,即等腰三角形的周长是3+3+2=8.故选:D.6.解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°,∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形,∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°,∴∠ADC=130°,当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°,故答案为:130°或90°.7.解:在Rt△ADB与Rt△ADC中,,∴Rt△ADB≌Rt△ADC,∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB,∵S△ABC=AC•BF,∴AC•BF=3AB,∵AC=AB,∴BF=3,∴BF=6.故答案为6.8.解:∵AD=AC,点E是CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°﹣∠CAE=74°,∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°,∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74°,∴∠B=37°,故答案为37°.9.解:∵∠MPN=40°,∴∠BPM+∠CPN=140°,∵BM=BP,CP=CN,∴∠BMP=∠BPM,∠CPN=∠CNP,∴∠BMP+∠CNP=140°,∴∠B+∠C=80°,∴∠A=100°.故答案为:100°.10.解:∵EG∥AB,∠BGE=110°,∴∠B=180°﹣∠BGE=70°,∠CEG=∠A,∠GED=∠ADE.∵AB=AC,∴∠C=∠B=70°,∠A=180°﹣∠B﹣∠C=40°,∴∠CEG=∠A=40°,∵EG平分∠CED,∴∠GED=∠CEG=40°,∴∠ADE=∠GED=40°,∴∠BDE=180°﹣∠ADE=140°.∵DF平分∠BDE,∴∠BDF=∠BDE=70°.故答案为70°.11.解:∵在△ABC中,若AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣40°)=70°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠DBC=∠ABC=35°.∵CE是△ABC的高线,∴∠BEC=90°,∴∠BCE=90°﹣∠ABC=20°,∴∠DOC=∠DBC+∠BCE=35°+20°=55°.故答案为55°.12.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.,∴∠CBE=90°﹣∠C,∠CAD=90°﹣∠C,∴∠CBE=∠CAD.,∴∠CBE=∠BAD.13.证明:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD、CE分别是高,∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定义).∴∠CEB=∠BDC=90°.∴∠ECB=90°﹣∠ABC,∠DBC=90°﹣∠ACB.∴∠ECB=∠DBC(等量代换).∴FB=FC(等角对等边),在△ABF和△ACF中,,∴△ABF≌△ACF(SSS),∴∠BAF=∠CAF(全等三角形对应角相等),∴AF平分∠BAC.14.解:(1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,在Rt△FDC中,∴∠C=90°﹣25°=65°,∵AB=BC,∴∠C=∠A=65°,∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°.(2)连接BF∵AB=BC,且点F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=∠ABC,∴∠CFD+∠BFD=90°,∠CBF+∠BFD=90°,∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD=∠ABC.15.证明:∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∴∠ABC=∠CBD+∠D,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D,∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.16.(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD、CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC=∠ECB,∴OB=OC;(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°﹣2×50°=80°,∵∠DOE+∠A=180°∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°.17.证明:过E作EF∥AB交BC延长线于F.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵EF∥AB,∴∠F=∠B,∵∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE,∴CE=EF,∵BD=CE,∴BD=EF,在△DBG与△GEF中,,∴△DGB≌△EGF(AAS),∴GD=GE.18.解:设∠A=x.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x;∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x;∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x,∴∠DBC=x;∵x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72°.19.(1)证明:∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∵∠ACE=∠B+∠BAC,∴∠BAC=,∵CF平分∠ACE,∴∠ACF=∠ECF=,∴∠BAC=∠ACF,∴CF∥AB;(2)解:∵∠BAC=∠ACF,∠B=∠BAC,∠ADF=∠B,∴∠ACF=∠ADF,∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°,∠ACF+∠F+∠CGF=180°,又∵∠AGD=∠CGF,∴∠F=∠CAD=20°.20.解:设∠EDC=x,∠B=∠C=y,∠AED=∠EDC+∠C=x+y,又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y,则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y,又因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以2x+y=y+30,解得x=15.所以∠EDC的度数是15°.。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步选择专项练习题(附答案)1.等腰三角形一边为6,另一边是方程4x﹣5=7的根,则这个等腰三角形的周长为()A.12B.15C.12或15D.不能确定2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为△ABC的高.若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°3.如图,在△ABC中,∠A=α,∠B=∠C,点D是△ABC外一点,E,F分别在AB,AC 上,ED与AC交于点G,且∠D=∠B,若∠1=2∠2,则∠EGF的度数为()A.180°﹣2αB.60°+αC.90°﹣αD.30°+α4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的底角的度数为()A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°5.如图,在等腰三角形ABC中,AC=BC,AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E.若∠BAE=45°,DE=2,则AE的长度为()A.2B.4C.6D.86.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BD=AD,AC=DC,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.46°7.如图,AD=BC,AB=AC=BD,∠D=∠DEA=∠C,则图中一共有()个等腰三角形.A.3B.4C.5D.68.如图,已知点A(2,2),在x轴上确定一点P,使得△AOP为等腰三角形,则满足条件的点P共有()A.5个B.4个C.3个D.2个9.如图,在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形,且AB为其中一条腰,这样的点C个数为()A.8B.9C.10D.1110.如图,△ABC中,IB,IC分别平分∠ABC,∠ACB,DE过点I,且DE∥BC,若AB=A.8B.9C.10D.1111.如图,△ABC中,∠B=2∠C,AD是高,BD=2,CD=7,则AB长为()A.4B.5C.6D.712.如图,DE=11,FG=3,BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB,DE∥BC.则BD+CE=()A.3B.11C.7D.813.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③14.如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°,若EF=2,则DF=()A.3B.4C.5D.615.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.∠ADC=30°,A.B.4C.D.4.516.如图,在等腰三角形ABC中,∠CAB=120°,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.若AD=2,则BE的长为()A.2B.3C.4D.617.如图,△ABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EF∥AB,AE =2,下列结论错误的是()A.∠ADE=30°B.BD=4C.△EFC的周长为18D.△ABC的周长为2118.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°.DE垂直平分AB,交BC于点E.若BE=10cm.则AC=()A.3cm B.4cm C.5cm D.10cm19.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4,点M,N在边AB上,CM=CN.若MN=2,则AM=()A.1B.2C.3D.420.用反证法证明命题“已知在△ABC中,AB=AC,则∠B<90°”时,首先应该假设()A.∠B≥90°B.∠B>90°C.AB≠AC D.AB≠AC且∠B≥90°21.如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,过点D作EF ∥BC,交AB于E,交AC于F,若BE=8,CF=6,则EF的长是()A.4B.2.5C.2D.1.522.已知:如图,△ABC和△DEC都是等边三角形,D是BC延长线上一点,AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD、CE相交于点N,则下列五个结论:①AD=BE;②∠BMC=∠ANC;③∠APM=60°;④AN=BM;⑤△CMN是等边三角形.其中,正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个23.如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当P A=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为()A.B.C.D.不能确定参考答案1.解:∵4x﹣5=7,∴x=3,当腰3时,三角形的三边为3、3、6,此时构不成三角形;当腰为6时,三角形三边的长为3、6、6,此时周长为15;综上,该等腰三角形的周长为15.故选:B.2.解:∵BD为△ABC的高,∴∠BDC=90°.∵∠CBD=20°,∴∠C=90°﹣∠CBD=90°﹣20°=70°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=70°,又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣70°=40°.故选:B.3.解:∵∠A=α,∠B=∠C,∴∠B=∠C=×(180°﹣α)=90°﹣,∴∠D=∠B=90°﹣,∵∠AGE=∠DGF,∴∠A+∠1=∠D+∠2,∵∠1=2∠2,∴α+2∠2=90°﹣+∠2,∴∠2=90°﹣α,∴∠EGF=∠D+∠2=90°﹣+90°﹣α=180°﹣2α,故选:A.4.解:①如图1,当该等腰三角形为钝角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=(90°﹣50°)=20°,②如图2,当该等腰三角形为锐角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=[180°﹣(90°﹣50°)]=70°.