【人教版】高中数学必修四期末第一次模拟试卷及答案

一、选择题

1．已知函数sinos0(cfxxaxa且0），周期2T，()33f，且fx在6x处取得最大值，则的最小值为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14

2．已知函数22()2sincos()sin(0)24xfxxx在区间25[,]36上是增函数，且在区间[0,]上恰好取得一次最大值，则的范围是（ ）

A．3(0,]5 B．13[,]25 C．13[,]24 D．15[,)22

3．已知3sin85，0,2，则cos2α＝（ ）

A．31250 B．17250 C．7225 D．12225

4．已知ππcossin22cosπtanπf，则2020π3f（ ）

A．32 B．12 C．12 D．32

5．已知a，b是单位向量，a•b0．若向量c满足|cab|＝1，则|c|的最大值为（ ）

A．21 B．2 C．21 D．22

6．已知向量(cos,sin)a，向量(3,1)b，则2ab的最大值，最小值分别是（ ）

A．42，0 B．4，42 C．16，0 D．4，0

7．已知ABC中，3ABAC，且||||ABACABAC，点D，E是BC边的两个三等分点，则ADAE（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．ABC中，5AB，10AC，25ABAC，点P是ABC内（包括边界）的一动点，且32()55APABACR，则||AP的最大值是( )

A．332 B．37 C．39 D．41

9．若函数sin2fxx与2cosgxx都在区间,ab上单调递减，则ba的最大值是（ ）

A．π4

B．π3 C．π2 D．2π3

10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）

A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟

11．己知函数()sin()(0,||)2fxx的最小正周期为π，且图象向右平移12个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ）

A．fx关于点5(,0)12对称 B．fx关于直线6x对称

C．fx在,]1212单调递增 D．fx在7[,]1212单调递减

12．已知曲线1C：sinyx，2C：cos23yx，则下面结论正确的是（ ）

A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单位长度，得到曲线2C

B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23个单位长度，得到曲线2C

C．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C

D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12个单位长度，得到曲线2C

二、填空题 13．已知函数2()23sincos2cos(0)222xxxfx的周期为23，当0,3x时，函数()()gxfxk恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.

14．如果函数sin2cos2yxax的图象关于直线12x对称，那么该函数在0,2x上的最小值为_______________．

15．已知sin10cos102cos140m，则m_________.

16．向量,ab满足(1,3),2,()(3)12ababab，则a在b方向上的投影为__________．

17．已知平面向量a，b，c满足45ab，4ab，1ca，则c的取值范围为________．

18．已知函数f(x)，任意x1，x2∈,22 (x1≠x2)，给出下列结论：

①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；

④1212()()fxfxxx>0；⑤1212()()22xxfxfxf.

当()tanfxx时，正确结论的序号为________．

19．如图，在四边形ABCD中，60B，2AB，6BC，1AD，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的取值范围为_________．

20．已知函数()yfx是R上的偶函数，当0x时，4242si,,n04xxfxxx，关于x的方程()()fxmmR有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则sin()2____.

三、解答题

21．已知3sin5，且为第四象限角 （1）求sinsin(2)2tan()cos()的值；

（2）求1sin2cos21sin2cos2的值．

22．已知函数2()2cos123sincos(01)fxxxx，直线3x是函数f(x)的图象的一条对称轴.

（1）求函数f(x)的单调递增区间;

（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23个单位长度得到的，若6(2),(0,),352g求sin的值.

23．在直角坐标系xoy中，单位圆O的圆周上两动点AB、满足60AOB（如图），C坐标为1,0，记COA

（1）求点A与点B纵坐标差AByy的取值范围；

（2）求AOCB的取值范围；

24．已知函数sin(0,)2fxAx＞＜部分图象如图所示.

（1）求和的值；

（2）求函数()fx在[,]上的单调递增区间；

（3）设()1212xfxfx，已知函数2()2()3()21gxxxa在,62上存在零点，求实数a的最小值和最大值.

25．已知函数3π2sin24fxx，Rx.

（1）求函数fx的最小正周期T及fx的图象的对称轴；

（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数fx在一个周期内的图象.

x

3π24ux

fx

26．已知△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，向量m(2cossin)2CC，，

n=(cos2sin)2CC，，且mn．

（1）求角C；

（2）若22212abc，试求sin()AB的值

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一、选择题

1．C 解析：C

【分析】

利用辅助角公式，求得()fx的解析式，根据题意，可求得的表达式，根据tana，可求得1tan6a，又根据()33f，可求得23cos61a，进而可求得sin6的值，根据同角三角函数的关系，可求得a的值，即可求得的表达式，根据的范围，即可求得答案.

【详解】

2sincos1sin(),tanfxxaxaxa，

因为22T，所以1，

因为fx在6x处取得最大值，

所以2,62kkZ，即2,26kkZ，

所以1tantan2tan2626tan6ka，

所以1tan6a，

因为()33f，所以21sin33a，即23sin31a，

所以23sinsin2sincos33262661ka，

所以213sintancos6661aa，

又222222133sincos16611aaa，

解得23a，又0a，

所以3a，所以1sin62，

所以2,66kkZ或52,66kkZ，

解得121,kkZ或125,kkZ，

又1，所以的最小值为13. 故选：C

【点睛】

解题的关键是根据题意，求得的表达式，代入求得tan6，cos6的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

2．B

解析：B

【分析】

先化简函数，根据fx在区间25,36上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间0,上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于0,，最后取交集.

【详解】

因为222sincossin24xfxxx，

2sin1sinsinxxx，

22sinsinsinxxx，

sinx，

令22,22kxkkZ，

则22,22kkxkZ，

因为fx在区间25,36上是增函数，

25,23,2262,kkkZ

所以223562，解得35，

令2,2xkkZ，

因为在区间0,上恰好取得一次最大值，

所以02，所以12，

所以的取值范围是1325.