1993年小学数学奥林匹克试卷

1991小学数学奥林匹克试题预赛（B）卷1．计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7=_________。

2．计算。

它的整数部分是_________。

3．如右图，阴影部分的面积是_________。

4．找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数它们的和总可以被它们的差整除。

如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是_________。

5．甲、乙两人步行的速度之比是13：11，甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要_________小时。

6．用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能是以下七种：如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形，那么可以用的图形是_____种。

7．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。

如果甲、乙两人合作，需48天完成。

现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成；那么还需要_________天。

8．甲、乙、丙都在读同一本书，书中有100个故事，每人都从某个故事开始按顺序往后读，已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。

那么甲、乙、丙三个人共同读过的故事至少有_________个。

9．将1，1，2，2，3，3，4，4这八个数排成一个八位数，使得两个1之间有一个数；两个2之间有两个数；两个3之间有三个数；两个4之间有四个数；那么这样的八位数中的一个是_________。

10．在正方形里面画出四个小三角形（如图），三角形I与II的面积之比是2：1；三角形III和IV的面积相等；三角形I、II、III的面积之和是平方米；三角形II、III、IV的面积之和是平方米；那么这四个小三角形的面积总和是_________平方米。

11．甲、乙两数是自然数，如果甲数的恰好是乙数的。

那么甲、乙两数之和的最小值是_________。

第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

则有 b-a=8，或者a-b=3。

①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。

例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。

1991—2001年小学数学奥林匹克参考答案预赛A 1、7又256分之1 2、321 3、119 4、7 5、18 6、3 7、840 8、6727 9、14 10、1200 11、22 12、185 决赛B 1、5/2 2、15/33 3、五4、120 5、4200 6、2又5分之2 7、1628 10、30 11、8 12、202000年小学数学奥林匹克参考答案预赛A 1、5151 2、89 3、130 4、250 5、196、487、180008、6429、245 2、34 3、109 4、星期一5、8 6、1047、12时8又29分之8分8、137 9、80 10、47 11、1002 12、225 决赛A 1、2又8分之5 2、170 3、19 4、98 5、1024 6、4 7、16 8、69 9、97 10、76 11、9 12、3/8 决赛B 1、100 2、1996 3、715 4、488 5、35 6、25 7、18 8、8 9、6 10、51 11、249734 2、29又280分之201 3、12 4、40 5、50平方厘米6、11比7 7、32或36 8、2 9、1999 10、2231 2、16又20分之9 3、9 4、20 5、85 6、7或28 7、3 8、12 9、115度12、a=5,b=1决赛B1、85051998年小学数学奥林匹克参考答案预赛A: 1、10 2、15805 3、1又8分之1 4、81 提示9828等于2的平方乘3 的立方乘7乘13，三个连续自然数是26、27、28 5、168 提示97＋71＝89＋79 6、998 7、36个8、192把9、7套10、152个11、119 12、62 2、19425 3、3又8分之1 4、21 5、30 6、140 7、52 8、333棵9、49元10、12人11、12分12、840米决赛A: 1、325平方厘米4、21354 5、727 6、23个7、571个8、19735 9、25％10、8点15分11、15只12、24％决赛B: 1、375元预赛B 1、088 7、135 8、A+大，大8平方厘米9、除1997外，还有1799、1979、1889、1988、189867％5、同决赛A卷第5题6、46个7、81分8、587元9、25天10、56 11、同决赛A卷第11题12、同决赛A卷第12题决赛: 1、同决赛B卷第2题2、同决赛A卷第1题3、同决赛B卷第3题4、同决赛A卷第3题5、1:3 6、同决赛A卷第6题7、同决赛B卷第7题8、同决赛B卷第8题9、同决赛A卷第9题10、396 11、同决赛B卷第10题。

小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之一）数的计算（一）数的计算1．四则计算【基本题】例1 计算7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：本题的两个除数和乘数依次是3.7，2.7，1.7，0.7。

从数字上分析，不能运用简便运算。

所以，只能从左至右依次计算。

结果是850.85。

（1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题）成假分数之后，分子都含有22的约数，于是可采用分配律计算。