故选:D.5.解:设∠C=x,∵ED是AC的垂直平分线,∴∠EDA=90°,EA=EC,∴∠EAC=∠C=x,∵∠BAE=45°,∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+x,∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°+x,∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴2(x+45°)+x=180°,解得:x=30°,∴∠EAC=∠C=30°,∵DE=2,∴AE=2DE=4,故选:B.6.解:设∠B=x°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=x,∵DB=DA,∴∠B=∠BAD=x°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°,∵CD=CA,∴∠ADC=∠CAD=2x°,∵∠C+∠ADC+∠CAD=180°,∴5x°=180°,∴x=36,∴∠B=36°,故选:B.7.解:∵AB=AC=BD,∴△ABD和△ABC是等腰三角形,∵∠D=∠C=∠DEA=∠BEC,∴AD=AE,BC=BE,∴△ADE和△BEC是等腰三角形,∵AD=BC,∴AE=BE,∴△AEB是等腰三角形,故选:C.8.解:(1)若AO作为腰时,有两种情况,当A是顶角顶点时,P是以A为圆心,以OA 为半径的圆与x轴的交点,共有1个,若OA是底边时,P是OA的中垂线与x轴的交点,有1个,当O是顶角顶点时,P是以O为圆心,以OA为半径的圆与x轴的交点,有1个;(2)若OA是底边时,P是OA的中垂线与x轴的交点,有1个.以上4个交点没有重合的,故符合条件的点有4个.故选:B.9.解:如图所示:满足条件的点C有9个,故选:B.10.解:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I,∴∠DBI=∠CBI,∠ECI=∠BCI,∵DE∥BC,∴∠DIB=∠CBI,∠BCI=∠EIC,∴∠DBI=∠DIB,∠ECI=∠EIC,∴DB=DI,EI=EC,∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC=5+4=9.故选:B.11.解:在CD上取一点E,使BD=DE=2,∵CD=7,∴CE=5,∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠AEB=∠B=2∠C,∵∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C,∴∠C=∠EAC,∴AE=CE=5,∴AB=5,故选:B.12.解:∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠DBF=∠CBF,∠ECG=∠BCG,∵DE∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EGC=∠ECG,∴∠DBF=∠DFB,∠EGC=∠ECG,∴BD=DF,EG=CE,∴BD+CE=DF+EG=DE﹣FG=11﹣3=8,故选:D.13.解:∵有两个角等于60°,则第三个角为180°﹣60°﹣60°=60°,∴这个三角形是等边三角形,故①选项符合题意;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,故②选项符合题意;∵三个外角都相等,∴三个内角也都相等,∴这个三角形是等边三角形,故③选项符合题意;∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,∴腰和底边相等,∴这个三角形是等边三角形,故④选项符合题意,∴正确的选项有①②③④,故选:A.14.解:如图,过点E作EG⊥BC,交BC于点G∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠AEF=30°,∴∠AFE=90°,即EF⊥AB,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴EG=EF=2,在Rt△DEG中,DE=2EG=4,∴DF=EF+DE=2+4=6;方法二、∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°=∠CDE,∴BE=DE,∠BFD=90°,∴BE=2EF=4=DE,∴DF=DE+EF=6;故选:D.15.解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE,∴在△BCD和△ACE中,,∴△BCD≌△ACE(SAS),∴BD=AE.又∵∠ADC=30°,∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中,AE=5,AD=3,于是DE=,∴CD=DE=4.故选:B.16.解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=30°.∵AD⊥BC,∴∠BAD=60°,∵DE⊥AB于E,∴在△ADE中,∠ADE=30°,∴AD=2AE=2,∴AE=1,在△ABD中,AB=2AD=4,∴BE=AB﹣AE=3.故选:B.17.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,AB=BC=AC,∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°∵AE=2,∴AD=2AE=BD=4,故选项A,B正确,∴AB=BC=AC=8,∴△ABC的周长为24,故选项D错误.∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A=60°,∠EFC=∠B=60°,∴△EFC是等边三角形,∴△EFC的周长=3×(8﹣2)=18,故选项C正确,故选:D.18.解:∵DE垂直平分AB,∴EB=EA=10cm,∴∠B=∠BAE=15°,∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°,∵∠ACB=90°,∴AC=AE=5(cm),故选:C.19.解:如图,过点C作CD⊥AB于D,∵CM=CN,且MN=2,∴DM=MN=1,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∵∠A=60°,∴∠ACD=30°,∴AD=AC,∵AC=4,∴AD=2,∴AM=2﹣1=1.故选:A.20.解:用反证法证明命题“已知在△ABC中,AB=AC,则∠B<90°”时,首先假设∠B ≥90°,故选:A.21.解:∵BD平分∠ABC,BE=8,CF=6,∴∠ABD=∠DBC,∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED=8,同理可得FD=FC=6,∴EF=EO﹣FO=EB﹣FC=8﹣6=2.故选:C.22.解:∵△ABC和△DEC都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴AD=BE,故选项①正确;∵∠ACB=∠ACE=60°,由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,∴∠BMC=∠ANC,故选项②正确;由△BCE≌△ACD得:∠CBE=∠CAD,∵∠ACB是△ACD的外角,∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°,又∠APM是△PBD的外角,∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°,故选项③正确;在△ACN和△BCM中,,∴△ACN≌△BCM,∴AN=BM,故选项④正确;∴CM=CN,∴△CMN为等腰三角形,∵∠MCN=60°,∴△CMN是等边三角形,故选项⑤正确;故选:D.23.解:过P作PF∥BC交AC于F.∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF,∵PE⊥AC,∴AE=EF,∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.∵在△PFD和△QCD中,,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD,∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=AC,∵AC=1,∴DE=.故选:B.。
1.1等腰三角形同步练习一.选择题1.等腰三角形的一边等于3,一边等于7,则此三角形的周长为()A.10B.13C.17D.13或172.已知等腰三角形的一个内角为50°,则它的另外两个内角是()A.65°,65°B.80°,50°C.65°,65°或80°,50°D.不确定3.如图,已知OA=OB=OC,BC∥AO,若∠A=36°,则∠B等于()A.54°B.60°C.72°D.76°4.如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD 的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为()A.4.5B.5C.5.5D.65.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM 的长为()A.3B.3.5C.4D.4.56.如图,△ABC与△DCE都是等边三角形,B,C,E三点在同一条直线上,若AB=3,∠BAD=150°,则DE的长为()A.3B.4C.5D.67.若等腰三角形的一个内角是40°,则这个等腰三角形的其他内角的度数为()A.40°100°B.70°70°C.40°100°或70°70°D.以上都不对8.如图,D为△ABC边上一点,连接CD,则下列推理过程中,因果关系与所填依据不符的是()A.∵AD=BD,∠ACD=∠BCD(已知)∴AC=BC(等腰三角形三线合一)B.∵AC=BC,AD=BD(已知)∴∠ACD=∠BCD(等腰三角形三线合一)C.∵AC=BC,∠ACD=∠BCD(已知)∴AD=BD(等腰三角形三线合一)D.∵AC=BC,AD=BD(已知)∴CD⊥AB(等腰三角形三线合一)9.如图,等边△ABC中,AB=4,点P在边AB上,PD⊥BC,DE⊥AC,垂足分别为D、E,设P A=x,若用含x的式子表示AE的长,正确的是()A.2﹣x B.3﹣x C.1D.2+x10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在y轴和x轴上,∠ABO=60°,在坐标轴上找一点P,使得△P AB是等腰三角形,则符合条件的P点的个数是()A.5B.6C.7D.8二.填空题11.已知等腰三角形的一个外角等于130˚,则它的顶角等于.12.如图,BD为等边△ABC的边AC上的中线,E为BC延长线上一点,且DB=DE,若AB=6cm,则CE=cm.13.如图,B在AC上,D在CE上,AD=BD=BC,∠ACE=25°,∠ADE=度.14.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点,∠DCE=∠DAE=60°,AD=2.4,BE=7,则DE=.15.如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形,∠A=24°,则∠1=°.三.解答题16.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=40°.求:(1)∠ADC的大小;(2)∠BAD的大小.17.如图,在△ABC中,AB=BC=AD,BD=CD,求∠ABC的度数.18.如图所示,已知△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度是1厘米/秒的速度,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)M、N同时运动几秒后,M、N两点重合?(2)M、N同时运动几秒后,可得等边三角形△AMN?(3)M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰△AMN,如果存在,请求出此时M、N运动的时间?参考答案一.选择题1.解:①当等腰三角形的三边长是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系定理,此时不能组成等腰三角形;②当等腰三角形的三边长是3,7,7时,符合三角形的三边关系定理,能组成等腰三角形,此三角形的周长是3+7+7=17;综合上述:三角形的周长是17,故选:C.2.解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,①当底角∠B=50°时,则∠C=50°,∠A=180°﹣∠B﹣∠C=80°;②当顶角∠A=50°时,∵∠B+∠C+∠A=180°,∠B=∠C,∴∠B=∠C=×(180°﹣∠A)=65°;即其余两角的度数是50°,80°或65°,65°,故选:C.3.解:∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=36°,∵BC∥AO,∴∠BCA=∠A=36°,∴∠BCO=72°,∵OB=OC,∴∠B=72°.故选:C.4.解:∵△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,∠ADB=90°,∵AE是∠BAD的角平分线,∴∠DAE=∠EAB=30°.∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°.∴∠DAF=∠F=30°,∴AD=DF.