【典型题】高一数学下期末一模试卷(及答案)
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【典型题】高一数学下期末一模试卷(及答案)
一、选择题
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a，2c，2cos3A，则b=
A．2 B．3 C．2 D．3
2．已知不等式19axyxy≥对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．73 B．8π3 C．83 D．7π3
4．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A．若lm，m，则l B．若l，//lm，则m
C．若//l，m，则//lm D．若//l，//m，则//lm
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A．2 B．422 C．442 D．642
6．若,均为锐角，25sin5，3sin5，则cos
A．255 B．2525 C．255或 2525 D．2525
7．已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos2bCac，若3b，则ABC的外接圆面积为（ ）
A．48
B．12
C．12
D．3
8．设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为
A．1 B． C．
D．
9．若函数()sincosfxxx(0)在,22上单调递增，则的取值不可能为（ ）
A．14 B．15 C．12 D．34
10．设函数，则()sin2cos244fxxx，则（ ）
A．yfx在0,2单调递增，其图象关于直线4x对称
B．yfx在0,2单调递增，其图象关于直线2x对称
C．yfx在0,2单调递减，其图象关于直线4x对称
D．yfx在0,2单调递减，其图象关于直线2x对称
11．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
12．在正三棱柱111ABCABC中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC与侧面1ACCA所成角的大小为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
二、填空题
13．已知数列{}na前n项和为nS，若22nnnSa，则nS__________．
14．在ABC△ 中，若223abbc ，sin23sinCB ，则A 等于__________．
15．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为______．
16．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________
17．直线l将圆22240xyxy平分，且与直线20xy垂直，则直线l的方程为 ．
18．对于函数fx，gx，设0mxfx，0nxgx，若存在m，n使得1mn，则称fx与gx互为“近邻函数”.已知函数13log2exfxx与1422xxgxa互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是______.（e是自然对数的底数）
19．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
20．△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，则△ABC的面积为________．
三、解答题
21．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（0）及f（f（1））的值；
（2）求函数f（x）的解析式； （3）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，
22．
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
23．已知函数221+0gxaxaxba在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a、b的值；
(2)设2gxfxx，若不等式0fxk在x∈2,5上恒成立，求实数k的取值范围．
24．如图，在等腰直角OPQ中，090POQ，22OP，点M在线段PQ上.
(Ⅰ) 若5OM，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且030MON，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值.
25．已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（23,4mm）
（1）求证：ABBC；
(2) //ADBC，求实数m的值.
26．已知数列{an}满足a1＝1，1114nnaa，其中n∈N*．
（1）设221nnba，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式．
（2）设41nnacn，数列{cncn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得11nmmTcc对于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可知，min19axyxy，将代数式1axyxy展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.
【详解】
11aaxyxyaxyyx.
若0xy，则0yx，从而1axyayx无最小值，不合乎题意；
若0xy，则0yx，0xy.
①当0a时，1axyayx无最小值，不合乎题意；
②当0a时，111axyyayxx，则19axyxy≥不恒成立；
③当0a时，21121211aaxyaxyxyaaaaaxyyxyx，
当且仅当yax时，等号成立. 所以，219a，解得4a，因此，实数a的最小值为4.
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233.故选B.
【点睛】
本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用,l可能平行判断A，利用线面平行的性质判断B，利用//lm或l与m异面判断C，l与m可能平行、相交、异面，判断D.
【详解】
lm，m，则,l可能平行，A错；
l，//lm，由线面平行的性质可得m，B正确；
//l，m，则//lm， l与m异面；C错，
//l，//m，l与m可能平行、相交、异面，D错，.故选B.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
5．D
解析：D
【解析】 【分析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．
【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积122222222642.2S
故选D．
【点睛】
本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．
【详解】
∵α为锐角，252sin52＞ s，∴α＞45°且55cos ，
∵3sin5，且132252＜＜ ，2＜＜，
∴45cos（） ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4532525555525．
故选B.
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先化简得23B，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC的外接圆面积.