（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：两个分数的分母都是3，所以，可把小数化成分数计算。

【巧算题】（全国第三届“华杯赛”初赛试题）讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。

经观察，可将三个分母分解质因数，求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便一些。

（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是65。

于是，第一个括号中可提出一个65，第二个括号中可提出一个5，能使计算变得比较简便。

例3 计算：（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。

这时，每个带分数的分数部分，都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。

计算就很简便了例4 计算：（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）除以两数之积，就等于分别除以这两个数。

然后可将它们重新组合计算为法分配律计算。

于是可将10.375分开，然后重新组合。

（1990年小学数学奥林匹克初赛试题）用字母代替去计算。

（长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题）26.3乘以2.5。

这样计算，可较为简便。

原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5=2.5×（24.7+29＋26.3）=200。

例8 已知11×13×17×19=46189计算：3.8×8.5×11×39（广州市小学数学竞赛试题）讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。

1991—XX年小学数学奥林匹克参考答案001年小学数学奥林匹克参考答案预赛A1、7又256分之12、3213、1194、75、186、37、8408、67.29、1010、68人11、XX、6预赛B1、101/22、106523、13/424、85、186、167983207、1088、319、11/4510、10911、2/312、23决赛A1、2又1024分之10112、013、434、38165472905、46、187、小于8、3.279、1410、1XX1、2212、185决赛B1、5/22、15/333、五4、1205、4XX、2又5分之27、162.58、759、5.810、3011、812、20XX年小学数学奥林匹克参考答案预赛A1、51512、893、1304、2505、196、487、180008、6429、24.0510、9/1011、812、34预赛B1、0.52、343、1094、星期一5、86、1047、12时8又29分之8分8、1379、8010、4711、100212、225决赛A1、2又8分之52、1703、194、985、10246、47、168、699、9710、7611、912、3/8决赛B1、1002、19963、7154、4885、356、257、188、89、610、5111、2497.512、91999年小学数学奥林匹克参考答案预赛A：1、0.342、29又280分之XX、124、405、50平方厘米6、11比77、32或368、29、199910、22.5411、3512、上午12时预赛B：1、495.312、16又20分之93、94、205、856、7或287、38、1：29、11.810、8211、3312、12又9分之2千米决赛A：1、702、84分之53、134、365、1986、4个阴影面积相等7、548、5：19、1710、星期五11、142.5度12、a=5,b=1决赛B：1、850.852、1又4分之13、64、1005、486、647、78、179、810、411、2312、2.51998年小学数学奥林匹克参考答案预赛A:1、102、158053、1又8分之14、81提示：9828等于2的平方乘3的立方乘7乘13，三个连续自然数是26、27、285、168提示：97＋71＝89＋796、9987、36个8、192把9、7套10、152个11、11：912、62.5%预赛B:1、10.2、194253、3又8分之14、215、306、1407、528、333棵9、49元10、12人11、12分12、840米决赛A:1、3.782、18623、39.25平方厘米4、213545、7276、23个7、571个8、197359、25％10、8点15分11、15只12、24％决赛B:1、3.782、18623、50平方厘米4、34215、256、16个7、18个8、862409、450元10、315千米11、20只12、50％1997年小学数学奥林匹克参考答案预赛A:1、8888871111122、7/10>2/3>19/29>17/263、13种4、11935、8914376、172807、153页8、二9、5/2410、15元11、6天12、10.75元预赛B：1、0.5462、3又3分之13、66本4、46245、60人6、179/3607、同A卷第5题。

算式谜【添运算符号】例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=10（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。

而1＋2+……＋9=45，是奇数。

所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使结果为偶数。

例2 在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。

12□34□5□6□7□8=1990（1990年广州市小学数学邀请赛试题）讲析：首先凑足与1990接近的数。

12×34×5=2040，然后调整为：12×34×5-6×7-8=1990。

例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立（中南地区小学数学竞赛试题）讲析：可先凑足与1993接近的数。

1122＋334＋455+66+7+7=1991。

然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。

【横式填数】例1 如果10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。

（上海市小学数学竞赛试题）讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56÷□=3，∴□=28。

例2 在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。

（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：时，等式都能成立。

所以，A=1994；B=1993×1994=3974042。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：A+B=3。