∵AB=11,∠B=30°,∴AD=5.5,∴DF=5.5故选:C.5.解:过点P作PD⊥CB于点D,∵∠ACB=60°,PD⊥CB,PC=12,∴DC=6,∵PM=PN,MN=3,PD⊥OB,∴MD=ND=1.5,∴CM=6﹣1.5=4.5.故选:D.6.解:∵△ABC与△DCE都是等边三角形,AB=3,∠BAD=150°,∴AB=AC=3,DE=DC,∠BAC=∠DCE=∠ACB=60°,∴∠ACD=60°,∠CAD=150°﹣60°=90°,∴∠ADC=30°,∴DC=2AC=6,∴DE=DC=6,故选:D.7.解:①当这个角为顶角时,底角=(180°﹣40°)÷2=70°;②当这个角是底角时,底角=40°,顶角为180°﹣2×40°=100°;综上:其它两个内角的度数为70°,70°或40°,100°.故选:C.8.解:A.∵AD=BD,∠ACD=∠BCD(已知),∴AC=BC(等腰三角形三线合一),条件没有等腰三角形,故因果关系与所填依据不符;B.∵AC=BC,AD=BD(已知),∴∠ACD=∠BCD(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;C.∵AC=BC,∠ACD=∠BCD(已知),∴AD=BD(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;D.∵AC=BC,AD=BD(已知),∴CD⊥AB(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;故选:A.9.解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=4,∠B=∠C=60°,∵PD⊥BC,DE⊥AC,∴BD=PB,CE=CD,∵P A=x,∴BP=4﹣x,∴BD=PB=2﹣x,∴CD=4﹣(2﹣x)=2+x,∴CE=1+x,∴AE=4﹣(1+x)=3﹣x,故选:B.10.解:①当AB=AP时,在y轴上有2点满足条件的点P,在x轴上有1点满足条件的点P.②当AB=BP时,在y轴上有1点满足条件的点P,在x轴上有2点满足条件的点P,有1点与AB=AP时的x轴正半轴的点P重合.③当AP=BP时,在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P,有1点与AB=AP时的x轴正半轴的点P重合.综上所述:符合条件的点P共有6个.故选:B.二.填空题11.解:∵等腰三角形的一个外角等于130˚,∴与其相邻的内角为50°.当50°为顶角时,其他两角为65°、65°;当50°为底角时,其他两角为50°、80°.所以等腰三角形的顶角可以是50°,也可以是80°.故答案为:50°或80°.12.解:∵BD为等边△ABC的边AC上的中线,∴BD⊥AC,∵DB=DE,∴∠DBC=∠E=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°∴∠CDE=30°∴∠CDE=∠E,即CE=CD=AC=3cm.故填3.13.解:∵BD=BC,∠ACE=25°∴∠BDC=∠C=25°∴∠ABD=50°∵AD=BD∴∠A=∠ABD=50°∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故填75.14.解:如图,在AB上截取BF=AD,连接CF,∵CA=CB,∠ACB=120°,∴∠CAB=∠CBA=30°,∵∠DAE=60°∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAB=30°∴∠DAC=∠CBA,且AD=BF,AC=BC∴△ADC≌△BFC(SAS)∴∠ACD=∠BCF,CD=CF,∵∠ACB=∠ACE+∠ECF+∠BCF=∠ACE+∠ECF+∠ACD=∠DCE+∠ECF=120°∴∠ECF=60°=∠DCE,且CE=CE,DC=CF∴△DCE≌△FCE(SAS)∴DE=EF∴DE=BE﹣BF=BE﹣AD=7﹣2.4=4.6,故答案为4.6.15.解:∵a∥b,∴∠1=∠ACD,∵△BCD是等边三角形,∴∠BDC=60°,∵∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠ACD=∠BDC﹣∠A=60°﹣24°=36°,∴∠1=36°.故答案为36.三.解答题16.解:(1)∵AB=AC,D是BC边上的中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°;(2)∵∠B=40°,∴∠BAD=50°.17.解:∵BD=CD,∴∠BCD=∠CBD,设∠BCD=∠CBD=x°,∵AB=BC=AD,∴∠ABD=∠ADB=∠BCD+∠CBD=2x°,∠A=∠C=x°,∴∠ABC=3∠C=3x°,∵∠B+∠ABC+∠C=180°,∴5x=180,解得x=36,∴∠C=36°∴∠ABC=3∠C=108°.18.解:(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,x×1+10=2x,解得:x=10;(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=10﹣2t,∵三角形△AMN是等边三角形,∴t=10﹣2t,解得t=,∴点M、N运动秒后,可得到等边三角形△AMN.(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知10秒时M、N两点重合,恰好在C处,如图②,假设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵,∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=y﹣10,NB=30﹣2y,CM=NB,y﹣10=30﹣2y,解得:y=.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰△AMN,此时M、N运动的时间为秒.。
等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图,四边形ABCD中,AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图,AB // CD,/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证:CE丄BE。
变2:如图,四边形ABCD中,AD / BC, E是CD上一点,且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证:AE丄BE; (2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N,求证:(1)DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知:如图,AB=AC , E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF , EF交BC于点D .求证:DE=DF .⑵已知:如图,AB=AC , E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证:BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图,在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点,PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?变1若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为()A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中,AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图,/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系?1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何?3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60,且BQ=BP 连结CQ (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.2)若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状,并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为()A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高,AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形2.3《等腰三角形的性质定理》同步练习题一、选择题1.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍,则其顶角的度数为()A.20° B.30° C.80° D.120°2.等腰三角形的一个外角为140°,则顶角的度数为()A.40° B.40°或70° C.70° D.40°或100°3.如图,在△ABC中,已知∠B和∠C的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.若BD+CE=9,则线段DE的长为()A. 9B. 8C. 7D. 6(第3题)(第4题)4.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是()A.100° B.80° C.70° D.50°5.等腰三角形的“三线合一”指的是()A.中线、高线、角平分线互相重合 B.腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合C.顶角的平分线、中线、高线互相重合D.顶角的平分线,底边上的高线、底边上的中线互相重合(第6题)6.如图是人字形屋架的设计图,由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成,其中A,B,C,D均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点.现在焊接所需的四根钢条已截好,且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺,那么为了准确快速地焊接,他首先应取的两根钢条及焊接的点是()A.AC和BC,焊接点C B.AB和AC,焊接点AC.AD和BC,焊接点D D.AB和AD,焊接点A二、填空题7.(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若∠BAC=80°,则∠DAC=40°;若BC=6 cm,则CD=____cm;(2)在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,若BD=2.5 cm,则BC=5c m,∠ADB=;(3)在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若∠BAD=50°,则∠BAC=__,∠ADC=____.8. 如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于点D,则BD=____.9.如图,在△ABC中,AB=AC,E为BC的中点,延长BA至点D.若∠CAE=36°,则∠B=_-_,∠CAD=______.10. 在等腰三角形A BC中,AB=AC,AD是角平分线,有下列结论:①AD⊥BC,②BD=DC,③∠B=∠C,④∠BA D=∠CAD.其中正确的是________ (填序号).三、解答题11.如图,在△ABC中,AB=AC,直线AE交BC于点D,O是AE上一动点(不与A重合),且OB=OC,试猜想AE与BC的关系,并说明理由.12.如图,在△ABC中,PM,QN分别是AB,AC的垂直平分线,∠BAC=110°,求∠P AQ的度数.(第13题)13.如图,已知等腰△ABC的周长为16 cm,AD是顶角∠BAC的平分线,AB∶AD=5∶4,且△ABD的周长为12 cm.求△ABC各边的长.(第14题)14.如图,已知D是等腰三角形ABC的底边BC上一点,它到两腰AB,AC的距离分别为DE,DF,请指出当D在什么位置时,DE=DF,并加以证明.(第15题)15.如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE且∠DAB=∠EAC,则DE∥BC吗?为什么?(第16题)16.如图,在△ABC 中,∠BCA =90°,∠BAC =30°,分别以AB ,AC 为边做等边△ABE 和△ACD ,连结ED 交AB 于点F .求证:(1)BC =12AB ; (2)EF =FD .参考答案:1.D2.D3.A4.A5.D6.C7.3; 90°;100°, 90° 8. 39. ∠B =54°,∠CAD =108°.10. ①②③④11.【解】 猜想:AE 垂直平分BC ,即AE ⊥BC ,BD =CD.理由如下:∵AB =AC ,OB =OC ,AO =AO ,∴△ABO ≌△ACO(SSS),∴∠BAO =∠CAO.∴AE⊥BC,BD=CD(等腰三角形三线合一).12.【解】∵PM垂直平分AB,∴P A=PB,∴∠P AB=∠B.同理,∠QAC=∠C.∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠B+∠C=180°-110°=70°,∴∠P AB+∠QAC=70°.∵∠P AQ=110°-(∠P AB+∠QAC),∴∠P AQ=110°-70°=40°.13.