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抛物线的旋转讲义解题要点剖析同抛物线平移一样，抛物线在旋转前后，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变.解与此相关问题的关键仍然是确定变换前后顶点坐标及开口方向.考题解析例1 已知关于x的方程mx²+2(m−1)x+m−1=0有两个实数根，且m 为非负整数.(1) 求m 的值;(2)将抛物线c₁:y=mx²+2(m−1)x+m−1向右平移a 个单位长度，再向上平移b个单位长度得到抛物线c₂，若抛物线c₂过点A(2，b)和点B(4，2b+1)，求抛物线c₂的表达式;(3) 将抛物线c₂绕点(n+1,n)旋转180°得到抛物线c₃,若抛物线c₃与直线y=12x+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围.思路分析 (1)该方程有两个实数根，则说明该方程是关于x的一元二次方程(即m≠0)，且根的判别式△≥0.再根据m为非负整数这一条件求出符合题意的m 的值.(2)将抛物线平移，不会改变抛物线的形状和大小.抛物线c₁平移后得到抛物线c₂，顶点也相应平移，利用顶点式可写出抛物线c₂的表达式(含a，b)，根据抛物线c₂过点A(2，b)和点 B(4,2b+1)等条件,可确定a 与b的值.(3)将抛物线绕某点旋转180°，不会改变抛物线的形状和大小，但会改变开口方向.由(2)可得抛物线c₂开口向上，将抛物线c₂绕点(n+1，n)旋转180°得到抛物线c₃，则抛物线c₂与抛物线c₃的顶点关于点(n+1，n)对称，抛物线c₃开口向下.若抛物线c₃与直线y=12x+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，则满足抛物线c₃顶点在直线y=12x+1上方即可.规范解答 (1) ∵方程mx²+2(m−1)x+m−1=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0.则有4(m−1)²−4m(m−1)≥0且m≠0,解得m≤1且m≠0.又∵m为非负整数,∴m=1.(2)抛物线c₁:y=x²平移后得到抛物线( C₂:y=(x−a)²+b.∵抛物线c₂过.A(2,b), ∴b=(2−a)²+b.解得a=2.∵抛物线c₂过点B(4,2b+1),∴2b+1=(4-a)²+b.∵a=2,∴解得b=3.所以抛物线c₂的表达式为y=(x−2)²+3(或y=x²−4x+7).(3)将抛物线C₂:y=(x−2)²+3绕点(n+1,n)旋转180°后得到的抛物线c₃,则抛物线c₃的顶点为((2n,2n-3).当x=2n时, y=12x+1=12×2n+1=n+1.由题意,得2n—3>n+1,解得n>4.故n 的取值范围是n>4.解后反思对于抛物线y=ax²+bx+c(a≠0),控制其形状、位置的参数有3个，分别是字母a，b，c，只要确定它们的值，抛物线便确定.二次项系数a 的值是用来控制函数形状的，其符号决定了抛物线的开口方向，其绝对值大小决定开口的“宽窄”；一次项系数b 和常数项c则决定了抛物线的位置.也就是说，将抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)平移，或关于某一点旋转180°，二次项系数a的绝对值都不会改变，但其符号可能改变(如将抛物线关于某点旋转180°，a 的符号会改变).认识这一点，也有利于确定变换后抛物线的表达式.例2点 P 为抛物线. y=x²−2mx+m²(m为常数,m>0)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转 90°后得到的新图象与 y 轴交于A，B 两点(点A 在点B的上方)，点Q为点P 旋转后的对应点.(1)当m=2时，点P 的横坐标为4时，求点Q的坐标；(2)设点Q的坐标为(a,b),用含m,b的代数式表示a;(3)如图18-1所示，点Q在第一象限内，点D 在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.思路分析 (1)当m=2时, y=(x−2)²,,则点 G 的坐标为(2,0),点 P 的坐标为(4，4).由点 Q 为点P 绕点G 逆时针旋转90°后的对应点，易得点 Q 的坐标.(2)已知点 Q 的坐标为(a，b)，由点Q 为点P 绕点G 逆时针旋转90°后的对应点，可得点 P 的坐标，将点 P 的坐标代入抛物线表达式y=x²−2mx+m²中，可以得到a关于m，b的代数式.(3) C 为OD 的中点，也就是QC 为△OQD 的中线，利用“倍长中线”的方法构造全等三角形，进而求得点 A 的坐标.规范解答 (1)当m=2时，抛物线为y=(x−2)²,则点 G 的坐标为(2,0),点 P 的坐标为(4,4).如图18-2所示，分别连接QG，PG，过点Q作x轴的垂线，垂足为点 F，过点 P 作x轴的垂线，垂足为点 E.依题意,可得△GQF≌△PGE,则FQ=EG=2,FG=EP=4.所以 FO═2.所以点 Q的坐标为(一2,2).(2)如图18﹣2所示,点Q的坐标为(a,b),点 Q 为点P 绕点G逆时针旋转 90°后的对应点，可得点 P 的坐标为( (m+b,m−a)..将点 P 的坐标代入y=(x−m)²,得m−a=(m+b−m)²,整理，得m−a=b²,即a=m−b².(3) 如图18﹣3所示,延长QC到点E,使CE=CQ,连接OE.∵ C为OD 的中点,所以OC=CD.又∵∠ECO=∠QCD,∴△ECO≌△QCD.∴OE=DQ=m.∵AQ=2QC,∴AQ=QE.∵ QO 平分∠AQC,∴∠1=∠2.∴△AQO≌△EQO.则OA=EO=m.∴点A的坐标为(0,m).∴(2m,m)为抛物线y=(x−m)²上的点.∴m=(2m−m)².解得m₁=1,m₂=0(舍去).∴m=1.解后反思函数图象的旋转与图形的旋转一样，其实质仍然是点的旋转.以平面直角坐标系为背景的几何问题，特别是以平面直角坐标系为背景的图形变换问题，要实现点的坐标与线段长度的正确转换.求旋转后的抛物线与坐标轴的交点坐标，在这里不是通过解方程求得的，而是主要借助几何手段，通过几何证明和几何计算的方式得到的.全真模拟训练如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−1x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=02和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=−x+3与二次函数y=−1x2+bx+c的图象分别交于B，C2两点，点 B 在第一象限.x2+bx+c的解析式；(1)求二次函数y=−12(2) 连接AB,求AB 的长;(3) 连接AC,M 是线段AC 的中点,将点 B 绕点M 旋转180°得到点 N，分别连接 AN，CN，判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论.。