例4 在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立。

（1987年北大友好数学邀请赛试题）讲析：最大为：所以，○、□和△应填的数分别是2、3、9。

例5 在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：可从整数部分和小数部分分开考虑。

廣州市小學數學奧林匹克培訓學校1993學年度入學考試試題第一部分
姓名（）考號（）
一、選擇題
1、下列小數，哪一個是45.4886用四捨五入法保留兩位小數的小數?
A 45.49
B 45.48
C 45.50
D 46.00
E 45.00
2、在有餘數除法算式5□8÷28的□中填入適當的數字，使商的十位數字是2，那麼共有幾種填法？
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
3、已知2+4+6+8…+100=2550，那麼3+5+7+9…+101=？
A 2551
B 2600
C 2601
D 2650
E 2651
4、小明在一張方格紙上畫上一些粗黑線（如圖，文件裡），已知方格紙上每個小正方形邊長是1釐米，小明所畫的粗黑線的總長度是多少釐米？
A 34
B 33
C 32
D 31
E 30
5、用一根長18釐米的鐵絲，圍成長和寬都是整釐米數的長方形，可圍成幾種不同的長方形？
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5。

练习6【例1】1010999999999999 个个的乘积中有多少个数字是奇数？【例2】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？把圆换成三角形呢？【例3】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域？【例4】上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级.问要登上第12级楼梯共有多少种不同走法【例5】将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，….问哪个数处转第二十个弯？【例6】计算3333331234510++++++的值。

【例7】（第七届“华杯赛”初一复赛试题）一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，…称为帕多瓦数列.请陈述这个数列的一个规律,并且写出其中的第14个数和第18个数.【例8】(第一届小学“祖冲之杯”数学邀请赛试题)试分别将分数17,27,37,47,57,67写成循环的小数形式.观察分析这些循环小数的循环节,归纳出它们有哪些特点?(要求归纳出二三条,多写欢迎,不要求证明,只需要条文式写出结论即可)【例9】(第三届“华杯赛”决赛试题) 观察下面数表(横排为行):根据前五列数所表达的规律,说明19911949这个数位于由上而下的第几行?在这一行中,它位于由左至右的第几个?1 1 ;2 1,1 2;3 1,22,13;4 1,32,23,14;5 1,42,33,24,15; …………【例10】(上海市第七届小学六年级数学竞赛复赛试题) 有许多算式:1+2+3=4+5-36+7+8+9=10+11+12-313+14+15+16+17=18+19+20+21-3……求第78个算式的左右两边的结果.【例11】(第六届“华杯赛”复赛试题)(1)下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图.数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做).(a) (b) (c)(d)(2)观察表格，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边.【例12】(第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请初赛试题)有码放整齐的一堆球,从上往下看,如下图,这堆球共有多少个?【巩固1】（第二届“新苗杯”小学生数学联赛试题）按规律填数：(1) 2, 7, 12, 17,________,________。

6、整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。

设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。

要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。

又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。

经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。

所以a-b=3。

又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。

从而很容易求出商为427284÷99=4316。

例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。

（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

而1993000÷2520=790余2200。

于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。

所以最后三位数字依次是3、2、0。

例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。

则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。

要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

一．没一般行程问题D10–002一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它后面1500米，以每小时80千米速度同向行驶，客车超过货车前1分钟，两车相距__米。

题说：南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛C卷第9题答案：250(米)解析：要求客车超过火车前1分钟两车相距多少米，只需求两车行驶1分钟所产生的路程差即可，但是要注意的问题是要先进行单位换算：（80－65）×160＝0.25（千米）＝250（米）D10–003 两辆汽车同时从某地出发到同一目的地，路程165千米，甲车比乙车早到0.8小时，当甲车到达目的地时，乙车离目的地24千米。

甲车行驶全程用了多少小时？题说：第一届《小数报》数学竞赛第二试第4题答案：4.7小时解析：根据题意可知乙行驶24千米所用时间是0.8小时，所以乙的速度是24÷0.8＝30千米/小时，乙行驶全程所用时间是165÷30＝5.5小时，甲行驶全程所用时间是5.5－0.8＝4.7小时。