【解】设AB=5x,则AD=4x,AC=5x,BC=16-10x.∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=DC=12BC=8-5x,∴5x+4x+(8-5x)=12,解得x=1.∴AB=5x=5,AC=5x=5,BC=16-10x=6.14.【解】当D在BC的中点时,DE=DF.证明:当BD=CD时,∵∠B=∠C,∠DEB=∠DFC=90°,∴△DBE≌△DCF(AAS),∴DE=DF.15.【解】DE∥BC.理由如下:∵AB=AC,AD=AE,∴∠B =∠C ,∠D =∠E.∵∠DAB =∠EAC ,∴∠B +∠DAB =∠C +∠EAC , ∴∠AFG =∠AGF ,∴∠AFG =12(180°-∠EAD ). 又∵∠D =12(180°-∠EAD ), ∴∠AFG =∠D ,16.【解】 (1)过点E 作EG ⊥AB 于点G . ∵△ABE 为等边三角形,∴BG =12AB ,∠BEG =12∠AEB =30°,BA =BE . ∵∠BCA =90°,∠BAC =30°,∴∠BGE =∠BCA =90°,∠BAC =∠BEG . 在△ACB 和△EGB 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BGE =∠BCA ,∠BEG =∠BAC ,BE =BA ,∴△ACB ≌△EGB (AAS ),∴BC =BG .∴BC =12AB . (2)∵△ACB ≌△EGB ,∴AC =EG .∵△ACD 为等边三角形,∴∠CAD =60°,AC =AD ,∴EG =DA .∵∠BAC =30°,∴∠DAF =∠CAD +∠BAC =90°. ∴∠EGF =∠DAF .在△EGF 和△DAF 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EFG =∠DF A ,∠EGF =∠DAF ,EG =DA ,∴△EGF ≌△DAF (AAS ), ∴EF =FD .。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题(附答案)一.选择题(共10小题,满分40分)1.已知等腰三角形三边的长分别为4,x,10,则x的值是()A.4B.10C.4 或10D.6 或102.已知等腰三角形ABC的周长为20cm,BC=8cm,则AB的长度是()A.8cm B.6cmC.8cm或6cm D.8cm或6cm或4cm3.已知等腰三角形的一个底角为70°,则其顶角为()A.50°B.60°C.30°D.40°4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为()A.65°B.105°C.55°或105°D.65°或115°5.如图,在△ABC中,D、E是两边AB、AC上的点,DE∥BC,DE=BE,若∠DBC=20°,∠C=65°,则∠A的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°6.如图,已知点B,C,D,E在同一直线上,△ABC是等边三角形,且CG=CD,DF=DE,则∠E=()A.35°B.30°C.25°D.15°7.三个等边三角形的摆放位置如图,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为()°A.150B.120C.90D.808.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD于点D.∠ABD=∠A,若BD=1,BC=3,则AC的长为()A.2B.3C.4D.59.如图,已知S△ABC=12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC的值是()A.10B.8C.6D.410.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠EDC=∠BAC,且D为BC中点,DE=CE,则AE:AB的值为()A.B.C.D.无法确定二.填空题(共6小题,满分30分)11.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是.12.已知△ABC中有一个内角是30°,AB=AC,AB边上的中垂线交直线BC于点D,连结AD,则∠DAC=.13.如图,AD是△ABC的高,且AB+BD=DC,∠BAD=40°,则∠C的度数为.14.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E =60°,若BE=4cm,DE=3cm,则BC=cm.15.如图,∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F,过F 作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=8cm,CE=5cm,则DE的长为.16.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB 于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+∠A;③点O到△ABC各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.其中正确的结论是.(填序号)三.解答题(共5小题,满分50分)17.已知:如图,E为△ABC的外角平分线上的一点,AE∥BC,BF=AE,求证:(1)△ABC是等腰三角形;(2)AF=CE.18.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF,BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)求证:∠B=∠DEF;(3)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.19.如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.(1)求证:AE=BD;(2)求证:MN∥AB.20.已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.(1)如图①,若∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD②∠APB=60°.(2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为,∠APB 的大小为(直接写出结果,不证明)21.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=°,∠DEC=°;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变(填“大”或“小”);(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数.若不可以,请说明理由.参考答案一.选择题(共10小题,满分40分)1.解:当x=4时,4+4<10,不符合三角形三边关系,舍去;当x=10时,4+10>10,符合三角形三边关系.故选:B.2.解:(1)当BC=8cm为底边时,AB为腰,由等腰三角形的性质,得AB=(20﹣BC)=6cm;(2)当BC=8cm为腰时,①若AB为腰,则BC=AB=8cm;②若AB为底,则AB=20﹣2BC=4cm,故选:D.3.解:∵等腰三角形的一个底角为70°,∴顶角=180°﹣70°×2=40°.故选:D.4.解:①如图1,当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+25°=115°;②如图2,当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°﹣25°=65°.故选:D.5.解:∵DE=BE,∴∠EBD=∠EDB,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=20°,∴∠DBE=∠BDE=20°,∴∠ABC=40°,∵∠C=65°,∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣40°﹣65°=75°,故选:D.6.解:如图所示,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠1=60°,∵CD=CG,∴∠CGD=∠2,∴∠1=2∠2,同理有∠2=2∠E,∴4∠E=60°,∴∠E=15°.故选:D.7.解:∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,∴∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°,∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2,∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴60°+(120°﹣∠2)+(120°﹣∠1)=180°,∴∠1+∠2=120°.故选:B.8.解:延长BD交AC于E,如图,∵CD平分∠ACB,BD⊥CD,∴△BCE为等腰三角形,∴DE=BD=1,CE=CB=3,∵∠A=∠ABD,∴EA=EB=2,∴AC=AE+CE=2+3=5.故选:D.9.解:如图,延长BD交AC于点E,∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE,在△ABD和△AED中,,∴△ABD≌△AED(ASA),∴BD=DE,∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,∴S△ADC=S△ABC=×12=6,故选:C.10.解:∵DE=CE∴∠EDC=∠C,∵∠EDC=∠BAC,∴∠EDC=∠BAC=∠C,∵∠B=60°,∴△ABC及△DCE是等边三角形,∵D为BC中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AE:AB=1:2.故选:A.二.填空题(共6小题,满分30分)11.解:∵4+4=8<9,0<4<9+9=18∴腰的不应为4,而应为9∴等腰三角形的周长=4+9+9=22故填:22.12.解:∠B=30°是底角,如图1:∵AB=AC,∠B=30°,∴∠C=30°,∵AB边上的中垂线交直线BC于点D,∴∠BAD=∠B=30°,∴∠ADC=30°+30°=60°,∴∠DAC=180°﹣30°﹣60°=90°;∠BAC=30°的角是顶角,如图2:∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠B=∠ACB=(180°﹣30°)÷2=75°,∵AB边上的中垂线交直线BC于点D,∴∠BED=∠AED=90°﹣75°=15°,∴∠ADC=15°+15°=30°,∴∠DAC=75°﹣30°=45°.故∠DAC=90°或45°.故答案为:90°或45°.13.解:在线段DC上取一点E,使DE=DB,连接AE,∵AD是△ABC的高,∴AD⊥BC,∴AD垂直平分BE,∴AB=AE,∴∠EAD=∠BAD=40°,∠AEB=∠B=90°﹣∠BAD=50°,∵AB+BD=DC,DE+CE=DC,∴AB=CE,∴AE=CE,∴∠EAC=∠C,∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=∠AEB=25°,故答案为:25°.14.解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形,∵BE=4cm,DE=3cm,∴DM=1cm,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=cm,∴BN=cm,∴BC=2BN=7cm,故答案为7.15.解:∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG,∵DE∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG,∴∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC,∴BD=FD=8cm,EF=CE=5cm,∴BD﹣CE=FD﹣EF=DE=8﹣5=3(cm),故答案为:3cm.16.解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A;故②正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,∵EF∥BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故①正确;过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•(AE+AF)=mn;故④错误;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故③正确.故答案是:①②③三.解答题(共5小题,满分50分)17.证明:(1)∵AE∥BC,∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB,∵E为△ABC的外角平分线上的一点,∴∠DAE=∠EAC,∴∠B=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)在△ABF和△CAE中,,∴△ABF≌△CAE(SAS),∴AF=CE.18.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△DBE和△ECF中,,∴△DBE≌△ECF,∴DE=FE,∴△DEF是等腰三角形;(2)∵△BDE≌△CEF,∴∠FEC=∠BDE,∴∠DEF=180°﹣∠BED﹣∠FEC=180°﹣∠DEB﹣∠EDB=∠B (3)∵由(2)知△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠DEF=∠B,∴AB=AC,∠A=40°,∴∠DEF=∠B==70°.19.证明:(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,∵∠DCA=∠ECB=60°,∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中,∵,∴△ACE≌△DCB,∴AE=BD;(2)∵由(1)得,△ACE≌△DCB,∴∠CAM=∠CDN,∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,∴∠DCN=60°,在△ACM与△DCN中,∵,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴MC=NC,∵∠MCN=60°,∴△MCN为等边三角形,∴∠NMC=∠DCN=60°,∴∠NMC=∠DCA,∴MN∥AB.20.解:(1)①证明:∵∠AOB=∠COD=60°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,∴∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD;②证明:∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB,∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB,∴∠APB=60°;(2)AC=BD,∠APB=α.21.解:(1)∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°,∠DEC=180°﹣∠EDC﹣∠C=180°﹣40°﹣25°=115°,∠BDA逐渐变小;故答案为:25°,115°,小;(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE,理由:∵∠C=40°,∴∠DEC+∠EDC=140°,又∵∠ADE=40°,∴∠ADB+∠EDC=140°,∴∠ADB=∠DEC,又∵AB=DC=2,∴△ABD≌△DCE(AAS),(3)当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE的形状是等腰三角形,理由:∵∠BDA=110°时,∴∠ADC=70°,∵∠C=40°,∴∠DAC=70°,∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°,∴∠DAC=∠AED,∴△ADE的形状是等腰三角形;∵当∠BDA的度数为80°时,∴∠ADC=100°,∵∠C=40°,∴∠DAC=40°,∴∠DAC=∠ADE,∴△ADE的形状是等腰三角形.。
1.1等腰三角形同步练习一.选择题1.已知等腰三角形的周长为17cm,一边长为4cm,则它的腰长为()A.4cm B.6.5cm C.6.5cm或9cm D.4cm或6.5cm 2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:3:4C.∠B=50°,∠C=80°D.∠A:∠B:∠C=1:1:23.在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,则∠C的度数是()A.80°B.100°C.50°D.40°4.如图,∠B、∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.()A.③④B.①②C.①②③D.②③④5.如图,△ABC中,AC=BC,∠C=36°,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数为()A.4B.3C.2D.16.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,DE∥AB,AD=3,CE=5,则AC 的长为()A.9B.8C.6D.77.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=10,点M,N在边OB上,PM=PN,若NM=4,则OM的值()A.2B.3C.4D.58.如图,D为△ABC边上一点,连接CD,则下列推理过程中,因果关系与所填依据不符的是()A.∵AD=BD,∠ACD=∠BCD(已知)∴AC=BC(等腰三角形三线合一)B.∵AC=BC,AD=BD(已知)∴∠ACD=∠BCD(等腰三角形三线合一)C.∵AC=BC,∠ACD=∠BCD(已知)∴AD=BD(等腰三角形三线合一)D.∵AC=BC,AD=BD(已知)∴CD⊥AB(等腰三角形三线合一)9.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连结PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有()A.6个B.5个C.4个D.3个10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的高,E,F是AD上的两点,且AE=EF=FD.若△ABC的面积为6cm2,则图中阴影部分的面积是()cm2.A.2B.3C.4.8D.5二.填空题11.在△ABC中,若∠A=66°,∠B=∠C,则∠B=.12.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,D是AC边上的点,DA=DB=3,则AC的长为.13.如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.若AD=12,则DE =;△EDC与△ABC的面积关系是:=.14.如图,∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=9cm,DE=4cm,求CE的长为cm.15.如图,已知∠AOB=α,在射线OA、OB上分别取点A1、B1,使OA1=OB1,连接A1B1,在A1B1、B1B上分别取点A2、B2,使B1B2=B1A2,连接A2B2,…,按此规律下去,记∠A2B1B2=θ1,∠A3B2B3=θ2,…,∠A n+1B n B n+1=θn,则θn=.(用含α的式子表示)三.解答题16.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=40°.求:(1)∠ADC的大小;(2)∠BAD的大小.17.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,BE,CD 交于点F.(1)求证:DC=EB;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有的等腰三角形.18.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC边上的点,并且MN∥BC.(1)△AMN是否是等腰三角形?说明理由;(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.①求证:△BPM是等腰三角形;②若△ABC的周长为a,BC=b(a>2b),求△AMN的周长(用含a,b的式子表示).参考答案一.选择题1.解:①若4cm是腰长,则底边长为:20﹣4﹣4=12(cm),∵4+4<12,不能组成三角形,舍去;②若4cm是底边长,则腰长为:=6.5(cm).则腰长为6.5cm.故选:B.2.解:A、∵a=3,b=3,c=4,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;B、∵a:b:c=2:3:4∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形;C、∵∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°,∴∠A=∠B,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形;D、∵∠A:∠B:∠C=1:1:2,∵∠A=∠B,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形.故选:B.3.解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠B=40°,∴∠C=40°.故选:D.4.解:∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB,∵BF是∠ABC的平分线,CF是∠ACB的平分线,∴∠FBC=∠DFB,∠FCE=∠FCB,∵∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF,∴△DFB,△FEC都是等腰三角形.∴DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC,∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.故选:C.5.解:由图可知,∵AC=BC,∴△ABC为等腰三角形,∵∠C=36°,BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠DBA=∠C=36°∴△CBD为等腰三角形,∵∠BDA=∠C+∠CBD=72°=∠A∴△BAD均为等腰三角形,∴图中三角形共有三个.故选:B.6.解:∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=BAC=60°,∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE=60°,∠DEC=∠BAC=120°,∴∠AED=60°,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形,∴AE=AD=3,∴AC=AE+CE=3+5=8,故选:B.7.解:过点P作PH⊥MN于H,∵PM=PN,∴MH=NH=MN=2,∵∠AOB=60°,∴∠OPH=30°,∵OP=10,∴OH=OP=5,∴OM=OH﹣MH=3,故选:B.8.解:A.∵AD=BD,∠ACD=∠BCD(已知),∴AC=BC(等腰三角形三线合一),条件没有等腰三角形,故因果关系与所填依据不符;B.∵AC=BC,AD=BD(已知),∴∠ACD=∠BCD(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;C.∵AC=BC,∠ACD=∠BCD(已知),∴AD=BD(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;D.∵AC=BC,AD=BD(已知),∴CD⊥AB(等腰三角形三线合一),因果关系与所填依据相符;故选:A.9.解:如图所示:以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线m于点P4,P2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交直线m于点P1,P3,边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置,因此出现等腰三角形的点P的位置有4个,故选:C.10.解:∵AB=AC,AD是BC边上的高,∴BD=CD,∵阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半,∵△ABC的面积6cm2,∴阴影部分的面积=3cm2.故选:B.二.填空题11.解:∵∠A=66°,∠B=∠C,∴∠B==×(180°﹣66°)=57°.故答案为:57°.12.解:∵AB=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°,∵DA=DB=3,∴∠DBC=∠A=30°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBA=120°﹣30°=90°,∴DC=2DB=6,∴AC=AD+CD=3+6=9.故答案为:9.13.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠DAC=∠BAC=30°,∵AD=12,∴DE=AD=6;∵DE⊥AC,∴∠EDC=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°,∴EC=DC,∴BC=4EC,∵S△EDC=×6×EC=3EC,S△ABC=×12×BC=6BC=24EC,∴.故答案为:6,.14.证明:∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG,∵DE∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG,∴∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC,∴BD=FD,EF=CE,∴△BDF和△CEF为等腰三角形;∵DF=BD,CE=EF,∴BD﹣CE=FD﹣EF=DE,∴EF=DF﹣DE=BD﹣DE=9﹣4=5(cm),∴EC=5(cm),故答案为:5.15.解:设∠A1B1O=x,则α+2x=180°,x=180°﹣θ1,∴θ1=,设∠A2B2B1=y,则θ2+y=180°①,θ1+2y=180°②,①×2﹣②得:2θ2﹣θ1=180°,∴θ2==,…θn=.故答案为:.三.解答题16.解:(1)∵AB=AC,D是BC边上的中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°;(2)∵∠B=40°,∴∠BAD=50°.17.(1)证明:∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴AB=AD=AC=AE,即BD=CE,在△DBC和△ECB中,,∴△DBC≌△ECB(SAS),∴DC=EB;(2)解:图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF,理由如下:由(1)得:AB=AC,AD=AE,△DBC≌△ECB,∴△ABC、△ADE是等腰三角形,∠BCD=∠CBE,∴△BCF是等腰三角形,BF=CF,∵DE∥BC,∴∠FDE=∠BCD,∠FED=∠CBE,∴∠FDE=∠FED,∴△DEF是等腰三角形,FE=FD.18.(1)解:△AMN是是等腰三角形,理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴△AMN是等腰三角形;(2)①证明:∵BP平分∠ABC,∴∠PBM=∠PBC,∵MN∥BC,∴∠MPB=∠PBC∴∠PBM=∠MPB,∴MB=MP,∴△BPM是等腰三角形;②由①知MB=MP,同理可得:NC=NP,∴△AMN的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC,∵△ABC的周长为a,BC=b,∴AB+AC+b=a,∴AB+AC=a﹣b∴△AMN的周长=a﹣b.。