D10–006一个人从县城骑车去乡办厂。

他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程。

然后，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。

又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。

题说：第五届《小数报》数学竞赛决赛第2题答案：18000(米)解析：由题意可知此人10分钟所行驶的路程是50×20＋2000＝3000米，从而求出此人的速度：3000÷10＝300米/分钟，那么县城到乡办厂之间的总路程是300×30×2＝18000米。

D10–007小明每天早晨6:50从家出发，7:20到校。

老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6:50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：小明家距学校多远？题说：第六届《小数报》数学竞赛初赛第1题答案：3000(米)解析：小明24分钟比原来多行驶25×24＝600米，那么它行驶的正常速度是600÷6＝100米/分钟，所以小明家距学校100×30＝3000米。

小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之二）数字谜与数字问题（二）数字谜与数字问题1．数字串问题【找规律填数】例1 找规律填数（杭州市上城区小学数学竞赛试题）（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。

第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别别是4和2。

第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。

于是，运用分数得到了例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。

按照这个规律在空格中填上合适的数。

（1994年天津市小学数学竞赛试题）讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。

不难发现每竖行中的第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。

所以空格中应填33。

【数列的有关问题】数是几分之几？（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、5、7、9……。

所以，分母分别为1、2、3……9的分数共例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…这个数列的第1993个数是______（首届《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1，第二、三个数是从1993开始，依次减1排列。

而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。

例3 已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字，是由自然数1—99依次排列而成的。

则小数点后面第88位上的数字是______。

（1988年上海市小学数学竞赛试题）讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。

所以，第88位上是4。

例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；几行，自左向右的第几列。

（全国第三届“华杯赛”决赛试题）讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分母之和为3，第三行每个分数的分子与分母之和为4，……即每行各数的分子与分母之和等于行数加1。

1．设n是奇数．试证：存在2n个整数．a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，使对任一整数k，0＜k＜n，下列3n个数a i +ai+1，ai+bi，bi+bi+k（i=1，2，…，n；其中an+1=a1，bn+j=bj，0＜j＜n）被3n除所得余数互不相同．证：取ai =3i，bi=3i+1（1≤i≤n），则ai+ai+1=6i+3ai+bi=6i+1显然，6i+3，6j+1，6t+3k+2，或6t+3k-3n+2，除以3余数分别为0，1，2．因此它们被3n除后余数各不相同．在1≤i≤j≤n时，（6j+3）-（6i+3）=6（j-i）．因为n是奇数，0＜j-i＜n，所以6（j-i）不被3n整除，即6j+3与6i+3被3n除，余数不同．同样，在1≤i＜j≤n时，6j+1与6i+1被3n除，余数不同．6j+3k+2或6j+3k-3n+2与6i+3k+2或6i+3k-3n+2被3n除，余数不同．因此，所取的ai ，bi（1≤i≤n）符合要求．2．给定k∈N及实数a＞0，在条件k1+k2+…+k r=k（k i∈N，1≤r≤k）下，求的最大值．当且仅当k1，k2，…，k r中有r－1个1，一个为k－r+1时等号成立，所以最大值即（r－1）a+a k－r+1．3．设圆K与K1同心，半径分别为R，R1、R1＞R．四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1．点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC上．求证：证：如图，设ABCD各边分别为a、b、c、d，AB1＝x，BC1=y，CD1＝z，DA1＝ω．设B'D'为垂直于AC的直径，则S△ABC +S△ADC≤S△AB'C+S△AD'C即 ab+cd≤AB'2+AD'2=B'D'2=4R2同理可证ad+bc≤4R2从而结论成立．4．给定集合S=｛Z1，Z2，…，Z1993｝，其中Z1，Z2，…，Z1993为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把S中元素分成若干子集，使得（1）S中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．证：现对任意正整数n给以证明．设非零复数集S=｛Z1，…，Zn｝．对S每个非空子集A，其中所有数之和，称为A之和．S共有2n－1个非空子集，其中必有一个子集S1，其和的模|a1|最大．若S≠S1，对S\S1，取其非空子集S2，使其和的模|a2|最大．如比等等．因S为有限集，故经若干步后，即得S的一个划分：S1，S2，…，Sk，它们的和a1，a2，…，ak的模分别是S，S\S1，S\（S1∪S2），…，S\（S1∪S2∪…∪Sk-1）的非空子集和的最大模．这样的划分，条件（1）显然满足．若某个Sr中有一元素Z与ar的夹角＞90°，则如图a，|ar－Z|＞|ar|．ar－Z是S\（S1U…USr-1）的非空子集Sr\{Z}之和，与Sr的选取矛盾．若ar 与at（1≤r＜t≤k＝的夹角≤90°，则如图（b），|ar＋at|＞|ar|．ar＋at 是S\（S1∪…∪Sr-1）不空子集Sr∪St之和，这又与Sr选取矛盾．因此，所述划分满足条件（1）～（3）．【注】因为平面上至多有三个向量，它们之间两两的夹角都大于90°，故S至多分为三个子集．5．10人到书店买书，如果已知（1）每人都买了三本书；（2）任二人所买书中都至少有一本相同，问最受欢迎的书（购买人数最多者）最少有几人购得？为什么？解：设最受欢迎的书有k人购买．每人买3本书，共买30本书．若k≤4，由于430，不可能每种书均被4人购买．设第一个人购的书为a、b、c，并且买a的人≤3个，则与第一个人的公共图书为a的，不超过2人；为b或c的，均不超过3人．从而总人数≤1+2+3+3=9，矛盾！因此k≥5．现给出一种k=5的购书法：因此，被购买人数最多的一种书，最少有5人购买．6．设函数f：R+→R+满足条件：对任意x、y∈R+，f（xy）≤f（x）f（y）．试证：对任总x＞0，n∈N，有证：f（x2）≤f2（x），所以f（x2）≤f（x）f1/2（x2）．假设有则≥f n-1（x n）所以（1）对所有的自然数n成立．。