等腰三角形练习题一、计算题:A1.如图,△ ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠ A 的度数DE2. 如图, CA=CB,DF=DB,AE=AD B C F求∠ A 的度数CEA BD3、AB于⊥ AB于 E,DF⊥BC交 AC于点 F,若∠ EDF=70°,求∠ AFD的度数AFEB D C4. 如图,△ ABC 中, AB=AC,BC=BD=ED=EAA求∠ A 的度数EDBC5. 如图,△ ABC 中, AB=AC ,D 在 BC 上,A∠ B AD=30°, 在 AC 上取点 E ,使 AE=AD,求∠ EDC 的度数30°EBDC6. 如图,△ ABC 中,∠ C=90°, D 为 AB 上一点,作 DE ⊥BC 于 E ,若1BE=AC,BD=2,DE+BC=1,求∠ ABC 的度数ADCB7.如图,△ ABC中,AD均分∠ BAC,若AC=AB+BD求∠ B:∠ C的值AB D C二、证明题:8.如图,△ DEF中,∠ EDF=2∠E,FA⊥DE于点A,问:DF、AD、AE间有什么样的大小关系DAE F9.如图,△ ABC中,∠ B=60°,角均分线 AD、CE交于点 O求证: AE+CD=AC BE DA C12. 如图 , △ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外一点,且∠ ABD=∠ACD =60°A求证: CD=AB-BDBDC13. 已知:如图, AB=AC=BE ,CD 为△ ABC 中 AB 边上的中线1A求证: CD=2CEDBCE14. 如图,△ ABC 中,∠ 1=∠2,∠ EDC=∠BACA求证: BD=ED1 2EBCD15. 如图,△ ABC中, AB=AC,BE=CF,EF交 BC于点 GA求证: EG=FGECBG F16. 如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,AD是 BC边上的高, B 到点 E,使 BE=BD 求证: AF=FCAFBDCE17. 如图,△ ABC中, AB=AC,AD和 BE两条高,交于点 H,且 AE=BE求证: AH=2BD AEHB D C18. 如图,△ ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证: AD=DCADB C19.如图,等边△ ABC中,分别延伸 BA至点 E,延伸 BC至点 D,使 AE=BD 求证: EC=ED EABC D20.如图,四边形 ABCD中,∠ BAD+∠BCD=180°,AD、BC的延伸线交于点F,DC、 AB的延伸线交于点E,∠ E、∠ F 的均分线交于点H求证: EH⊥FHFDCHABE一、计算题:1. 如图,△ ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠ A 的度数A设∠ ABD为 x, 则∠ A 为 2x2x由 8x=180°D 得∠ A=2x=45°E 2xx3xx2. 如图, CA=CB,DF=DB,AE=ADB 2x3xC 求∠ A 的度数F设∠ A 为 x, XC由 5x=180°E得∠ A=36°2xxA x2x BD3.如图,△ ABC中,AB=AC,D在BC上,DE⊥AB于E,DF⊥BC交AC于点F,若∠ EDF=70°,求∠ AFD的度数∠A FD=160°AFEB D C4. 如图,△ ABC 中, AB=AC,BC=BD=ED=EAA求∠ A 的度数x设∠ A 为 x180E∠A=72xx2xD3x x3x BC5. 如图,△ ABC 中, AB=AC ,D 在 BC 上,∠ B AD=30°, 在 AC 上取点 E ,使 AE=AD,求∠ EDC 的度数设∠ ADE 为 xA∠EDC=∠AED -∠ C=15°180°-2x30°x -15°x Ex BDCx -15°6. 如图,△ ABC 中,∠ C=90°, D 为 AB 上一点,作 DE ⊥BC 于 E ,若1BE=AC,BD=2,DE+BC=1,求∠ ABC 的度数延伸 DE 到点 F, 使 EF=BC可证得 : △ABC ≌△ BFE所以∠ 1=∠F由∠ 2+∠F=90°,得∠ 1+∠F=90°1ADC E12B在 Rt △DBF 中, BD= 2,DF=1F所以∠ F = ∠1=30°7. 如图,△ ABC 中, AD 均分∠ BAC ,若 AC=AB+BD求∠ B :∠ C 的值在 AC 上取一点 E, 使 AE=AB A可证△ ABD ≌△ ADE所以∠ B=∠AEDEB D C由AC=AB+BD,得 DE=EC,所以∠ AED=2∠C 故∠ B:∠ C=2:1二、证明题:8.如图,△ ABC中,∠ ABC,∠CAB的均分线交于点P,过点 P 作 DE∥AB,分别交 BC、AC于点 D、E求证: DE=BD+AEC证明△ PBD和△ PEA是等腰三角形 D P EB A9.如图,△ DEF中,∠ EDF=2∠E,FA⊥DE于点A,问:DF、AD、AE间有什么样的大小关系DDF+AD=AE A在 AE上取点 B, 使 AB=ADBE F10.如图,△ ABC中,∠ B=60°,角均分线 AD、CE交于点 O求证: AE+CD=AC B在 AC上取点 F, 使 AF=AE易证明△ AOE≌△ AOF, E DO得∠ AOE=∠AOF由∠ B=60°,角均分线 AD、CE,A F C得∠ AOC=120°所以∠ AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60°故△ COD≌△ COF,得 CF=CD所以 AE+CD=AC11. 如图,△ ABC中, AB=AC, ∠A=100°, BD均分∠ ABC,求证: BC=BD+AD延伸 BD到点 E, 使 BE=BC,连接 CE A在 BC上取点 F, 使 BF=BA D E 易证△ ABD≌△ FBD,得 AD=DF再证△ CDE≌△ CDF,得 DE=DF BF CA故 BE=BC=BD+ADD也可 : 在 BC上取点 E, 使 BF=BD,连接 DF在 BF 上取点 E, 使 BF=BA,连接 DEB先证 DE=DC,再由△ ABD≌△ EBD,得 AD=DE,最后证明 DE=DF即可 E FC 12. 如图 , △ABC中,AB=AC,D为△ ABC外一点,且∠ ABD=∠ACD =60°求证: CD=AB-BD AE在 AB上取点 E,使 BE=BD,在 AC上取点 F,使 CF=CDF得△ BDE与△ CDF均为等边三角形,DB只要证△ ADF≌△ AEDC13. 已知:如图, AB=AC=BE ,CD 为△ ABC 中 AB 边上的中线1A求证: CD=2CEE延伸 CD 到点 E, 使 DE=CD 连.结 AED证明△ ACE ≌△ BCEBC14. 如图,△ ABC 中,∠ 1=∠2,∠ EDC=∠BAC E求证: BD=EDA 1 2在 CE 上取点 F, 使 AB=AFEF易证△ ABD ≌△ ADF,得 BD=DF,∠B=∠AFDBCD由∠ B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°所以∠ B=∠DEC所以∠ DEC=∠AFD所以 DE=DF,故 BD=ED15. 如图,△ ABC 中, AB=AC,BE=CF,EF 交 BC 于点 GA求证: EG=FGECBGF16. 如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,AD是 BC边上的高, B 到点 E,使 BE=BD 求证: AF=FC AFB17.如图,△ ABC中, AB=AC,AD和 BE两条高,交E于点求证: AH=2BD由△ AHE≌△ BCE,得 BC=AH18. 如图,△ ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°求证: AD=DC作AF⊥BD于 F,DE⊥AC于 E可证得∠ DAF=DAE=15°,所以△ ADE≌△ ADF B得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,DH,且 AE=BEAHB DAEFDCCEC所以 AE=EC,所以 DE是 AC的中垂线 , 所以 AD=DC19. 如图,等边△ ABC 中,分别延伸 BA 至点 E ,延伸 BC 至点 D ,使 AE=BD求证: EC=EDE延伸 BD 到点 F, 使 DF=BC,A可得等边△ BEF,BCD F只要证明△ BCE ≌△ FDE 即可20. 如图,四边形 ABCD 中,∠ BAD+∠BCD=180°,AD 、BC 的延伸线交于点F ,DC 、 AB 的延伸线交于点 E ,∠ E 、∠ F 的均分线交于点 H求证: EH ⊥FHF延伸 EH 交 AF 于点 G由∠ BAD+∠BCD=180° ,∠DCF+∠BCD=180° D得∠ BAD=∠DCF,CG1由外角定理 , 得∠ ∠2 MH1= 2,故△ FGM 是等腰三角形ABE由三线合一 , 得 EH ⊥。
15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1.已知等腰三角形的顶角为40°,则这个等腰三角形的底角为()A.40°B.70°C. 100 °D.140 °2.若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5,则这个三角形的第三条边长为()A.2 或5B. 3C. 4D. 53.如图,AB∥ CD, AD=CD,∠ 1=65 °,则∠ 2 的度数是()A.50°B.60°C. 65°D.70°4.如图, AD,CE分别是△ ABC的中线和角均分线.若AB=AC,∠ CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C. 40°D. 70°5.若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0,且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长,则△ ABC的周长是()A.12B.10C.8 D.66.若等腰三角形的一个外角等于140 °,则这个等腰三角形的顶角度数为()A.40°B.100 °C. 40°或 70°D. 40°或 100 °7.如图,已知DE∥ BC, AB=AC,∠ 1=125 °,则∠ C 的度数是()A.55°B.45°C. 35°D. 65°8.如图,△ ABC中, AD⊥ BC, AB=AC,∠ BAD=30°,且 AD=AE,则∠ EDC等于()A.10°B. 12.5 °C. 15°D. 20°二、填空题9.等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为.10.一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ,则它的周长为cm.11.已知等腰三角形的一个外角为130 °,则它的顶角的度数为.12.如图,△ ABC中.点 D 在 BC边上, BD=AD=AC, E 为 CD 的中点.若∠CAE=16°,则∠ B 为度.13.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”,记作k,若 k=,则该等腰三角形的顶角为度.三、解答题14.如图,点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上, AB=AC,AD=AE.求证: BD=CE.15.如图,△ ABC是等边三角形,BD 是中线,延伸BC 至 E,CE=CD,(1)求证: DB=DE.(2)在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F,若 CF=4,求△ ABC 的周长.第2课时一、选择题1.以以下各组数据为边长,能够组成等腰三角形的是()A.1, 1, 2B. 1,1,3C. 2,2, 1D. 2,2,52.在△ABC 中,其两个内角以下,则能判断△ABC为等腰三角形的是()A.∠ A=40°,∠ B=50B.∠ A=40°,∠ B=60°C.∠ A=40°,∠ B=70D.∠ A=40°,∠ B=80°AB 于点E,3.如图,在△ABC中,∠ A=36°,∠ C=72°,点 D 在AC 上, BC=BD, DE∥ BC交则图中等腰三角形共有()A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个4.如图,正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A, B 是两格点,假如 C 也是图中C 的个数是()的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点A.6B. 8C.9D.105.以下条件中,不可以判断△ABC 是等腰三角形的是()A.a=3,b=3 ,c=4B. a: b: c=2: 3: 4C.∠ B=50°,∠ C=80°D.∠ A:∠ B:∠ C=1: 1:26.已知△ ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ ABC所在平面内画一条直线,将△ABC切割成两个三角形,使此中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.5 条B.6 条C.7 条D.8 条7.以下三角形,不必定是等边三角形的是()A.有两个角等于60°的三角形B.有一个外角等于120 °的等腰三角形C.三个角都相等的三角形D.边上的高也是这边的中线的三角形8.如图, A、B 两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为 1 的正方形,点 C 也在格点上,且△ABC是等腰三角形,则切合条件是点C共有()个.A.8B.9C. 10D. 11二、填空题9.如图,在△ABC中,∠ ACB=90°,∠ BAC=40°,在直线 AC上找点 P,使△ ABP 是等腰三角形,则∠ APB的度数为.10.如图已知OA=a, P 是射线 ON 上一动点,∠ AON=60°,当 OP=时,△ AOP为等边三角形.11.如图,在3× 3 的网格中有A、B 两点,任取一个格点E,则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个.12.在△ ABC中,∠ A=80°,当∠ B= 13.如图,以下 4 个三角形中,均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时,△ ABC 是等腰三角形.AB=AC,则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将(填序号).三、解答题14.如图, BD 是△ ABC的角均分线,DE∥ BC 交 AB 于点 E.(1)求证: BE=DE;(2)若 AB=BC=10,求 DE 的长.15.已知:如图,AB=AC,∠ ABD=∠ ACD,求证: BD=CD.第3课时一、选择题1.如图∠ AOP=∠ BOP=15°, PC∥ OA, PD⊥ OA,若 PC=10,则 PD 等于()A.10B.C. 5D.2.52.如图,在Rt△ ABC中,∠C=90°, AB=2BC,则∠A=()A.15°B. 30°C. 45°D. 60°3.如图,在Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ A=30°, BC=4cm,则 AB 等于()A.9 cm B. 8 cm C. 7cm D. 6cm4.如图,在等边△ABC中,BD 均分∠ABC交AC于点D,过点D 作 DE⊥BC于点E,且AB=6,则 EC的长为()A 3B 4.5C 1.5D 7.55.△ ABC中,∠A:∠ B:∠ C=1: 2: 3,最小边BC=3cm,则最长边AB 的长为()A.9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm6.如图,在△ABC中,∠ ACB=90°, CD是高,∠A=30°,AB=8,则BD=()A.2B.3C. 4D.67.某市为了美化环境,计划在以下图的三角形空地上栽种草皮,已知这类草皮每平方米售价为 a 元,则购置这类草皮起码需要()A.450a 元B. 225a 元C.150a 元D. 300a 元8.如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=6m,∠ A=30°,则 DE等于()A.1.5m B. 2m C. 2.5m D. 3m二、填空题9.在 Rt△ ABC中,∠ A=30°,∠ B=90°, AC=10,则 BC=10.如图,在△A BC 中,∠ ACB=90°,∠ A=30°,以点 C 为圆心, CB 长为半径作圆弧,交AB 于点 D,若 CB=4,则 BD 的长为.11.如图,在Rt△ ABC 中,∠ C=90°,∠ ABC=60°, AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E,若 CE=2,则 AB 的长为12.已知等腰三角形的底角为15°,腰长为 8cm,则腰上的高为.13.如图,在△A BC 中,∠ B=∠ C=60°,点 D 在 AB 边上, DE⊥ AB,并与 AC 边交于点E.如果 AD=1, BC=6,那么 CE等于.三、解答题14.如图,在△A BC 中, BA=BC,∠ B=120°,线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D,且AD=8cm.求:(1)∠ ADG 的度数;(2)线段 DC的长度.15.某轮船由西向东航行,在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°,又持续航行 7 海里后,在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°,求:( 1)此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里.(2)小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁,假如轮船持续向东履行,请问轮船有没有触礁的危险?请说明原因.参照答案第1课时1.解:∵等腰三角形的顶角为50°,∴这个等腰三角形的底角为:( 180°﹣ 40°)÷ 2=70°,应选: B.2.解:当腰为 5 时,依据三角形三边关系可知此状况建立,这个三角形的第三条边长为5;当腰长为 2 时,依据三角形三边关系可知此状况不建立;应选: D.3.解:∵ AB∥ CD,∴∠ 1=∠ ACD=65°,∵ AD=CD,∴∠ DCA=∠ CAD=65°,∴∠ 2 的度数是: 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°.应选: A.4.解:∵ AD 是△ ABC 的中线, AB=AC,∠ CAD=20°,∴∠ CAB=2∠ CAD=40°,∠ B=∠ ACB=(180°﹣∠ CAB)=70°.∵ CE是△ ABC的角均分线,∴∠ ACE= ∠ ACB=35°.应选: B.5.解:∵ |m ﹣ 2|+=0,∴m﹣2=0, n﹣ 4=0,解得 m=2, n=4,当 m=2 作腰时,三边为 2,2, 4,不切合三边关系定理;当 n=4 作腰时,三边为2, 4, 4,切合三边关系定理,周长为:2+4+4=10.应选: B.6.解:①若顶角的外角等于140 °,那么顶角等于 40°,两个底角都等于70°;②若底角的外角等于140°,那么底角等于40°,顶角等于100°.应选: D.7.解:∵∠ 1=125 °,∴∠ ADE=180°﹣125°=55°,∵DE∥BC, AB=AC,∴AD=AE,∠ C=∠ AED,∴∠ AED=∠ ADE=55°,又∵∠ C=∠ AED,∴∠C=55°.应选:A.8.解:∵△ ABC中, AD⊥ BC, AB=AC,∠ BAD=30°,∴∠ DAC=∠BAD=30°(等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合),∵AD=AE(已知),∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°.应选: C.9.解:∵等腰三角形底角相等,∴180°﹣50°×2=80°,∴顶角为 80°.故填 80°.10.解:①当腰是4cm ,底边是9cm 时:不知足三角形的三边关系,所以舍去.②当底边是4cm,腰长是9cm 时,能组成三角形,则其周长=4+9+9=22cm.故填 22.11.解:当50°为顶角时,其余两角都为65°、 65°,当50°为底角时,其余两角为50°、80°,所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°.故答案为: 50°或 80°.12.解:∵ AD=AC,点 E 是 CD 中点,∴AE⊥ CD,∴∠ AEC=90°,∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°,∵ AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°,∵ AD=BD,∴2∠ B=∠ ADC=74°,∴∠ B=37°,故答案为 37°.13.解:∵△ ABC中, AB=AC,∴∠ B=∠ C,“特点值”,记作k,若k=,∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A:∠ B=1: 2,即 5∠ A=180°,∴∠ A=36°,故答案为: 36.14.证明:如图,过点 A 作 AP⊥ BC于 P.∵ AB=AC,∴BP=PC;∵ AD=AE,∴DP=PE,∴BP﹣ DP=PC﹣ PE,∴BD=CE.15.( 1)证明:∵△ ABC是等边三角形,BD 是中线,∴∠ ABC=∠ ACB=60°.∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).又∵ CE=CD,∴∠ CDE=∠CED.又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED,∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°.∴∠ DBC=∠ DEC.∴ DB=DE(等角平等边);(2)∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°,∴∠ CDF=30°,∵ CF=4,∴ DC=8,∵ AD=CD,∴ AC=16,∴△ ABC的周长 =3AC=48.第2课时1.解: A、∵ 1+1=2,∴本组数据不可以够组成等腰三角形;故本选项错误;B、∵ 1+1< 3,∴本组数据不可以够组成等腰三角形;故本选项错误;C、∵1+2>2,且有两边相等,∴本组数据能够组成等腰三角形;故本选项正确;D、∵ 2+2<5,∴本组数据不可以够组成等腰三角形;故本选项错误;应选: C.2.解;当顶角为∠A=40°时,∠ C=70°≠ 50°,当顶角为∠ B=50°时,∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误.当顶角为∠ B=60°时,∠ A=60°≠40°,当∠ A=40°时,∠ B=70°≠ 60°,所以 B 选项错误.当顶角为∠ A=40°时,∠ C=70°=∠ B,所以 C 选项正确.当顶角为∠ A=40°时,∠ B=70°≠ 80°,当顶角为∠ B=80°时,∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误.应选: C.3.解:∵在△ABC中, AB=AC,∠ A=36°,∴∠ ABC=∠ C==72°,△ ABC是等腰三角形,∵BD 均分∠ ABC,∴∠ABD=∠ DBC=36°,∵DE∥BC,∴∠ EDB=∠ DBC=36°,∴∠ ABD=∠ EDB=∠A,∴AD=BD, EB=ED,即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形,∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°,∴∠ BDC=∠ C,∴BD=BC,即△ BCD是等腰三角形,∵DE∥BC,∴∠ AED=∠ ABC,∠ ADE=∠ C,∴∠ AED=∠ ADE,∴AE=AD,即△ AED是等腰三角形.∴图中共有 5 个等腰三角形.应选: C.4.解:如图,分状况议论:① AB 为等腰△ ABC的底边时,切合条件的C点有 6 个;② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时,切合条件的 C 点有4 个.应选: D.5.解: A、∵ a=3, b=3,c=4,∴ a=b,∴△ ABC是等腰三角形;B、∵ a: b: c=2: 3: 4∴ a≠ b≠ c,∴△ ABC不是等腰三角形;C、∵∠ B=50°,∠ C=80°,∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°,∴∠ A=∠ B,∴ AC=BC,∴△ ABC是等腰三角形;D、∵∠ A:∠ B:∠ C=1: 1: 2,∵∠ A=∠ B,∴ AC=BC,∴△ ABC是等腰三角形.应选: B.6.解:以下图:当 BC1=AC1, AC=CC2,AB=BC3, AC4=CC4, AB=AC5, AB=AC6, BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形.应选: C.7.解: A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形,不合题意,故此选项错误;B、有一个外角等于120 °的等腰三角形,则内角为60°的等腰三角形,此三角形是等边三角形,不合题意,故此选项错误;C、三个角都相等的三角形,内角必定为60°是等边三角形,不合题意,故此选项错误;D、边上的高也是这边的中线的三角形,也可能是等腰三角形,故此选项正确.应选:D.8.解:①点 C 以点 A 为标准,AB 为底边,切合点 C 的有 5 个;②点 C 以点 B 为标准, AB 为等腰三角形的一条边,切合点 C 的有4 个.所以切合条件的点C共有 9 个.应选: B.9.