16、特殊解题方法【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。

这种解题方法就是穷举法。

例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。

问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28）分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。

从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。

解：3×4＝12答：共有12条路线。

例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。

在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。

（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。

4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝246×（3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—248×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—2410×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝2412×（3＋1－2）＝24通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。

答：可用的数有9个。

例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有_________个。

（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：根据题中所给的数字可知：三位数的百位数只能有三种选择：十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。

解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。

305，307，350，357，370，375；503，507，530，537，570，573；703，705，730，735，750，753答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。

1993全国小学数学奥林匹克试题部分初赛（A ）卷1 1．计算．计算2 2．设．设a 和b 是选自前100个自然数中的两个不同的数，那么b a ba -+的最大可能值是能值是 。

3 3．有三个圆心相同的半圆，它们的．有三个圆心相同的半圆，它们的直径分别为1、3、5，用线段分割成8块(如图所示图所示))。

如果每块的字母代表这一块的。

如果每块的字母代表这一块的面积，并且相同的字母表示相同的面积，面积，并且相同的字母表示相同的面积，那么，那么，A A ：B B 。

4．50枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码1，2，3，…，5050，按顺时针方，按顺时针方向每个一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。

如果剩下的这枚棋子的号码是3939，那么第一个被取走的棋子是，那么第一个被取走的棋子是号。

号。

5.5.张师傅以张师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，又以2元钱5个的价格将这些苹果卖出去，如果他要挣的10元钱利润，那么他必须卖出苹果那么他必须卖出苹果 个。

个。

6 6．甲、乙、丙三人进行．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。

如果甲、乙、丙赛跑时的速度都不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有达终点时，丙离终点还有 米。

米。

7 7．某个七位数．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数是么它的最后三位数是 。

8．从1，2，3，4，5中选出四个数，填入右图中选出四个数，填入右图中的方格内，使得右边的数比左边的大，下面的中的方格内，使得右边的数比左边的大，下面的数比上面的大，那么，共有数比上面的大，那么，共有 种填法。

种填法。

9 9．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140140，如果把所有这，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是样的分数从小到大排列，那么第三个分数是 。

第一章小学数学解题方法解题技巧之约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

而长方形的面积等于长乘以宽。

所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。

一般来说，约数都是成对地出现。

1155的约数共有16个。

16÷2=8（对）。

所以，有8种不同的拼法。

例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。

所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。

发现，96是上面数的约数。

所以，两位数的约数中，最大的是96。

例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。

（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。

小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之五）简单几何问题（五）简单几何问题1.几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

同理，m上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有______个三角形。

（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。