解:∵在Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ A=40°,∴当 AB=BP1时,∠ BAP1=∠ BP1A=40°,当 AB=AP3 时,∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°,当 AB=AP4 时,∠ ABP4=∠AP4B= ×( 180°﹣40°)=70°,当 AP2=BP2时,∠ BAP2=∠ ABP2,∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°,∴∠ APB 的度数为: 20°、40°、70°、 100°.故答案为: 20°或 40°或 70°或 100°.10.解:∵ AON=60°,∴当 OA=OP=a时,△ AOP 为等边三角形.故答案是: a.11.解:如图,知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个,故答案为: 5.12.解:∵∠A=80°,∴①当∠ B=80°时,△ ABC是等腰三角形;②当∠ B=( 180°﹣ 80°)÷ 2=50°时,△ ABC 是等腰三角形;③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时,△ ABC是等腰三角形;故答案为: 80°、 50°、20°.13.解:由题意知,要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”,①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为:36°,36°,108°和 36°,72°72°,能;②不可以;③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形,能;④中的为36°, 72, 72°和 36°, 36°, 108°,能.故答案为:②14.( 1)证明:∵ BD 是△ ABC 的角均分线,∴∠ EBD=∠ CBD.∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD.∴∠EDB=∠ EBD.∴BE=DE.( 2)∵ AB=BC, BD 是△ ABC 的角均分线,∴ AD=DC.∵DE∥BC,∴,∴.∴DE=5.15.证明:连结BC.∵AB=AC(已知),∴∠ 1=∠ 2(等边平等角).又∠ ABD=∠ ACD(已知),∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2(等式运算性质).即∠ 3=∠ 4.∴ BD=DC(等角平等边).第3课时1.解:∵ PC∥ OA,∴∠ CPO=∠ POA,∵∠ AOP=∠ BOP=15°,∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°,过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E,则△ OCP≌△ OEP,∴PE=PC=10,∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°,∴PD=10× =5.应选: C.2.解:∵在Rt△ ABC中,∠ C=90°, AB=2BC,即 BC= AB,∴∠ A=30°,应选: B.3.解:∵在Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ A=30°, BC=4cm,∴AB=2BC=8cm,应选: B.4.解:∵△ ABC是等边三角形,∴∠ C=60°, AC=AB=BC=6,∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D,∴CD= AC=3,∵ DE⊥BC,∴∠ CDE=30°,∵EC= CD=1.5.应选: C.5.解:设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k,则 k+2k+3k=180°,解得 k=30°,2k=60 °,3k=90 °,∵最小边BC=3cm,∴最长边AB=2BC=2×3=6cm.应选: D.6.解:∴ CD 是高,∴∠ BDC=90°,∵∠ ACB=90°,∠ A=30°,∴∠ B=60°,BC= AB=× 8=4,∴∠ BCD=30°,∴BD= BC=2,应选: A.7.解:如图,作BH⊥ AC于 H,则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°,在 Rt△ ABH 中, BH= AB=10,所以 S△ ABC=× 10× 30=150,所以购置这类草皮起码需要150a 元.应选: C.8.解:∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC,∴BC∥ DE,∵D是 AB中点,∴ AD=BD,∴ AE: CE=AD: BD,∴ AE=CE,∴ DE 是△ ABC的中位线,∴DE= BC,在 Rt△ ABC中, BC= AB=3,∴ DE=1.5.应选: A.9.解:∵∠ A=30°,∠ B=90°,∴BC= AC=5,故答案为: 5.10.解:如图,过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E,∵在△ ABC中,∠ ACB=90°,∠ A=30°, BC=4,∴∠ BCE=∠ A=30°, BE=BD,∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为: 4.11.解:∵在Rt△ ABC中,∠ C=90°,∠ ABC=60°,∴∠ A=30°,∵DE 是线段 AB 的垂直均分线,∴ EA=EB, ED⊥ AB,∴∠ A=∠ EBA=30°,∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°,又∵ BC⊥ AC, ED⊥ AB,∴DE=CE=2.在直角三角形ADE 中, DE=2,∠ A=30°,∴AE=2DE=4,∴ AD==2 ,∴ AB=2AD=4.故答案为: 4.12.解:如图,过C作CD⊥AB,交BA延长线于D,∵∠ B=15°,AB=AC,∴∠ DAC=30°,∵CD 为 AB 上的高, AC=8cm,∴CD= AC=4cm.故答案为: 4cm.13.解:∵在△ABC 中,∠ B=∠ C=60°,∴∠ A=60°,∵DE⊥AB,∴∠ AED=30°,∵AD=1,∴AE=2,∵ BC=6,∴AC=BC=6,∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4,故答案为 4.14.解:(1 )∵在△ ABC中,已知BA=BC,∴∠ A=∠ C(等边平等角);又∵∠ B=120°,∴∠ A=(180°﹣120°)=30°(三角形内角和定理),∴∠ ADG=90°﹣30°=60°;( 2)连结 BD.∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D,∴AD=BD,∠ A=∠ABD=30°,∴∠ CBD=90°;由( 1)知∠ A=∠ C=30°,∴BD= CD( 30°所对的直角边是斜边的一半),∴CD=2AD=2BD,∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD;又∵ AD=8cm,∴DC=16cm.15.解:(1 )过 P 作 PD⊥AB 于点 D,∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB,∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB,∴BP=AB=7(海里).( 2)作 PD⊥ AB于 D,∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向,∴∠ PAB=15°,∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向,∴∠ APB=15°,∴AB=PB=7海里,∵∠ PBD=30°,∴PD= PB=3.5> 3,∴该船持续向东航行,没有触礁的危险.。
《等腰三角形》同步练习
一、选择题:(本题共8小题,每小题3分,共24分.下列各题都有代号为A ,B ,C ,D 的四个结论供选择,其中只有一个结论是正确的)
1.在△ABC 中,AB =AC ,∠A=36度,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,则图中共有等腰三角形的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4 2.下列说法中,正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等;③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;④等腰三角形是轴对称图形. A .1个 B .2个 C.3个 D .4个
3.如果△ABC 的∠A ,∠B 的外角平分线分别平行于BC ,AC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 D .等腰三角形 C. 直角三角形 D .等腰直角三角形 4.如图,把一张对边平行的纸条如图折叠,重合部分是 ( )
E
D C B
A
(第4题) (第6题)
A. 等边三角形 B .等腰三角形 C. 直角三角形 D .无法确定
5.已知∠AOB =30°,点P 在∠AOB 的内部.P'与P 关于OB 对称,P"与P 关于OA 对称,则O ,P'P"三点所构成的三角形是 ( )
A. 直角三角形 B .钝角三角形 C. 等腰三角形 D .等边三角形 6.如图2,在△ABC 中,∠C =90°,DE 垂直平分AB 于E ,交AC 于D ,AD =2BC ,则∠A 等于( )
A .15°
B .25°
C . 30°
D . 35°
7.在平面直角坐标系xOy 中,已知A(2,-2),在y 轴确定点P ,使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点有 ( )
A .2个 D .3个 C .4个 D .5个
8.如图,在下列三角形中,若AB=AC ,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
(1)
36︒
C B
A
(2)
45︒
C
B
A
(3)
90︒
C B
A
108︒
(4)
C
B
A
A .(1)(2)(3)
B .(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D .(1)(3)(4)
二、填空题:(本题共8小题,每小题3分,共24分.把最后结果填在题中横线上) 9.已知等腰三角形的两边长是1cm 和2cm ,则这个等腰三角形的周长为_______cm . 10.三角形三内角的度数之比为1∶2∶3,最大边的长是8cm ,则最小边的长是_______cm .
11.如图,∠A =15°,AB =BC=CD=DE =EF ,则∠GEF=_______.
G
F
E
D
C
B
A
E D C
B
A
(第11题) (第13题)
12.等腰三角形的底边长为6cm ,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分,这两部分之差是3cm ,那么这个等腰三角形的腰长是_______.
13.如图,已知在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,则△ADE 的周长等于_______.
14.已知:如图,△ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长BC 到E ,使CE=CD ,不添辅助线,请你写出三个正确结论(1)______________;(2)______________;(3)______________.
E
D
C B
A
(第14题) (第15题)
15。
正三角形给人以“稳如泰山”的美感,它具有独特的对称性,请你用不同的分割方法,把下图中的两个正三角形分别分割成四个等腰三角形.(标出必要角度)
16.如图,上午8时,一条船从A 处出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达B 处,从A 、B 望灯塔C ,测得∠NAC =42°,∠NBC=84°,则从B 处到灯塔C 的距离_______.
北
N C
B
A
三、解答题:(本题共5小题,17~20题,每小题10分,21题12分,共52分) 17。
如图,DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线,分别交AB 、BC 于D ,E ,AE 平分∠BAC ,若∠B=30°,求∠C 的度数.
30
E
D
C
B
A
18.如图,点D 、E 在△ADC 的边BC 上,AD=AE ,BD =EC ,求证:AB=AC .
E D
C
B A
19.如图,AB =AE ,∠ABC=∠AED ,BC=ED ,点F 是CD 的中点, (1)求证:AF 垂直于CD .
(2)在你连接BE 后,还能得出什么新的结论?请写出三个.(不要求证明)
F E
D
C B
A
20.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN =30°,点A 处有一所中学,AP =160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受影响?请说明理由.
P
N
M
A
21.已知:如图,△ABC 为正三角形,D 是BC 延长线上一点,连结AD ,以AD 为边作等边三角形ADE ,连结CE ,用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系?试写出探求过程.
E
D
C
B
A
答案:。